专题4.4 三角函数的图象与性质讲义【12类必考点分类集训】-2027届高三数学一轮复习

专题4.4 三角函数的图象与性质 【考点1：三角函数的图象】 2 【考点2：三角函数的单调性】 8 【考点3：三角函数的定义域、值域与最值】 10 【考点4：三角函数的奇偶性】 12 【考点5：三角函数的周期性】 16 【考点6：三角函数的对称性】 18 【考点7： 识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）】 21 【考点8：三角函数图象的综合应用】 24 【考点1：三角函数的图象】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）用“五点法”作函数的图象时，需描的点有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】分别令，得， 所以所描的“五点”分别为，ABD正确，C错误. 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象可由向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】利用正切函数的图象与性质结合三角函数图象变换一一判定选项即可. 【详解】由图象可知的最小正周期为，所以，即， 所以A正确，B错误； 对于C项：结合图象可知时，， 即，结合已知限定条件知，即， 所以 ， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D项，易知， 其向右平移个单位长度得到，故D错误. 故选：AC 3．（专题2正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质（北师大版高一期中备考）【专题讲解】）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1) (2) 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 4．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数. (1)利用“五点法”画出函数在一个周期上的简图； (2)先把的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象；然后把的图 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象；再把的图象 上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到的图象，求的解析式. 【答案】解：(1)见解析， (2). 【分析】(1) 利用描点法画函数图象，第一步列表，令函数解析式中的角分别为0，，π，，2π，求出x的值，且代入函数解析式求出对应的函数值y的值，找出函数图象上五点坐标，在平面直角坐标系中描出五个点，用平滑的曲线画出函数图象即可； (2) 利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论. 【详解】（1）由“五点作图法”列表如下： x x 0 π 2π 3sin（x） 0 3 0 ﹣3 0 图象如下： （2）把的图象上所有点向左平移个单位长度， 得到， 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到， 把的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到， ∴ 【点睛】本题考查利用五点法作三角函数的图象，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数. 0 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）； (2)写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程. 【答案】(1) 0 0 1 0 0 (2)， 【分析】（1）根据五点法求解作图：即由分别等于分别求得值并计算出函数值，然后描点连线； （2）由求得对称轴方程，由求出对称中心横坐标，得对称中心坐标. 【详解】（1）分别令等于得的值为，然后令等于计算出相应函数值分别为，填写表格： 0 0 1 0 0 描点，连线，得图象： （2）由解得， 所以对称轴方程为： 由解得， 所以对称中心为：. 【考点2：三角函数的单调性】 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的性质整体代换即可得. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 2．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列函数在上不具有单调性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上单调递减， 在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在上不具有单调性. 3．（2026高一上·全国·专题练习）在四个函数，，，中以为周期在上单调递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，不是周期函数.A错误. 对于B，以为周期.B错误. 对于C，当，，函数在上单调递增，且恒大于， 所以函数在单调递减.故C错误. 对于D，，所以函数以为周期， 当时，，所以， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 函数定义域为，关于原点对称，，故函数为偶函数， 故D正确. 4．（26-27高二上·广东茂名·开学考试）已知是偶函数，在区间单调递增，则__________． 【答案】/ 【分析】根据为偶函数以及可得出的两个取值，然后利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦型函数的单调性检验即可得解. 【详解】由是偶函数，可得， 因为，所以或， 当时，， 若，则，此时函数在上单调递减，不符合题意； 当时，， 若，则，此时函数在上单调递增，符合题意. 综上所述，. 5．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数的图象关于直线对称． (1)求； (2)设函数，求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体法，结合对称轴方程求参数即可； （2）先根据三角恒等变形化简得到，再利用整体法求单调区间即可． 【详解】（1）由题意得， 所以，解得， 又，所以. （2）由（1）得，所以， ， 化简得， 所以，其中， 可得， 则的单调递增区间为，其中． 【考点3：三角函数的定义域、值域与最值】 1．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，结合正弦函数的值域即可求得的值域. 【详解】由题意得 ， 因为，所以， ，故的值域为. 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质求出集合，再利用集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，根据正弦函数的性质，可知的值域为，所以， 又因为集合，所以，故B正确. 3．（26-27高三上·山东日照·阶段检测）若函数在内存在唯一的，使得，则的取值不可能为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质列式求出的范围即可. 【详解】函数中，由，得， 由，得，而是函数在内的唯一最小值点， 因此，解得，BCD可能，A不可能. 4．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的最大值为_________. 【答案】 【分析】借助二倍角公式将用表示后，利用正弦函数性质与二次函数性质计算即可得. 【详解】 ， 由，故. 5．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，求的最大值与最小值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间. (2)取得最大值为，取得最小值为. 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦函数的性质即可求出； （2）先确定的范围，再结合正弦函数的图像即可求出. 【详解】（1）由题意得，， 的最小正周期为, 令，解得，故的单调递增区间. （2）当时，, 当时，即，取得最大值为， 当时，即，取得最小值为. 【考点4：三角函数的奇偶性】 1．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）“函数的图象关于原点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数的图象关于原点对称，函数为奇函数； 当时，，即，解得. 当为偶数时，令，则； 当为奇数时，令，则； 函数的图象关于原点对称时，不一定等于， 则“函数的图象关于原点对称”不能推出“”，充分性不成立. 当，则； ， 函数是奇函数，其图象关于原点对称； “”可以推出“函数的图象关于原点对称”，则必要性成立. 综上，“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 【答案】 【分析】设，由奇函数的性质即可求解． 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又， 所以， 所以． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)偶函数 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的性质推理判断. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以原函数是偶函数. （2）函数的定义域为，， 所以原函数是偶函数. 4．（7.4　正切函数的图像与性质）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. (2) 偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. (3) 奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. (4) 偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 5．（5.4.2正弦、余弦函数的周期性与奇偶性（第1课时）（分层作业））判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性； （3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断. 【详解】（1）的定义域为R，， 因为， 所以为偶函数. （2）由得， 解得定义域为，关于原点对称， 又 ， 所以为奇函数. （3）由，即，解得， 所以，定义域不关于原点对称， 所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数. 【考点5：三角函数的周期性】 1．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换化简函数，再利用最小正周期计算公式计算求解. 【详解】因为 ， 所以函数最小正周期为. 2．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）下列函数中最小正周期等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 【详解】对于A，最小正周期. 对于B，正切函数的周期是，将在轴下方的图象翻折到轴上方， 周期不变.故最小正周期. 对于C，，是常函数，无最小正周期. 对于D，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不是周期函数. 3．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为 C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为 【答案】C 【详解】因为，将替换为时，， 因为，所以，为偶函数. 设最小正周期为，即，， 因为，故为一个周期. 证明为最小正周期，若，取，， ，解得， 若，即，，矛盾. 若，假设，代入可知，，，矛盾. 故为最小正周期. 4．（25-26高三下·河北·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式即可求得. 【详解】由二倍角公式得：，则 利用辅助角公式得：，其中， 所以最小正周期：. 5．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 【答案】 【分析】先求出的周期，然后求解出，最后计算. 【详解】设函数的周期为. 由题意可知，，，. ，. 【考点6：三角函数的对称性】 1．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数的图象关于点对称，则正数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质求解即可. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以， 所以， 所以正数的最小值为. 2．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．的最小正周期为 B．直线 是 图象的一条对称轴 C．将 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于原点对称 D．的图象关于点 对称 【答案】ABD 【分析】先用辅助角公式化简，再利用正弦型三角函数的性质逐项进行判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期为，正确； 对于B，令,得 ，故函数 图象的对称轴为直线， 所以直线 是 图象的一条对称轴，正确； 对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后， 函数解析式转化为，不是奇函数，所得图象不关于原点对称，错误； 对于D，令,得 ，故函数 图象的对称中心为， 所以的图象关于点 对称，正确. 4．（26-27高三上·天津·开学考试）若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据正切型函数的性质求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 令，，解得，， 所以的图像的对称中心为，. 由题意知，，， 所以，，解得，. 当取最大值时，取得最大值，此时，. 故的最大值为. 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数在内存在最大值，但不存在最小值. (1)求的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意结合正弦型三角函数的性质列不等式组求解即可. （2）根据两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式求出，结合正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，，得， 因为在内存在最大值，但不存在最小值， 所以，解得， 即正数的取值范围为. （2）又，则，所以， 所以 ， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为，. 【考点7： 识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）】 1．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域为,再判断出关于中心对称，进而判断出当时，的图象位于轴下方，结合排除法即可得答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为, 又因为 ， 所以关于中心对称，故排除C ,D； 当时，，， ，， 所以，图象位于轴下方，故排除B. 由对称性可知当时，的图象位于轴上方， 所以只有A满足. 2．（2026·黑龙江大庆·三模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性可排除两个选项，代入特殊值即可选出正确答案. 【详解】因为， 所以是奇函数，故排除A、C；当时，，因为，所以， 因为，所以，则，则排除D. 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数图象与性质的应用，关键是比较各图象的区别，属于基础题． 3．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数为奇函数，排除A；根据函数在只有一个零点，排除C；根据 ，排除D，即可求解. 【详解】由，所以函数为奇函数，排除A； 当时，令，解得，即函数在只有一个零点，排除C； 是单调增函数， ，排除D. 故选：B. 4．（2026·云南·二模）函数的图象大致形如（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案. 【详解】依题意， 为偶函数，则为偶函数， 又，则. 故选A． 5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 【考点8：三角函数图象的综合应用】 1．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确个数为（   ） ① ②函数图象的对称中心为 ③ ④不等式的解集为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象先求出周期，即可求出，利用定义域问题可求出，由特殊点可求出，即；令可求出对称中心，可讨论出，即可解出范围. 【详解】由图象知相邻渐近线为和，间距为，故周期． 时，有，又，解得， 由，得，因此． A选项：由可知，A选项错误； B选项：正切函数的对称中心为，令，得， 即函数图象的对称中心为选项正确. C选项：， 故，C选项正确. D选项：当时，；当时，. 不等式等价于，即， 解得，即，D选项正确． 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）已知函数（，，）的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则的最小值为 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得的解析式，可判定A正确；列出方程，求得的值，可判定B正确；利用三角函数的图象变换，可判定C错误；画出函数与的图象，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数的图象，可得，最小正周期， 则，所以， 又由， 根据五点对应法，可得，所以， 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，即且， 可得且， 因为，不妨设或， 即或， 所以，其中， 当时，，所以B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，所以C不正确； 对于D，画出函数和在上的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数的图象共有4个交点，所以D正确. 3．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据函数最值差、相邻零点距离求出和，再代入已知点坐标求得得到函数解析式； （2）通过分析给定区间内函数的图像特征，数形结合求得方程有三个解时的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，所以， 所以， 又函数图象经过点，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以； （2）因为，所以， 所以，，画出对应的函数图象， ， 方程在区间上有三个解等价于直线与图象有三个不同的交点， 由图可知，所以t的取值范围为 4．（25-26高一下·四川雅安·期末）已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在区间上所有解的和． 【答案】(1) (2) , (3) 【详解】（1）由条件①得. 由条件②知，则，，故. （2）令()，解得， 所以单调递增区间为(). （3），即，，则或()， 解得或，， 在内解为，，，，其和为. 5．（25-26高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若，恒有，求实数的最小值； (3)若，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先由图象最值确定振幅，再代入已知点坐标结合的取值范围求解，最后代入最高点的坐标，结合周期的取值范围确定，即可得到函数的解析式. （2）先求解时的值域，，恒成立等价于在该区间上的最大值与最小值的差不大于，据此可求得的最小值. （3）先求解时的取值范围，通过换元将原不等式转化为二次函数在上的恒成立问题，结合二次函数的图象性质，只需区间端点处函数值小于等于0即可求解的取值范围. 【详解】（1）由题意得，所以．       因为的图象经过点，代入可得或，， 又，所以．          再将代入，可得， 解得，．          设的最小正周期为，观察图象可得，解得， 结合式可得，所以． （2）若，则，， 所以．          要使对任意的，恒有，只需， 即，故的最小值为． （3）若，则，所以．    令，则，，恒成立，等价于，恒成立，             所以 解得，即实数的取值范围为． 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案. 【详解】由可得，， 所以，函数的对称中心的是，. 对于A项，由，可得，故A项错误； 对于B项，由，可得，故B项错误； 对于C项，由，可得，故C项错误； 对于D项，由，可得，故D项正确. 故选：D. 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）若函数是偶函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是偶函数，得到，求得，结合题意，即可求解. 【详解】由题意，函数是偶函数， 根据三角函数的图象与性质，可得，即， 解得， 因为，令，可得. 故选：C. 3．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式. 【详解】由题图可知，且即，所以， 将点的坐标代入函数， 得，即， 因为，所以， 所以函数的表达式为．故选D. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题. 4．（26-27高三上·云南·阶段检测）当时，函数取得最小值，则函数的一个单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析当时，函数取得最小值，即，解得， 所以，从而. A,B,D均是的一个单调递减区间，C是一个增区间 故选：C 考点：三角函数的性质. 【方法点睛】三角函数的一般性质研究：1.周期性：根据公式可求得；2.单调性：令，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间. 5．（26-27高一·全国·课后作业）函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用积化和差公式可将函数化简整理为，由可求得的最大值. 【详解】 ， 即的最大值为. 故选：. 【点睛】本题考查余弦型函数最值的求解问题，关键是能够熟练应用积化和差公式将所给函数化简为余弦型函数的形式. 6．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围. 【详解】因为函数过点， 所以，即，故， 因为，所以，故， 由得，所以的单调递增区间为， 同理：的单调递增区间为， 因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集， 当时，有，解得，即， 又因为，，显然当时，不等式成立，且； 当时，有，解得，即， 又因为，，显然当时，不等式成立，且； 综上：或，即 故选：D. 二、多选题 7．（26-27高一·全国·课后作业）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上是增函数 B．若函数的定义域为，则值域为 C．函数的图象与的图象重合 D．函数在区间上是增函数 【答案】CD 【解析】根据三角函数的奇偶性、单调性、值域，判断ABCE选项的正确性，利用诱导公式判断D选项的正确性. 【详解】A错，时，，所以函数在区间上是减函数，B错，若函数的定义域为，则，其值域为； C正确，，故C正确；D正确，若，则，所以函数在区间上是增函数. 故选：CD 【点睛】本小题主要考查三角函数的性质：奇偶性、单调性和值域等，考查诱导公式的运用，属于基础题. 8．（26-27高一·全国·课后作业）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B． C．的定义域是 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据的图象逐个分析即可. 【详解】对A，画出函数的图象（如图），易得的周期为，取，则是的一个周期，故A正确； 对B，是偶函数，则，故B正确； 对C，易得的定义域是，故C正确； 对D，由图可得点不是函数图象的对称中心，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 9．（25-26高一下·江苏·期中）若函数的图象关于点对称，则实数_______． 【答案】3 【分析】解方程，即得解. 【详解】由题得， 所以 所以. 当时，函数的图象关于点对称. 故答案为：3 10．（2026·山东德州·二模）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则______，若函数在是减函数，则的最大值是______. 【答案】 【解析】将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象，结合诱导公式可求得的值，求得函数的单调递减区间，由属于该区间求得的值，再由区间的包含关系可求得的最大值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象， 则， 又，， 令，解得， 所以，函数的单调递减区间为， 由，可得， 由于函数在区间上单调递减，则， 所以，，解得，则的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题 11．（河南驻马店市华师联盟2027届高三上学期10月质量检测数学试题）已知函数. (1)求函数的最值及相应的值； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)当时，函数取最小值，且最小值为，当时，函数取最大值，且最大值为. (2) 【分析】（1）利用正弦和余弦的二倍角公式，辅助角公式先化简函数，再结合已知条件以及正弦（型）函数的性质求解最值即可； （2）利用正弦（型）函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 由，则， 所以当，即时，函数取最小值，且最小值为； 当，即时，函数取最大值，且最大值为. （2）由， 即， 因为，所以函数的单调递增区间为. 12．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期是，对称轴是，，递增区间为 (2) 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）根据平移可得，再利用整体法结合函数图像求解即可． 【详解】（1）由 ． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． 由， 解得 即 所以的递增区间为； （2）由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 三角函数的图象与性质 【考点1：三角函数的图象】 2 【考点2：三角函数的单调性】 4 【考点3：三角函数的定义域、值域与最值】 5 【考点4：三角函数的奇偶性】 6 【考点5：三角函数的周期性】 8 【考点6：三角函数的对称性】 9 【考点7： 识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）】 10 【考点8：三角函数图象的综合应用】 11 【考点1：三角函数的图象】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）用“五点法”作函数的图象时，需描的点有（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象可由向右平移个单位长度得到 3．（专题2正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质（北师大版高一期中备考）【专题讲解】）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 4．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数. (1)利用“五点法”画出函数在一个周期上的简图； (2)先把的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象；然后把的图 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象；再把的图象 上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到的图象，求的解析式. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数. 0 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）； (2)写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程. 【考点2：三角函数的单调性】 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列函数在上不具有单调性的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·全国·专题练习）在四个函数，，，中以为周期在上单调递增的偶函数是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·广东茂名·开学考试）已知是偶函数，在区间单调递增，则__________． 5．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数的图象关于直线对称． (1)求； (2)设函数，求函数的单调递增区间． 【考点3：三角函数的定义域、值域与最值】 1．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·山东日照·阶段检测）若函数在内存在唯一的，使得，则的取值不可能为（     ） A． B．1 C．2 D． 4．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的最大值为_________. 5．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，求的最大值与最小值． 【考点4：三角函数的奇偶性】 1．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）“函数的图象关于原点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 4．（7.4　正切函数的图像与性质）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（5.4.2正弦、余弦函数的周期性与奇偶性（第1课时）（分层作业））判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【考点5：三角函数的周期性】 1．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）下列函数中最小正周期等于的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为 C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为 4．（25-26高三下·河北·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·天津静海·阶段检测）已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 【考点6：三角函数的对称性】 1．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数的图象关于点对称，则正数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数 ，则（    ） A．的最小正周期为 B．直线 是 图象的一条对称轴 C．将 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于原点对称 D．的图象关于点 对称 4．（26-27高三上·天津·开学考试）若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数在内存在最大值，但不存在最小值. (1)求的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【考点7： 识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）】 1．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江大庆·三模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南·二模）函数的图象大致形如（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【考点8：三角函数图象的综合应用】 1．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确个数为（   ） ① ②函数图象的对称中心为 ③ ④不等式的解集为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）已知函数（，，）的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则的最小值为 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 3．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 4．（25-26高一下·四川雅安·期末）已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在区间上所有解的和． 5．（25-26高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若，恒有，求实数的最小值； (3)若，恒有，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）若函数是偶函数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是 A． B． C． D． 4．（26-27高三上·云南·阶段检测）当时，函数取得最小值，则函数的一个单调递增区间是 A． B． C． D． 5．（26-27高一·全国·课后作业）函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（26-27高一·全国·课后作业）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上是增函数 B．若函数的定义域为，则值域为 C．函数的图象与的图象重合 D．函数在区间上是增函数 8．（26-27高一·全国·课后作业）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B． C．的定义域是 D．的图象关于点对称 三、填空题 9．（25-26高一下·江苏·期中）若函数的图象关于点对称，则实数_______． 10．（2026·山东德州·二模）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则______，若函数在是减函数，则的最大值是______. 四、解答题 11．（河南驻马店市华师联盟2027届高三上学期10月质量检测数学试题）已知函数. (1)求函数的最值及相应的值； (2)求函数的单调递增区间. 12．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $