精品解析：安徽宣城市宣州区2026-2027学年第一学期九年级第二次限时训练数学

2026—2027学年第一学期九年级第二次限时训练数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 为整数，为无限循环小数，为分数，均是有理数． ∴ A、B、D不符合题意． ∵ 开方开不尽，是无限不循环小数，为无理数． ∴ C符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂乘法法则、同类项概念、完全平方公式、单项式乘多项式法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误． B、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴，B错误． C、∵根据完全平方公式，，∴，C错误． D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴，D正确． 3. 2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以154.45亿元的国内票房正式收官，其全球总票房突破159亿元，超越《头脑特工队2》等好莱坞经典动画电影，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“154.45亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值；据此求解即可． 【详解】解：154.45亿． 故选：C． 4. 如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点，即点P满足， ∴为较长线段，则． ， ． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据平行线的性质得到，再根据反比例函数的性质得到，结合菱形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 6. 如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（ ） A. 2.5 B. 4.5 C. 6.5 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC，计算即可． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， ∴BC＝2.5， ∴AC＝AB+BC＝5+2.5＝7.5， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 7. 已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 9. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为实数） 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负指数幂的运算法则． 利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂都等于1，因此 ； 根据负整数指数幂法则，，因此； 所以原式． 故答案为． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点（其中）在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，连接． （1）________； （2）当四边形为正方形时，求线段的长为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）把点代入可求出，由点在第一象限可得； （2）设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可． 【详解】解：（1）把点代入得：， 解得：， ∵点在第一象限， ∴； （2）设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， ∴C点坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得：（舍去）， ∴， ∴． 三．（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 16. 如图，在正方形网格上有一个． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）作的边上的高； （3）若网格上的最小正方形边长为，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点D、E、F关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构以及的位置，过点D作小正方形的对角线，与的延长线相交于H，即为所求作的高线； （3）为底边，点F到的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 四．（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4． （1）求的值及点的坐标． （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 五．（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式； （2）补全下方的表格： 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 （3）结合图象回答： ①当________时，随的增大而减小； ②当满足________时，； ③当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2） 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 ， （3）①；②；③【解析】 【分析】（1）利用配方法求解； （2）根据二次函数的性质补全表格，然后画出图象即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 当时，， 解得，， ∴与x轴的交点坐标为，； 当时，， ∴与y轴的交点坐标为， 补全下方的表格 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 ， 【小问3详解】 解：画图如下： ①由图象可得，当时，随的增大而减小； ②由图象可得，当x满足时，， ③由图象可得，当时，y的取值范围是． 20. 小亮同学在探究比例的性质时发现：由比例式，可得，同时也成立，请根据这一规律解答问题： （1）【归纳】请将他发现的规律补充完整：已知，，，均不为，且，，若，则________，________； （2）【证明】已知，且，求证：； （3）【运用】请用上述规律，解分式方程． 【答案】（1）， （2）证明：令， ，，，…，． ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干规律即可求解； （2）令，然后用表示，再代入求解即可； （3）利用（2）中的规律解方程即可． 【小问1详解】 解：由题干信息可得，若，则，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ． 经检验，是原方程的解． 六．（本题12分） 21. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、95分、90分、85分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有11人的成绩是A级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据，则_______，_______； 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 93.8 m 95 乙校测试班级 93.8 90 n （3）根据测试结果，将对90分以上的学生分发“口语小天才”称号，若甲校八年级有学生1200人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中有多少学生荣获“口语小天才”称号． 【答案】（1） 补全甲校测试班级的成绩统计图如图所示： ； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数，众数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出乙校参加测试的学生总人数，从而可得甲校参加测试的学生总数，再求出甲校成绩为等级的人数，即可得解； （2）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （3）用乘以甲校八年级学生中荣获“口语小天才”称号所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：乙校参加测试的学生总人数为（人）， ∴甲校参加测试的学生总数也是人， ∴甲校成绩为等级的人数为（人）， 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， ∴甲校测试班级的中位数是，即， 乙校测试成绩的众数； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计甲校八年级学生中有名学生荣获“口语小天才”称号． 七．（本题12分） 22. 如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，． （1）求证：∠BAD=∠CAE； （2）若∠BAD=21°，求∠EBC的度数： （3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE． 【答案】 （1）证明：∵． ∴∽； ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF， 即∠BAD=∠CAE； （2）21°； （3）证明：连接CE， ∵∽， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF， 即∠BAD=∠CAE， ∵ ∴． ∴∽． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC=∠DAE，结合图形，证明即可； （2）根据相似三角形的性质与三角形外角的性质即可得到结论； （3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵∽， ∴∠ABC=∠ADE， ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD， ∴∠EBC=∠BAD=21°； （3）略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 八．（本题14分） 23. 如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）S存在最小值为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级第二次限时训练数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以154.45亿元的国内票房正式收官，其全球总票房突破159亿元，超越《头脑特工队2》等好莱坞经典动画电影，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“154.45亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（ ） A. 2.5 B. 4.5 C. 6.5 D. 7.5 7. 已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为实数） 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算______ 12. 因式分解：__________． 13. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点（其中）在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，连接． （1）________； （2）当四边形为正方形时，求线段的长为________． 三．（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在正方形网格上有一个． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）作的边上的高； （3）若网格上的最小正方形边长为，求的面积． 四．（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4． （1）求的值及点的坐标． （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 五．（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式； （2）补全下方的表格： 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 （3）结合图象回答： ①当________时，随的增大而减小； ②当满足________时，； ③当时，的取值范围是________． 20. 小亮同学在探究比例的性质时发现：由比例式，可得，同时也成立，请根据这一规律解答问题： （1）【归纳】请将他发现的规律补充完整：已知，，，均不为，且，，若，则________，________； （2）【证明】已知，且，求证：； （3）【运用】请用上述规律，解分式方程． 六．（本题12分） 21. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、95分、90分、85分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有11人的成绩是A级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据，则_______，_______； 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 93.8 m 95 乙校测试班级 93.8 90 n （3）根据测试结果，将对90分以上的学生分发“口语小天才”称号，若甲校八年级有学生1200人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中有多少学生荣获“口语小天才”称号． 七．（本题12分） 22. 如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，． （1）求证：∠BAD=∠CAE； （2）若∠BAD=21°，求∠EBC的度数： （3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE． 八．（本题14分） 23. 如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $