精品解析：河北石家庄市第四十二中学2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试卷

初二数学 注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共100分，考试时间60分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 分式的值为0，则x的值是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 或4 3. 下列式子从左到右变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 5. “9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 的平方根是 C. D. 的平方根与立方根都是 7. 一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（ ） A. 加入的水量 B. 减少的水量 C. 加入的盐量 D. 减少的盐量 8. 下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ） A. 只有Ⅰ可以 B. 只有Ⅰ、Ⅱ可以 C. 作出三角形Ⅱ的依据是 D. 作出三角形Ⅲ的依据是 9. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，中，，于点D，于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 12. 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共64分） 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 的立方根是________； 14. 若分式的值为负，则的范围是______． 15. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为________． 16. 如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当______秒时，和全等． 三．解答题（本大题共6个题，共52分） 17. 计算和解方程 （1）计算 （2）解分式方程 18. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为 代入求值． 19. 如图，在中，点为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：点为边上的中点，①______________， 在和中， ， _______________，． （3）若，，则的取值范围是_______________． 20. 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． （2）请你选择其中一种方案进行说明理由． 21. 为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． （1）请分别求出水杯与笔记本的单价； （2）学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 22. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究 （1）如图是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系________，与位置关系________． （2）如图是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； 拓展应用 （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共100分，考试时间60分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2. 分式的值为0，则x的值是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得． 故选：B 3. 下列式子从左到右变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断： 选项A：， 替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意； 选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意； 5. “9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解答即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，表示“9的算术平方根是3”，故选项正确，符合题意； C. ，表示“9的平方根是”，故选项不符合题意； D. ，表示“9的算术平方根的相反数是”，故选项不符合题意； 故选：B 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 的平方根是 C. D. 的平方根与立方根都是 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴的立方根为，故A选项错误． ∵， ∴的平方根为，故B选项错误． ∵， ∴，故C选项错误． ∵，， ∴的平方根与立方根都是，故D选项正确． 7. 一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（ ） A. 加入的水量 B. 减少的水量 C. 加入的盐量 D. 减少的盐量 【答案】B 【解析】 【分析】根据盐水浓度公式：，分析方程中分子和分母的含义，确定盐的质量和总质量的变化，即可得到的实际意义． 【详解】解：∵原来盐水浓度为，题目要求新浓度为原来的倍，方程左边对应新浓度，观察方程右边，分子仍为，和原来盐的质量相等， ∴盐的质量没有变化，排除C，D； ∵新盐水总质量为，比原总质量减少了，且盐的质量不变， ∴减少的部分为水，即表示减少的水量． 8. 下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ） A. 只有Ⅰ可以 B. 只有Ⅰ、Ⅱ可以 C. 作出三角形Ⅱ的依据是 D. 作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【解析】 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 9. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 10. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】解：原方程变形为． 方程两边同乘（），得． 整理得． ∵ 方程的解为正数， ∴ ，解得． ∵ ， ∴ ，解得． ∴ 的取值范围为且． 11. 如图，中，，于点D，于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，根据直角三角形的两锐角互余，可得，结合，所以，推出，所以，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得（负值已舍去）． 卷Ⅱ（非选择题，共64分） 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 的立方根是________； 【答案】 【解析】 【分析】先计算的值，再求所得结果的立方根即可． 【详解】解：， ， 的立方根是， 即的立方根是． 14. 若分式的值为负，则的范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为________． 【答案】 6 【解析】 【分析】延长交于点，利用角平分线和垂线证明，得出为中点，利用三角形中线将三角形面积平分的性质得出求解． 【详解】解：如图，延长交于点 ， 平分，   ， ，   ， 在和中     ，  ， ， ，  ，  ， ． 16. 如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当______秒时，和全等． 【答案】3或6##6或3 【解析】 【分析】分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，求得，②时，点P从A到C运动，则，求得． 【详解】解：①时，点P从C到A运动，则， 当时， 则， 即，解得：， ②时，点P从A到C运动，则， 当时， 则， 即， 解得：， 综上所述：当秒或6秒时，． 故答案为：3或6． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是正确进行分类讨论，不要漏解． 三．解答题（本大题共6个题，共52分） 17. 计算和解方程 （1）计算 （2）解分式方程 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 两边同乘，得， ， ， 解得， 检验：当时，，是增根， 原方程无解． 18. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为 代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【详解】解：原式 ． 且， 将代入上式，得原式． 19. 如图，在中，点为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：点为边上的中点，①______________， 在和中， ， _______________，． （3）若，，则的取值范围是_______________． 【答案】（1）如图，射线、点E即为所求： （2）， ，； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据线段中点的定义及全等三角形的判定和性质作答即可； （3）根据题意可知，根据全等三角形的性质得到，三角形三边关系推导即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 根据三角形三边关系可知， 即， ∴． 20. 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． （2）请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【小问1详解】 解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 21. 为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． （1）请分别求出水杯与笔记本的单价； （2）学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【答案】（1）水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元 （2）学校应设置优秀奖10个，参与奖为15个 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元． 【小问2详解】 解：设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意得： ， 解得：， ∵要尽可能多地设置优秀奖， ∴； 答：学校应设置优秀奖10个，和参与奖为15个． 22. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究 （1）如图是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系________，与位置关系________． （2）如图是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； 拓展应用 （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 【答案】（1），． （2）解：成立．理由如下： ， ． ．   在和中， ， ．    ．      在中，， ∴． ∴，即． ∴． （3）4或10 【解析】 【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出； （2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立； （3）分两种情况可求出的长． 【小问1详解】 解：，即， ，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在上时，如图， 由（1）可知 ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，4或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $