上海市奉贤区东华大学附属奉贤致远中学2026-2027学年第一学期期中教学评估高二数学

东华大学附属奉贤致远中学2026学年第一学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟　　满分150分　　 一、填空题 1．经过，两点的直线的倾斜角为________。 2．掷一颗均匀的骰子，出现偶数点的概率是________。 3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________。 4．两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是和，两人各投一次，则他们至少有一人命中的概率是________。 5．先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为________。 6．某年级举行健美操比赛，位评委对某班级代表队的评分如下：，则评分的第百分位数是________。 7．某校从名同学中用随机数法抽取人参加一项调查．将这名同学编号为，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为________。 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 8．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为________。 9．设是空间中平面内一个边长为的等边三角形，是空间中一点，则的最小值为________。 10．如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为________。 11．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为________。 12．已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________。 二、单选题 13．为了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取只灯泡进行测试，在这个问题中，被抽取的只灯泡的使用寿命是（　　） A．样本　　　B．个体　　　C．总体　　　D．样本容量 14．事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 15．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点，都有； ④存在点，使得平面。 其中正确的是（　　） A．①③　　　B．②④　　　C．②③　　　D．①④ 16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 三、解答题 17．为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从两所学校的名教师志愿者中随机抽调人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动。 已知两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 A学校 1 2 B学校 1 1 （1）假设学校语文老师、数学老师，学校语文老师、数学老师，列出“从两所学校的名教师志愿者中随机抽调人”的样本空间； （2）求事件“抽到的人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”的概率。 18．如图，在正四棱柱中，已知，。 （1）求异面直线与直线所成的角的大小； （2）求点到平面的距离。 19．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取人，再从人中选人，求人中有来自组的学生的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为和的学生，求这个分数的方差。 20．如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足。 （1）求证：不论取何值，总有； （2）设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值。 21．如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至。 （1）若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； （2）求与平面所成的角的正弦值的范围。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华大学附属奉贤致远中学2026学年第一学期期中教学评估 高二数学 --答案 考试时间：120分钟　　满分150分　　 一、填空题 1．经过，两点的直线的倾斜角为________。 【答案】。 【解析】斜率。倾斜角满足且，故。 2．掷一颗均匀的骰子，出现偶数点的概率是________。 【答案】。 【解析】六个点数等可能，其中偶数为，故所求概率为。 3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________。 【答案】。 【解析】平面的方程为。反射前后横坐标和竖坐标相同，第二个坐标变为相反数。 4．两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是和，两人各投一次，则他们至少有一人命中的概率是________。 【答案】按两人命中与否相互独立计算，概率为。 【解析】设两人命中事件分别为。“至少一人命中”的对立事件为“两人都未命中”。在独立模型下，。只知道两个边际概率时，，其值取决于两人同时命中的概率。 5．先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为________。 【答案】。 【解析】从小到大排列，第三个数为。由于是唯一众数，必须出现至少两次，而中位数又限制它至多出现两次。前面三个数为。后两个数若重复就会产生另一个众数，因此最大只能取互异的。此时平均数为，且确实满足条件。 6．某年级举行健美操比赛，位评委对某班级代表队的评分如下：，则评分的第百分位数是________。 【答案】。 【解析】数据已按升序排列，为整数，按教材定义取第个和第个数的平均数，得。 7．某校从名同学中用随机数法抽取人参加一项调查．将这名同学编号为，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为________。 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】。 【解析】从指定位起向右读，跨行连续，每三位一组。依次读到175、572、175、455、068、331、047、447、672、176。略去超过450及已入样的编号，按先后保留175、068、331、047、447、176。首位为零的三位编号同样有效。 8．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为________。 【答案】。 【解析】，。数量积为，且。投影向量为。其方向与平行，原向量与投影向量的差垂直于。 9．设是空间中平面内一个边长为的等边三角形，是空间中一点，则的最小值为________。 【答案】。 【解析】取的中点，则，且。再取的中点。由，原式为。当且仅当时取到最小值。 10．如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为________。 【答案】。 【解析】设，则。由三个夹角依次得，。展开平方得。 11．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为________。 【答案】。 【解析】以为原点，以的方向依次为坐标轴正向。令，则，，，其中。由，得。点的参数被消去，因此同一条件对任意成立。 由，得。取，即为棱的中点，代回即满足垂直条件，故上界可以取到。 12．已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________。 【答案】。 【解析】条件整理为。配方得。设，则，其方向可任取。 展开目标式并利用，原式等于。由，得，。代入得原式为。单位向量与的夹角可遍历，故原式遍历，同向与反向分别取到两端。 【点睛】当条件同时出现向量的模平方与数量积时，先配出定长向量，再用原条件消去目标式的二次项。求出上下界后，还要确认定长向量的方向确实可以自由选取。 二、单选题 13．为了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取只灯泡进行测试，在这个问题中，被抽取的只灯泡的使用寿命是（　　） A．样本　　　B．个体　　　C．总体　　　D．样本容量 【答案】A。 【解析】抽取的20个寿命观测值构成一个样本。每只灯泡的寿命是一个个体，所有灯泡的寿命构成总体，样本容量为20。 14．事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】D。 【解析】独立性对其中一个或两个事件取对立事件后仍成立，A、B、C均成立。并事件概率应为。独立不能保证交集概率为零，故D并非恒等式。 15．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点，都有； ④存在点，使得平面。 其中正确的是（　　） A．①③　　　B．②④　　　C．②③　　　D．①④ 【答案】C，②③。 【解析】不妨取棱长为1，以为原点，沿建系。设，。①当或时，分别为与，仅比较两端不足以判断；实际，中点时为，故①错。 ②平面的方程为。所有均满足，到该面的距离固定，底面也固定，故②对。③与的数量积恒为零，故③对。 ④若垂直该平面，则与法向量共线。由第一分量可知两向量相等，后两分量分别要求和，矛盾。故④错。 16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】B，。 【解析】以为原点，沿的方向建系，取。平面的方程为。过作其平行面，在面（）内截得一条线段。因此，，两端恰为的中点。 ，。数量积为，在上述闭区间上从降到，故选B。 【点睛】线面平行且向量起点固定时，先过起点作已知平面的平行面，与动点所在三角形相交确定真实轨迹。线性目标在这条线段上的两个端点取到最值。 三、解答题 17．为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从两所学校的名教师志愿者中随机抽调人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动。 已知两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 A学校 1 2 B学校 1 1 （1）假设学校语文老师、数学老师，学校语文老师、数学老师，列出“从两所学校的名教师志愿者中随机抽调人”的样本空间； （2）求事件“抽到的人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”的概率。 【答案】（1）见下列样本空间。（2）。（3）。 【解析】（1）每个结果记为不计先后的教师组合，例如代表抽到。样本空间，共个等可能结果。 （2）两名语文老师仅有组合，故概率为。 （3）从校抽得一语一数有两种；从校抽得一语一数有一种。三种结果互斥，所求概率为。 18．如图，在正四棱柱中，已知，。 （1）求异面直线与直线所成的角的大小； （2）求点到平面的距离。 【答案】（1）。（2）。 【解析】（1）以为原点，沿建立直角坐标系。则。方向向量分别为和。所成角的余弦为，故得所求角。 （2）平面截三轴于，方程为。由点到平面的距离公式，。 19．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取人，再从人中选人，求人中有来自组的学生的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为和的学生，求这个分数的方差。 【答案】（1），估计平均分为分。（2）。（3）。 【解析】（1）组距均为，六个矩形面积之和为1，故，解得。各组频率依次为。用各组中点加权，估计平均分为。 （2）两组频率比为，所抽6人分属两组的人数为4和2。随机选2人共有种情况，均选自前一组有种，故至少一人来自后一组的概率为。 （3）新加入的两人成绩均值仍为85，故总均值不变。原6个分数对85的离差平方和为，新增两项各为，所以新方差为。 20．如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足。 （1）求证：不论取何值，总有； （2）设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值。 【答案】（1）证明见解析。（2）。（3）最大值为，此时。 【解析】（1）以为原点，分别沿建系，。在整条直线上，故。有，因此恒成立。 （2）所有均在且不在上，故平面恒为。直线沿该平面法向的分量大小为，于是。当时取最大值，当趋于无穷大时趋近0，且对任意有限均大于0。平方项能取遍所有非负实数，故锐角范围如上。 （3）。由同时垂直于的条件可取平面的法向量，与两条方向向量的内积分别为0。底面法向量为，故。分母恒正，且。只有时等号成立，此时二面角为锐角，故最大余弦为。 【点睛】动点沿顶面直线运动时，先判断含动点的平面是否固定。求线面角看方向向量的法向分量，求面面角看两个法向量。这里点可以越过棱的端点，若误限，就会丢掉真正的最优位置。 21．如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至。 （1）若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； （2）求与平面所成的角的正弦值的范围。 【答案】（1）（i）证明见解析。（ii）。（2）在立体翻折位置，范围为；若计入起始平面位置，则为。 【解析】（1）取为中点。因且，，且。以为原点、为轴正向、的方向为轴正向，以垂直原平面的方向为轴，取折起的一侧为正。可取。由矩形边长和方向，，故。 翻折保持，从而，。在非共面的折起位置有。由，结合得。 （i）此时，，所以平面。又在平面内，故两平面垂直。 （ii）棱平行于轴。过作垂直于的截面。射线在半平面内；半平面一侧的截线取正方向，因为的横坐标。于是二面角的余弦为，故所求为。 （2）此问只使用题干给出的翻折条件。平面的一组法向量为，可由它分别与垂直验证。，所以，，。记线面角为，利用得。 当时，。由得。当分别趋于和时，它分别趋于和；连续性保证中间各值均可取到。若允许起始位置，时，线面角为零；另一端时落在中点，三点共线，平面无定义，故上端点始终不取。 【点睛】翻折时，先用折痕作坐标轴，把动点写成圆上的点。求指定二面角要选对两个半平面的射线；求范围则须回到几何图形检查端点处平面能否确定。第（1）问给出的特殊长度只用于这一问。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $