专题11 整数指数幂与分式方程 复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题11整数指数幂与分式方程复习讲义 1.理解负整数指数幂的意义，牢记公式 a-p=(a0)；掌握整数指数幂的运算法则，知道正整数指数幂的运算性质对整数指数幂仍然适用，能熟练进行整数指数幂的计算。 2.会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，能在科学记数法和小数之间互相转化。 理解分式方程的定义，能够区分分式方程和整式方程。 3.掌握分式方程的求解步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、检验；理解增根产生的原因，明白检验是分式方程必不可少的步骤。 4.会根据分式方程的解、增根、无解情况求参数的值或者取值范围。 5.能够列分式方程解决实际应用题，找准等量关系，解完之后既要检验是不是方程的根，还要检验是否符合实际意义。 6.熟悉常见易错点：忘记检验、去分母时漏乘不含分母的项、忽略分母不为 0 的限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 负整数指数幂 ★ 题型二 整数指数幂的运算 ★★ 题型三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型四 还原用科学记数法表示的小数 ★ 题型五 分式方程的定义 ★ 题型六 解分式方程 ★★ 题型七 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型八 分式方程无解问题 ★★★ 题型九 列分式方程 ★★ 题型十 分式方程的行程问题 ★★★ 题型十一 分式方程的工程问题 ★★★ 题型十二 分式方程的经济问题 ★★★ 题型十三 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十四 分式方程的其它实际问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 整数指数幂 1.正整数指数幂基础法则 设a≠0，b≠0，m、n为正整数 运算类型 运算法则 举例 同底数幂相乘 aman=am+n x3 x4=x7 同底数幂相除 am÷an=am−n x8 x2=x6 幂的乘方 (am)n=amn (x2)4=x8 积的乘方 (ab)n=anbn (2xy)2=4x2y2 分式乘方 ()n= ()3= 2.零指数幂 规定a0=1，限制条件a≠0，00无数学意义； 3.负整数指数幂 核心规则：a-p=（a≠0，p为正整数），指数随分数线上下移动互换正负。 易混对比表 原式 正确化简 典型错误 y-2 -y2 2x-1 (2x)-1 (-4)-2 - 4.通用整数指数运算法则 五条法则对正、零、负整数全部适用： 知识点02：小于 1 的小数科学记数法 数值范围 标准形式 n取值规则 示例 大于等于 10 a×10n n正整数 4500=4.5×103 0<数值<1 a×10-n n正整数 0.0045=4.5×10-3 判定方法：小数点右移至首个非零数字，移动位数为n；混合运算分开计算系数与 10 的幂。 知识点 03 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 方程类型 判断标准 举例 整式方程 分母不含未知数 2x+1=5、-1=0 分式方程 分母含有未知数 =2、=3 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 04 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点05 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4.无解两种情况对比 无解分类 判定条件 实例 存在增根 整式方程有解，但解为增根 整式方程矛盾无解 化简后出现0×未知数 = 常数 专题06分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.应用题核心等量关系 题型 基础公式 行程 时间 = 路程 ÷ 速度 工程 工作时间 = 工作总量 ÷ 效率（总量常设 1） 销售 数量 = 总金额 ÷ 单价 浓度 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液总质量 储蓄问题 本息和 = 本金 + 利息 . 和差被分问题 A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 题型一、负整数指数幂 1．计算的值为（     ） A． B．5 C． D．0 2．计算：_____________． 3．下列计算；；；，其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型二、整数指数幂的运算 4．计算：______． 5．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂） 6．计算a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣2正确的结果是（   ） A． B． C．a6b6 D． 题型三、用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 7．氢气被誉为“21世纪终极能源”，是一种二次清洁能源，主要应用于动力汽车、燃料电池等领域．一个氢原子的半径约为，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 8．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 9．在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 题型四、还原用科学记数法表示的小数 10．一种微粒的半径是m，将用小数表示应为（     ） A． B． C． D． 11．我国现已能研制出直径为m的碳纳米管，则对应的原数为（     ） A． B． C． D． 12．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型五、分式方程的定义 13．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C．D． 14．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 15．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 题型六、解分式方程 16．方程的解是（     ） A． B． C． D． 17．方程的解为______________． 18．对于实数，定义一种新运算“”，，这里等式的右边是实数运算，按此规定，则方程的解是___________． 题型七、根据分式方程解的情况求值 19．若关于x的分式方程有增根，则k的值为________． 20．关于x的分式方程有增根，则增根________；________． 21．若关于的分式方程有解，则a的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．且 题型八、分式方程无解问题 22．若关于的分式方程有增根，则这个增根为（     ） A． B． C． D． 23．若方程无解，则的值为________． 24．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 题型九、列分式方程 25．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树x棵，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 26．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为_____． 27．一家工艺品厂每天按计件方式结算工资．暑假里，大学生小华去这家工艺品厂打工，第一天得到的工资为120元．第二天小华比第一天多做10件，得到工资150元．设小华第一天做了x件，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十、分式方程的行程问题 28．一辆油电混合动力汽车从地到地，若纯燃油行驶时，所需费用为76元；若纯电行驶时，所需费用为26元．如果每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，则从地到地的距离为______千米． 29．邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 30．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下来时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”．乙同学说，“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？甲、乙分别用时多少？ 题型十一、分式方程的工程问题 31．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程，当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．若二号施工队单独施工，完成整个工程需要___________天． 32．2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 33．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 题型十二、分式方程的经济问题 34．新能源汽车作为一种清洁、可持续的交通工具，越来越受到人们的关注和青睐．某小区为加强公共充电基础设施的建设，物业公司计划购买单枪、双枪两种型号的充电桩．已知单枪充电桩比双枪充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等．则单枪型号充电桩的单价是___________万元． 35．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 36．“双十一”前夕，某商场用元购进某款电动玩具销售．由于销售良好，过了一段时间，商场又用元购进这款玩具，所购数量是第一次购进数量的倍，但每件价格比第一次购进贵了元． (1)求该商场第一次购进这款玩具多少件？ (2)在（1）的条件下，设该商场两次购进的玩具按相同的标价销售，最后剩下的件玩具按标价的六折再销售，若两次购进的玩具全部售完，且使利润不低于元，则每件玩具的标价至少是多少元？ 题型十三、分式方程和差倍分问题 37．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 38．传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 39．2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 题型十四、分式方程的其它实际问题 40．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 41．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 42．列方程解应用题： 国庆节期间，“新韵重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小凤和小钟相约在无人机最佳观赏地长嘉汇摆摊卖气球．已知售卖2个水母气球和4个爱心气球共78元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． (1)求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ (2)小凤和小钟两人国庆节当天去长嘉汇售卖，已知小凤平均每小时售卖的数量是小钟平均每小时售卖数量的1.5倍．若两人各卖168个气球，小凤比小钟少用2小时，求小凤、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 解答题 43．计算：． 44．解分式方程： (1)； (2)． 45．已知关于的方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 46．某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． (1)据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ (2)甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 47．深州蜜桃是河北省深州市的特产，为中国国家地理标志产品，某蜜桃产销基地有甲、乙两个包装小组，甲组包装箱蜜桃与乙组包装箱蜜桃所用时间相等，乙组每天比甲组多包装箱，求甲组每天包装蜜桃的箱数．下面是嘉嘉和淇淇的解答过程： 嘉嘉的解答（全部）： 解：设甲组每天包装蜜桃x箱． 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：甲组每天包装蜜桃箱． 淇淇的解答（部分）： 解：设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天． (1)批阅过程中，嘉嘉被扣分了，你认为他被扣分的主要原因是 ； (2)批阅过程中，淇淇得到了满分，请在下面写出淇淇的解答过程． 48．十月，正是大闸蟹最肥美的时节．某水产商行从养殖基地购进一批大闸蟹，已知购买只母蟹和只公蟹共花费元；购买只母蟹和只公蟹共花费元． (1)求购买只母蟹和只公蟹的价格分别为多少元？ (2)某水产商行计划追加采购一批母蟹和公蟹，恰好养殖基地开展促销活动：母蟹每只降价元，公蟹每只降价元．在养殖基地用元购买母蟹的数量与用元购买公蟹的数量相同，求的值． 49．某手工社团开展纸艺作品制作活动，已知折叠型纸花比折叠型纸花平均每小时少做个，折叠个型纸花所用的时间，是折叠个型纸花所用时间的倍． (1)求平均每小时分别折叠型纸花和型纸花多少个？ (2)若社团安排名同学参与，要求每小时至少完成个纸艺作品，每名同学每小时只能做一种纸艺作品，则最多安排多少名同学来折叠型纸花？ 50．【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引顾客问题时，发现可以用数学模型量化，其中表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m）；表示购物中心到居民区的距离（单位：）；为常数且 【模型应用】 (1)已知当万时，次，则__________． (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11整数指数幂与分式方程复习讲义 1.理解负整数指数幂的意义，牢记公式 a-p=(a0)；掌握整数指数幂的运算法则，知道正整数指数幂的运算性质对整数指数幂仍然适用，能熟练进行整数指数幂的计算。 2.会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，能在科学记数法和小数之间互相转化。 理解分式方程的定义，能够区分分式方程和整式方程。 3.掌握分式方程的求解步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、检验；理解增根产生的原因，明白检验是分式方程必不可少的步骤。 4.会根据分式方程的解、增根、无解情况求参数的值或者取值范围。 5.能够列分式方程解决实际应用题，找准等量关系，解完之后既要检验是不是方程的根，还要检验是否符合实际意义。 6.熟悉常见易错点：忘记检验、去分母时漏乘不含分母的项、忽略分母不为 0 的限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 负整数指数幂 ★ 题型二 整数指数幂的运算 ★★ 题型三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型四 还原用科学记数法表示的小数 ★ 题型五 分式方程的定义 ★ 题型六 解分式方程 ★★ 题型七 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型八 分式方程无解问题 ★★★ 题型九 列分式方程 ★★ 题型十 分式方程的行程问题 ★★★ 题型十一 分式方程的工程问题 ★★★ 题型十二 分式方程的经济问题 ★★★ 题型十三 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十四 分式方程的其它实际问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 整数指数幂 1.正整数指数幂基础法则 设a≠0，b≠0，m、n为正整数 运算类型 运算法则 举例 同底数幂相乘 aman=am+n x3 x4=x7 同底数幂相除 am÷an=am−n x8 x2=x6 幂的乘方 (am)n=amn (x2)4=x8 积的乘方 (ab)n=anbn (2xy)2=4x2y2 分式乘方 ()n= ()3= 2.零指数幂 规定a0=1，限制条件a≠0，00无数学意义； 3.负整数指数幂 核心规则：a-p=（a≠0，p为正整数），指数随分数线上下移动互换正负。 易混对比表 原式 正确化简 典型错误 y-2 -y2 2x-1 (2x)-1 (-4)-2 - 4.通用整数指数运算法则 五条法则对正、零、负整数全部适用： 知识点02：小于 1 的小数科学记数法 数值范围 标准形式 n取值规则 示例 大于等于 10 a×10n n正整数 4500=4.5×103 0<数值<1 a×10-n n正整数 0.0045=4.5×10-3 判定方法：小数点右移至首个非零数字，移动位数为n；混合运算分开计算系数与 10 的幂。 知识点 03 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 方程类型 判断标准 举例 整式方程 分母不含未知数 2x+1=5、-1=0 分式方程 分母含有未知数 =2、=3 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 04 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点05 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4.无解两种情况对比 无解分类 判定条件 实例 存在增根 整式方程有解，但解为增根 整式方程矛盾无解 化简后出现0×未知数 = 常数 专题06分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.应用题核心等量关系 题型 基础公式 行程 时间 = 路程 ÷ 速度 工程 工作时间 = 工作总量 ÷ 效率（总量常设 1） 销售 数量 = 总金额 ÷ 单价 浓度 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液总质量 储蓄问题 本息和 = 本金 + 利息 . 和差被分问题 A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 题型一、负整数指数幂 1．计算的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】C 【分析】根据（，为正整数）解答即可． 【详解】解：． 2．计算：_____________． 【答案】 【详解】解：． 3．下列计算；；；，其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，提取公因式计算幂的加法，逐一验证每个式子即可得到正确的个数． 【详解】解：根据零指数幂运算法则，任何非零数的次幂等于，判断： ∵ ，∴错误； 根据负整数指数幂运算法则，，判断： ∵，∴错误； 判断：∵ ， ∴错误； 提取公因式判断：∵， ∴正确； 综上所述，只有个计算正确． 题型二、整数指数幂的运算 4．计算：______． 【答案】 【分析】根据根据积的乘方的运算法则，可得到，再根据单项式的除法法则以及负整数指数幂的运算法则可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，单项式的除法法则，负整数指数幂的运算法则等知识点，熟记和灵活应用公式是解决问题的关键． 5．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂） 【答案】/ 【详解】解：原式． 6．计算a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣2正确的结果是（   ） A． B． C．a6b6 D． 【答案】B 【分析】根据负整数指数幂，积的乘方，同底数幂的乘法，进行幂的混合运算即可求解． 【详解】解：原式＝， 故选B. 【点睛】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型三、用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 7．氢气被誉为“21世纪终极能源”，是一种二次清洁能源，主要应用于动力汽车、燃料电池等领域．一个氢原子的半径约为，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：． 8．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 /90000 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 9．在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 先化简分式，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 题型四、还原用科学记数法表示的小数 10．一种微粒的半径是m，将用小数表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将用小数表示应为． 11．我国现已能研制出直径为m的碳纳米管，则对应的原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 12．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：本题答案为1， ， 根据题意可得， ， 所以小数中总共有个“0”， 则破损处“0”的个数为个． 题型五、分式方程的定义 13．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 14．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】解：（1）； （2）； （3）+x＝都符合整式方程的定义； （4）+1＝x属于分式方程. 故选：C. 【点睛】本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键． 15．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 题型六、解分式方程 16．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 17．方程的解为______________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验分母是否为0即可得到结果． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：把代入，得 因此是原方程的解． 18．对于实数，定义一种新运算“”，，这里等式的右边是实数运算，按此规定，则方程的解是___________． 【答案】 【分析】根据新定义得出分式方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ， 去分母得：， 解得：， 经检验是方程的解， 原方程的解为． 题型七、根据分式方程解的情况求值 19．若关于x的分式方程有增根，则k的值为________． 【答案】3 【分析】分式方程的增根是使分式分母为零，且是分式方程化为整式方程后的根，先确定增根的值，再将增根代入所得整式方程即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 令分母，得，因此该分式方程的增根为， 方程两边同乘最简公分母，得 将增根代入上述整式方程，得 解得． 20．关于x的分式方程有增根，则增根________；________． 【答案】 【分析】分式方程有增根，则增根使原方程分母为零，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程的增根使原方程分母为零，原方程分母为， ∴令，得增根． 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵原方程的增根为， ∴将代入得 解得． 21．若关于的分式方程有解，则a的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】从分式方程有解的两个条件入手，先化为整式方程再求解． 【详解】解：原方程可化为． 去分母得． 去括号得． 移项、合并同类项得． ∵分式方程有解， ∴，且． 当时，． 将代入，得，解得． ∴且． 题型八、分式方程无解问题 22．若关于的分式方程有增根，则这个增根为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 分式方程的增根会使分式的分母为，该分式方程的分母为， ∴ 令，解得， ∴这个增根为． 23．若方程无解，则的值为________． 【答案】 【分析】分式方程无解说明方程产生增根，增根使原方程分母为零，先将分式方程化为整式方程，再代入增根计算的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得整理得， ∵原分式方程无解， ∴原方程的分母为零，即增根为，解得， 把代入， 得， 解得． 24．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程，再得出分式方程的增根，则可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 题型九、列分式方程 25．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树x棵，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵． ∵总植树棵数为棵， ∴原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天． ∵实际比原计划提前天完成任务，即实际时间等于原计划时间减， ∴可得方程． 26．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，先根据已知条件分别表示出总费用均为100元时，电动汽车和燃油车的行驶路程，再根据电动汽车行驶总路程是燃油车的9倍这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， 可得燃油车平均每公里的加油费为元， 100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里， 100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里， 由电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， 可得方程． 故答案为． 27．一家工艺品厂每天按计件方式结算工资．暑假里，大学生小华去这家工艺品厂打工，第一天得到的工资为120元．第二天小华比第一天多做10件，得到工资150元．设小华第一天做了x件，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计件结算工资时每件工资的单价不变，根据两天的单件工资相等即可列出方程. 【详解】解：设小华第一天做了件，第二天比第一天多做10件， ∴第二天做的件数为件， 因此可得方程. 题型十、分式方程的行程问题 28．一辆油电混合动力汽车从地到地，若纯燃油行驶时，所需费用为76元；若纯电行驶时，所需费用为26元．如果每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，则从地到地的距离为______千米． 【答案】 【分析】设A地到B地的距离为未知数，根据每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元建立等量关系，列分式方程求解即可． 【详解】解：设从地到地的距离为千米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴从地到地的距离为千米． 29．邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设淇淇每分钟行x米，则嘉嘉每分钟行米，根据时间等于路程除以速度，结合环行完嘉嘉比淇淇少用分钟列方程即可． 【详解】解：设淇淇每分钟行x米，则嘉嘉每分钟行米， 由题意得，． 30．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下来时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”．乙同学说，“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？甲、乙分别用时多少？ 【答案】乙同学获胜，甲用时26秒，乙用时24秒 【分析】设甲同学用时x秒，则乙同学用时秒，根据甲的速度是乙的倍列方程求解即可． 【详解】解：设甲同学用时x秒，则乙同学用时秒， 根据题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意． ∴乙同学所用的时间为（秒）． ∵， ∴乙同学获胜． 答：乙同学获胜，甲用时26秒，乙用时24秒． 题型十一、分式方程的工程问题 31．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程，当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．若二号施工队单独施工，完成整个工程需要___________天． 【答案】60 【分析】将整个工程总量看作单位，可得一号施工队的工作效率为，设二号施工队单独完成需要天，根据总工作量为列分式方程求解即可． 【详解】解：设二号施工队单独施工，完成整个工程需要天，将整个工程总量看作单位． ∵一号施工队单独完成整个工程需要天， ∴一号施工队的工作效率为，二号施工队的工作效率为． 原计划天完成，一号施工队已经工作天，要求比原计划提前天完成，因此剩余工程中两队合作的天数为天． 根据总工作量为，可列方程： ， 整理方程得： ， ， 交叉相乘解得． 经检验，是原分式方程的解，符合实际意义． ∴二号施工队单独施工，完成整个工程需要天． 32．2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到等量关系，列出分式方程． 【详解】解：计划每天分装份，计划完成时间为天， 实际效率提升，则实际每天分装份，实际完成时间为天， ∵实际提前2天完成， ∴． 33．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 题型十二、分式方程的经济问题 34．新能源汽车作为一种清洁、可持续的交通工具，越来越受到人们的关注和青睐．某小区为加强公共充电基础设施的建设，物业公司计划购买单枪、双枪两种型号的充电桩．已知单枪充电桩比双枪充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等．则单枪型号充电桩的单价是___________万元． 【答案】 【分析】设单枪型号充电桩的单价为万元，则双枪充电桩的单价为万元，根据“用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等”建立分式方程求解． 【详解】解：设单枪型号充电桩的单价为万元，则双枪充电桩的单价为万元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：单枪型号充电桩的单价是万元． 35．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴，因此正确选项为B． 36．“双十一”前夕，某商场用元购进某款电动玩具销售．由于销售良好，过了一段时间，商场又用元购进这款玩具，所购数量是第一次购进数量的倍，但每件价格比第一次购进贵了元． (1)求该商场第一次购进这款玩具多少件？ (2)在（1）的条件下，设该商场两次购进的玩具按相同的标价销售，最后剩下的件玩具按标价的六折再销售，若两次购进的玩具全部售完，且使利润不低于元，则每件玩具的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该商场第一次购进这款玩具件． (2)每件玩具的标价至少是100元． 【分析】（1）设该商场第一次购进这款玩具x件，则第二次购进这款玩具件，根据两次购得的单价的差值为2元列出分式方程； （2）设每件玩具的标价为y元，根据利润不低于元列出不等式并解答． 【详解】（1）解∶设该商场第一次购进这款玩具x件，则第二次购进这款玩具件，依题意得 ， 解得， 经检验： 是原方程的解． 即该商场第一次购进这款玩具件． （2）解：由（1），可得该商场第一次购进这款玩具件， 则第二次购进这款玩具（件）， 设每件玩具的标价为y元， 则， 解得， 即每件玩具的标价至少是元． 题型十三、分式方程和差倍分问题 37．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【答案】 【分析】设洋槐一天单位面积固碳量是x克，根据题意列出分式方程求解即可 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 所以洋槐一天单位面积固碳量是克． 38．传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 【答案】D 【详解】解：制作1个卯构件需圆木，故选项A错误； ，， 根据题意列方程得， 故选项B、C错误； 解方程得， 故选项D正确． 39．2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 【答案】A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元 【分析】设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元，根据等量关系：用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等，列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元， 依题意，得：， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； 题型十四、分式方程的其它实际问题 40．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 【答案】22 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，再根据“一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． 由题意得：． 方程两边同时乘以，得： ． 化简得：． 移项得：． 即． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 即一片国槐树叶一年的平均滞尘量为． 故答案为：22． 41．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 42．列方程解应用题： 国庆节期间，“新韵重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小凤和小钟相约在无人机最佳观赏地长嘉汇摆摊卖气球．已知售卖2个水母气球和4个爱心气球共78元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． (1)求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ (2)小凤和小钟两人国庆节当天去长嘉汇售卖，已知小凤平均每小时售卖的数量是小钟平均每小时售卖数量的1.5倍．若两人各卖168个气球，小凤比小钟少用2小时，求小凤、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 【答案】(1)水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元 (2)小凤、小钟两个人平均每小时各卖出42个、28个气球 【分析】（1）设水母气球的单价为元，爱心气球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设小钟平均每小时卖出个气球，则小凤平均每小时卖出个气球，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设水母气球的单价为元，爱心气球的单价为元． 根据题意列二元一次方程组得，，解得． 答：水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元； （2）解：设小钟平均每小时卖出个气球，则小凤平均每小时卖出个气球， 根据题意列分式方程得，，解得． 经检验是原方程的解， 当时，（个） 答：小凤、小钟两个人平均每小时各卖出42个、28个气球． 解答题 43．计算：． 【答案】 【分析】分别计算负整数指数幂、算术平方根、立方根、零指数幂，再按有理数加减法则计算结果． 【详解】解： ． 44．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【详解】（1）解：原方程变形为， 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解． （2）解：原方程变形为． 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解． 45．已知关于的方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) 原分式方程的解为 (2) 的值为 【分析】（1）代入，将分式方程转化为整式方程求解，检验后得解； （2）根据增根的定义确定增根，代入整式方程求得的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 两边同乘，得， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． （2）解：∵增根是使分式方程分母为0的根， ∴令，，得增根为， 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， ， ∴当方程产生增根时，的值为． 46．某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． (1)据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ (2)甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 【答案】(1)去年有万人报名参赛，今年有万人报名参赛 (2)甲的平均速度是公里/小时，乙的平均速度是公里/小时 【分析】（1）设去年有万人报名参赛，则今年有万人报名参赛，根据“今年与去年共有6.5万人参赛”列方程，求出答案； （2）设乙的平均速度是公里/小时，则甲的平均速度是公里/小时，根据“乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍”列方程，求出答案． 【详解】（1）解：设去年有万人报名参赛，则今年有万人报名参赛， 由题意得，， 解得， ∴（万人）， 答：去年有万人报名参赛，今年有万人报名参赛； （2）解：设乙的平均速度是公里/小时，则甲的平均速度是公里/小时， 由题意得，， 整理得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴（公里/小时）， 答：甲的平均速度是公里/小时，乙的平均速度是公里/小时． 47．深州蜜桃是河北省深州市的特产，为中国国家地理标志产品，某蜜桃产销基地有甲、乙两个包装小组，甲组包装箱蜜桃与乙组包装箱蜜桃所用时间相等，乙组每天比甲组多包装箱，求甲组每天包装蜜桃的箱数．下面是嘉嘉和淇淇的解答过程： 嘉嘉的解答（全部）： 解：设甲组每天包装蜜桃x箱． 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：甲组每天包装蜜桃箱． 淇淇的解答（部分）： 解：设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天． (1)批阅过程中，嘉嘉被扣分了，你认为他被扣分的主要原因是 ； (2)批阅过程中，淇淇得到了满分，请在下面写出淇淇的解答过程． 【答案】(1)解分式方程没有验根 (2)设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （箱） 答：甲组每天包装蜜桃箱． 【分析】（1）分式方程一定要检验根； （2）根据题意列分式方程并求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】分式方程一定要验根． 48．十月，正是大闸蟹最肥美的时节．某水产商行从养殖基地购进一批大闸蟹，已知购买只母蟹和只公蟹共花费元；购买只母蟹和只公蟹共花费元． (1)求购买只母蟹和只公蟹的价格分别为多少元？ (2)某水产商行计划追加采购一批母蟹和公蟹，恰好养殖基地开展促销活动：母蟹每只降价元，公蟹每只降价元．在养殖基地用元购买母蟹的数量与用元购买公蟹的数量相同，求的值． 【答案】(1)购买1只母蟹的价格为80元，购买1只公蟹的价格为50元． (2)的值为4 【分析】（1）设购买1只母蟹的价格为x元，购买1只公蟹的价格为y元．根据两次购买的总费用得到等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据降价后购买两种蟹的数量相等列分式方程，求解后检验即可解答． 【详解】（1）解：设购买1只母蟹的价格为x元，购买1只公蟹的价格为y元． 根据题意，得 ，解得． 答：购买1只母蟹的价格为80元，购买1只公蟹的价格为50元． （2）解：由题意可得：降价后母蟹单价为 元，公蟹单价为元． 由题意得： ， ， ， ， ． 检验：当时，且两种蟹的单价均为正数，符合题意． 答：m的值为4． 49．某手工社团开展纸艺作品制作活动，已知折叠型纸花比折叠型纸花平均每小时少做个，折叠个型纸花所用的时间，是折叠个型纸花所用时间的倍． (1)求平均每小时分别折叠型纸花和型纸花多少个？ (2)若社团安排名同学参与，要求每小时至少完成个纸艺作品，每名同学每小时只能做一种纸艺作品，则最多安排多少名同学来折叠型纸花？ 【答案】(1)平均每小时折叠型纸花个，型纸花个 (2)最多安排名同学折叠型纸花 【分析】（1）设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个，根据题意列出分式方程求解即可． （2）安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：平均每小时折叠型纸花个，型纸花个． （2）解：设安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花， 由（1）知平均每小时折叠型纸花个，型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， 解得， ∵为人数，必须是整数， ∴的最大值为； 答：最多安排名同学来折叠型纸花． 50．【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引顾客问题时，发现可以用数学模型量化，其中表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m）；表示购物中心到居民区的距离（单位：）；为常数且 【模型应用】 (1)已知当万时，次，则__________． (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离． 【答案】(1)80 (2)甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 解得； （2）解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为，已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此，， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $