3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质

第1课时　 抛物线的简单几何性质

　

1.关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（　　）

A.开口向右 B.焦点坐标为（－1，0）

C.准线为x＝1 D.对称轴为x轴

解析：D　因为抛物线方程为y2＝－2x，则p＝1，即＝，

所以开口向左，焦点坐标为，准线为x＝，对称轴为x轴，

故D正确.

2.已知边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（　　）

A.y2＝x B.y2＝－x

C.y2＝±x D.y2＝±x

解析：C　设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.

又A（取点A在x轴上方），

则有＝±a，解得a＝±，

所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.

3.已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到点（4，0）的距离的最小值为（　　）

A.2 B.2

C.2 D.4

解析：C　记点M（4，0），P（x0，y0），

所以｜MP｜2＝＋＝－8x0＋16＋4x0＝＋12.

由x0≥0，可得｜MP｜2≥12⇒｜MP｜≥2，当且仅当x0＝2时，｜MP｜取最小值2.

4.（2026·北京西城月考）过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于7，则｜AB｜＝（　　）

A.3 B.4

C.5 D.7

解析：C　抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，p＝2.

设A（xA，yA），B（xB，yB），则A，B到直线x＝－2的距离之和为（xA＋2）＋（xB＋2）＝xA＋xB＋4.

所以xA＋xB＋4＝7，xA＋xB＝3.

根据抛物线焦点弦长公式，｜AB｜＝xA＋xB＋p＝3＋2＝5.

5.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（　　）

A.1 B.2

C. D.

解析：D　如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），

分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.

又｜PQ｜＝y0＋，

∴y0＋＝2，∴y0＝.

6.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，当直线l的斜率为时，｜AB｜＝16，则p＝（　　）

A. B.

C. D.4

解析：A　由题意可得直线l：y＝，与抛物线方程y2＝2px（p＞0）联立，

得x2－5px＋＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝5p，

所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6p＝16，故p＝.

7.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.

（1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值；

（2）若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.

解：（1）因为直线l的倾斜角为60°，

所以其斜率k＝tan 60°＝，

又F，所以直线l的方程为y＝.联立

消去y得4x2－20x＋9＝0，

解得x1＝，x2＝，

故｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋＋3＝8.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，