专题4.2 同角三角函数的关系与诱导公式【12类必考点分类集训】-2027年高考数学一轮复习（全国通用）

专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【考点1：平方关系】 2 【考点2：商数关系】 4 【考点3： 三角函数的化简、求值—同角三角函数基本关系】 6 【考点4： 诱导公式一 】 8 【考点5：诱导公式二、三、四】 9 【考点6： 诱导公式五、六】 11 【考点7：  三角函数的化简、求值——诱导公式】 13 【考点1：平方关系】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 则，解得. 2．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 4．（25-26高二下·宁夏银川·期末）（多选）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数基本关系计算. 【详解】，解得，A正确； ，又为锐角，所以， 则，，，B不正确，D正确； ，C正确. 5．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 【考点2：商数关系】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知式可知 ，分子、分母同除以 ，将条件化为关于 的方程求解． 【详解】由 可知 ． 分子、分母同除以 ，得 ． 所以 ，从而 ． 2．（26-27高一上·四川泸州·阶段检测） 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系，结合条件等式与角的范围求出，进而求得，即可求得答案. 【详解】因为，所以，即 整理得，因为，所以. 所以，代入，可得. 所以. 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可分别计算出正弦值和余弦值进而求解. 【详解】因为，，所以，则， 所以，，. 4．（26-27高二上·天津河北·开学考试）已知为角终边上一点，则____________． 【答案】1 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】 （1）原式． （2）原式． （3）原式． 【考点3： 三角函数的化简、求值—同角三角函数基本关系】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）如图点在第二象限，又因为点在单位圆上，且点的横坐标为， 所以，则，； （2）原式 =. 2．（25-26高一下·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值：      （1）；          （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化简求得表达式的值. （2）利用同角三角函数的基本关系式化简求得表达式的值. 【详解】依题意，. （1）原式. （2）原式 . 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，属于基础题. 3．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知，求下列各式的值. （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解； （2）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，将代入即可得解. 【详解】解：（1）； （2） . 4．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）分子分母同除以化为即可求解； （2）分子中的1化为，分子分母同除以，进而可得答案. 【详解】（1）分子分母同除以化为； （2）原式= 5．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）已知，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知，则； （2）由. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力． 【考点4： 诱导公式一 】 1．（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式，，故B正确. 3．（25-26高一下·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】． 故选：C． 4．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）_________． 【答案】 【详解】 5．（26-27高一上·浙江·开学考试）的值为______________. 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】. 【考点5：诱导公式二、三、四】 1．（25-26高一下·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 2．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数诱导公式求值，即得集合A，再利用并集的定义求解. 【详解】因为，， ，即集合，且集合， 所以. 3．（25-26高一下·四川南充·期末）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系求出，再根据诱导公式求解. 【详解】且为第一象限角， ， . 4．（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，， 则. 5．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知，，则__________. 【答案】 【分析】利用诱导公式分别化简已知条件和待求表达式，再结合同角三角函数平方关系与角的象限确定符号求解可得. 【详解】，所以. ， 所以. 则. 【考点6： 诱导公式五、六】 1．（重难点培优01三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 3．（26-27高二上·山东潍坊·开学考试）化简：____________. 【答案】1 【详解】 4．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知角的终边经过点，则______. 【答案】 【分析】由三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】角的终边经过点， 由三角函数的定义得：，，. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【详解】根据诱导公式即可求解. 原式 ． 【考点7：  三角函数的化简、求值——诱导公式】 1．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可； （2）根据诱导公式化简，再将（1）的结论代入计算即得. 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 2．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知角的终边上有一点的坐标是 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义计算可得结果. （2）利用诱导公式化简，结合（1）可得结果. 【详解】（1）∵，∴点到原点的距离， ∴. （2）原式. 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义，结合诱导公式即可求解； （2）由三角函数的定义，结合诱导公式即可求解. 【详解】（1）由得， 则，，. 又， ， . （2）， ，， . 4．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)1 【详解】（1）原式 ； （2）原式. 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知. (1)求：及的值； (2)求的值； (3)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）利用齐次式法求解即得. （2）利用诱导公式化简，结合同角公式求解. （3）利用同角公式化简求解. 【详解】（1）当时，； . （2）当时，. （3）当，为第二象限角时，， . 一、单选题 1．（25-26高一下·新疆阿克苏·期末）若为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由题意，. 故选：D 2．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】所求可变形为，利用诱导公式，结合题意，即可求得答案. 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　　) A． B． C． D．－4 【答案】A 【详解】∵点P在角α的终边上， 则tan α＝3， ∴＝ ，故选A. 4．（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）若扇形的圆心角为，面积为，半径为，则（    ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】利用已知条件求出,在利用三角函数所在象限的符号即可化简. 【详解】设扇形的弧长为， 由扇形的面积公式可得，，解得：， 所以， 所以是第二象限角， 所以，，， 所以. 故选：D 5．（26-27高一·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据同角三角函数基本关系，将原式化为，根据题意得到且，进而可得出结果. 【详解】， 且. 又，. 故选B. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的运用，熟记公式即可，属于常考题型. 6．（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式化简整理，可求得的值，将所求改写成，上下同除，即可得结果. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以. 故选：A 二、多选题 7．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，且，给出下列结论，其中正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意结合平方关系以及角的范围得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】因为，，解得或（舍去）， 所以，所以，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 8．（2026·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案. 【详解】由题意得, 则, 若在第四象限,则, 所以也是第一象限角,即,,A项错误; ,B项正确; ,C项错误; ,D项正确. 故选:BD. 三、填空题 9．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）化简：___________. 【答案】-1 【分析】根据诱导公式化简求值. 【详解】根据诱导公式， ， 故答案为： 10．（26-27高一·全国·课后作业）代数式的化简结果是________． 【答案】 【分析】根据诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系配凑成完全平方式，进行根式化简，注意根据角的范围判断同角的正弦和余弦的差的符号得解. 【详解】因为所以： 原式 ． 故：填. 【点睛】本题关键需明确同角的正弦与余弦的差的符号，从而去掉绝对值符号化求值，为此要根据角的取值范围进行判定，属于中档题. 四、解答题 11．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可； （2）根据诱导公式化简，再将（1）的结论代入计算即得. 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 12．（25-26高一下·贵州·期中）解答下列各小题. (1)计算：. (2)已知. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据诱导公式及特殊三角函数的值求解即可； （2）①将原式化为，代值计算即可； ②将原式变形为，代值计算即可. 【详解】（1）因为 ； （2）①； ②. 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式 。思维导图 同角三角函数的基木关系 基木关系式 语言描述 平方关系 sin'a+cos'a=l 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 sina cosa =tana.a◆短十二（低∈Z 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 基本关系式的变形公式 sin'a=I-cos'a. cos'a=1-sin'a. sin'a+c0s2a=1→ sina=土V个-coa, cosa=±V1-sina (sina±cosa)2=1±2 sinacosa. tana=sina sina tanacosa. cosa cosa=sina tne 诱导公式 公式 三 四 五 六 七 角 2x+a(k∈Z -a 正兹 sina -sina -sina sina cosa cosa -cosa -cosa 同角三角函数的基 本关系与诱导公式 余弦 cosa sina -sina sina sina 正切 tane tana -tane cote cota 余切 cota cota cota 口决 函敬名不变，符号看象限」 函数名改变，符号看象限 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0~2的角求值 公式二 将0~2的角转化为0的角求值 公式三 将负角转化为正角求债 公式四 将号一x的角转化为0一的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 (2)化简，统一角，统一名，同角名少为终了 女题型分类 【考点1：平方关系】 2 【考点2：商数关系】… …3 【考点3：三角函数的化简、求值一同角三角函数基本关系】 .3 【考点4：诱导公式一】。 .5 【考点5：诱导公式二、三、四】… .6 【考点6： 诱导公式五、六】.… .6 【考点7： 三角函数的化简、求值一一诱导公式】.7 【考点1：平方关系】 4 1.(26-27高三·全国·一轮复习)己知sina-cosa= 3,则2 sina cosa=( 7 2 2 2 A.9 B.-9 C.9 D.9 1 2,(25-26高二下-广西梧州期末)已知a∈(0，)，且sina+cosa=5,则sina-cosa=() 4 A.-5 7 B.-5 4 C. 1 D. 3.(2526高一下费州避义期肿)（多选）已知sn0+co0=写0e(Q),则下列等式正确的是（) B sindcos0=12 25 C.sine-cos0= D.sin0-cos0=-7 25 4.(25-26高二下·宁夏银川期末)（多选）已知ax为锐角，且c0sa-sina=5,则下列选项中正确的有 () 12 A.sina cosa= 25 B.tana= 3 7 C.cos"a-sina=- 25 D.sina+cosa= 5 5,（25-26高一上福建福州阶段检测)（多选）已知0∈(0，)，sin0+cos0 5,则下列结论正确的是 () Ao匠 B.cos0 c.m0-号 D sine.cos0=-12 5 【考点2：商数关系】 1.(26-27高三·全国一轮复习)已知cosa-sina cosa=V5,则ana=（） 3 A.2V3+1 B.2V3-1 1、3 C.2 D. 3 2.(26-27高一上四川泸州阶段检测)a为三角形内角，且cosa=1-2sina,则tana=() 4 4 3 A.-3 B.3 C.-3 4 D.4 3(26-27高三上·宁夏银川阶段检测)老)，π ,tan0=-2,则sin0+cos0的值是() 3W5 5 A.5 B.5 3W5 5 c.5 D.5 2sina-cosa 4.(26-27高二上·天津河北开学考试)已知PL,3)为角a终边上一点，则sina+2cosa 5.(26-27高一上全国课后作业)已知tanc=2，,求： sina +cosa (1)sina-cosa sin'a+2 (2) cos'a-sin'a (3)sinsincosa+2 【考点3：三角函数的化简、求值一同角三角函数基本关系】 1.(26-27高一上全国课堂例题)如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P,且点 P的横坐标为5· yA 0 (1)求sina,cosa的值： sin2a cosa (2)求 + sina-cosa 1-tana 的值 2.(25-26高一下·上海杨浦阶段检测)已知tana=3,求下列各式的值： sina+3cosa (1)2sina+5cosa (2)sin2a+sina cosa+3cos2a 3.(25-26高一下江西上饶阶段检测)已知tana=2,求下列各式的值 4sina-2cosa (1)3cosa+3sina (2)3sina+cosa 2 4 4.(26,27高一上贵州贵阳阶段检测)已知am0=2,求下列各式的值： sin0+3cos0 (1)sin0-cos0 1+sinecos0 (2)sin20+sincos0' 5.(25-26高一下四川达州阶段检测)已知tama= 12,求下列各式的值： 4sina-3cosa (1)5cosa+3sinai (2)4sin2a-3cos2a 【考点4：诱导公式一】 1,2627高三上广东开学考试)sin6an,三() 6 3 3 A.2 B.-2 3 3 C.2 D.2 2.(26-27高一上·全国课堂例题) sin(-1410) 的值为() 3 1 5 A.2 B.2 C.2 D.2 3.（2526高一下辽宁期中)5im985_ 6=() 1 A.-1 B.-2 c D.1 4.（2526高一下陕西汉中牙学考试)sin26- 3 5.(26-27高一上浙江开学考试)sin1230°的值为 【考点5：诱导公式二、三、四】 1.(2526商一下-北京期未)已知sim(a-)=4,且n为第二家限角，则osa（) √2 V15 2W2 2W2 A.4 B.4 C.3 D.3 &6a水网E和卫矣-行子-.-兽ug () A{22 a{9 { 。{ 25-26高一下四川南充期末)已知为第一象限角，且cosa=,则sin(π+a)=( A 3 c.5 D.5 4。(2526高一下陕西汉中阶段检测）已知红-)-号.。 则cosa=() A.5 c.5 。 5.(26-27高二上贵州遵义开学考试)已知 (r-a专a2.则0s2x-a} 【考点6：诱导公式五、六】 1.(重难点培优01三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测) 1 1 2W2 2W2 A.3 B.3 c.3 D.3 2.2627商-上金国课后作业)已知a-cos仁-c)amR-,则/202g A.、3 3 2 B.- C. 0.2 2ta sin(r-a) 3π sin 3.(26-27高二上山东潍坊·开学考试)化简： cas&-acos(3x+-ad） 4。(2526商一下云南文山阶段检训)已知角2约悠边经过白P(-2,剥血（口-引 5.(26-27高一上·全国课堂例题)化简： sin5π+a】 【考点7： 三角函数的化简、求值一一诱导公式】 1.(25-26高一下·江西赣州阶段检测)已知角0的终边经过点P(-5,12). (a)求sin8,cos8,tan8的值： sin0tan(x-0)+sin(r-0) 2 (2)求 cos(-0) ,的值. 2.（25:26高一下广西南宁阶段检测)已知角“的终边上有一点P的坐标是34) (1)求sina,cosa,tana的值 mr-ajsn(r-a小sn经-a (2)求 cos(π+a) 的值 3.(25-26高一下贵州遵义期中)已知角a的终边经过点P-2,2W, 求下列各式的值： ()cosa-+tan(-a) 3π cos a+ sin a- 2 2 (2) an2π *a 4.(26-27高一上全国课后作业)求下列各式的值： a4sin(-1350P）+b2ian405°-(a-b2.tan765°-2 abcos(-10809） Gpsino3 am 5.(25-26高一下贵州遵义阶段检测)已知tana=-2. sina-cosa sina cosa (1)求：sina+cosa及sin2a-cos2a的值： n(2+a)cos(7-a 3π 2求 2 的值： 女 sin(-a)sin(π-a） 1+sin a 1-sina (3)若c为第二象限角，求V1-sina V1+sina的值. 。现学现测 一、单选题 1 1.(25-26高-下新疆阿克苏期末)若a为第三象限角，且sina=3,则cos4=( 2w2 √2 2W2 A.3 B 4 C.4 D.3 4 A.5 B.5 c.-5 sin(-a)-sin 的值为 026高三·全国专题练习)已知角的终边上有一点P1,3引，则n3π-a+2cos(-π+a cos A 4 B.5 D.-4 4.(26-27高一上吉林四平阶段检测)若扇形的圆心角为8，面积为lm,半径为lm,则 sin0 cose 2tan sin cos tan () A.0 B.-1 C.4 D.-2 5.(26:27高一全国课后作业)若Be0,2m)）,且V-cosB+-sim'B=simB-cosB,则P的取值范围 是 到 。] 。[竖2 6(57宽上林四平度检DE克号小c+-6如（仁x- ,则sin0cos0+cos20 等于（) 3 2 A.5 B. 二、多选题 1 7.(25-26高一上：广东广州期末)已知a∈0，可，且sina+cosa=5,给出下列结论，其中正确的结论有 () A.2<a<元 3 B.cosa= 5 12 C. sina cosa= 5 D.cosa-sina=-7 5 coa-）1 8.(2026辽宁·模拟预测)设α为第一象限角，8)3，则() A（小 。a+- 。mga-2 三、填空题 sin(2z-a)cos(3x+a)cos2a 9.(25-26高一下海南省直辖县级单位期中)化简： sin(-π+)sin(3π-a)cos(-a-π) V1+2sin290°cos430° 10.(26-27高一·全国·课后作业)代数式sin250°+cos790° 的化简结果是 四、解答题 11.(25-26高一下江西赣州阶段检测)已知角0的终边经过点P(-5,12). (1)求sin8,cos8,tan8的值； sin (3+0 .tan(π-)+sin(π-) (2)求 cos(-0) 的值 12.(25-26高一下·贵州期中)解答下列各小题. tan225°+cos540°-cos(-330） (1)计算： (2)已知tana=3 sina-cosa ①求sina+cosa的值： ②求sin acosa的值.