专题15 双曲线的简单几何性质讲义10大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题15 双曲线的简单几何性质高频考点精讲 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： 1、离心率：等轴双曲线的离心率为：； 2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：； （2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 3.直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 4.弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 考点一　利用双曲线的方程求几何性质 考点二　利用几何性质求双曲线的标准方程 考点三　与双曲线的渐近线相关的问题 考点四　求双曲线离心率的值或取值范围 考点五　由双曲线的离心率求参数的取值范围 考点六　点、直线与双曲线的位置关系 考点七　直线与双曲线相交弦长问题 考点八　双曲线的中点弦与点差法 考点九　双曲线中的定点定值与最值问题 考点十　双曲线实际应用 考点一　利用双曲线的方程求几何性质 1．（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 2．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 3．（2026·浙江温州·二模）双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·浙江宁波·二模）（多选）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 考点二　利用几何性质求双曲线的标准方程 5．（25-26高二上·湖南永州·期中）（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 6．（25-26高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二上·江西赣州·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 8．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点三　与双曲线的渐近线相关的问题 9．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 10．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 12．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 考点四　求双曲线离心率的值或取值范围 13．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 14．（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为_____ 考点五　由双曲线的离心率求参数的取值范围 17．（25-26高二下·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 18．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 19．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 20．（2026高三·全国·专题练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且.若双曲线的离心率，求证：. 考点六　点、直线与双曲线的位置关系 21．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 22．（2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 23．（2026·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 考点七　直线与双曲线相交弦长问题 25．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 26．（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 27．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 28．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 考点八　双曲线的中点弦与点差法 29．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 30．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 31．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 32．（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 考点九　双曲线中的定点定值与最值问题 33．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 34．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，左焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左顶点为，直线交轴于点，过点的直线交双曲线的右支于点，直线分别交直线于点. ①若，求的值； ②若四点共圆，求证为定值，并求出该定值. 35．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 36．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 考点十　双曲线实际应用 37．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 38．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高三上·湖南·阶段检测）地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．3 40．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 双曲线的简单几何性质高频考点精讲 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： 1、离心率：等轴双曲线的离心率为：； 2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：； （2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 3.直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 4.弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 考点一　利用双曲线的方程求几何性质 考点二　利用几何性质求双曲线的标准方程 考点三　与双曲线的渐近线相关的问题 考点四　求双曲线离心率的值或取值范围 考点五　由双曲线的离心率求参数的取值范围 考点六　点、直线与双曲线的位置关系 考点七　直线与双曲线相交弦长问题 考点八　双曲线的中点弦与点差法 考点九　双曲线中的定点定值与最值问题 考点十　双曲线实际应用 考点一　利用双曲线的方程求几何性质 1．（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，确定焦点在轴上，求出的取值，再结合双曲线的几何性质逐一判断各选项. 【详解】将双曲线化为标准形式：， 可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 2．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 3．（2026·浙江温州·二模）双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长. 【详解】双曲线，对应， 所以，所以实轴长为. 4．（2026·浙江宁波·二模）（多选）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 【答案】BD 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 考点二　利用几何性质求双曲线的标准方程 5．（25-26高二上·湖南永州·期中）（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）写出已知椭圆参数，结合共焦点及椭圆所过的点求椭圆标准方程； （2）根据虚轴长、离心率及双曲线参数关系求双曲线参数，即可得双曲线标准方程. 【详解】（1）由，可知，令所求椭圆为且， 则且在椭圆上，可得，故，， 所以，所求椭圆标准方程为. （2）由题意，令双曲线为且，， 所以，故所求双曲线标准方程为. 6．（25-26高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 7．（25-26高二上·江西赣州·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线焦距、离心率，结合双曲线的性质即可求的双曲线方程； （2）根据双曲线的顶点或焦点位置、结合双曲线的性质即可求双曲线方程. 【详解】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 8．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 考点三　与双曲线的渐近线相关的问题 9．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，渐近线方程为，故， 所以，所以， 所以离心率. 10．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 11．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 12．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为． 两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为， 所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 考点四　求双曲线离心率的值或取值范围 13．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 14．（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 15．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由双曲线的性质，得到，得出，结合离心率的定义，得出关于离心率的不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，可得，， 两式相加得， 因为，所以， 又因为，所以， 当轴时，此时最小，此时，所以， 因为，可得，整理得， 两边除以，可得，又因为，解得， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D    16．（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为_____ 【答案】 【分析】设，确定中点，由其在渐近线上得到点P在直线上，再由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】因为双曲线的右焦点为,则,即, 且双曲线C的渐近线方程为, 设为圆上一点,且圆心为,半径, 则的中点在其渐近线上,可得, 即,所以点P在直线上, 因为圆心到直线的距离， 因为圆M上存在点P满足条件,所以直线与圆M有公共点, 所以,即,可得,可得,所以, 又因为双曲线的离心率,所以, 所以双曲线C的离心率的取值范围为. 故答案为： 考点五　由双曲线的离心率求参数的取值范围 17．（25-26高二下·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在中，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以. 18．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 19．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 【答案】 【分析】根据已知条件求出的长度，进而在和，分别求出和，从而求出即可得解. 【详解】因为，一条渐近线方程为，如图，作出符合题意的图形， 则，， 又，所以， 即，， 在中，， 在中， ， 所以. 20．（2026高三·全国·专题练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且.若双曲线的离心率，求证：. 【答案】令，由，得，由双曲线定义，得， 在与中，由，得， 由余弦定理得，解得， 令双曲线的半焦距为，在中，由正弦定理得， 则， 而，则，由，得， 所以锐角. 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理、正弦定理及正弦函数性质推理得证. 【详解】略 考点六　点、直线与双曲线的位置关系 21．（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【答案】ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 22．（2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 23．（2026·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 24．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线方程得到基本量与渐近线，设出过焦点的直线并联立方程；结合二次方程系数、韦达定理根的符号、特殊位置逐一验证各选项. 【详解】由双曲线，得，，即，， 所以渐近线方程为. 又右焦点，设过的直线为（存在）， 联立，消去，得， 整理得.① 对于，渐近线斜率为，若直线斜率，则直线与其中一条渐近线平行，此时直线和双曲线只有1个交点，正确； 对于，若两点均在右支，则方程有两个不相等的正根，即， 由韦达定理得，. 因中分子恒成立，故需要分母，解得，错误； 对于，分跨两支，则方程的两根一正一负，即，解得，正确； 对于，直线垂直于轴，即，代入双曲线，得，交点为，， 弦长为，正确. 考点七　直线与双曲线相交弦长问题 25．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线焦距得值，结合渐近线过点列方程求解得标准方程； （2）先求直线方程，联立双曲线方程用韦达定理求弦长，再求点到直线的距离，进而计算三角形面积. 【详解】（1）由双曲线：的焦距为，得，即，故. 又因为双曲线：的渐近线方程为， 将代入渐近线方程得，即. 将代入，解得， 因此双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的标准方程为，所以双曲线右顶点的坐标为. 过且斜率为的直线方程为，整理得. 联立直线与双曲线方程得，消去，化简整理得， ， 设，由韦达定理得. 由弦长公式得. 点到直线的距离. 所以的面积. 因此的面积为. 26．（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 27．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)依据渐近线方程和已知点得到和值，最后求得双曲线方程. (2)将直线代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，再用弦长公式求解. 【详解】（1）以及点代入中，可得， 所以双曲线为. （2）将代入，可得， 设，，则：，，依据弦长公式可得： ， ， 令，则方程变为：，解得或，即或， 由此可得或；原一元二次方程的判别式： ，即， 所有解均满足条件，最终：或. 28．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）因为点，点，点， 所以，， 因为直线与直线的斜率之积是，所以， 化简得，又因为直线、的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又为线段AB的中点， 则有，代入得， 所以，所以直线的方程为，即. 将代入双曲线方程得，， 整理得，此时， 所以直线与双曲线有两个不同的交点， 所以直线的方程为. （3）由（2）可得， 所以弦长 . 考点八　双曲线的中点弦与点差法 29．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 【答案】BC 【分析】由实轴的定义计算可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；联立方程组后解不等式可判断C选项；设出直线方程，联立后利用韦达定理可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可知，，，， 则实轴长，故A错误； 对于B，渐近线方程为，即，焦点为， 则焦点到渐近线距离为，故B正确； 对于C，联立得， 由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为， 则，， ，， 解得，故C正确； 对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，设直线方程为， 设的横坐标分别为，则， 联立，得， 故，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 31．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】(1)设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. (2) 【分析】（1）根据点差法即可求解； （2）先求出直线方程，与双曲线联立，然后根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，最后由面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以.    32．（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 考点九　双曲线中的定点定值与最值问题 33．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 34．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，左焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左顶点为，直线交轴于点，过点的直线交双曲线的右支于点，直线分别交直线于点. ①若，求的值； ②若四点共圆，求证为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)① ②证明： 四点共圆，且点， 所以设圆的方程为. 又点的横坐标为， 所以方程的两根为. . 又由①知， ， 解得（舍去），或. 故为定值. 【分析】（1）利用实轴长求，利用左焦点到渐近线的距离求，即可求得双曲线的标准方程. （2）①设出点坐标，联立直线和双曲线的方程，设出、坐标列出韦达定理，计算直线和的方程，表示出点和点的坐标，代入以及韦达定理，即可得到关于的方程，即可求解. ②利用四点共圆，设出圆的方程，代入点和点的横坐标，表示出各自的纵坐标，再利用①的结论，即可列出关于的方程，解出，即可得证. 【详解】（1）双曲线的实轴长为， ， . 由左焦点到渐近线的距离为1，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）① ， 设直线的方程，联立， 消去得， 设，则，. ， 所以直线的方程. 令，得， 同理，得， ， ， . 35．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 36．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）略 考点十　双曲线实际应用 37．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】/ 【分析】根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 38．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，，则离心率为. 39．（25-26高三上·湖南·阶段检测）地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等，列式可得，结合双曲线定义判断求解. 【详解】设为圆锥曲线上任意一点，由题意可知当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等， 设该市民的步行速度为，则地铁的平均速度为， 设两站间的距离为，即， 所以该市民从点去站到达站的时间为：， 该市民从点去站到达站的时间为：，其中为等候时间， 由，， 所以，即， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以点为焦点的双曲线，设， 所以，即双曲线的离心率. 40．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点.而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上.则该曲线的离心率为_________. 【答案】 【分析】最佳射门点使最大，等价于过、的圆与射线所在的直线相切，为切点.由此确定点所在的曲线方程，再求其离心率. 【详解】如图，建立直角坐标系. 设，，， 要使最大，则点为过、的圆与直线的切点. 设过、的圆的圆心为，因为为圆与直线的切点，所以. 又，所以. 即点在等轴双曲线上，所以点所在圆锥曲线的离心率为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $