精品解析：天津市建华中学2026届高三上学期期中质量调查数学试题

2025-2026学年度第一学期高三年级期中质量调查试卷 数学 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间共120分钟.祝同学们考试顺利! 第Ⅰ卷选择题（共45分） 一､单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则该函数零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C D. 5. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1，1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为(　　) A. (0,1) B. C. D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 第Ⅱ卷非选择题（共105分） 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 若，且，则的共轭复数为____________． 11. 的二项展开式中x的系数为_______． 12. 已知数列前项和为，若，则__________. 13. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 14. 数列的首项为，且满足，数列满足，且，则______. 15. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 三､解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知的内角的对边分别为，满足已知. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求此时的长度. 19. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 已知函数 （1）求函数单调区间； （2）设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三年级期中质量调查试卷 数学 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间共120分钟.祝同学们考试顺利! 第Ⅰ卷选择题（共45分） 一､单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求一元二次不等式和绝对值不等式的解集，再根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系． 【详解】由，解得或，即， 又，则，解得，即， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 3. 已知函数，则该函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性及零点存在性定理可求解. 【详解】由可得：函数定义域为，且在上单调递增. 因为函数在上单调递减， 所以 因为， 所以由零点的存在性定理可得：该函数的零点所在区间是. 故选：C. 4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象上特殊点代入可排除BCD，得解. 【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD； 对A，，而对于C，，故排除C. 故选：A 5. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， ， ，且. 所以. 故选：A 7. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 8. 古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 9. 已知函数f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1，1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为(　　) A. (0,1) B. C. D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】B 【解析】 【详解】，在上恒成立，在上是增函数，又是奇函数，∴不等式可化为，结合函数的定义域可知，须满足，解得，故选B. 【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、 单调性、奇偶性性，利用单调性解不等式以及导数在函数中的应用，属于难题.根据函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组 第Ⅱ卷非选择题（共105分） 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 若，且，则的共轭复数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等的性质建立方程求解参数，再求所求复数即可. 【详解】因为，所以， 所以，故，解得， 可得，故 它的共轭复数为：. 故答案为： 11. 的二项展开式中x的系数为_______． 【答案】112 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得. 【详解】二项式的展开式通项， 由，解得，则， 所以的二项展开式中x的系数为112. 故答案为：112 12. 已知数列的前项和为，若，则__________. 【答案】54 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故答案为：54. 13. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据基本不等式1的代换，求出的最小值，结合基本不等式分析求解. 【详解】因为两个正实数x，y满足， 且恒成立，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数m的取值范围是，当且仅当时，等号成立. 故答案为：；2. 14. 数列的首项为，且满足，数列满足，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用构造常数列法求，利用累加法求，然后可求得结果. 【详解】当时，有，即， 再由可得：， 所以是常数数列，首项，则，即， 再由可得：，， 由累加法得， 所以，， 当时，，满足， 所以， 则， 故答案为：. 15. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 【答案】 ① ②. ## 【解析】 【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 三､解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知的内角的对边分别为，满足已知. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到，再 根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小； (2)利用同角三角函数关系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得结果； (3)利用三角函数面积公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，进而得到的周长. 【详解】解：（1）， 由正弦定理得：， 即， 又 ， ， ，， 又， ； （2）由题意知：， ， 又， ； （3）， ， 由余弦定理得：， 即， 解得：， 的周长为. 【点睛】方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间. （2）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围. 【小问1详解】 依题意， ， 所以的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 作出函数，的图象， 由图知，当时，方程在上有两个不同的实根， 所以实数的取值范围是. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可； （2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可； （3）利用线面角的向量公式求解即可. 小问1详解】 因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 又因为，则，即， 由平面，所以平面. 【小问2详解】 设平面与平面的夹角为， 平面的法向量，平面的法向量, 所以，， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设长度为，， 设直线与平面所成角为， 因为， ， 解得，此时的长度为. 19. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式； （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且； 故，解得，因为， 则，， 由题意，得，解得． 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，则； 设其前项和为， 所以，① ，② ①-②，得 ． 所以． 20 已知函数 （1）求函数单调区间； （2）设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间； （2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果； ②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，；当时，； 单调递增区间为；单调递减区间为. 【小问2详解】 ①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为. ②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增， ，则. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $