精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 2. 下列因式分解结果正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】，则A不符合题意； ，则B不符合题意； 无法因式分解，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异分母分式加减法运算法则进行计算，判断A，根据分式的基本性质判断B，根据分式乘除法运算法则进行计算，判断C和D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 4. 已知两组数据3，a，，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可． 【详解】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6， ∴，解得：， 若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8， 一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6． 故选：C． 【点睛】本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数． 5. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A. 当时，的值为0 B. 当时，有意义 C. 无论为何值，的值不可能为整数 D. 无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 6. 已知，，则代数式的值是（　　） A. 2 B. C. 15 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 7. 2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图． 对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：①极差是18分钟；②平均时间为64分钟；③众数是63分钟；④中位数是57分钟．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图分别求出极差，平均数，众数和中位数即可判断． 【详解】解：极差为（分钟），故①不正确； 平均时间为（分钟），故②正确； 众数为63分钟，故③正确； 本周7天的校外体育活动时间从小到大排列为55，57，63，63，65，70，75， 所以中位数为63分钟，故④不正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了折线图，掌握折线图的特点以及极差，平均数，众数和中位数的计算方法是解题的关键． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 9. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 10. 某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列分式方程．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化面积为万平方米，根据“实际绿化时间比实际绿化时间少30天”即可列出方程． 【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米， 依题意得：， 即：． 故选：A． 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 12. 已知分式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件（分母不为0，分子为0）是解题的关键． 13. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、9分、8分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为分． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 15. 已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴， ∴， ∴ 另一组数据的平均数 ； ∵这组数据的方差为3， ∴， ∴另一组数据的方差 ， ∴另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 16. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减运算，将转化为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 三、解答题：本大题共9个小题，满分72分，本题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程． 17. 分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，注意解分式方程最后要进行检验． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 19. （1）先化简再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，根据，得到，整体代入法求值即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，原式． （2）解： ． 要使原式有意义，则 ， 且，， 当时，原式． 20. 关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程解为正数，试求出满足条件的整数的值之和． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法．先根据不等式组的解集的情况求解的取整范围，再结合分式方程的解为正数进一步求解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， 关于的不等式组的解集为， ， ， 解得， 又， 方程两边同时乘，得， 解得． 关于的分式方程的解为正数， 由③得，由④得， 且． 的取值范围为，且， 满足条件的整数的值为2，4，5 所有满足条件的正数的值之和为． 21. 某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计图： （1）根据上图提供的数据填空： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 * 85 70 高中部 85 100 * 的值是 ，的值是 ； （2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好； （3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？ 【答案】（1）80，85；（2）因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好；（3）初中部的成绩比较稳定 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解； （2）通过比较中位数来确定； （3）通过比较方差确定． 【详解】解：（1）将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100， ∴中位数为80， ∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85． (2)（分） 因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好． (3)高中部方差为： ∴初中部的成绩比较稳定． 【点睛】本题考查了方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，也考查了平均数、中位数和众数． 22. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的求值，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的求值方法是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，再进一步利用完全平方公式计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 。 ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设， 则， ． 23. 国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 24. 【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 （1）用配方法分解因式：； （2）若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； （3）如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）①；②时，S的值最大，最大值是9． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对M、N作差，可得，再利用平方的非负性解答即可； （3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 ①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． 25. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象；表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某文创店准备购进、两款哪吒玩偶，两款玩偶的进价和利润如表（单位：元） A款 B款 单个进价 单个利润 2 3 （1）已知花费400元购进款哪吒玩偶的数量和花费800元购进款哪吒玩偶的数量相等，求的值； （2）该店准备拿出2000元全部用来购进这两种哪吒玩偶，且购进款的数量不超过款数量的4倍，若玩偶能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）的值为5 （2）该文创店购进A款266个，B款67个时，能使利润最大，最大利润是733元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）根据表格信息可得，再进一步解方程并检验即可得到答案． （2）设利润为元，A款购进个，则B款购进个，利用总价单价数量，可找出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则的值为5． 【小问2详解】 解：由（1）知，A款单个进价为5元，B款单个进价为10元， 设利润为元，A款购进个，则B款购进个， ， ， 随的增大而增大， 购进A款的数量不超过B款数量的4倍， ， 解得， 为正整数， 当时，取得最大值，最大值733， 此时，B款有个， 答：该文创店购进A款266个，B款67个时，能使利润最大，最大利润是733元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解结果正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两组数据3，a，，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A. 当时，的值为0 B. 当时，有意义 C. 无论为何值，的值不可能为整数 D. 无论为何值，的值总为正数 6. 已知，，则代数式的值是（　　） A. 2 B. C. 15 D. 7. 2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图． 对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：①极差是18分钟；②平均时间为64分钟；③众数是63分钟；④中位数是57分钟．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 9. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ） A. B. C. D. 10. 某园林绿化工程队承接了60万平方米的园林绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：________． 12. 已知分式，则______． 13. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、9分、8分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 15. 已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为________． 16. 已知，则________． 三、解答题：本大题共9个小题，满分72分，本题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程． 17. 分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： （1） （2） 18. 解分式方程： （1） （2） 19. （1）先化简再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 20. 关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程解为正数，试求出满足条件的整数的值之和． 21. 某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计图： （1）根据上图提供的数据填空： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 * 85 70 高中部 85 100 * 的值是 ，的值是 ； （2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好； （3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？ 22. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知求的值． 23. 国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 24. 【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 （1）用配方法分解因式：； （2）若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； （3）如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 25. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象；表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某文创店准备购进、两款哪吒玩偶，两款玩偶的进价和利润如表（单位：元） A款 B款 单个进价 单个利润 2 3 （1）已知花费400元购进款哪吒玩偶的数量和花费800元购进款哪吒玩偶的数量相等，求的值； （2）该店准备拿出2000元全部用来购进这两种哪吒玩偶，且购进款的数量不超过款数量的4倍，若玩偶能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $