安徽合肥市第四十六中学2026-2027学年度第一学期期中教学质量检测卷九年级数学

2026-2027学年度第一学期期中教学质量检则卷 九年级数学 1.数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.本试卷包括"试题卷”和“"答题卷两部分。 3.务必在”答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数中，一定是关于x的二次函数的是() A.y=ax+bx+c B.y=2x-3 C.'y=x(x+1)-x2 D.y=3x2+x-2 2.将抛物线y=一x2先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的 抛物线的函数表达式为() A.y=-(x+4)2-2 B.y=-(x-4)2+2 C.y=-(x-4)2-2 D.y=(x+4)2-2 3已知于=？，则下列结论一定成立的是( A.x=3,y=4 B.y-x=1 D.x+y=7 y4 4.若A(-1y1),B(2y2),C(5,y3)三点，均在二次函数y=-x2+6x+c（c为常数) 的图象上，则y,y2,y的大小关系为（) A.y2<y3y B.yIy3y2 C.y3<y2y1 D.y2<y13 5.如图，AD∥BE∥CF,直线l1、2与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点 D、E、F.若AB=5,BC=6,DE=7,则DF的长为 () 77 42 35 A.8 B. C. D. 5 5 6 B D 第5题 第6题 6.如图，已知∠BAD-∠CAE,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定 △ABC∽△ADE的是() AB BC AB AC A.AD DE B.∠B=∠D D.∠ACB=∠E AD AE 第1页共6页 7.一次函数y=mx+(m≠0)与二次函数y2=2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则不等式2+(b-m)x+c<m的解集为（) A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 第7题 第9题 第10题 8.如图，函数y=ax2-2c+1和y=ar-a(a是常数，且a0)在同一平面直角坐标系 的图象可能是() 9,如图，AB垂直于x轴，B为垂足，反比例函数y=C>0)与△OAB的两边OA, AB分别交于C,D两点.OC-CA,若△BOD的面积为3，则△OAB的面积是( ) A.6 B.9 C.12 D.15 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A(3,0)，与y轴交于 点B,对称轴为直线=1.下列结论：①abc<0;②3a+2c<0;③方程ao2+bx+c-1=0 的两根和为1④若2c<L,则8a+6+c<3回点Pm=2,Qm+） 物线上，且当>财，m 其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 知a,6,c山了六条线段满足号-号月名若6+6f5,那么ce 的值为 第2页共6页 12.如图，平行于x轴的直线与函数y=4(k1>0,x>0),y=(阳>0，x>0) 的图象分别相交于A,B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若 △ABC的面积为6，则k1-2= 第12题 第13题 13.如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m,当水面上升1m 时，水面宽度为 m. 14.已知抛物线y=ax2-2a2x+a3+a+1(a>0) (1)抛物线的顶点坐标为 (用含a的式子表示)； (2)M(xy,)和W(x2,y2)是抛物线上的两点，若对于-a-1≤：≤-a;2≤x2≤3， 都有y,<y2,则a的取值范围是 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15.(8分)已知抛物线y=一x2+bx+c经过点(-1，-2)和(2,1). (1)求b,c的值； (2)判断点(-2，一8)是否在这个抛物线上，并说明理由. 16.(8分)如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=丘的图象交于 A(-4,1),B(m,4)两点(，，b为常数). (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象直接写出不等式x+b≥的解集. 17.（8分)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC-90°，BC-2,E为线段AB 上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE,连接 AD】 (1)求证：△ADC∽△BEC: (2)当△BBC面积最大时，求AD长 第3页共6页 18.(8分)气体的密度是指单位体积(3)内所含气体的质量kg).现有质量为7kg 的某种气体，将这7kg的气体注入容积为V(3)的储气罐后，罐中气体的密度为 p(kg/m3). (I)写出用V表示p的函数表达式； (2)当把这些气体注入容积为4m3的储气饿时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度p=2kg3,需把这些气体注入容积为多少立方米的储气 罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： Ap/(kg/m) 12 10 8 6 4 2 o2468102im ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过2m的储气罐，罐中气体的密度p在什么范围内？ 19.（10分)己知二次函数yx2-2mx+2m-1图像过A(ay1),B(by2)两点. (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示)； (2)若m=-3,a+b=-4,求证：y1+y2≥-30. 20.（10分)某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统 计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件)与时间t（第1天) [t+501≤1<60) 满足关系式：x= 110(60≤t≤100) ②该商品的日销售量y(件)与时间t(第1天)满足一次函数关系，部分数据如 下表： 时间t.（第t天) 1 2 10 20 。。。。e 日销售量y(件) 119 118 110 100 (1)直接写出y与1之间的函数解析式： 2)设销售该商品的日利润为w（元)，请直接写出w与1之间的函数解析式，并 求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果. 第4页共6页 21,（12分)综合与实践 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几 何解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：首先将方程变形为x（x+2)=35, 然后画四个长为x+2,宽为x的矩形，按如图1所示的方法拼成一个“空心”大正方 形，则图1中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可以表示为四个矩形与一个 边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因此，可得新方程 (x+x+2)2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12,即x=5. 【类比迁移】 (1)根据以上解法解方程x2-4x-12=0,请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，图2中“空心”大正方形的边长 为 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程为 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如x2+x=b(a>0)的一元二次方程可以构造图3来解.已知 图3是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4. 己知函数y=x2+am-b(a>0)图象与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,点 M是抛物线对称轴上的动点，求MA+MB的最小值及点M的坐标 x+2 x+2 +2 图1 图2 图3 22.(12分)如图1，在矩形ABCD中，AD>AB,点P是对角线AC上的一个动 点（不包含A,C两点），过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E,F. B 图 图2 图3 (I)求证：△AEF∽△BCA; ②迦图2，连接B,若BP=AB,且F为AD的中点，求C的值： PC 3)如图3，若AD-2AB,移动点P,使得△4BP与△CPD相似，直接写出4C的 AB 值 第5页共6页 2 23.（14分)已知抛物线y= x3a-xa>0). (1)求抛物线顶点的纵坐标： (2)设直线y=t与抛物线交于M(,),N(x2,),为<名 ()若x2一x1=2a,求实数t的值； ()若a为正整数，抛物线在直线y=t上方的图象上，横坐标为整数的点的个 数为m,当t=2时，直接写出m与a的大小关系」 第6页共6页 2026一2027学年度第一学期期中教学质量检测卷九年级数学 参考答案与评分细则（满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分) 题号 2 3 4 6 > P 9 10 答案 D A D B B A B 第1题D 解析：A项y=ax2+bx+c未限定a≠0，当a=0时不是二次函数，不"一定"是；B项y=2x-3 是一次函数：C项yx(x+1)-xx化简后为一次函数：D项y=3x2+x-2中a=3≠0，一定是二次函数。故 选D。 第2题A 解析：抛物线平移规律"左加右减、上加下减"：y=-x2向左平移4个单位得y=-(x+4), 再向下平移2个单位得y=-(x+4)P-2。故选A。 第3题D解析：由多-，两边同加1得多+1-品，D一定成立。A、B只是特例(x、y可取成 比例的其他值)；C交叉相乘得，灯y=12,而由-只能得4=3y,y未必等于12。故选D。 第4题B解析：y=-x2+6x+c开口向下，对称轴x=3。三点到对称轴的距离：1-3引=4,2-3引=1,15- 3=2。开口向下时离对称轴越近函数值越大，故y2>y>y1。故选B。 第5题B 解析：由AD∥BE∥CF得是-器，即=子，解得亚=号。DF=DE+EF=7+号-号。故 选B。 第6题A 解析：由∠BAD=∠CAE(同加∠CAD)得∠BAC=∠DAE。B项补∠B=∠D、D项补 ∠ACB=∠E均可用两角对应相等"判定相似：C项补鼎-能，夹公共角∠A的两组对应边成比例，可 用SAS判完：而A项8能中两组边的夹角不是公共角∠A,无法判定相似。故选A。 第7题C解析：ax2+b-m)x+c<n即ax2+bx+c<mx+n,即二次函数图象（抛物线）在一次函数图 象（直线）下方。由图象可得，两图象交点的横坐标分别为-1和4，故解集为-1<x<4。故选C。 第8题B解析：直线y=ax-a恒过点(1,0)，纵截距为-a;抛物线y=ax2-2x+1的对称轴为x青。若a >0:抛物线开口向上、对称轴在y轴右侧，直线上升、纵截距为负一与B吻合：若a<0:抛物线 开口向下、对称轴在y轴左侧，直线下降、纵截距为正一四个选项中无吻合图形(A中直线下降与 开口向上矛盾，C、D中直线上升与开口向下矛盾)。故选B。 第9题C解析：设A(a,h),则B(a,0),C为OA中点，坐标（号，）。C在双曲线上， k=(⑦)白-。D在AB上且横坐标为a,D(a,奇=(a,),BD-4。SABOD-2-OB-BD-克a路=3， ∴.ah=24,So4B=方ah=12。也可用k的几何意义解题。故选C。 第10题C解析：由对称轴x=1及A(3,0)得抛物线与x轴另一交点(-1,0)，且由图象知a>0,b= 2a<0,c-3a<0。①abc>0,错误；②3a+2c=3a-6a=-3a<0,正确；③方程ax2+bx+c-1=0的两根之和 为-鲁=21，错误：@若-2<c<-1,则3<a<号，ab+c=4a,-号<4a<-等，正确：⑤开口向上时 函数值越大，点离对称轴水平距离越远，y>y2可得m-3引>ml,平方得m-6m+9>m,即m<2,正 确。正确的为②④⑤，共3个。故选C。 第1页共7页 二、填空题（每小题5分，共20分） 第11题 解析：由品导导务及等比性质，++号名。：b+dHf5,叶c+e5×品停。 第12题12 解析：设水平线为yyo,则A(KA,yo),B(KB,yo(XA>XB>0)。SABc立AByo=(KA-xXyo-6,(KA X8)y0-12。而k1-k2-XA'yo-XBy0-(XA-X知)y0=12. 第13题43 解析：以沟渠最低点（顶点）为原点建系，设y=ax2。水面宽6m时水深3m,即抛物线过点(3,3)， a号，y=等。水面上升1m后水深4m,令y=4得x2=12,X2V3,水面宽度为43m。 第14题(1)a,a+1):(2)0<a< 解析：(1)y=ax2-2ax+a3+a+1=a(x-a+(a+1),故顶点坐标为(a,a+1)。(2)抛物线开口向上，对称轴 x-a。x在对称轴左侧(y随x增大而减小)，y1的最大值为：当x-a-l时，y=a(2a+1)P+a+1。对y2的最 小值分三类讨论：当a≤2时最小值为：当x-2时，y=a(2-a)+a+1,由y1<y2得(2a+1)2<(2-a)2,即2a+1 <2-a,解得a<3,∴.0<a<:当2<a<3时需(2a+1)<0,不可能；当a心3时需2a+1<a-3,即a< 4,不可能。故a的取值范围是0<a<。 三、解答题（共9小题，满分90分） 第15题（本小题8分） (1)求b,c的值。 把(-1，-2)代入y=-x2+bx+c:-1-b+c=-2,即-b+c=-1;把(2,1)代入：-4+2b+c=1,即2b+c=5。 联立解得b=2,c=1。∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+1。 【赋分】正确列出方程组得2分（每个方程1分)：解得b=2得1分，c=1得1分，共4分。 (2)判断点(2，-8是否在这个抛物线上，并说明理由。 当x=-2时，y=-(2)+2×(-2)汁1=44+1=-7。-7≠-8，∴.点(2，-8)不在这个抛物线上。 【赋分】代入求出y=-7得2分：作出正确判断得1分，理由表述完整得1分，共4分。 第16题（本小题8分） (1)求一次函数和反比例函数的解析式。 :A(4,1)在y号的图象上，∴k=4×1=4,反比例函数为y=。 :Bm,4)在双曲线上，4，解得m=-1,即B1,4)。 把A(-4,1)、B(-1,4)代入ykx+b:-4k+b=1,k+b=4,解得k=1,b=5。∴.一次函数为yx+5。 【赋分】求出k2=-4得1分；求出=-1得1分；列出并解出k、b得1分，写出yx+5得1分，共4 分。 第2页共7页 (2)根据图象直接写出不等式kx+b≥？的解集。 不等式kx+b≥受的解集为4s≤-1或x>0。 【赋分】写出一段范围得2分，两段都正确得4分（等号写漏一段共扣1分），共4分。 第17题（本小题8分） （1)求证：△ADC∽△BEC。 证明：，∠BAC=90°，AB=AC,.∠ACB=∠ABC-45°。 ,以CE为斜边作等腰Rt△CDE,∴EC=2·DC,∠DCE=45°。 :∠DCA=∠DCE-∠ACE-45.∠ACE=∠BCE,且-能-号，.△ADCn△BEC(两边成比例且 夹角相等)。 【赋分】求出∠ACB-45°得1分；得出EC=2·DC、∠DCE-45°得1分；证得∠DCA=∠BCE得1 分：写出比例关系并得出相似结论得1分，共4分。 (2)当△BEC面积最大时，求AD长。 当E与A重合时BE最大，△BEC面积最大，此时△ADC为等腰直角三角形。此时 AD-AC 或：由(1)△ADC∽△BEC,相似比为能-孚，由相似得能-能-号.当E与A重合时△BEC 面积最大，此时BE-√2，则AD=1 【赋分】共4分，根据不同做法相应给分。 第18题（本小题8分） (1)写出用V表示p的函数表达式。 p(V>0)。 【赋分】写出p立得1分，共1分。 (2)当把这些气体注入容积为43的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ 当V-4时，p=4=1.75(kg/m)。 【赋分】代入求值并带单位作答得2分，共2分。 (3)要使罐中气体的密度p=2kg/,需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ 当p=2时，2-7，解得V-号3.5(m)。 【赋分】列式并求出V=3.5得2分，共2分。 (4)画出函数图象，并根据图象回答：①当储气罐的容积增大时，密度将怎样变化？②容积不超过 2m3时，p在什么范围内？ 图象：在第一象限内双曲线p-的一支(V>0)，可取V=1、2、7、14等点描点连线。 ①当容积V增大时，密度p逐渐减小，②当V2时，p≥☑，即p≥3.5水gm。 第3页共7页 【赋分】正确画出双曲线一支得1分：①答"减小"得1分：②求出p≥3.5kgm得1分，共3分。 第19题（本小题10分） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）。 yx2-2mx+2m-1=(&-m)2-(m-1)尸，∴.J顶点坐标为(m,-(m-1)）。 【赋分】正确配方得2分，写出顶点坐标得2分，共4分。 (2)若m=-3,a+b=-4,求证：y+y2≥30。 当m=-3时，yx2+6x-7。 y1+y2=(a2+6a-7)+(b2+6b-7)=a2+b2+6(a+b)-14=a+b2-38。 a+b=-4,∴.a2+b2-38=a2+(-4-a2-38-2a2+8a-22=2(a+2)2-302-30 【赋分】写出=-3时的解析式得1分：正确展开表示y+y2得2分；利用配方法建立不等式得2分： 得出yy2之-30并指出取等条件得1分，共6分。 第20题（本小题10分） (1)直接写出y与t之间的函数解析式。 y=-t+120(1≤t≤100，t为整数)。 【赋分】由表中数据得y=+120得2分（未写自变量取值范围酌情处理），共2分。 (2)写出w与t之间的函数解析式，并求出哪天的日利润最大、最大日利润是多少元。 ①当1≤t<60时，售价xt廿50，每件利润+50-30t+20,w=t+20)(120-)=-t+100t+2400=-t- 50)+4900,当=50时w最大为4900： ②当60≤≤100时，售价x=110,每件利润80，w=80(120-t)=-80t+9600,w随t增大而减小，当 =60时w最大为4800。 ,4900>4800,∴.在这100天中，第50天的日利润最大，最大日利润为4900元。 【赋分】①段解析式（含配方）得2分；②段解析式得2分；比较两段最大值并得出"第50天、4900 元"得1分，共5分。 (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天？ ①当1≤t<60:-t-50)+4900≥4000，即t-50)2≤900，得20≤t≤80，结合1≤t<60得20≤59，共40 天 ②当60≤≤100：-80t+960024000,得ts70,结合60t≤100得60≤t≤70，共11天。 .日利润不低于4000元的共有40叶11=51天。 【赋分】①段解出40天得1分；②段解出11天得1分：得出共51天得1分，共3分。 第21题（本小题12分） (1)【类比迁移】将x24k-12=0的解答过程补充完整。 第一步：将原方程变形为x(区-4)=12； 第4页共7页 第二步："空心"大正方形的边长为2x-4(即x与x-4之和)： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程为(2x-4)2=64(进而2x-4=8,解得x=6)。 【赋分】第一空、第二空、第三空各得2分，共6分（第三空未写出(2x-4)=64而直接写x=6得1 分)。 (2)【拓展应用】求MA+MB的最小值及点M的坐标。 由图3：中间小正方形的边长为a,面积a2=4,∴.a=2;每个矩形面积为xx+a)=b=3,.b=3。∴.函 数为yx2+2x-3,其图象与x轴正半轴交于A(1,0),与y轴交于B(0,-3),对称轴为直线x=-1。 作点B(0,-3)关于直线-1的对称点B(-2,-3),连接AB交对称轴于点M。 由对称性MA+MB=MA+MB>AB',当且仅当M在线段AB'上时取等号。 直线AB过(1,0)、(-2，-3)，解析式为yx-1,令x=-1得y=-2,.M(-1,-2)。 ∴.MA+MB的最小值为AB=√3+3)=32，此时点M的坐标为(-1，-2)。 【赋分】由图3求出a=2、b=3得1分，确定A、B坐标及对称轴得1分；作出对称点完成"化折为直" 得1分：求出最小值32得2分：求出M(-1,-2)得1分，共6分。 第22题（本小题12分） （1)求证：△AEF∽△BCA 证明：四边形ABCD是矩形，.LEAF=∠ABC=90°，.∠BAC+∠DAC=90°. EF⊥AC,·.∠APF=90°，∠DAC+∠AFE=90°，·∠AFE=∠BAC,∴△AEF△BCA. 【赋分】证出∠EAF=∠ABC=90°得1分；证出∠AFE=∠BAC得1分：得出相似结论得1分，共3 分。 (2)若BP=AB,且F为AD的中点，求咒的值。 BA=BP,∴.∠BAP=∠BPA LBAP+LE=90°=LBPA+LBPE,÷LE=LBPE,÷AB=BP=BE=3AE. 设BC交FE于点G,在矩形ABCD中，ADBC,AD=BC,△AFE∽△BGE, 票=器-安BG=号Ar, AF -TAD -3BC.CG-BC-BG-3AD, ADBG,△APP△CGP,=G==号 31 【赋分】得出LBAP=∠BPA得1分，AB=BP=BE=号AE得1分，△AFE一△BGE,BG=号AF得2 分，CG=BC-BG=AD,△AFP~△CGP并求出能号得2分，共6分。 (3)如图3，若AD=2AB,移动点P,使得△ABP与△CPD相似，直接写出A范的值。 第5页共7页 在矩形ABCD中，AD=BC,AB=CD,ADBC. @如图，当△ABP△CDP时，号=是=1，点P为AC的中点： EF1AC,∠APF=LD=90, 又FAp=GAD,APFAADC..器怨则器-S-铝-专 设PF=a,则AP=2a,∴AF=√⑤a,AC=4a, AG-V BC-AB(2B-V5AB,.AB AB。4 ②当△ABPA CPDE时，2需=铝AP.CP=AB.CD, AB CD=x,AP=t,AD =BC=2x,AC=AB2 +BC2=5x, Cp=x-t,tW5x-=,解得x=(生，“AB=生t 由0咖器-品铝-安PF-专P=,AF-9, AB v5t11 =5减%-5 AB AB 4 综上，能-5或"-或器-手 【赋分】分类讨论正确得出结果，每个1分，共3分。 第23题（本小题14分） (1)求抛物线顶点的纵坐标。 y录x6ax2-3ax-x-婴)+号，顶点的纵坐标为号（与a无关）。 【赋分】正确配方（或用顶点公式）得3分，得出纵坐标号得1分，共4分。 (2)(1)若xa-x1=2a,求实数t的值。 联立yt与抛物线：(x(3a-X片t,整理得2x2-6ax+a0,“xtx=3a,XXa-2。 (k-xP-(k+xa-4KX2=9a-2at=4a,9-2t=4,解得t=(满足t,符合题意)。 【赋分】联立并用韦达定理写出x1+x、xx2得2分；将(&-x)=4a2转化为关于t的方程得2分；解得 t=得1分；检验t<号符合题意得1分，共6分。 (i)若a为正整数，当t=2时，直接写出m与a的大小关系。 第6页共7页 抛物线在直线y=2上方：x3a-x>2,即x23ax+a<0,解得(5)a<x<(25)a,该区间长度 为V5·2.236a 其中横坐标为整数的点的个数m满足m>V5·a2>a(对一切正整数a成立)。 验证：a=1时x=1,2,1m=2>1;a=2时x=1,2,3,4,5,m=5>2:a=3时xX-2.,7,1m=6>3;.… .'.m>a 【赋分】本小题得出正确结果得4分。 第7页共7页