专题二 双曲线全面复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
|
2份
|
24页
|
36人阅读
|
0人下载
普通
内容正文：
双曲线复习讲义
知识梳理
一、双曲线的定义
1．第一定义 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数（0 < 2a < |F1F2| = 2c）的点的轨迹叫做双曲线。两定点叫焦点，|F1F2| = 2c 叫焦距。
2a < 2c：轨迹为双曲线（两支）； 2a = 2c：轨迹为两条射线；2a > 2c：轨迹不存在；
2a = 0：轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
不带绝对值时：若 |PF1| − |PF2| = 2a（2a < 2c）为定值，轨迹仅为双曲线的一支——靠近 F2 的那一支。这是"定义法求最值"和"判断轨迹"的关键区别。
2．（拓展）第二定义 平面内到定点 F 的距离与到定直线l（准线 x = ±）的距离之比为常数 e（e > 1）的点的轨迹；e 为离心率。
3．（拓展）焦半径公式（焦点在 x 轴，P(x0, y0) 在双曲线上）
P 在右支：|PF1| = ex0 + a， |PF2| = ex0 − a；
P 在左支：|PF1| = −ex0 − a，|PF2| = −ex0 + a。
记忆要点：到"近焦点"的焦半径最小值为 c-a（在顶点处取得）。
二、标准方程与 a、b、c 的关系
项目
焦点在 x 轴
焦点在 y 轴
标准方程
=1（a>0，b>0）
=1（a>0，b>0）
焦点坐标
F1(−c, 0)，F2(c, 0)
F1(0, −c)，F2(0, c)
渐近线
y = ±x
y = ±x
关系式
c² = a² + b²（c 最大）
c² = a² + b²（c 最大）
焦点位置的判定：看方程中的"正项"——x² 项系数为正 ⟺ 焦点在 x 轴上。
与椭圆对照（防混淆）：
椭圆 a² = b² + c²（a 最大）、0 < e < 1、封闭曲线、无渐近线；
双曲线 c² = a² + b²（c 最大）、e > 1、两支、有两条渐近线。
三、几何性质（以 =1 为例）
范围：x ≤ −a 或 x ≥ a，y ∈ R； 顶点：(±a, 0)；实轴长 2a，虚轴长 2b。
对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称，中心为原点。
离心率：e = = ∈ (1, +∞)，e 越大，双曲线开口越阔。
渐近线：y = ±x
通径：过焦点垂直于实轴的弦长 ；焦点到渐近线的距离恒为 b；
图 1 双曲线 =1 的几何要素
四、渐近线问题的三种基本操作
1．由方程写渐近线：把标准方程右边的"1"换成"0"，即 =0，解得 y = ±x。
2．由渐近线设方程：渐近线为 y = ±x（即 bx ± ay = 0）时，可设 = λ（λ ≠ 0）；渐近线为 mx ± ny = 0 时，可设 m²x² − n²y² = λ。λ > 0 与原双曲线同焦轴方向，λ < 0 为其共轭双曲线。
3．（拓展）共轭双曲线： = 1 与 = 1 互为共轭：共渐近线、四个焦点共圆（半径 c）
4.等轴双曲线：a = b，渐近线 y = ±x，e =； 方程可设 x² − y² = λ。
五、离心率：求值与求范围
恒等式：e = ， = ；
几何法：在焦点三角形、焦点弦图形中，用定义（|PF1| − |PF2| = 2a）＋余弦定理（或勾股定理）建立 a、c 的齐次等式。
代数法：把几何条件翻译成 a、b、c 的方程，消元解出 e；求范围时建立关于 e 的不等式。
范围问题的常用约束：焦半径 ≥ c − a；两交点同支 ⇔ x1x2 > 0；
六、焦点三角形（P 在双曲线上，∠F1PF2 = θ）
图 2 焦点三角形：定义与余弦定理的联动
设 |PF1| = m，|PF2| = n（不妨 m > n），则 m − n = 2a。由余弦定理：
4c² = m² + n² − 2mn·cos θ = (m − n)² + 2mn(1 − cos θ) ⇒ mn = ⇒ S = mn·sin θ =
θ = 90° 时 S = b²（最常用秒杀结论）；mn 只与 b 和 θ 有关，与 a 无关；周长 = m + n + 2c。
七、直线与双曲线的位置关系
设 l: y = kx + m 代入 b²x² − a²y² = a²b²，得二次方程（b² − a²k²)x² − 2a²km·x − a²(m² + b²) = 0。
① b² − a²k² = 0（即 k = ±，l 平行于渐近线）：方程降为一次，l 与双曲线恰有一个公共点——不是相切
② b² − a²k² ≠ 0：Δ = 4a²b²(m² + b² − a²k²)。Δ > 0 两个交点，Δ = 0 相切，Δ < 0 无公共点。
③ 两个交点同支 ⇔ x1x2 > 0；异支 ⇔ x1x2 < 0。
弦长公式：|AB| = |x1 − x2| = ·|y1 − y2|。
中点弦（点差法）：A、B 在 = 1 上，中点 M(x0, y0)，两方程作差得 = -。
点差法必须回代检验：所求直线与双曲线需满足 Δ > 0，否则中点弦不存在。
反例：双曲线 x² − y² = 1 中以 M(1, 1) 为中点的弦不存在——点差法给出 k = 1，恰为渐近线斜率，直线与双曲线无交点。
八、易错警示
忽略定义中的"绝对值"或"2a < 2c"条件，导致多解漏解；
把 c² = a² + b² 误写成 a² = b² + c²（椭圆惯性思维）；
焦点在 y 轴时渐近线仍写成 y = ±x——正确为 y = ±x；
"直线与双曲线只有一个公共点"≠"相切"（平行于渐近线也是只有一个公共点）；
点差法求出斜率后不检验 Δ，出现"不存在的弦"；
求离心率范围时，忽略"点在右支""两交点同支"等隐含限制。
例题讲解
难度标记：★ 基础 ★★ 中档 ★★★ 提升。
【例1】（定义与双支判断）★
已知双曲线 C: = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为 C 上一点，若 |PF1| = 5，则 |PF2| = ______。
【例2】（焦点三角形·面积）★
已知双曲线 = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线上，且 ∠F1PF2 = 90°，则 △F1PF2 的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
【例3】（焦点三角形·余弦定理）★★
设双曲线 C: = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 在 C 的右支上，若 b = 1，∠F1PF2 = ，求 △F1PF2 的面积。
【例4】（标准方程·共焦点）★
与椭圆 = 1 共焦点，且经过点 P(2, 1) 的双曲线方程为（ ）
A． = 1 B．x² − = 1 C． − y² = 1 D． − y² = 1
【例5】（渐近线·焦点到渐近线的距离）★
双曲线 x² − = 1 的左焦点 F 到其一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例6】（离心率·由渐近线求值）★
已知双曲线 = 1（a > 0，b > 0）的一条渐近线经过点 M(4, 3)，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例7】（离心率·焦点弦＋余弦定理）★★★
已知双曲线 C = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 的直线与 C 的左支交于 A、B 两点。
(1) 若 |AF₂| + |BF₂| = 2|AB| = 8，且 F₁(−3, 0)，求 C 的方程；
(2) 若直线 AB 的斜率为 −，且 |AF1| = 4|F1B|，求 C 的离心率。
【例8】（直线与双曲线的位置关系）★★
已知直线 l: y = kx + 1 与双曲线 C: x² − y² = 1。
(1) 若 l 与 C 有且仅有一个公共点，求 k 的值；
(2) 若 l 与 C 的右支交于两个不同点，求 k 的取值范围。
【例9】（中点弦·点差法）★★
若双曲线 x² − y² = 1 的弦 AB 被点 M(2, 1) 平分，则直线 AB 的方程为（ ）
A．3x − 4y − 2 = 0 B．x + 2y − 4 = 0 C．3x + 2y − 8 = 0 D．2x − y − 3 = 0
【例10】（弦长·焦点弦）★★
过双曲线 x² − = 1 的左焦点 F₁ 作倾斜角为 π/6 的直线 l，l 与双曲线交于 A、B 两点，则 |AB| =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例11】（最值·定义转化）★★★
已知双曲线 C: − y² = 1 的右焦点为 F₂，点 P 在 C 的右支上，点 Q 的坐标为 (2, )，则 |PQ| + |PF₂| 的最小值为（ ）
A．4 − 2 B． − 2 C． − 2 D．/2 − 2
变式训练
【变式 1】（对应例 1）已知双曲线 C: x²/9 − y²/16 = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为 C 上一点，若 |PF1| = 7，则 |PF2| = ______。
【变式 2】（对应例 2、例 3）已知双曲线 x²/4 − y² = 1 的左、右焦点为 F1、F2，P 为双曲线上一点，且 ∠F1PF2 = 60°，则 △F1PF2 的面积为 ______。
【变式 3】（对应例 4）求与椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 共焦点且过点 (3, −2) 的双曲线的标准方程。
【变式 4】（对应例 5）已知双曲线 x²/a² − y²/4 = 1（a > 0）的一条渐近线为 2x − y = 0，则 a = ______。
【变式 5】（对应例 6）已知双曲线 x²/a² − y²/b² = 1（a > 0，b > 0）的一条渐近线的倾斜角为 60°，则其离心率为 ______。
【变式 6】（对应例 7）已知双曲线 x²/4 − y² = 1 的左、右焦点为 F1、F2，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，若 |AB| = 2，则 △ABF1 的周长为 ______。
【变式 7】（拓展）已知双曲线 x²/a² − y²/b² = 1 的右焦点为 F，A、B 是双曲线上关于原点对称的两点，且 FA·FB = 0，|FA| = 2|FB|，则该双曲线的离心率为 ______。
【变式 8】（对应例 8）已知直线 y = kx + 2 与双曲线 x²/4 − y² = 1 有且仅有一个公共点，则 k 的值为 ______。
【变式 9】（对应例 9）已知双曲线 C: x²/3 − y² = 1，过点 P(1, 1) 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程。
【变式 10】（对应例 10）已知双曲线 C: x²/4 − y² = 1 的右焦点为 F₂，过 F₂ 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A、B 两点，求 |AB|。
【变式 11】（对应例 11）已知 P 为双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的右支上一点，M、N 分别是圆 (x + 5)² + y² = 4 和 (x − 5)² + y² = 1 上的点，则 |PM| − |PN| 的最大值为 ______。
课后巩固
A 组·基础过关
★ 1．双曲线 x²/4 − y²/9 = 1 的焦距为 ______，离心率为 ______，渐近线方程为 ______。
★ 2．双曲线 y²/3 − x²/6 = 1 的焦点坐标为 ______。
★ 3．双曲线 x² − 2y² = 1 的焦点坐标为 ______。
★ 4．若方程 x²/(k − 3) + y²/(5 − k) = 1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围为 ______。
★★ 5．已知 P 是双曲线 x²/16 − y²/9 = 1 上一点，F₁、F₂ 是其两焦点，若 |PF₁| = 9，
则 |PF₂| = ______。
★ 6．已知双曲线 x²/a² − y²/3 = 1（a > 0）的离心率为 2，则 a = ______。
★ 7．求经过点 (3, 1)，且渐近线方程为 y = ±x 的双曲线的标准方程。
★★ 8．求与双曲线 x²/4 − y² = 1 有共同渐近线，且经过点 (2, 2) 的双曲线的标准方程。
B 组·能力提升
★★ 9．设 F₁、F₂ 是双曲线 x² − y²/24 = 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 4|PF₁| = 3|PF₂|，则 △PF₁F₂ 的面积为 ______。
★★★ 10．已知双曲线 C: x²/a² − y²/b² = 1（a > 0，b > 0）的左焦点为 F₁，O 为坐标原点，若在 C 的右支上存在关于 x 轴对称的两点 P、Q，使得 △PF₁Q 为正三角形，且 OQ ⊥ F₁P，则 C 的离心率为 ______。
★★ 11．已知直线 y = kx − 1 与双曲线 x² − y² = 4 的右支交于两个不同点，则实数 k 的取值范围为 ______。
★★ 12．已知 A、B 是双曲线 x²/4 − y² = 1 上关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于 A、B 的任一点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积 kPA·kPB = ______。
★★ 13．已知 F₁、F₂ 为双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的左、右焦点，P 为右支上一点，则 |PF₁| + |PF₂| 的最小值为 ______。
★★★ 14．（解答）已知双曲线 C: x²/a² − y²/b² = 1 的离心率为 2，且经过点 (2, √3)。(1) 求 C 的方程；(2) 过右焦点 F 且斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，求 |AB|。
第 页（共 页）
学科网（北京）股份有限公司
$
双曲线复习讲义
知识梳理
一、双曲线的定义
1．第一定义 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数（0 < 2a < |F1F2| = 2c）的点的轨迹叫做双曲线。两定点叫焦点，|F1F2| = 2c 叫焦距。
2a < 2c：轨迹为双曲线（两支）； 2a = 2c：轨迹为两条射线；2a > 2c：轨迹不存在；
2a = 0：轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
不带绝对值时：若 |PF1| − |PF2| = 2a（2a < 2c）为定值，轨迹仅为双曲线的一支——靠近 F2 的那一支。这是"定义法求最值"和"判断轨迹"的关键区别。
2．（拓展）第二定义 平面内到定点 F 的距离与到定直线l（准线 x = ±）的距离之比为常数 e（e > 1）的点的轨迹；e 为离心率。
3．（拓展）焦半径公式（焦点在 x 轴，P(x0, y0) 在双曲线上）
P 在右支：|PF1| = ex0 + a， |PF2| = ex0 − a；
P 在左支：|PF1| = −ex0 − a，|PF2| = −ex0 + a。
记忆要点：到"近焦点"的焦半径最小值为 c-a（在顶点处取得）。
二、标准方程与 a、b、c 的关系
项目
焦点在 x 轴
焦点在 y 轴
标准方程
=1（a>0，b>0）
=1（a>0，b>0）
焦点坐标
F1(−c, 0)，F2(c, 0)
F1(0, −c)，F2(0, c)
渐近线
y = ±x
y = ±x
关系式
c² = a² + b²（c 最大）
c² = a² + b²（c 最大）
焦点位置的判定：看方程中的"正项"——x² 项系数为正 ⟺ 焦点在 x 轴上。
与椭圆对照（防混淆）：
椭圆 a² = b² + c²（a 最大）、0 < e < 1、封闭曲线、无渐近线；
双曲线 c² = a² + b²（c 最大）、e > 1、两支、有两条渐近线。
三、几何性质（以 =1 为例）
范围：x ≤ −a 或 x ≥ a，y ∈ R； 顶点：(±a, 0)；实轴长 2a，虚轴长 2b。
对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称，中心为原点。
离心率：e = = ∈ (1, +∞)，e 越大，双曲线开口越阔。
渐近线：y = ±x
通径：过焦点垂直于实轴的弦长 ；焦点到渐近线的距离恒为 b；
图 1 双曲线 =1 的几何要素
四、渐近线问题的三种基本操作
1．由方程写渐近线：把标准方程右边的"1"换成"0"，即 =0，解得 y = ±x。
2．由渐近线设方程：渐近线为 y = ±x（即 bx ± ay = 0）时，可设 = λ（λ ≠ 0）；渐近线为 mx ± ny = 0 时，可设 m²x² − n²y² = λ。λ > 0 与原双曲线同焦轴方向，λ < 0 为其共轭双曲线。
3．（拓展）共轭双曲线： = 1 与 = 1 互为共轭：共渐近线、四个焦点共圆（半径 c）
4.等轴双曲线：a = b，渐近线 y = ±x，e =； 方程可设 x² − y² = λ。
五、离心率：求值与求范围
恒等式：e = ， = ；
几何法：在焦点三角形、焦点弦图形中，用定义（|PF1| − |PF2| = 2a）＋余弦定理（或勾股定理）建立 a、c 的齐次等式。
代数法：把几何条件翻译成 a、b、c 的方程，消元解出 e；求范围时建立关于 e 的不等式。
范围问题的常用约束：焦半径 ≥ c − a；两交点同支 ⇔ x1x2 > 0；
六、焦点三角形（P 在双曲线上，∠F1PF2 = θ）
图 2 焦点三角形：定义与余弦定理的联动
设 |PF1| = m，|PF2| = n（不妨 m > n），则 m − n = 2a。由余弦定理：
4c² = m² + n² − 2mn·cos θ = (m − n)² + 2mn(1 − cos θ) ⇒ mn = ⇒ S = mn·sin θ =
θ = 90° 时 S = b²（最常用秒杀结论）；mn 只与 b 和 θ 有关，与 a 无关；周长 = m + n + 2c。
七、直线与双曲线的位置关系
设 l: y = kx + m 代入 b²x² − a²y² = a²b²，得二次方程（b² − a²k²)x² − 2a²km·x − a²(m² + b²) = 0。
① b² − a²k² = 0（即 k = ±，l 平行于渐近线）：方程降为一次，l 与双曲线恰有一个公共点——不是相切
② b² − a²k² ≠ 0：Δ = 4a²b²(m² + b² − a²k²)。Δ > 0 两个交点，Δ = 0 相切，Δ < 0 无公共点。
③ 两个交点同支 ⇔ x1x2 > 0；异支 ⇔ x1x2 < 0。
弦长公式：|AB| = |x1 − x2| = ·|y1 − y2|。
中点弦（点差法）：A、B 在 = 1 上，中点 M(x0, y0)，两方程作差得 = -。
点差法必须回代检验：所求直线与双曲线需满足 Δ > 0，否则中点弦不存在。
反例：双曲线 x² − y² = 1 中以 M(1, 1) 为中点的弦不存在——点差法给出 k = 1，恰为渐近线斜率，直线与双曲线无交点。
八、易错警示
忽略定义中的"绝对值"或"2a < 2c"条件，导致多解漏解；
把 c² = a² + b² 误写成 a² = b² + c²（椭圆惯性思维）；
焦点在 y 轴时渐近线仍写成 y = ±x——正确为 y = ±x；
"直线与双曲线只有一个公共点"≠"相切"（平行于渐近线也是只有一个公共点）；
点差法求出斜率后不检验 Δ，出现"不存在的弦"；
求离心率范围时，忽略"点在右支""两交点同支"等隐含限制。
例题讲解
难度标记：★ 基础 ★★ 中档 ★★★ 提升。
【例1】（定义与双支判断）★
已知双曲线 C: = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为 C 上一点，若 |PF1| = 5，则 |PF2| = ______。
解析 a = 2，c = 4。由定义 ||PF1| − |PF2|| = 2a = 4，故 |PF2| = 1 或 9。
又 P 到任一焦点的距离不小于 c − a = 2，而 |PF1| = 5 < c + a = 6，说明 P 不在右支，只能在左支，故 |PF2| = |PF1| + 2a = 9。
◆ 方法点拨 定义给出两个候选值，用"焦半径最小值 c − a"或"支的位置"筛选；|PF| < c + a 说明 P 在该焦点同侧支上。
【例2】（焦点三角形·面积）★
已知双曲线 = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线上，且 ∠F1PF2 = 90°，则 △F1PF2 的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
解析 由 S = = 36，选 C。
另解（定义法）：设 |PF1| = m，|PF2| = n，则 |m − n| = 2a = 16；由勾股定理 m² + n² = 4c² = 400，得 mn = (400 − 256)/2 = 72，S = mn = 36。
◆ 方法点拨 直角焦点三角形直接 S = b² 秒杀；
【例3】（焦点三角形·余弦定理）★★
设双曲线 C: = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 在 C 的右支上，若 b = 1，∠F1PF2 = ，求 △F1PF2 的面积。
解析 设 |PF1| = m，|PF2| = n，则 m − n = 2a。
在 △PF1F2 中由余弦定理：4c² = m² + n² − 2mn·cos 60° = (m − n)² + mn = 4a² + mn，
故 mn = 4(c² − a²) = 4b² = 4，S =mn·sin 60° = 。
◆ 方法点拨 "定义＋余弦定理"是焦点三角形的基本功；
【例4】（标准方程·共焦点）★
与椭圆 = 1 共焦点，且经过点 P(2, 1) 的双曲线方程为（ ）
A． = 1 B．x² − = 1 C． − y² = 1 D． − y² = 1
解析 椭圆中 c² = 6 − 3 = 3，焦点 (±, 0) 在 x 轴上。设双曲线 = 1，则
a² + b² = 3，且 4/a² − 1/b² = 1。设 u = a²，v = b²：u + v = 3，4v − u = uv，消元得 v² + 2v − 3 = 0，v = 1（v = −3 舍），u = 2。
故方程为 − y² = 1 ，选 C。
◆ 方法点拨 "共焦点"先定 c 与焦点位置，"过点"代入待定系数；注意双曲线中 c² = a² + b²，与椭圆符号相反。
【例5】（渐近线·焦点到渐近线的距离）★
双曲线 x² − = 1 的左焦点 F 到其一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
解析 a = 1，b = √2，由结论"焦点到渐近线的距离恒为 b"直接得 √2，选 B。
◆ 方法点拨 "焦点到渐近线距离 = b"可秒杀；该垂足把焦距分成两段：|OH| = a，|F₂H| = b，常用于反求参数。
【例6】（离心率·由渐近线求值）★
已知双曲线 = 1（a > 0，b > 0）的一条渐近线经过点 M(4, 3)，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解析 渐近线 y = x 过 M(4, 3)，故 = 。
e = = = ，选 B。
◆ 方法点拨 e 与 一一对应： = ；
【例7】（离心率·焦点弦＋余弦定理）★★★
已知双曲线 C = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 的直线与 C 的左支交于 A、B 两点。
(1) 若 |AF₂| + |BF₂| = 2|AB| = 8，且 F₁(−3, 0)，求 C 的方程；
(2) 若直线 AB 的斜率为 −，且 |AF1| = 4|F1B|，求 C 的离心率。
解析 (1) 由定义 |AF₂| − |AF₁| = |BF₂| − |BF₁| = 2a，故 |AF₂| + |BF₂| = |AB| + 4a = 8；又 |AB| = 4，得 a = 1。由 F₁(−3, 0) 知 c = 3，b² = 8，故 C: x² − y²/8 = 1。
(2) 斜率 −√3 对应 ∠AF₁F₂ = 120°，∠BF₁F₂ = 60°。设 |BF₁| = m，则 |AF₁| = 4m，由定义 |AF₂| = 4m + 2a，|BF₂| = m + 2a。
在 △AF₁F₂ 中：cos 120° = (16m² + 4c² − (4m + 2a)²)/(16mc) = −1/2，化简得 c² − a² = 4am − 2mc；
在 △BF₁F₂ 中：cos 60° = (m² + 4c² − (m + 2a)²)/(4mc) = 1/2，化简得 c² − a² − am = mc/2。
联立消去 c² − a²：3am = (5/2)mc，即 c/a = 6/5，故 e = 6/5。
◆ 方法点拨 焦点弦两端到"另一焦点"的距离用定义转化（|AF₂| + |BF₂| = |AB| + 4a）；含角度时两次余弦定理，消元时盯住目标 c/a，保持齐次。
【例8】（直线与双曲线的位置关系）★★
已知直线 l: y = kx + 1 与双曲线 C: x² − y² = 1。
(1) 若 l 与 C 有且仅有一个公共点，求 k 的值；
(2) 若 l 与 C 的右支交于两个不同点，求 k 的取值范围。
解析 联立得 (1 − k²)x² − 2kx − 2 = 0。
(1) ①当 1 − k² = 0，即 k = ±1 时，方程为一次方程，恰有一解（l 平行于渐近线）；②当 1 − k² ≠ 0 时，Δ = 4k² + 8(1 − k²) = 8 − 4k² = 0，得 k = ±√2。综上 k ∈ {−√2, −1, 1, √2}。
(2) 需 1 − k² ≠ 0 且 Δ > 0，即 |k| < √2；两根均为正（右支）：x₁x₂ = −2/(1 − k²) > 0 且 x₁ + x₂ = 2k/(1 − k²) > 0。由 x₁x₂ > 0 得 1 − k² < 0，即 |k| > 1；再由 x₁ + x₂ > 0 得 k < 0。故 k ∈ (−√2, −1)。
◆ 方法点拨 二次项系数为零（平行渐近线）必须单列，否则漏解；"同支"⇔ x₁x₂ > 0 是处理"交于右支/左支"的核心。
【例9】（中点弦·点差法）★★
若双曲线 x² − y² = 1 的弦 AB 被点 M(2, 1) 平分，则直线 AB 的方程为（ ）
A．3x − 4y − 2 = 0 B．x + 2y − 4 = 0 C．3x + 2y − 8 = 0 D．2x − y − 3 = 0
解析 设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，代入 x² − y² = 1 并作差：(x₁ + x₂)(x₁ − x₂) − (y₁ + y₂)(y₁ − y₂) = 0。
由中点条件 x₁ + x₂ = 4，y₁ + y₂ = 2，得 4(x₁ − x₂) = 2(y₁ − y₂)，即 kAB = 2。
直线为 y − 1 = 2(x − 2)，即 2x − y − 3 = 0，选 D。
检验：联立得 3x² − 12x + 10 = 0，Δ = 144 − 120 = 24 > 0，弦确实存在。
◆ 方法点拨 点差法公式 k = b²x₀/(a²y₀)；"先求 k，再回代检验 Δ"缺一不可。反例：以 M(1, 1) 为中点的弦——点差法得 k = 1，恰为渐近线斜率，这样的弦不存在。
【例10】（弦长·焦点弦）★★
过双曲线 x² − = 1 的左焦点 F₁ 作倾斜角为 π/6 的直线 l，l 与双曲线交于 A、B 两点，则 |AB| =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 a = 1，b = √3，c = 2，F₁(−2, 0)，k = tan 30° = √3/3，l: y = (√3/3)(x + 2)。
代入 3x² − y² = 3，整理得 8x² − 4x − 13 = 0，x₁ + x₂ = 1/2，x₁x₂ = −13/8。
|AB| = √(1 + k²)·|x₁ − x₂| = √(4/3)·√(1/4 + 13/2) = (2/√3)·(3√3/2) = 3，选 B。
◆ 方法点拨 弦长公式 |AB| = √(1 + k²)|x₁ − x₂|（用 y 时换成 √(1 + 1/k²)）；先验证 Δ > 0，再用韦达定理整体代入，不必求出交点。
【例11】（最值·定义转化）★★★
已知双曲线 C: − y² = 1 的右焦点为 F₂，点 P 在 C 的右支上，点 Q 的坐标为 (2, )，则 |PQ| + |PF₂| 的最小值为（ ）
A．4 − 2 B． − 2 C． − 2 D．/2 − 2
解析 设左焦点 F₁(−2, 0)。由定义 |PF₁| − |PF₂| = 2a = 2√3，故 |PQ| + |PF₂| = |PQ| + |PF₁| − 2√3。
由三角不等式 |PQ| + |PF₁| ≥ |QF₁|，而 |QF₁| = √((2 + 2)² + (1/2)²) = √65/2。
当 F₁、P、Q 三点共线（P 在线段 F₁Q 上且在右支上）时取等号，故最小值为 √65/2 − 2√3，选 D。
◆ 方法点拨 "到右焦点的距离"经定义换成"到左焦点的距离 − 2a"，再配三角不等式；凡"和的最小值、差的最大值"问题，优先考虑定义转化＋三点共线（或圆的半径）。
变式训练
【变式 1】（对应例 1）已知双曲线 C: x²/9 − y²/16 = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为 C 上一点，若 |PF1| = 7，则 |PF2| = ______。
【变式 2】（对应例 2、例 3）已知双曲线 x²/4 − y² = 1 的左、右焦点为 F1、F2，P 为双曲线上一点，且 ∠F1PF2 = 60°，则 △F1PF2 的面积为 ______。
【变式 3】（对应例 4）求与椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 共焦点且过点 (3, −2) 的双曲线的标准方程。
【变式 4】（对应例 5）已知双曲线 x²/a² − y²/4 = 1（a > 0）的一条渐近线为 2x − y = 0，则 a = ______。
【变式 5】（对应例 6）已知双曲线 x²/a² − y²/b² = 1（a > 0，b > 0）的一条渐近线的倾斜角为 60°，则其离心率为 ______。
【变式 6】（对应例 7）已知双曲线 x²/4 − y² = 1 的左、右焦点为 F1、F2，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，若 |AB| = 2，则 △ABF1 的周长为 ______。
【变式 7】（拓展）已知双曲线 x²/a² − y²/b² = 1 的右焦点为 F，A、B 是双曲线上关于原点对称的两点，且 FA·FB = 0，|FA| = 2|FB|，则该双曲线的离心率为 ______。
【变式 8】（对应例 8）已知直线 y = kx + 2 与双曲线 x²/4 − y² = 1 有且仅有一个公共点，则 k 的值为 ______。
【变式 9】（对应例 9）已知双曲线 C: x²/3 − y² = 1，过点 P(1, 1) 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程。
【变式 10】（对应例 10）已知双曲线 C: x²/4 − y² = 1 的右焦点为 F₂，过 F₂ 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A、B 两点，求 |AB|。
【变式 11】（对应例 11）已知 P 为双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的右支上一点，M、N 分别是圆 (x + 5)² + y² = 4 和 (x − 5)² + y² = 1 上的点，则 |PM| − |PN| 的最大值为 ______。
课后巩固
A 组·基础过关
★ 1．双曲线 x²/4 − y²/9 = 1 的焦距为 ______，离心率为 ______，渐近线方程为 ______。
★ 2．双曲线 y²/3 − x²/6 = 1 的焦点坐标为 ______。
★ 3．双曲线 x² − 2y² = 1 的焦点坐标为 ______。
★ 4．若方程 x²/(k − 3) + y²/(5 − k) = 1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围为 ______。
★★ 5．已知 P 是双曲线 x²/16 − y²/9 = 1 上一点，F₁、F₂ 是其两焦点，若 |PF₁| = 9，
则 |PF₂| = ______。
★ 6．已知双曲线 x²/a² − y²/3 = 1（a > 0）的离心率为 2，则 a = ______。
★ 7．求经过点 (3, 1)，且渐近线方程为 y = ±x 的双曲线的标准方程。
★★ 8．求与双曲线 x²/4 − y² = 1 有共同渐近线，且经过点 (2, 2) 的双曲线的标准方程。
B 组·能力提升
★★ 9．设 F₁、F₂ 是双曲线 x² − y²/24 = 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 4|PF₁| = 3|PF₂|，则 △PF₁F₂ 的面积为 ______。
★★★ 10．已知双曲线 C: x²/a² − y²/b² = 1（a > 0，b > 0）的左焦点为 F₁，O 为坐标原点，若在 C 的右支上存在关于 x 轴对称的两点 P、Q，使得 △PF₁Q 为正三角形，且 OQ ⊥ F₁P，则 C 的离心率为 ______。
★★ 11．已知直线 y = kx − 1 与双曲线 x² − y² = 4 的右支交于两个不同点，则实数 k 的取值范围为 ______。
★★ 12．已知 A、B 是双曲线 x²/4 − y² = 1 上关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于 A、B 的任一点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积 kPA·kPB = ______。
★★ 13．已知 F₁、F₂ 为双曲线 x²/9 − y²/16 = 1 的左、右焦点，P 为右支上一点，则 |PF₁| + |PF₂| 的最小值为 ______。
★★★ 14．（解答）已知双曲线 C: x²/a² − y²/b² = 1 的离心率为 2，且经过点 (2, √3)。(1) 求 C 的方程；(2) 过右焦点 F 且斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，求 |AB|。
参考答案与提示
变式训练
变 1 13。提示：|PF₁| = 7 < c + a = 8，P 在左支，|PF₂| = 7 + 2a = 13（1 舍）。
变 2 √3。提示：S = b²·cot(θ/2) = 1 × cot 30° = √3。
变 3 x²/3 − y²/2 = 1。提示：c² = 5，a² + b² = 5，9/a² − 4/b² = 1，解得 a² = 3，b² = 2。
变 4 1。提示：b = 2，b/a = 2 ⇒ a = 1。
变 5 2。提示：b/a = tan 60° = √3，e = √(1 + 3) = 2。
变 6 12。提示：周长 = |AF₁| + |BF₁| + |AB| = (|AF₂| + 2a) + (|BF₂| + 2a) + |AB| = 2|AB| + 4a = 4 + 16 = 12。
变 7 √5。提示：设左焦点 F₁，则 AFBF₁ 为矩形；设 |FA| = m = 2n（n = |FB|），m − n = n = 2a，m² + n² = 4c²，得 c² = 5a²，e = √5。
变 8 k = ±1/2 或 k = ±√5/2。提示：联立得 (1/4 − k²)x² − 4kx − 5 = 0；k = ±1/2 时为一次方程恰一解；否则 Δ = 5 − 4k² = 0。
变 9 x − 3y + 2 = 0。提示：点差法 k = b²x₀/(a²y₀) = 1/3；回代检验 Δ > 0 成立。
变 10 8/3。提示：联立得 3x² − 8√5x + 24 = 0，x₁ + x₂ = 8√5/3，x₁x₂ = 8，|AB| = √2·√(320/9 − 32) = √2 × 4√2/3 = 8/3。
变 11 9。提示：两圆圆心恰为两焦点。|PM| ≤ |PF₁| + 2，|PN| ≥ |PF₂| − 1，故 |PM| − |PN| ≤ |PF₁| − |PF₂| + 3 = 6 + 3 = 9。
课后巩固·A 组
1 焦距 2√13；e = √13/2；渐近线 y = ±(3/2)x。
2 (0, ±3)。
3 (±√6/2, 0)。提示：x² − y²/(1/2) = 1，c = √(1 + 1/2) = √6/2。
4 k < 3 或 k > 5。提示：(k − 3)(5 − k) < 0。
5 1 或 17。提示：||PF₂| − 9| = 2a = 8；两解均可取到（|PF₂| = 1 时 P 为顶点 (4, 0)）。
6 1。提示：e = 2 ⇒ b/a = √3 ⇒ 3/a² = 3。
7 x²/8 − y²/8 = 1。提示：设 x² − y² = λ，9 − 1 = 8。
8 y²/3 − x²/12 = 1。提示：设 x²/4 − y² = λ，1 − 4 = −3 < 0，焦点在 y 轴。
课后巩固·B 组
9 24。提示：设 |PF₁| = 3m，|PF₂| = 4m，4m − 3m = 2a = 2，m = 2，得 6、8；2c = 10，勾股定理知直角三角形，S = ½ × 6 × 8 = 24。
10 √3 + 1。提示：由对称性与正三角形条件得 ∠PF₁O = 30°，|PF₁| = √3c，|PF₂| = c（余弦定理），故 2a = √3c − c，e = 2c/(√3c − c) = 2/(√3 − 1) = √3 + 1。
11 (1, √5/2)。提示：联立得 (1 − k²)x² + 2kx − 5 = 0；x₁x₂ = −5/(1 − k²) > 0 且 x₁ + x₂ > 0 得 |k| > 1 且 k > 0；Δ = 20 − 16k² > 0 得 k < √5/2。
12 1/4。提示：设 A(x₁, y₁)，B(−x₁, −y₁)，P(x₀, y₀)，则 kPA·kPB = (y₀² − y₁²)/(x₀² − x₁²) = b²/a² = 1/4。
13 10。提示：P 在右支时 |PF₁| = |PF₂| + 2a，故 |PF₁| + |PF₂| = 2|PF₂| + 2a ≥ 2(c − a) + 2a = 2c = 10，在顶点处取得。
14 (1) e = 2 ⇒ c = 2a，b² = 3a²；过 (2, √3)：4/a² − 3/(3a²) = 1 ⇒ a² = 3，b² = 9，故 C: x²/3 − y²/9 = 1。(2) c = 2√3，F(2√3, 0)，l: y = x − 2√3，联立得 2x² + 4√3x − 21 = 0，x₁ + x₂ = −2√3，x₁x₂ = −21/2，|AB| = √2·√(12 + 42) = 6√3。
第 页（共 页）
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
