专题18.4 整数指数幂（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦整数指数幂核心知识点，系统梳理正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础概念，衔接五大运算性质及高频易错点，构建从概念到运算再到应用的学习支架。 通过探究式学习培养推理意识，7类题型（如负指数幂运算、科学记数法应用）强化运算能力，结合纳米薄膜等实际案例发展应用意识。课中助力教师分层教学，课后检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

简一数理 初中专题讲义 专题18.4 整数指数幂 （新教材人教版） 知识点一、基础概念 2 知识点二、五大运算性质 2 知识点三、高频易错点总结 3 【题型1 负整数指数幂】 3 【题型2 整数指数幂的运算】 4 【题型3 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 4 【题型4 还原用科学记数法表示的小数】 5 【题型5 比较负整数指数幂的大小】 5 【题型6 已知条件求整数指数幂代数式的值】 5 【题型7 整数指数幂与科学记数法的实际应用】 6 【探究式学习】 8 【课后检测】 9 【复盘笔记】 12 知识点一、基础概念 1. 正整数指数幂 2. 零指数幂（必考） ，易错点：无意见。 3. 负整数指数幂（高频考点） 变形： 知识点二、五大运算性质 整数指数通用， (1) 同底数幂相乘： (2) 同底数幂相除： (3) 幂的乘方： (4) 积的乘方： (5) 分式乘方： 关键提醒 所有公式底数不能为 0；负指数先转倒数再计算。 知识点三、高频易错点总结 · 符号混淆： · 零底数：0的负指数、均无意义 · 负指数只翻转底数，符号单独算 · 积的乘方每一项都要乘方，常数不能漏次方 · 科学记数法小数部分指数易数错位数 【题型1 负整数指数幂】 【例1】已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】下列计算；；；，其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型2 整数指数幂的运算】 【例2】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【变式2-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例3】方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列用科学记数法表示的算式：①；②；③；④，其中不正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式3-2】“石墨烯重防腐涂装体系”已成为我国新一代重防腐涂料的重要发展方向，其成功应用于福厦高铁泉州湾跨海大桥、安海湾跨海大桥等多项重大工程．已知单层石墨烯的标准厚度为．数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（     ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【题型4 还原用科学记数法表示的小数】 【例4】一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-1】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式4-2】某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ） A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056 【题型5 比较负整数指数幂的大小】 【例5】如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如果，，，那么a、b、c三数的大小（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】对于数，，，的大小比较中，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】当时， ，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【题型6 已知条件求整数指数幂代数式的值】 【例6】计算下列各式，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】实数m，n同时满足，，则值为（   ） A． B．9 C． D．8 【变式6-2】计算 (1)计算：； (2)先化简，再从，0，1，3中选择合适的x值代入求值． 【变式6-3】（1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，然后在2，，中选一个你认为合适的值，代入求值． 【题型7 整数指数幂与科学记数法的实际应用】 【例7】纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． (1)求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； (2)已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 【变式7-1】芯片是指封装好的、包含完整电路的半导体微小基片（通常是硅片），广泛应用于电子设备．近几年我国一直在芯片的工艺上进行技术攻坚，其中某芯片内核面积仅有，集成了约69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积约为多少平方毫米（结果用科学记数法表示，保留两位小数）？ 【变式7-2】世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【变式7-3】在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【探究式学习】 1．在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 2．规定两数、之间的一种运算，记作；如果，那么.例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：①__________，__________； ②若，则___________； (2)若，，，探究、、之间的数量关系并说明理由． 【课后检测】 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式：；；；；．其中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列是一名同学做的6道练习题：①；②；③；④；⑤；⑥，其中做对的题有（     ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 5．已知关于，的方程组与有相同的解，则等于（     ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．若等式对任意实数都成立，那么的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知，，，，则、、、之间的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．已知与的和是单项式，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．若则______． 11．若实数，同时满足，，则的值是____________． 12．如果可分解为，则__________． 13．若点与点关于y轴对称，则的值是________；若点的坐标满足，则称点P为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标________． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．计算： (1) (2) 16．对于三个数a，b，c，表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数，如： M，； ，； 解决下列问题： (1)填空： ___________； (2)若，求x的取值范围； (3)①若，那么___________； ②根据①，你发现结论“若，则___________”（填a，b，c的大小关系）； ③运用②解决问题： 若，求的值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题18.4 整数指数幂 （新教材人教版） 知识点一、基础概念 2 知识点二、五大运算性质 2 知识点三、高频易错点总结 3 【题型1 负整数指数幂】 3 【题型2 整数指数幂的运算】 5 【题型3 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 7 【题型4 还原用科学记数法表示的小数】 8 【题型5 比较负整数指数幂的大小】 9 【题型6 已知条件求整数指数幂代数式的值】 11 【题型7 整数指数幂与科学记数法的实际应用】 14 【探究式学习】 16 【课后检测】 18 【复盘笔记】 27 知识点一、基础概念 1. 正整数指数幂 2. 零指数幂（必考） ，易错点：无意见。 3. 负整数指数幂（高频考点） 变形： 知识点二、五大运算性质 整数指数通用， (1) 同底数幂相乘： (2) 同底数幂相除： (3) 幂的乘方： (4) 积的乘方： (5) 分式乘方： 关键提醒 所有公式底数不能为 0；负指数先转倒数再计算。 知识点三、高频易错点总结 · 符号混淆： · 零底数：0的负指数、均无意义 · 负指数只翻转底数，符号单独算 · 积的乘方每一项都要乘方，常数不能漏次方 · 科学记数法小数部分指数易数错位数 【题型1 负整数指数幂】 【例1】已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例说明A、B、C选项错误，利用不等式的性质，负整数指数幂的意义判断D选项即可. 【详解】解：当，时，，，满足， 此时，，，，， ，， 故A、B、C选项错误， ， ， ， ， ， ． 故D选项正确． 【变式1-1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零次幂、负整数次幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，分别计算即可判断． 【详解】解：，故A选项计算错误； ，故B选项计算正确； ，故C选项计算错误； ，故D选项计算错误． 【变式1-2】（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】依据负指数幂定义，将转化为，再化简分式得到最终数值． 【详解】解：． 【变式1-3】下列计算；；；，其中正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，提取公因式计算幂的加法，逐一验证每个式子即可得到正确的个数． 【详解】解：根据零指数幂运算法则，任何非零数的次幂等于，判断： ∵ ，∴错误； 根据负整数指数幂运算法则，，判断： ∵，∴错误； 判断：∵ ， ∴错误； 提取公因式判断：∵， ∴正确； 综上所述，只有个计算正确． 【题型2 整数指数幂的运算】 【例2】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 【变式2-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂相除、同底数幂相乘、负指数幂和积的乘方法则计算并逐项判断即可．本题考查指数运算规则，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：， ∴A错误，不符合题意； 选项B：， ∴B错误，不符合题意； 选项C：， ∴C正确，符合题意； 选项D：， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数指数幂的运算可判断A，根据单项式乘以单项式的法则可判断B，把分子分母都乘以10可判断C，根据积的乘方运算的法则可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是整数指数幂的运算，分式的性质，积的乘方运算，单项式乘以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【题型3 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例3】方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为， ， 根据题意可得， ， ∴， 则破损处“0”的个数为． 【变式3-1】下列用科学记数法表示的算式：①；②；③；④，其中不正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ， 为整数，根据规则确定每个式子的和即可判断正误． 【详解】解：，，，， ∴不正确的有②③④，共3个． 【变式3-2】“石墨烯重防腐涂装体系”已成为我国新一代重防腐涂料的重要发展方向，其成功应用于福厦高铁泉州湾跨海大桥、安海湾跨海大桥等多项重大工程．已知单层石墨烯的标准厚度为．数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于的数用科学记数法可表示为，其中需满足，是原数左起第一个非零数字前所有零的个数，据此解答即可． 【详解】解：． 【变式3-3】成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（     ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】B 【分析】本题主要考查了单位换算与科学记数法的运用，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数．根据题干给出的单位进率推导微和寸的换算关系，再计算得到结果即可． 【详解】解：根据题意，单位进率满足：寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微， 寸微， 微寸， 微寸． 【题型4 还原用科学记数法表示的小数】 【例4】一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】将中的小数点向左移动位，即可得到结果． 【详解】解：米． 【变式4-1】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 【变式4-2】某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将科学计数法转化为一般计数法即可． 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，明确负整数指数幂的含义是解题的关键． 【变式4-3】用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ） A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056 【答案】A 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到． 【详解】解：把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为−0.00056． 故选：A． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【题型5 比较负整数指数幂的大小】 【例5】如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方，先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方的计算法则求出三个数的值，再比较大小即可得到答案，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-1】如果，，，那么a、b、c三数的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，进行有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解：∵a=（-99）0=1，b=（-0.1）-1=-10，c=（-）-2=， ∴b＜c＜a， 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数化简各数是解题关键． 【变式5-2】对于数，，，的大小比较中，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，进行计算，即可解答． 【详解】解：，，， 故选：B 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂；熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【变式5-3】当时， ，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得，根据非零数的零次幂可得，根据平方的结果可得，从而可得结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解． 【题型6 已知条件求整数指数幂代数式的值】 【例6】计算下列各式，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则进行计算，然后再比较大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴的值最大． 故选：C． 【点睛】此题考查了同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则，解题关键是把底数不相同的化为相同，然后再根据对应运算法则进行计算． 【变式6-1】实数m，n同时满足，，则值为（   ） A． B．9 C． D．8 【答案】A 【分析】根据，得出，从而得出，则，第二个方程可化为，两式相减得：，若，则，不符合等式，从而得，此时，求出，再把代入，求出，最后代入求解即可​． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入第二个方程得：， 联立： ，两式相减得：， 若，则，不符合等式， ∴，此时，代入得： ，解得：． 把代入，得，解得：． ∴​． 【变式6-2】计算 (1)计算：； (2)先化简，再从，0，1，3中选择合适的x值代入求值． 【答案】(1)1 (2)，取，原式 【分析】题目主要考查实数的混合运算及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值及有理数的乘方运算，然后计算加减法即可； （2）先将分式化简，然后选择有意义的值代入即可． 【详解】（1）解： ； （2） ∵分式的分母不能为0， ∴，，， 解得：m不能为，0，3， 选代入得：原式． 【变式6-3】（1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，然后在2，，中选一个你认为合适的值，代入求值． 【答案】（1），；（2），时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简的一般步骤，注意分式有意义的条件． （1）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，然后化简求出x的值，再代入计算即可． （2）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，再代入恰当的数值计算即可． 【详解】（1） = = = =， ∵ ∴原式． （2） = = = =． ∵，， ∴，， ∴当时，原式=． 【题型7 整数指数幂与科学记数法的实际应用】 【例7】纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． (1)求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； (2)已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（1）用单层薄膜厚度乘以薄膜的层数即可得到答案； （2）用（1）计算的结果除以一根头发丝的直径即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：层该纳米薄膜叠加后的总厚度为； （2）解：， 答：上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的30倍． 【变式7-1】芯片是指封装好的、包含完整电路的半导体微小基片（通常是硅片），广泛应用于电子设备．近几年我国一直在芯片的工艺上进行技术攻坚，其中某芯片内核面积仅有，集成了约69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积约为多少平方毫米（结果用科学记数法表示，保留两位小数）？ 【答案】约平方毫米 【详解】解：， 即平均每个晶体管占有面积约为平方毫米． 【变式7-2】世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 【变式7-3】在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，根据题意可列式，然后计算求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 答：个这样的细胞排成的细胞链的长度为． 【探究式学习】 1．在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． (2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1) 证明：，、是正整数， ， 即（，、是正整数，）； (2) 证明：，、是正整数 ∴， ， 故． 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合幂的定义证明同底数幂的除法法则，即可作答． （2）运用负整数指数幂运算法则验证，即可作答． 【详解】（1）略； （2）略． 2．规定两数、之间的一种运算，记作；如果，那么.例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：①__________，__________； ②若，则___________； (2)若，，，探究、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①3，5；② (2) ，理由如下； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂。同底数幂的乘法运算．理解题意，熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂。同底数幂的乘法运算是解题的关键． （1）①由题意知，，可求，即，同理；②由，可得，即，计算求解即可； （2）由，，，可得，，，由，可得，进而可得． 【详解】（1）①解：由题意知，， 解得，， ∴， 同理， 故答案为：3，5； ②解：∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （2）略 【课后检测】 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的基本运算，以及合并同类项，平方差公式，积的乘方，负整数指数幂四种运算，逐一按运算法则计算验证即可． 【详解】解：选项A：，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C正确． 选项D：，故D错误． 2．下列各式：；；；；．其中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负整数指数幂，指数幂，有理数的乘方法则，幂的乘方和积的乘法法则以及完全平方公式及合并同类项分别计算结果即可判断正误． 【详解】解：；；；；和不是同类项不能合并． 故正确的有． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∵，∴A错误． 选项B：根据完全平方公式，∵，∴B错误． 选项C：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵，∴C错误． 选项D：根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，∵，，∴，∴D正确． 4．下列是一名同学做的6道练习题：①；②；③；④；⑤；⑥，其中做对的题有（     ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】根据零指数幂、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、负整数指数幂、有理数的乘方等运算法则逐个判断每个式子的正误，统计做对的题数即可得到答案． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算错误； ③，计算错误； ④，∴，计算错误； ⑤，计算正确； ⑥，计算错误； 综上，做对的题共2道． 5．已知关于，的方程组与有相同的解，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个方程组有相同的解，说明，满足两个方程组中不含，的两个方程，先求出，的值，再代入含，的方程得到关于，的方程组，求解得到，后计算即可． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴，满足方程组， 解得， 把代入， 得， 解得， ． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 7．若等式对任意实数都成立，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，根据多项式恒等，对应项系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 又等式对任意实数都成立，即左右对应项系数相等， ∴， 解得， 将，代入得： ． 8．已知，，，，则、、、之间的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据整数指数幂的运算法则计算出、、、的值，再比较大小得到结果． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴． 9．已知与的和是单项式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项定义“相同字母的指数相等”列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴， 解得， ∴． 10．若则______． 【答案】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．若实数，同时满足，，则的值是____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义分和两种情况去掉绝对值符号，解方程组得到符合条件的，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，可得： ，解得：， 由于，不满足，这种情况不成立； 当时，可得： ，解得：， ∴． 12．如果可分解为，则__________． 【答案】 【分析】展开右侧的因式乘积，对比左右多项式对应项系数求解后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 13．若点与点关于y轴对称，则的值是________；若点的坐标满足，则称点P为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，再计算；给赋值，求出对应即可得到符合要求的和谐点． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． ∵， 若取，则，解得， 因此是一个符合要求的“和谐点”． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合平方差公式计算即可得出结果； （2）根据整数指数幂的混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据平方差公式计算即可得出结果； （4）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （5）根据单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （6）根据幂的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂，逆用积的乘方法则化简，再计算加减； （2）对原式变形，利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．对于三个数a，b，c，表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数，如： M，； ，； 解决下列问题： (1)填空： ___________； (2)若，求x的取值范围； (3)①若，那么___________； ②根据①，你发现结论“若，则___________”（填a，b，c的大小关系）； ③运用②解决问题： 若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】（1）先求出这些数的值，再根据运算规则即可得出答案； （2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案； （3）①由题可知，则，再解不等式组即可；②根据规律得出结论即可；③根据②的结论列方程组求解即可． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：， ，解得； （3）解：①， ∴， ∴， ∴． ②若，则； ③根据②得， 即， ， 解得：， 则． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $