天津市红桥区2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

高三数学 本试卷分第1卷（选择题)和第川卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并 交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 中 织 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， (1)已知全集U={-1,.Q,1,2},集合A={0,1},B={-1,0},则AUCUB= A.{0 B.{1,0,1,2 c.1) D.-{0,1,2} 製 霸 (2)色知a∈(0，)， 则ar是sina的（)条件 A,充分非必要 B,必要非充分 C.充要 D.非必要非充分 (3)已知cosa= 21 则cos2cu= 薰 A日 8. C. D.9 解 (4)已知等比数列a}的公比g-2, 前3项和S3=7,则其首项a1的值为 A.7 B.月 O c.日 D.1 辯 (5)已知m、n是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，以下结论正确的是 A若a∥B,m∥a,n∥B,则m∥n B.若a⊥B,m⊥a,mLn,则n上 C.若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n D 若a∥B,m∥a,m∥n,则n∥B 高三数学第1页共4页 (6)函数y=sin2x在区间[0，习上的值域为 A.(-1,0) B[0,1] C.[-1,1] D.(0,1) （7)己知函数)-sim(2x+到)，为了得到函数g)-=sin(2x动的图象，需将f心)的图象 A.向左平移华个单位长度 B.向左平移个单位长度 24 C.向右平移华个单位长度 D.询右平移个单位长度 12 24 (8)已知双曲线C:导-卡-1a>0,b0)的离心率~，且双曲线C的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为 A.1 B.2 C.4 D.2W2 (9)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N)》 个圆环所需移动的最少次数，{an}满足a1=l,且an 2ar1(n为偶数)， 则解下5个圆环需移动的 2a-1+1(n为奇数)， 最少次数为 k.7 B.21 C.14 D.16 第亚卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 (10)i是虚数单位，则复数货 (11)已知等差数列{an}的前n项和为Sn若a1=-3,S20,则a3= (12)已知抛物线Cx2=my(m>0)的焦点为F0,1),点A在抛物线上，若E3,5),则△AEF周长的 最不值为 (13)已知直线1：mx+y43m-V3=0与圆2+y2=12交于A,B两点，且AB23.过点A,B分别作 直线l的垂线与x轴交于C,D两点，则CD (14)在数列(an}中，a1=1,an=3an1+2(n≥2，n∈N),则数列(anJ的通项公式an= 高三数学第2页共4页 (15)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB1CD中，P为线段A1C1的中点，2为线段BC,上 的动点，则下列结论正确的有 (填写序号) ①存在点Q,使得POIIBD1; B ②存在点Q,·使得P2⊥平面AB1C,D: ③三棱锥A-PDQ的体积是定值； D ④不存在点2，使得P2与AD所成的角为 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， (16)（本小题满分8分) 己知函数)=sin(2x) (I)求函数x)的最小正周期； (Ⅱ)求函数x)的单调增区间； (Ⅲ)求函数)在区间0，上的值域. (17)(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-3,5 SasinC--3 csinB,cosC-号 (I)求c的值； (I)求sinB的值； ()求sim(2B+的值。 (18)（本小题满分15分) 如图，在长方体ABCD-A1B1CD,中，AB=3,AD=A41=2,点E在AB上，且AE=1. (I)求证：BC∥平面AA1D1D (II)求直线BC与平面A1EC所成角的正弦值 (III)求点B到平面AEC的距离. 高三数学第3页共4页 (19)(本小题满分10分) 已知椭圆C苦y=1,左顶点为A,右项点为B,过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点P. (I)若点P横坐标为1，求k的值； (II)若直线PB斜率为k1,求证：kk为定值. (20)(本小题满分11分) O 已知数列o,的首项a4=l,且满足a1(∈N)】 (I)设b。=求证：数列b,}是等差数列，并求数列{a,3的通项公式； 路 (I)设cn=bn·2,求数列{cn}的前n项和Sn, O (2)(本小题满分16分) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点是(0,2同， A (I)求椭圆C的方程： 些 (Ⅱ)如图所示，直线=2与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆 B 上位于直线PQ两侧的动点。 O (i)若直线AB的斜率为？，求四边形APB面积的最大值； (i)当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPO,试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出定 值，若不是，请说明理由。 O 擗 O 高三数学第4页共4页高三年级数学学科参考答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分 2 3 4 5 6 7 8 A B D 3 D B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10.音+日 11.912.11 13.4 14.2·3m-1-115.②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.(本题满分8分) 解：()函数f()的最小正周期为T=公= .2 ()令-+2m≤2x-号s+2km,得-豆+km≤x≤晋+kkEZ 所以函数f)的单调递增区间为[是+k晋+k如，k∈z ()因为xe[o,引所以2x-e【劉 所以当2x-号=-时，即x=0,f)取得最小值- 当2x-号=时，即x=受f(x)取得最大值1 所以fx,)在区间0，上的值域为[-，1， 8 17.(本题满分15分) ()因为a=3,5 asinC=3 csinB,由正弦定理b sinB sine.2 可知，5ac=3bc,5a=3b,b=5. 3 由c2=a2+b2-2abc0sC=9+25-2×3×5×cosC=28,所以c=2V76 (川)因为cosC=专，Ce(0,m),所以sinC=V1-cos2C=25 .7 由正弦定理品=品得n8==-罗 7 8 (I)因为b<c,所以B<C,则B为锐角，cosB=V1-sin2B= 9 高三年级数学学科参考答案 第1页共4页 sin2B 2sinBcosB=25,cos2B 2cos2B-1= 所以sn(2B+)=sn2Bcos号+cos2Bsin5=×25+9×(-3)=255 14 15 18.(本题满分15分) (I)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点， D 直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系1 B A 则A(2,0,0),A1(2,0,2),E(2,1,0), B(2,3,0),C(0,3,0),C1(0,3,2),D1(0,0,2),B1(2,3,2) 所以BC1=(-2,0,2),AD=(-2,0,2),得BC1=AD1, 则BC/IAD,而B不在直线AD1上 因此BC1//AD1,又AD1C平面AA1D1D,BC1平面AA1D1D 所以BC1/平面AA1D1D.5 (II)由(1)得A1E=(0,1,-2),BC1=(-2,0,2),EC=(-2,2,0) 设平面A1EC的法向量为元=(x,y,z) 208=8=y=2=2刘 因为BC=(-2,0,2),元=(2,2,1)，所以BC=2V2,=V22+22+1=3 因此los8C列=品=上2=号 22x3 6 10 所以直线BC,与平面A1EC所成角的正弦值 11 (I川)由(1)得EB1=(0,2,2),由(I1)平面A1EC的法向量元=(2,2,1) 所以B1到平面A1EC的距离为=-D+2x2+2x1=9=2, 3 3 .15 19.(本题满分10分) 0因为椭圆c:苦+y2=1 则a=2,b=12 B+ 所以左顶点A的坐标为(-2,0) 高三年级数学学科参考答案 第2页共4页 因为点P横坐标为1，代入椭圆方程中得号+y2=1 解得y=土复… .4 所以点P的坐标为(1，)或(1，- 所以斜率k=兰·=或k=】 1+2 6 1+2 66 (1)证明：由题意得B(2,0) 设点P(x),点P在椭圆上，则满足号+y2=1 即y2=1- 4 斜率k=本斜率k1=点 所k=去一兰-一所为定值 10 (20)(本小题满分11分) (I)由题可知b1=1 因为a1=7所以品=4+之即名=4 an+1 an+1 an :.bn+1-bn =4 所以数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，·bn=4n-3 1 0元=4n-3…5 (II)因为bn=4n-3,cn=(4n-3)·2m 所以Sn=2+5×22+9×23+…+(4n-3)·2m 2Sm=22+5×23+9×24+…+(4n-3)·2n+1...7 -Sn=2+4×(22+23+…+2)-(4n-3)-2n+1 22.(1-2n-1) =2+4× -(4n-3)-2m+1 1-2 =2+2n+3-16-(4n-3)-2n+1=-14-(4n-7)-2n+1 故Sn=(4n-7)2+1+14...11 (21)(本小题满分16分) (①设椭圆C的方程为后+长=1(a>b>0) 高三年级数学学科参考答案 第3页共4页 因为顶点为(0,2V3),所以b=2√3 又由=2及a2=c2+b2,得a=4 所以椭圆C的方程为后+益=14 (1)(1)由题意知：P(2,3),Q(2,-3) 设直线AB的方程为y=x+t 联立 (y=ix+t 层+=1 ,得x2+tx+t2-12=0 由△>0，解得-4<t<4 设A(x1y1),B(x2,y2),则x1+X2=-t,名1x2=t2-129 所以四边形APBQ的面积为 1 S=SAPQA+SAPQB=2PQx-x2l=2×6×k1-x2l=3V48-32≤12V3 当t=0时，四边形APBQ取得最大面积，即Smx=12V312 (ii)当LAPQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0 设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k 直线PA的方程为y-3=k(x-2) 元+号=1，得6+42)2+8k3-20x+43-2k2-48=0 y-3=k(x-2) 8k(2k-3) X1+2= 3+4k2 同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2) 可得x2+2=-8k(-2k-3》=8k2k+3) 3+4k2 3+4k2 所以x1+名2=162-2， 3442x1—x2三3+4 k4B=-业-k1-2)+3+k2-2)-3_k1+2-4k X1-X2 X1-X2 X1-x2 2 所以4B的斜率为定值候16 高三年级数学学科参考答案 第4页，、·八