精品解析：辽宁省抚顺市普通高中协作体2026-2027学年高一上学期10月期中数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”是存在量词命题，故其否定为“，”. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】判断两个函数为同一函数需同时满足定义域相同、对应关系一致两个条件，据此逐一验证各选项即可. 【详解】选项A：的定义域为，，二者对应关系不同，不是同一函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项D：对，由可得定义域为，化简被开方数得； 对，由解得定义域为，二者定义域相同，对应关系也完全一致，是同一函数. 【点睛】 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：因为，所以，所以. 必要性：由，得，则， 所以“”是“”的充要条件. 4. 已知是奇函数，且在上的最大值为，则（ ） A. 在上有最大值，且最大值为 B. 在上有最大值，且最大值为 C. 在上有最小值，且最小值为 D. 在上有最小值，且最小值为 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知当时，， 当时，，所以， 又奇函数满足， 所以，即， 故当时，有最小值，且最小值为，D正确． 5. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 所以ACD错误，B正确. 6. 某学校先举办了一次田径运动会，某班有9名同学参赛，该校又举办了一次球类运动会，这个班有10名同学参赛，两次运动会都参赛的同学有5名．两次运动会中，这个班共有名同学参赛，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 19 【答案】B 【解析】 【详解】设为参加田径运动会的人数，则， 设为参加球类运动会的人数，则， 因为两次运动会都参赛的同学有5名，所以， 因为这个班共有名同学参赛，所以， 则. 7. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，所以. 因此，得，所以的定义域为. 8. 已知函数且对任意，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可知是R上的单调递减函数，需满足两段函数在各自区间单调递减，且分段点处左段函数值不小于右段函数值，联立不等式即可求解的取值范围. 【详解】∵ 对任意，当时，恒成立， ∴ 是定义在R上的单调递减函数. 所以，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数. 对于B，因为的定义域为， 且不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 对于C，因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数. 对于D，因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数． 10. “关于的一元二次方程的所有解均为负实数”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由关于的一元二次方程的所有解均为负实数，得解得， 结合选项可知：“关于的一元二次方程的所有解均为负实数”的充分不必要条件可以是或. 11. 若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】采用赋值法求解，通过对赋予特殊值先计算特殊点的函数值，排除错误选项，再推导得到的解析式，进一步验证函数的奇偶性、值域，判断剩余选项是否正确. 【详解】令，得，得或． 令，得，则，所以，A错误． 令，得，所以，B正确． 令，得，则，所以是偶函数， 的值域为，C，D均正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 13. 已知正数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 14. 若满足不等式组的整数的个数为，则的取值集合为_______． 【答案】 【解析】 【分析】讨论不同的取值，得到不等式组的解集，由解集得到不等式组的整数解，然后列出不等式，即可解得的取值集合. 【详解】当时，恒成立，则不等式组存在无数个整数解， 当时，不等式组整理为，此时不等式组存在无数个整数解， 当时，不等式组整理为，即， 由题意可知， 所以，即，解得，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解. （2）给定并集的结果，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，则或， 而，所以． 【小问2详解】 由，得． 当时，满足，则，解得； 当时，由，得， 所以a的取值范围为． 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）在上单调递增. 证明：任取，且，则， 所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以，即， 所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）对的表达式变形配凑出整体的形式，直接整体代换即可； （2）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、判断符号，即可证明单调性. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 【答案】（1）当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． （2）当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 【解析】 【分析】（1）设图案的长为、宽为，由面积得，将海报周长表示为的函数，利用基本不等式求最小值及取等条件； （2）将海报面积表示为、、的表达式，代入后转化为关于的函数，再用基本不等式求最小值及取等条件. 【小问1详解】 设矩形图案的长为，宽为，则，画报的宽为，长为． 画报的周长（单位：cm）， 当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． 【小问2详解】 画报的面积（单位：） ，当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 18. （1）若关于的不等式的负整数解恰有两个，且，证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）由，解得：， 因为，所以， 因为关于的不等式的负整数解恰有两个， 则负整数解为：，所以，解得； （2）当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可； （2）分五种情况讨论不等式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由可得， 令，解得：，， 当，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为或； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 综上所述，当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的，，都有，则称函数是函数在上的“函数”. （1）若，，判断是不是在上的“函数”，并说明理由. （2）若，，函数是在上的“函数”，证明：对任意的，，都有. （3）若，，，函数是在上的“函数”，求的取值范围. 【答案】（1）是在上的“函数”. 理由：已知，，任取且， 有，， 因为，则， 所以，即， 所以是在上的“函数”. （2）已知，，因为函数是在上的“函数”， 所以对任意的，，都有， 而，又，所以， 当分别取两端点时等号成立，所以， 即，结论得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）根据“函数”的定义，结合定义域内自变量差值的最大值，放缩即可完成证明； （3）通过分子有理化化简根式，将不等式转化为恒成立问题，再分析式子的下界，即可得到参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是在上的“函数”，所以对， 有， 即， 对左侧进行分子有理化得：， 所以原不等式变为：， 因为，两边约去，得， 整理得， 因为根式要有意义，即， 所以，所以， 所以只需即可，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是奇函数，且在上的最大值为，则（ ） A. 在上有最大值，且最大值为 B. 在上有最大值，且最大值为 C. 在上有最小值，且最小值为 D. 在上有最小值，且最小值为 5. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 6. 某学校先举办了一次田径运动会，某班有9名同学参赛，该校又举办了一次球类运动会，这个班有10名同学参赛，两次运动会都参赛的同学有5名．两次运动会中，这个班共有名同学参赛，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 19 7. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且对任意，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. “关于的一元二次方程的所有解均为负实数”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，则____． 13. 已知正数满足，则的最小值为______． 14. 若满足不等式组的整数的个数为，则的取值集合为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 17. 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 18. （1）若关于的不等式的负整数解恰有两个，且，证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的，，都有，则称函数是函数在上的“函数”. （1）若，，判断是不是在上的“函数”，并说明理由. （2）若，，函数是在上的“函数”，证明：对任意的，，都有. （3）若，，，函数是在上的“函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $