2026-2027学年高三上学期数学期中模拟测试卷（天津市适用）

高三数学期中模拟测试 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“为有理数”是“x，y为有理数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则（     ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在的区间是（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，，且在上单调递减，则（     ） A． B． C． D． 9．已知函数，，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．若复数满足（是虚数单位），则___________. 11．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的严格增区间是______； 12．已知，，则______． 13．若数列满足，，则______． 14．已知向量，且满足，求__________；若非零向量满足，求的最大值为__________. 15．已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)设，，求b及的值． 17．已知函数. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在的最值； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 18．已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64．数列是等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，数列的前n项和为，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 20．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学期中模拟测试 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】解分式不等式、一元一次不等式求集合，再由集合的交集运算求集合. 【详解】不等式，所以， 又，所以. 故选：D 2．“为有理数”是“x，y为有理数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】均为有理数为有理数，反之不成立：取，则为有理数，而均为无理数， 所以前者是后者的必要不充分条件． 3．下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义及函数的单调性即可判断四个选项. 【详解】对于A，定义域为，则， 所以函数为奇函数； 易知在和上均单调递增，但在定义域上不单调递增，不合题意； 对于B和C，定义域均为，则，， 两个函数均为偶函数，不合题意； 对于D，定义域为，则，所以函数为奇函数； 由指数函数在上单调递增，又在上单调递减，则在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意. 4．已知，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式、由向量共线（平行）求参数 【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式，将齐次式转化为正切值，即可求解. 【详解】因为，，， 所以，,即， 所以. 5．函数的零点所在的区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】因为函数均为上的增函数， 所以函数为上的增函数，又， 所以函数的零点所在的区间是. 6．在中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先用正弦定理对转化结合，求出角，再利用正弦定理结合，求出，进而得到角． 【详解】由，得， 又，所以， 即，所以 因为，所以， 由且，得， 因为，所以． 7．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用不等式，放缩法可比较数的大小. 【详解】当时，有， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 8．已知函数满足，，且在上单调递减，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、利用正弦型函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【详解】因为在上单调递减，又，，， 所以，，， 解得，所以，又，所以， 所以， 所以. 9．已知函数，，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值 【分析】指对互化可得，，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即， 可得，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．若复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】因为复数满足，则，故. 11．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的严格增区间是______； 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求函数的单调区间、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用幂函数的性质求解. 【详解】不妨设幂函数为，由题得：，解得：，所以，则的严格增区间是. 12．已知，，则______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 13．若数列满足，，则______． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 14．已知向量，且满足，求__________；若非零向量满足，求的最大值为__________. 【答案】 4 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】利用向量的数量积求模长；第二空利用几何意义，转化为圆上的点到坐标轴的距离问题. 【详解】①因为，且， 所以， 故. ②因为，不妨设，. 设非零向量， 则. 整理得，， 于是点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，且不包括原点. ，由圆的性质可知， 所以当时，取得最大值. 15．已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数的性质确定的取值范围，再结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【详解】令，则等价于二次方程， 函数有个不同零点，等价于方程有个不同实根， 当时，，是开口向下的抛物线， 最大值为，且： 时，在 上有2个根， 时，在 上有2个根， 时，在 上有1个根， 当时，，不妨将在轴下方的部分翻折到轴上方， 时，恒有2个根，综上： 若，则，共个根， 若，则共 个根， 要得到个不同的，需要二次方程两个根 都落在区间内， 此时每个对应个，总个数为，设， 要让两个根都在上，需满足：判别式， ，，， 取交集得 . 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)设，，求b及的值． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.67 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理、二倍角公式及差角的正弦求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 而，解得，又，所以. （2）由（1）及余弦定理得， 解得， 则，， ，， 所以. 17．已知函数. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在的最值； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 【答案】(1)，对称中心为（） (2)最大值为3，最小值为0 (3) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）应用两角差余弦公式结合辅助角公式化简再应用对称中心计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先根据平移伸缩计算得出，再应用同角三角函数及两角和的正弦公式计算解题. 【详解】（1） ， 令（），， 所以对称中心为（）； （2）， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， ，，， 所以最大值为3，最小值为0； （3）， ， 且， ，， ， ， . 18．已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64．数列是等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，数列的前n项和为，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.5 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出首项得到，再算出得到公比，写出通项. （2）根据的形式采用错位相减法，两式相减整理求出前项和. （3）对裂项相消求出，分析单调性，分奇偶讨论恒成立条件得到范围. 【详解】（1）等差数列中，已知公差，前项和， 由等差数列求和公式可得：， 解得，因此， 计算得，，故， ，等比数列公比， 由得，因此. （2）由题可知， ， ， 两式相减可得：， 其中等比数列和为， 所以， . （3）由（1）可知，，，， ，， 化简可得：， 所以， ，因为，随增大单调递减， 所以单调递增，，， 所以，不等式对恒成立， 当为偶数时，，在偶数项最小值为， ，， 当为奇数时，，，最大值在， ，解得，综上所述，实数的取值范围为. 19．已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本量计算可得；由题意可得，则可得，作差计算即可得，再验证时是否符合即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）易得中从到共有项，再由时，有2016项，然后借助等差数列求和公式与并项求和法计算即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为，则有，解得， 故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式； 故； （2）， 则； （3）：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . 20．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【难度】0.31 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【详解】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $