精品解析：广西壮族自治区贵港市达开高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2029届高一10月测试（数学） （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 对于任意，恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，的解集为. 现有一区间，若对于任意的正数，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最大值为 11. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题（共15分） 12. 已知集合，，那么______． 13. 函数的定义域为________． 14. 已知为正实数，且，若恒成立，则的最大值为______． 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合 ，，，求： （1）； （2）； （3） 16. 已知不等式的解集为A，不等式的解集为B． （1）若，，求A； （2）若，求实数a，b的取值； （3）若，求实数m的取值范围． 17. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 18. 要制作一个容积为 、高为 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价为每平方米 20 元，侧面造价为每平方米 10 元．设底面矩形的长、宽分别为 ，（，），总造价为 元． （1）求 关于 ， 的表达式，并写出 ， 满足的关系式； （2）证明：当 时，该容器的总造价最低，并求最低造价； （3）若底面造价降为每平方米 16 元，侧面造价不变，其他条件不变，求此时该容器的最低总造价． 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的a，b，有，.设集合，. （1）当时，求集合A； （2）当b为某一定值时，集合A中元素全部是完全平方数，求此时集合B中的最小元素； （3）令，将集合A中元素按照从小到大排列依次是，，…，同理将集合B中元素按照从小到大排列依次是，，…，取集合，已知，，且，求实数m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网列组卷网 2029届高一10月测试（数学) (本卷满分150分考试时间120分钟) 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设集合A=机23,5}，B=2,3},则4B=() A.{2,3 B.包，5} c.{1,2,3,5} D.1,2,2,3,3,5} 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合A=123,5},B={2,3} 由交集的定义得1nB={2,3} 2已知命愿，r>1x2-1>0 则是() A.x>1x2-1≤0 B.r≤1x2-1≤0 c.3r≤1x2-1≤0 D.3r>1x2-1s0 【答案】A 【解析】 【详解1命思：3x>1,-1>0,则P,x>1,-1≤0 3.x>1是2x-1>1的（) 第1页/共19页 命学科网命组卷网 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解12x-1>1,故2x-1>1或2x-1<-1,解得x>1或x<0, 所以x>1可以推出2x-1小>1，但2x-1小>1不能推出x>1, 所以“x>1是2x-1>1的充分不必要条件 2x-1≤3 4.不等式x-1的解集为() A.(1,2] B.（-o,10U[2,+0) c.(1,2) D.（-o,1U[2,+∞) 【答案】B 【解析】 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式，结合分母不为零的限制条件求解解集 2x-1-3≤0 【详解】首先对不等式移项，得x-1 ,通分后整理分子： 2x-1-3(x-1)=2x-1-3x+3=2-x 2-x0 x-2 ≥0 即不等式等价为x一1，进一步变形为x-1,同时需满足分母不为零，即x≠1. (x-2)(x-1)≥0 根据分式不等式的等价转化规则，上述不等式等价于 x-1≠0 x-2)x-1)≥0mx≤1.x≥2 解一元二次不等式 得 或 第2页/共19页 学科网命组卷网 结合七*1 -∞，1)U[2,+o) 的限制，最终解集为 5.已知>0，y>0月x+y=2 ,且 ,则的最大值为() A.1 B.V2 C.2 D.4 【答案】A 【解析】 【解】由x>0.>0,且x+y=2,得9≤（号y=1 2 ,当且仅当x=y=1时取等号， 所以少的最大值为1. 6对于任意x∈R,m2+2mx+2≥0 成立，则的取值范围是() A.m≥2 B.0<ms2 c0≤ms2 D.0≤ms4 【答案】C 【解析】 【分析】分m=0和m≠0两种情况讨论，结合常数不等式，二次函数的图像性质求解m的取值范围. 【详解】当m=0时，原不等式化为2≥0，对任意x∈R恒成立，符合题意： 当m≠0时，y=mr+2mr+2为二次函数，若对任意x∈R满足m2+2mr+2≥0恒成立，需同时满 足： ①二次项系数大于0，即m>0; ②西数图象与产轴至多有一个交点，即判别式△≤0，即4m-8m≤0，解得：0≤m≤2， 两个条件同时成立可得：0<m≤2 综合两种情况取并集可得的取值范围是0≤m≤2 第3页/共19页 6学科网列组卷网 己知函数y=fx+2)的定义域为0,3引，则函数8)=J(2x-1 Vx-1的定义域为() B.(1,3] c[] D.(1,5] 【答案】A 【解析】 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解 【详解】函数f(x+2)的定义域为0,3)引，则2≤x+2≤5，所以函数f(x)的定义域为[2,5]， 3 庙2<2r-1<5,解得2≤x≤3从而函数f(2x-1)的定义域为23. 又有x-1>0,得x>1, 综上得到函数8)-2x-) a[3] 8设函数f)=m+x-b(a>0,b>）,f)>0的解突为P.现有-区间2=(-2-4，-2+)，若对于 11 任意的正数1，P∩Q≠0，则ab的最大值为() A B.3 1 C.4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两集合交集为非空集合这个条件推导出参数约束条件，再用基本不等式等号成立条件进行判 断，求最值， 第4页/共19页 命学科网命组卷网 【详解】由t>0,恒有t-2>-1-2,故Q≠⑦， 令y=f(=2+x-b>0na>0,b>1 日 故f开口向上且f0=-b<0, ,故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧， 为Pn0≠⑦，即f>0在2-6-2+0上有解，且 因 Vt∈(0，+oo) 又区间(-2-4，-2+)关于x=-2对称，且区间长度21∈(0，+)， ,a≥b+2 93 只需保证f(-2)=4a-2-b≥0，则4a-b≥2，且4，即“4， 11_11_(4a-2)-a3a-2 所以aba4a-2a(4a-2）4a2-2a, 3 113a-2 322 9 .1 a b 4a2-2a 3-20+2 44+22 4u+4+10 气3 4 4 4u+24ux48,当且仅当4w= u,即u=1时等号成立， 11=9-≤9。= ab4u+4+108+102 4 3 a=1> 当4=1时， 4’b=2>1, 11 所以ab的最大值为2. 第5页/共19页 6学科网6组卷网 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分. 0∈M B.leM c2∈M 3∈M 【答案】BD 【解析】 【分析】先求M的具体元素，再判断元素与集合的关系 【详解】由x∈N*,三x+1≥2，要使(x+l)为整数，只需x+1为4的正因数，三x+1=2或 x+1=4,即x=1或x=3,→M=3},选项BD正确 10已知正数”，力满是2a+b=4 则下列结论中正确的是() 1.2 A.ab的最大值为2 B.ab的最小值为2 C.4a2+b的最小值为2 D.V2a+b的最大值为2V2 【答案】ABD 【解析】 【详解】A因为正数0，b满足20+b=4, 所以2a+b≥2V2ab→ab≤2，当且仅当2a=b时取等号， 因此当Q=,b=2 时，ab 有最大值2，所以本选项说法正确： B,因为正数0，b满起2a+b=4 第6页/共19页 命学科网命组卷网 子别-2，a24名招》+28品 1222 b 4a 即ab ,当且仅当ab时取等号， 12 因此当a=1,b=2时，ab有最小值2，所以本选项说法正确： a b 2a+b=4 C:因为正数“，满足 2a+b< 4a2+b2 所以 2 2 →4如+b228,当且仅当2a=b时取等号， 所以当 =lh=2时，4+ 有最小值为8，因此本选项说法不正确： D:因为正数0，b满足2a+b=4 12 √2a+√ 2a+(b 所以 2a+b=2→2a+b≤22， 2 当且仅当6=V20时取等号， 因此当a=1,6=2时，V2a+Vb有最大值22，所以本选项说法正确 1l.已知b>0,若对任意的t∈(0，+o）,不等式am2+3x2-abx-3b≤0恒成立，则《) A.a<0 B.a'b=3 C.a'b=9 D.a2+4 的最小值为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过提取公因式化简整理原不等式，结合不等式的性质进行分类讨论，判断 ABC 三个选项，最后运用均值不等式求得选项. 第7页/共19页 6学科网列组卷网 【详解】因为ar+3r2-abr-3b=r(c+3)-b(c+3)=(x2-b)(ar+3)】 r+3x2-ahr-3动≤0恒成立，即(2-b(mx+3列≤0恒成立， 因为b>0,所以当x∈(0，vb)时，x2-b<0,则需x+3≥0， 当xe(6,+ao时，-b>0,则需x+3≤0， 故当x=V6时，ac+3=0.即aV6+3=0 所以a<0且aNb=-3→a2b=9 故选项A正确，选项B错误，C正确； 所以2+46=号+4b≥2 9 .4b=12 b 9=4h,6=3 当且仅当b时，即2时取等，故选项D正确： 故选：ACD 三、填空题（共15分） 12.已知集合M={x3≤x<3},N={-1<x≤4，那么MUN= 【答案)【3,4] 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解。 【详解】由愿意得：MUN={x3≤x≤4=[-3,4 13.函数f()=V+1+ 2-x的定义域为 第8页/共19页 6学科网6组卷网 【答案】 [-1,2)u(2,+o) 【解析】 【分析】根据偶次算术平方根被开方数非负、分式分母不为零的约束列不等式组，求解交集即可得到定义 域 【详解】要使函数 (x)=Vx+1+,1 2-x有意义，需同时满足以下条件： 对于二次根式Vx+ ,被开方数需非负，即x+1≥0，解得x之： 对于分式2-x,分母不能为0，即2-x≠0，解得x≠2； 取两个解集的交集，可得函数的定义域为[-1,2小U(2,+∞) 14已知a,b为正实数，且a≤b+1,若ab++1≥2m(a+b)恒成立，则m的最大值为 2W2-1 【答案】4 【解析】 b,1 b,1 。b,1 m≤ 【分析】转化问题为2'2(a+b),结合a≤b+1放缩得到2'2(a+b)2'4b+2,令 b,1t.11 t=4b+2>2,可得24b+28t4,进而利用基本不等式求解即可 【详解】由ob++122ma+b)恒成立，且a,b为正实数。 b(a+b)+1b,1 而ab+2=ba+b),得m≤2a+D)-22(a+b)恒成立. 第9页/共19页 6学科网6组卷网 b,1、b,1 又a≤b+1,则a+b≤2b+1,所以22(a+b)24b+2 b=1-2 令1=4b+2>2,则4， b+1。-2+-4+≥2122- 所以24b+28t8t4 V8t44, 当且仅当81，即1=22，即6-2} t1 2,且a=b+1=2+1 2时取等号， 所以ms22-1 2W2-1 4,则m的最大值为4· 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.设集合U=R,A={≤x≤4，B={d-1≤x≤3}，求： (1)AUB. (2)(GA）nB (3)(G,AU(G,B) 【答案】4)-1≤x≤4， (2)x-1≤x< 3){x到x<1或>3}： 【解析】 【小问1详解】 由A=1≤x≤4号，B=x-1≤x≤3到，可得4UB={x-1≤x≤4号 第10页/供19页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 因为SA=x<1或x>4,B={x-1≤x≤3}，所以(GA)nB={-1≤x< 【小问3详解】 因为C,A=xx<1或>4号，GB={xx<-l或x>3, (GA)(GB)=x*>3 16已知不等式2x-d≤b的解集为4，不等式m2-mx-1<0的解集为B. (1)若a=1,b=2,求A: (2若4=l3] 求实数a,b的取值： (3)若B=R,求实数的取值范围. 【14-[ (2)a=2,b=4, (3)m的取值范国为(4,0]. 【解析】 a=1,b=2 【分析】(1)代入 ，结合绝对值性质解不等式即可： =-1a+b a-b =3 (2)解不等式，结合条件可得2 ，2 ，由此可得结论： (3)结合二次函数性质列不等式即可 【小问1详解】 因为a=1,b=2, 所以不等式2x-4≤b等价于2x-l≤2 第11页/共19页 6学科网命组卷网 所以-2≤2x-1≤2， 1 m4[2引 【小问2详解】 当b<0时，不等式2r-d≤b的解集为⑦，不满足要求， 当b=0时，不等式2x-ad≤b的解集为2了， 不满足要求， 当b>0时，不等式2x-d≤b可化为b≤2x-a≤b, a,b≤x<a+b 所以2 2,由A=[-1,3]. =-14+b a-b =3 可得2 ，2 所以a=2,b=4, 【小问3详解】 由已知不等式r-mx-1< 的解集为R, m<0 所以1m2+4m<0或m=0: 解得-4<m<0或m=0, 所以实数m的取值范围为(4,0] 17.已知x>0y>0.且+y=4 第12页/供19页 6学科网列组卷网 1.4 (1)求xy的最小值； (2)求+y 的最小值 0 【答案】(1)4 (2)8 【解析】 x+y 【分析】(1)利用换1法将4乘入原式并展开，随后通过基本不等式求解最小值. (2)利用基本不等式2(r+y)≥(x+ 进行整体代换即可求得最值： 【小问1详解】 x+y=1 因为x+y=4,所以4 -任兰“ 0+*- 上>0,4x>0 因为x>0y>0,所以xy, 上+4≥22=24=4，当且仅当y即y=4x. 则c yx y 48 结合x+y=4且x>0,y>0,解得x=3y= 3时等号成立， 第13页/供19页 6学科网命组卷网 5+2+4 所以4FD≥4×5+4=4 【小问2详解】 因为x-≥0，即t-2y+少≥0.即+y≥2g, 两边同时加上+少可得2(？+户2r+2y+y 即2(r+y)≥(x+y2 代入x+y=4得2(r+y)≥4=16 即+少≥8，当且仅当=》时，结合+y=4,即当×=2，y=2时等号成立 18要制作一个容积为4m、高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价为每平方米20元， 侧面造价为每平方米10元.设底面矩形的长、宽分别为am,bm(a>0,b>0),总造价为y元. (1)求y关于a,b的表达式，并写出a,b满足的关系式： (2)证明：当a=b时，该容器的总造价最低，并求最低造价： (3)若底面造价降为每平方米16元，侧面造价不变，其他条件不变，求此时该容器的最低总造价. 【省】-20+206+20b.ab满起h=4a>060 (2)证明成立，最低总造价为160元 (3)最低总造价为144元 【解析】 【小问1详解】 由题意，容器为无盖长方体，底面矩形的长、宽分别为a、b(a>0,b>0),高为1，容积为4. 由容积不变得abl=4,即a,b满足的关系式为ab=4(a>0,b>0)· 第14页/共19页 6学科网命组卷网 ab 20ab 2(a+b) 底面面积为，底面造价为 元：四个侧面的总面积为 ,侧面造价为 10×2(a+b)=20(a+b) 元 y=20ab+20(a+b)=20a+20b+20ab 故总造价 (元)· 【小问2详解】 由(1)知ab=4,故y=20a+20b+20ab=20(a+b)+20x4=20(a+b)+80 因为a>0,b>0,由基本不等式得a+b≥2ab=2N4=4,当且仅当a=b=2时等号成立 y=20(a+b)+80≥20×4+80=160 所以 当且仅当a=b=2 时等号成立 故当a=b时，该容器的总造价最低，最低造价为160元 【小问3详解】 若底面造价降为每平方米16 y=16ab+20(a+b) 元，侧面造价不变，则总造价 ab=4得y=16x4+20(a+b)=64+20(a+b) 由 由基本不等式a+b≥2Wah=4(当且仅当a=b=2时等号成立)，得y≥64+20×4=144 故此时该容器的最低总造价为144元 19.定义两种新运算“⊕”与⑧”，满足如下运算法则：对任意的a,b,有a⊕b=ab,a⑧b=a+1.设集 (1)当0<a<b<3时，求集合A: (2)当b为某一定值时，集合A中元素全部是完全平方数，求此时集合B中的最小元素； (3)令a<b,将集合A中元素按照从小到大排列依次是4,4，，同理将集合B中元素按照从小到 第15页/供19页 6学科网命组卷网 大列衣是4,4.，取来合D=a,6.已知C=om2-5儿m-)2-x+2]-=0 CnD≠g,且card(C)-card(D-l,求实数m的值 【答案】(1) A={4} (2)9 (3)m=1 【解析】 【分析】(1)根据题意，得到唯一满足条件的正整数对为 a,b)=(1,2) 代入即可求解： (2)枚举满足范围的正整数a,b;先确定使所有a都得到完全平方数的b,再求集合B的最小元素： (3)在口<b的条件下重新确定4、B,利用集合元素个数与交集条件筛选m, 【小问1详解】 因为a,b均为正整数，且0<a<b<3 所以a=1b=2 于是a©b=2,a®b=P+1=2,故x=2+2=4,即4={4 【小问2详解】 6 由定义知，当固定时，集合“中的元素可写为x=a”+ab+1a∈N. 若b=1,取a=1,则x=3,不是完全平方数，不合题意. 若b23,取0=4 4,则2七=4+46+1 ，4b<21 当6=3 若对某个b≥3成立，则4(6+)≤86<22 故对任意整数b之3都有4b<2 第16页/供19页 命学科网命组卷网 所以(2<4+4h+1<(2+,即x严格介于两个相邻正整数的平方之间，也不是完全平方数，不合 题意 当b=2时，x=(a+1恒为完全平方数，故b=2是唯一可行值. 此时案合B中的元素为x=4×2a++1_。+16g+1 2 2 由于X-9=Q-1a+17≥0laeN,且a=1时等号成立，所以柴合B的最小元素为9， 2 【小问3详解】 本问增加条件a<b a,b ,其中 均为正整数， 当a=1b≥2 ，集合中的元素为=b+2, 4,5,6.… ,可取遍 若a≥2，则≥3，这时x=ab+d+1≥2×3+2+1=15 所以集合A中没有小于4的元素. 故A={4,5,6,4,=5. 集合B中的元素为x=4ab+a+( 6(a,b∈N,a<b) 2 x=4b+ 当a=1时，b≥2，有 b: 2 4 ->0 相邻两项之差为b(b+),故随正整数b≥2增大而严格增大. 9,383310273 对b=2,3,4,5,6依次得到3’2’5’3 当a=2,b=3附.X=4x2×3+21=27 3 第17页/供19页 6学科网6组卷网 a=2,b≥4mx>8b≥32>27 若 ,则1 若a≥3，由b>a得x>4ab≥48>27： 若4=1，b27.则=4b+228>27 b 1321 人，因合B从水到大的前六个元检为g,2五。 9. 又3 所以b,=27,D={5,27}.card(D)=2 因为CnD≠g且card(C)-2=l,所以C至少有两个元素，且card(C)=3 又CnD≠0，故5∈C或27∈C. 若5元C,代定文C的方R两2m-255m-9到-0新Nm-1度m- 老27eC,则29m-135列729(m-)=0解得m=1度m=. 因此，只需检验上述三个候选值. 当m=1时，原方程化为x-527-=0,得到C=05,27},满足全部条件. 3 125 135 m 当= 25时，第一因式的两个零点为0、3，第二因式的两个零点为5、22. 四个零点互不相同，故ard(C)=4,不合题意. 5 m= 当27时，第一因式的两个零点为0、27： 第二因式对应的二次方程判别式为89>0，且将0、27代入该二次方程均不成立. 第18页/供19页 6学科网 6组卷网 故C仍有四个不同元素，不合题意. 综上，m=1. 第19页/共19页