辽宁省普通高中2026-2027学年高一上学期期中考试模拟卷（2）数学试题

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（2） 高一数学 考试范围：人教B版必修一全册、必修二4.1指数与指数函数 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若的解集为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（    ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 8．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．若是偶数，则能被4整除 D．直线上的点可用集合表示 10．已知，且，若方程的两个实数根是，则的值可以是（    ） A． B． C． D．9 11．对任意的，，函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为奇函数 C．当时， D．在上单调递增 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．当时，函数的最小值为______. 13．函数的定义域为________． 14．函数 _____ _____ 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数. (1)画出函数的图像，并写出单调区间； (2)求函数的值域. 17．（15分）已知全集，集合，集合，集合. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 18．（17分）已知是定义在上的函数，且. (1)证明：是偶函数； (2)若，都有. （i）证明:在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，求和的值； (2)已知函数，若的图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)对于函数，设为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围． 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（2） 高一数学 考试范围：人教B版必修一全册、必修二4.1指数与指数函数 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质证明或举出反例即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，当，满足，但是，故B错误. 对于C，，所以，同时除以正数，不等号方向不变，所以，故C正确. 对于D，当时，，不满足题意，故D错误. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】首先根据题意先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的并集概念求出. 【详解】因为集合，所以 因为集合，所以. 故选：B. 3．已知函数，若的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由题意可得，且是方程的两个根，然后利用根与系数的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以，且是方程的两个根， 所以， 所以，所以， 故选：A. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式、求指数函数在区间内的值域 【分析】先根据指数函数性质求解集合，再确定集合的范围，最后根据交集的定义求出. 【详解】因为函数在R上单调递增，，，，，，且，所以集合. 集合，由于指数函数的值域是，所以集合. 那么. 故选：B. 5．已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】令，由，所以， 所以是偶函数，的图象关于轴对称， 所以，的图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由，可得或， 结合图象可得或， 所以的解集是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得出函数关于对称，以及根据函数的单调性的定义得出的单调性. 6．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含参指数函数的最值、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】分类讨论并分段求出函数的最小值，再按最小值的大小关系分段求解即可. 【详解】当时，，仅当时取等号，若，则， 若，则； 当时，，若，则， 若，则，当且仅当时取等号 若，则，其最小值为， 当时，，，解得，因此； 当时，，，符合题意，因此； 当时，，函数无最小值； 当时，，，解得，因此； 当时，，，解得，矛盾， 所以的取值范围为. 故选：D 7．定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（    ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义 【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可. 【详解】对于D，因为，使得，此时， ，这表明了，故D正确； 对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误； 对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误； 对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可， 而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数. 8．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【知识点】求函数值、求函数的零点、抽象函数的奇偶性 【分析】令，求得，可判定A不正确；由，得到函数的图象不过坐标原点，可判定B不正确；令，求得或，可判定C不正确；令，化简求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．若是偶数，则能被4整除 D．直线上的点可用集合表示 【答案】BC 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、判断命题的真假、描述法表示集合 【分析】对于A，取判断；对于B，根据判别式判断；对于C，令代入判断；对于D，根据集合点集的表示方法判断. 【详解】对于A选项，取，，存在反例，故错误； 对于B选项，，二次函数开口向上，，故正确； 对于C选项，若是偶数，设，则，可被4整除，故正确； 对于D选项，直线上的点用集合表示，故错误. 10．已知，且，若方程的两个实数根是，则的值可以是（    ） A． B． C． D．9 【答案】BCD 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系及基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知， 所以, 当且仅当时取得等号. 故选：BCD 11．对任意的，，函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为奇函数 C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】令，，则有，可得，选项A正确； 令，则，可得，选项B错误； 当时，，故, 而，故，故C正确. 任取则 ， 又∵，∴，∴， 即，即在上单调递增，选项正确； 故选：ACD 【点睛】求解抽象函数的函数值问题，可以考虑利用赋值法进行求解.求解抽象函数的奇偶性问题，可以考虑利用奇偶性的定义来进行判断.求解抽象函数的单调性，可以考虑利用单调性的定义，由的符号判断出函数的单调性. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．当时，函数的最小值为______. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．函数的定义域为________． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 14．函数 _____ _____ 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】赋值解方程组即可求，令每个式子有意义则可求定义域. 【详解】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）对集合是否为空集进行分类讨论，再根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围； （2）根据充分不必要条件可得是集合的真子集，得出相应不等式可求出结果. 【详解】（1）若，即，解得，此时满足题意； 若，即，解得； 又，所以或，即可得； 所以可得； 因此实数的取值范围为. （2）若是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集； 所以需满足，且两个不等式中的等号不同时成立， 解得， 因此实数的取值范围. 16．（15分）已知函数. (1)画出函数的图像，并写出单调区间； (2)求函数的值域. 【答案】(1)     增区间为和，减区间为 (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，直接画出函数的图像，结合图像即可得到其单调区间； （2）根据题意，由函数的单调性，即可得到其值域. 【详解】（1）作图      函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以在区间上的最小值为，最大值为， 当时，函数单调递增，所以 又因为，综上，的值域为. 17．（15分）已知全集，集合，集合，集合. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法、分式不等式的解法，先求得集合A、B，进而可得，根据并集、交集的定义，即可得答案. （2）由题意可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，解得， 所以集合， 由，等价于，解得， 所以集合，则或， 所以，. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围 18．（17分）已知是定义在上的函数，且. (1)证明：是偶函数； (2)若，都有. （i）证明:在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1) 令，得，故 令，得，故. 因为是定义在上的函数， 令，故， 所以是偶函数. (2) （i）对任意，由于，故. 所以. 故在上单调递增. （ii） 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）求得，集合偶函数的定义即可得证； （2）（i）利用单调性的定义证明即可；（ii）利用函数单调性及偶函数性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）解：因为在上单调递增，且为偶函数， 故在上单调递减， 由于，则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为. 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，求和的值； (2)已知函数，若的图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)对于函数，设为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】（1）根据函数的对称性运用赋值法计算可得； （2）由题可得为奇函数，即可得答案； （3）由题可将化为，然后求出可得答案. 【详解】（1）∵当时，，所以 由在上的函数的图象关于点成中心对称，得为奇函数， 所以，即， 令得. （2）因函数的图象关于点成中心对称图形， 由题可得：为奇函数， 则恒成立，有 （3）， 由题意得也是的两个非零实根， 则， 若，使不等式成立， 则 ，因为，使得成立， 所以，即实数t的取值范围 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $