专题17 整数指数幂、分式方程 同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题17整数指数幂、分式方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.整数指数幂：零指数幂、负整数指数幂定义、整数指数幂运算性质、绝对值小于 1 的正数的科学记数法 2.分式方程：分式方程定义、解分式方程、增根、分式方程无解辨析 3.分式方程应用：列分式方程解应用题，双重检验 ✺学习目标 1.理解零指数幂、负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，能熟练进行相关运算。 2.会用科学记数法表示绝对值小于 1 的正数。 3.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本步骤，能够区分增根与无解，自觉完成检验。 4.能根据实际问题列分式方程，规范求解，并做好方程解与实际意义的双重检验。 ✺题型归纳 题型1.负整数指数幂 题型2.整数指数幂的运算 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型4.还原用科学记数法表示的小数 题型5.分式方程的定义 题型6.解分式方程（化为一元一次） 题型7.根据分式方程解的情况求值 题型8.分式方程无解问题 题型9.列分式方程 题型10.分式方程的行程问题 题型11.分式方程的工程问题 题型12.分式方程的经济问题 题型13.分式方程和差倍分问题 题型14.分式方程的其它实际问题 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点01零指数幂 a0=1(a≠0）。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 知识点02负整数指数幂 一般地，当 n 为正整数时，a-n= (a≠0）。 不等于0的数的负整数次幂，等于这个数正整数次幂的倒数。 知识点03整数指数幂的运算性质 设m,n为整数，a≠0,b≠0： 同底数幂相乘：am ∙an = am+n（m,n是整数） 同底数幂相除：am ÷an = （a≠0，m,n是整数） 幂的乘方：(am)n = amn（m,n是整数） 积的乘方：(ab)n= an bn（n是整数） 分式的乘方：（n是整数） 知识点04绝对值小于 1 的正数的科学记数法 标准格式：a× (1≤a< 10，n为正整数) n取值方法：小数点向右移动至第一个非0数字后，移动位数即为n。 示例：0.000035=3.5×10-5 知识点05分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知数。 知识点06解分式方程 基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 步骤： 1.找出各分母的最简公分母； 2.方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； 3.解得到的整式方程； 4.检验：把整式方程的解代入最简公分母。若最简公分母不为 0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母等于 0，则该解为增根。 知识点07增根与分式方程无解 去分母把分式方程化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程分母为0的根，叫做增根。增根不是原分式方程的解。 分式方程无解包含两种情形： ①整式方程求出的根是增根； ②转化后的整式方程本身无解。 知识点08列分式方程解应用题 审：梳理题意，找出核心等量关系； 设：合理设未知数（优先直接设元）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：按标准步骤解方程； 验：双重检验（方程有效+符合实际意义）； 答：规范书写答案。 ✺题型精讲 题型1.负整数指数幂 1．（   ） A．2 B． C． D． 2．如果可分解为，则__________． 3．计算： (1)； (2)． 题型2.整数指数幂的运算 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 3．计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂： (1)； (2)； (3)． 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 2．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 3．已知一个小立方体的棱长为． (1)这个小立方体的体积为多少立方米？（用科学记数法表示） (2)用多少个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体？ 题型4.还原用科学记数法表示的小数 1．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 3．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 题型5.分式方程的定义 1．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 2．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 题型6.解分式方程（化为一元一次） 1．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 2．在物理并联电路里，支路电阻，与总电阻之间的关系式为，若，用，表示的式子是__________． 3．解方程： (1)． (2)． 题型7.根据分式方程解的情况求值 1．若分式方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．当______时，关于的方程的解为． 3．已知关于x的方程解为正数，求k的取值范围． 题型8.分式方程无解问题 1．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 2．若关于的分式方程无解，则的值为________． 3．下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： (1)小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． (2)请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． (3)根据总结的解题经验，解方程：． 题型9.列分式方程 1．《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A．B． C． D． 2．小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则可列方程为_________． 3．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 题型10.分式方程的行程问题 1．邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 2．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车上学比乘公交车上学所需的时间少15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时行驶千米，则可列方程为__________ 3．七年级的同学组织去公园秋游，从学校出发到相距12千米的公园，可以乘坐大巴或者骑自行车前往，一部分学生骑自行车从学校先出发，过了半小时后，其余学生乘坐大巴车出发，结果他们同时到达公园．假设他们全程都保持匀速前行，且已知大巴车的速度是骑自行车的4倍，请问骑自行车学生的速度为每小时多少千米？ 题型11.分式方程的工程问题 1．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程，当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．若二号施工队单独施工，完成整个工程需要___________天． 3．某市计划对中山公园附近的一段河道进行清淤，安排甲、乙两个工程队共同参与．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？ 题型12.分式方程的经济问题 1．佩戴口罩是有效预防“新冠肺炎”的重要措施之一．某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍．已知A种口罩的单价是B种口罩的1.2倍．设B种口罩单价为x元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 2．新能源汽车作为一种清洁、可持续的交通工具，越来越受到人们的关注和青睐．某小区为加强公共充电基础设施的建设，物业公司计划购买单枪、双枪两种型号的充电桩．已知单枪充电桩比双枪充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等．则单枪型号充电桩的单价是___________万元． 3．下面是嘉淇学习"分式方程的应用"时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 5 元，用 800 元购进甲种商品和用 700 元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的 x 表示 ______（填序号），解法二所列方程中的 x 表示 ______（填序号）； ① 甲种商品每件进价 x 元；    ② 乙种商品每件进价 x 元；    ③ 甲种商品购进 x 件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 题型13.分式方程和差倍分问题 1．传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 2．第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______． 3．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 题型14.分式方程的其它实际问题 1．“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 2．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 3．【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引顾客问题时，发现可以用数学模型量化，其中表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m）；表示购物中心到居民区的距离（单位：）；为常数且 【模型应用】 (1)已知当万时，次，则__________． (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的分式方程有增根，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列用科学记数法表示的算式：①；②；③；④，其中不正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 4．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． 6．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 7．若关于的方程有增根，则的值是___________． 8．某中学拟购进甲、乙两种品牌的无线鼠标给上课的教师使用，咨询得知每个甲品牌无线鼠标的进价比每个乙品牌无线鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌无线鼠标的进价．设该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，可列方程为_______． 三、解答题 9．已知关于的方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 10．观湘超绿茵激战，游福田茶园茶庄，亲手试一把古法炒茶，喝一口清泉香茶，品味零陵山水茶韵！永州市福田茶场是本地特色茶叶生产基地，茶厂的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术．手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．这种结合主要体现在手工炒茶和机器炒茶两种核心工艺上，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和刘厂长（机器炒茶）的对话： 茶农（手工炒茶）：手工每小时炒茶量只有机器的一半，炒80斤茶比机器多花2小时，机器效率更高！ 刘厂长（机器炒茶）：机器虽快，可手工炒茶风味更佳！咱们合作炒制560斤茶叶，机器先单独炒2小时，余下的一起加工． 仔细阅读茶农与刘厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？（设手工炒茶每小时能炒斤） (2)完成刘厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17整数指数幂、分式方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.整数指数幂：零指数幂、负整数指数幂定义、整数指数幂运算性质、绝对值小于 1 的正数的科学记数法 2.分式方程：分式方程定义、解分式方程、增根、分式方程无解辨析 3.分式方程应用：列分式方程解应用题，双重检验 ✺学习目标 1.理解零指数幂、负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，能熟练进行相关运算。 2.会用科学记数法表示绝对值小于 1 的正数。 3.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本步骤，能够区分增根与无解，自觉完成检验。 4.能根据实际问题列分式方程，规范求解，并做好方程解与实际意义的双重检验。 ✺题型归纳 题型1.负整数指数幂 题型2.整数指数幂的运算 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型4.还原用科学记数法表示的小数 题型5.分式方程的定义 题型6.解分式方程（化为一元一次） 题型7.根据分式方程解的情况求值 题型8.分式方程无解问题 题型9.列分式方程 题型10.分式方程的行程问题 题型11.分式方程的工程问题 题型12.分式方程的经济问题 题型13.分式方程和差倍分问题 题型14.分式方程的其它实际问题 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点01零指数幂 a0=1(a≠0）。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 知识点02负整数指数幂 一般地，当 n 为正整数时，a-n= (a≠0）。 不等于0的数的负整数次幂，等于这个数正整数次幂的倒数。 知识点03整数指数幂的运算性质 设m,n为整数，a≠0,b≠0： 同底数幂相乘：am ∙an = am+n（m,n是整数） 同底数幂相除：am ÷an = （a≠0，m,n是整数） 幂的乘方：(am)n = amn（m,n是整数） 积的乘方：(ab)n= an bn（n是整数） 分式的乘方：（n是整数） 知识点04绝对值小于 1 的正数的科学记数法 标准格式：a× (1≤a< 10，n为正整数) n取值方法：小数点向右移动至第一个非0数字后，移动位数即为n。 示例：0.000035=3.5×10-5 知识点05分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知数。 知识点06解分式方程 基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 步骤： 1.找出各分母的最简公分母； 2.方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； 3.解得到的整式方程； 4.检验：把整式方程的解代入最简公分母。若最简公分母不为 0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母等于 0，则该解为增根。 知识点07增根与分式方程无解 去分母把分式方程化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程分母为0的根，叫做增根。增根不是原分式方程的解。 分式方程无解包含两种情形： ①整式方程求出的根是增根； ②转化后的整式方程本身无解。 知识点08列分式方程解应用题 审：梳理题意，找出核心等量关系； 设：合理设未知数（优先直接设元）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：按标准步骤解方程； 验：双重检验（方程有效+符合实际意义）； 答：规范书写答案。 ✺题型精讲 题型1.负整数指数幂 1．（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】依据负指数幂定义，将转化为，再化简分式得到最终数值． 【详解】解：． 2．如果可分解为，则__________． 【答案】 【分析】展开右侧的因式乘积，对比左右多项式对应项系数求解后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）负数的绝对值是它的相反数，按照运算顺序计算即可； （2）完全平方公式：；，按照运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型2.整数指数幂的运算 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 2．计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方，正整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为， ， 根据题意可得， ， ∴， 则破损处“0”的个数为． 2．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 /90000 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 3．已知一个小立方体的棱长为． (1)这个小立方体的体积为多少立方米？（用科学记数法表示） (2)用多少个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体？ 【答案】(1)立方米 (2)个 【分析】本题考查了负整数指数幂、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，熟练掌握负整数指数幂的运算是解题关键． （1）根据负整数指数幂的运算、科学记数法的定义即可得； （2）利用一个大正方体的体积除以一个小立方体的体积即可得． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这个小立方体的体积为立方米． （2）解：∵一个棱长为的大正方体的体积为（立方米）， ∴（个）， 答：用个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体． 题型4.还原用科学记数法表示的小数 1．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：本题答案为1， ， 根据题意可得， ， 所以小数中总共有个“0”， 则破损处“0”的个数为个． 2．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 3．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 题型5.分式方程的定义 1．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 2．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型6.解分式方程（化为一元一次） 1．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程两边同乘，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 检验：将代入，得， 故是原分式方程的解． 2．在物理并联电路里，支路电阻，与总电阻之间的关系式为，若，用，表示的式子是__________． 【答案】 【分析】对给定的并联电阻关系式进行等式变形，将单独整理至等式一侧，用、表示． 【详解】解： 移项得 对右侧分式通分，可得. ， 即 两边同时取倒数，得． 3．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解； （2）解：方程两边同乘，得， ， ， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 题型7.根据分式方程解的情况求值 1．若分式方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入原分式方程，转化为关于的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入原方程，得， 解得. 2．当______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先把代入方程，求出的值，然后检验即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得， 经检验是方程的解， ∴． 3．已知关于x的方程解为正数，求k的取值范围． 【答案】且 【详解】解：去分母得， ， ∵关于x的方程解为正数， ，， ，且， 且． 题型8.分式方程无解问题 1．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】分式方程无解分两类：去分母后的整式方程无解，或整式方程的解为原方程的增根. 本题整式方程为一元一次方程必有解，只需考虑增根情况． 【详解】解：方程两边同乘（），得， 整理得，即， 原分式方程无解， 是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 2．若关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】 或1 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，结合分式方程无解的两类情形（整式方程无实根、整式方程的解为原方程的增根）计算对应值． 【详解】解：∵ 原分式方程的分母不能为0， ∴ 原方程的隐含取值限制为． 将原方程两边同乘（满足）去分母，得 整理得． 分两种情况讨论方程无解的条件： 当，即时，整式方程变为，无实数解，此时原分式方程无解． 当，即时，解得整式方程的解为． ∵ 原分式方程无解． ∴ 该解为原方程的增根，即． 代入得． 解得． 经检验，时，会使原方程分母为0，是增根，原方程无解． 综上，满足条件的值为或1． 3．下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： (1)小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． (2)请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． (3)根据总结的解题经验，解方程：． 【答案】(1)②；增根 (2)解分式方程必须检验 (3) 【分析】（1）由分式方程的解法步骤分析题中解答，再结合分式方程增根定义求解即可； （2）解分式方程最关键的步骤是验根，据此提出一条即可； （3）由分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料中的分式方程解法步骤知不是原方程的根，而是去分母后所得整式方程②的根；由增根定义可知是原分式方程的增根； （2）略 （3）解：， 整理得， 方程的两边同乘，得：， 解得， 检验：将代入原方程，得左边，右边，左边右边， 是原分式方程的根． 题型9.列分式方程 1．《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别表示出快、慢马的速度，再根据快马速度是慢马速度的倍列方程即可． 【详解】解：∵规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多2天，快马所需时间比规定时间少3天， ∴慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵总路程为900里， ∴慢马速度为，快马速度为， ∵快马速度是慢马速度的2倍， ∴． 2．小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则第二次购买每盒（元/盒），根据第二次比第一次多买2盒列出分式方程即可． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则第二次购买每盒（元/盒）， 根据题意可得出． 3．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】(1)，，． (2)A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 【分析】本题考查分式方程的应用，准确的表示A，B两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为：， 故答案为：，，； （2）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 题型10.分式方程的行程问题 1．邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设淇淇每分钟行x米，则嘉嘉每分钟行米，根据时间等于路程除以速度，结合环行完嘉嘉比淇淇少用分钟列方程即可． 【详解】解：设淇淇每分钟行x米，则嘉嘉每分钟行米， 由题意得，． 2．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车上学比乘公交车上学所需的时间少15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时行驶千米，则可列方程为__________ 【答案】 【分析】统一时间单位，结合路程、速度、时间的关系，依据两种出行方式的时间差建立等量关系列方程． 【详解】解：∵ 速度单位为千米/小时，需将时间单位统一为小时． ∴ 15分钟小时小时． 设乘公交车平均每小时行驶千米，则电动汽车平均每小时行驶千米， 根据时间路程速度， 可得乘公交车上学所需时间为小时，乘电动汽车上学所需时间为小时， ∵ 乘电动汽车比乘公交车少用小时． ∴所列方程为． 3．七年级的同学组织去公园秋游，从学校出发到相距12千米的公园，可以乘坐大巴或者骑自行车前往，一部分学生骑自行车从学校先出发，过了半小时后，其余学生乘坐大巴车出发，结果他们同时到达公园．假设他们全程都保持匀速前行，且已知大巴车的速度是骑自行车的4倍，请问骑自行车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】 骑自行车学生的速度为每小时18千米 【分析】以自行车与大巴行驶相同路程的时间差为等量关系，结合速度倍数关系列分式方程求解； 【详解】解：设骑自行车学生的速度为千米/小时，则大巴车的速度为千米/小时， 由题意得 ， 解得， 检验：当时，，是原方程的解，且符合实际意义， 答：骑自行车学生的速度为每小时18千米． 题型11.分式方程的工程问题 1．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以原计划工作时间减实际工作时间等于30天为等量关系列方程． 【详解】解：∵原计划每天绿化面积为万平方米，实际工作效率比原计划提高， ∴实际每天绿化面积为万平方米， 原计划工作时间为天，实际工作时间为天， ∵提前30天完成任务， ∴可得方程． 2．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程，当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．若二号施工队单独施工，完成整个工程需要___________天． 【答案】60 【分析】将整个工程总量看作单位，可得一号施工队的工作效率为，设二号施工队单独完成需要天，根据总工作量为列分式方程求解即可． 【详解】解：设二号施工队单独施工，完成整个工程需要天，将整个工程总量看作单位． ∵一号施工队单独完成整个工程需要天， ∴一号施工队的工作效率为，二号施工队的工作效率为． 原计划天完成，一号施工队已经工作天，要求比原计划提前天完成，因此剩余工程中两队合作的天数为天． 根据总工作量为，可列方程： ， 整理方程得： ， ， 交叉相乘解得． 经检验，是原分式方程的解，符合实际意义． ∴二号施工队单独施工，完成整个工程需要天． 3．某市计划对中山公园附近的一段河道进行清淤，安排甲、乙两个工程队共同参与．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？ 【答案】甲队每天清淤河道米，乙队每天清淤河道米 【分析】设乙队每天清淤的河道长度为米，则甲队每天清淤的河道长度为米，由题中等量关系列出分式方程求解即可． 【详解】解：设乙队每天清淤的河道长度为米，则甲队每天清淤的河道长度为米， ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ， 答：甲队每天清淤河道米，乙队每天清淤河道米． 题型12.分式方程的经济问题 1．佩戴口罩是有效预防“新冠肺炎”的重要措施之一．某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍．已知A种口罩的单价是B种口罩的1.2倍．设B种口罩单价为x元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍，可以得到购买A种口罩的费用和购买B种口罩的费用，再根据A种口罩数量+B种口罩数量，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：∵某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍， ∴购买A种口罩的费用是2000元，购买B种口罩的费用是1000元， 由题意可得，． 2．新能源汽车作为一种清洁、可持续的交通工具，越来越受到人们的关注和青睐．某小区为加强公共充电基础设施的建设，物业公司计划购买单枪、双枪两种型号的充电桩．已知单枪充电桩比双枪充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等．则单枪型号充电桩的单价是___________万元． 【答案】 【分析】设单枪型号充电桩的单价为万元，则双枪充电桩的单价为万元，根据“用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等”建立分式方程求解． 【详解】解：设单枪型号充电桩的单价为万元，则双枪充电桩的单价为万元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：单枪型号充电桩的单价是万元． 3．下面是嘉淇学习"分式方程的应用"时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 5 元，用 800 元购进甲种商品和用 700 元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的 x 表示 ______（填序号），解法二所列方程中的 x 表示 ______（填序号）； ① 甲种商品每件进价 x 元；    ② 乙种商品每件进价 x 元；    ③ 甲种商品购进 x 件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，③ (2)解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为35元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为35元． 【分析】（1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据题意建立方程求解即可； 解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多5元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， （2） 略 题型13.分式方程和差倍分问题 1．传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 【答案】D 【详解】解：制作1个卯构件需圆木，故选项A错误； ，， 根据题意列方程得， 故选项B、C错误； 解方程得， 故选项D正确． 2．第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______． 【答案】 【分析】设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆，再利用“时间等于下载总量除以下载速度”分别表示出两种下载方式的用时，最后根据时间差为140秒列出方程． 【详解】解：设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆， 由题意可得：． 3．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 【答案】A型机器人每小时搬运90原料 【分析】设A型机器人每小时搬运x原料．根据“A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x原料． 根据题意，得． 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 答：A型机器人每小时搬运90原料． 题型14.分式方程的其它实际问题 1．“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 【答案】C 【分析】根据方程中常数项6的实际意义，判断分式表示的量，推导x的含义． 【详解】解：方程中常数6为人数，故与均表示人数， 由总费用与每人分摊费用、人数的关系，可知x和表示每人分摊的车费， ∵实际每名同学比原来多分摊10元， ∴为实际每人分摊的车费，x为原来每人分摊的车费． 2．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 【答案】2 【分析】设改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨，根据“20吨水改造后比原来多用5天”的等量关系列分式方程求解即可； 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 3．【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引顾客问题时，发现可以用数学模型量化，其中表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m）；表示购物中心到居民区的距离（单位：）；为常数且 【模型应用】 (1)已知当万时，次，则__________． (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离． 【答案】(1)80 (2)甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 解得； （2）解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为，已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此，， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意． 2．若关于x的分式方程有增根，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先去分母化为一元整式方程，再根据增根的定义求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入上述整式方程，得， 化简得， 解得． 3．下列用科学记数法表示的算式：①；②；③；④，其中不正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ， 为整数，根据规则确定每个式子的和即可判断正误． 【详解】解：，，，， ∴不正确的有②③④，共3个． 4．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物，根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，建立方程即可． 【详解】解：设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物， 根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，得． 二、填空题 5．把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，分式的除法法则和乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 6．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 【答案】 且 【分析】先通过去分母解分式方程得到用表示的，再结合解为正数、分式方程分母不为0的限制条件列不等式，排除增根对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为，分式有意义的条件为，即， ∴方程两边同乘最简公分母去分母，得， ∴整理得整式方程的解为， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程的解不能为增根，即， ∴， 解得， ∴综合可得的取值范围为且． 7．若关于的方程有增根，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的可能值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程的最简公分母为，且方程有增根， ∴，解得， 原方程可整理为， 方程两边同时乘（）得， ∵是去分母后整式方程的根， ∴将代入整式方程，得，解得． 8．某中学拟购进甲、乙两种品牌的无线鼠标给上课的教师使用，咨询得知每个甲品牌无线鼠标的进价比每个乙品牌无线鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌无线鼠标的进价．设该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，可列方程为_______． 【答案】 【分析】由该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，得购买甲品牌无线鼠标的进价为元/个，再结合“用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个”列出分式方程即可． 【详解】解：由该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，得购买甲品牌无线鼠标的进价为元/个． 根据题意，得． 三、解答题 9．已知关于的方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) 原分式方程的解为 (2) 的值为 【分析】（1）代入，将分式方程转化为整式方程求解，检验后得解； （2）根据增根的定义确定增根，代入整式方程求得的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 两边同乘，得， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． （2）解：∵增根是使分式方程分母为0的根， ∴令，，得增根为， 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， ， ∴当方程产生增根时，的值为． 10．观湘超绿茵激战，游福田茶园茶庄，亲手试一把古法炒茶，喝一口清泉香茶，品味零陵山水茶韵！永州市福田茶场是本地特色茶叶生产基地，茶厂的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术．手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．这种结合主要体现在手工炒茶和机器炒茶两种核心工艺上，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和刘厂长（机器炒茶）的对话： 茶农（手工炒茶）：手工每小时炒茶量只有机器的一半，炒80斤茶比机器多花2小时，机器效率更高！ 刘厂长（机器炒茶）：机器虽快，可手工炒茶风味更佳！咱们合作炒制560斤茶叶，机器先单独炒2小时，余下的一起加工． 仔细阅读茶农与刘厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？（设手工炒茶每小时能炒斤） (2)完成刘厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【答案】(1)手工炒茶每小时能炒20斤 (2)两人合作了8小时 【分析】（1）根据“手工效率是机器一半”来设未知数，利用“同样80斤，手工用时-机器用时=2小时”列分式方程． （2）先算出机器单独先做的工作量，用总量减去先做的量得到合作工作量，再求两者效率之和，“合作工作量÷合作效率=合作时间”求解． 【详解】（1）解：设手工炒茶每小时能炒斤， 根据题意得 解得 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：手工炒茶每小时能炒20斤． （2）解：由（1）得手工炒茶每小时能炒20斤，机器炒茶每小时能炒斤， 根据题意得 （小时）． 答：完成刘厂长提出的合作订单，两人合作了8小时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $