第1章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第1章 空间向量与立体几何

2026-2027学年高二上学期数学单元测试卷（人教A版选择性必修第一册）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为 120 分钟，满分 150 分

一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设 ，， 是空间的一个基底，则下列向量组中，一定能构成空间一个基底的是

A．＋，−，2　　B．＋，＋，＋

C．−，−，−　　D．＋，＋＋，

2．已知点 A(1,−1,2)，B(3,1,−1)，则向量 及其模分别为

A．(−2,−2,3)，　　B．(2,2,−3)，17

C．(2,2,3)，　　D．(2,2,−3)，

3．已知 ＝(1,2,−2)，＝(−2,3,m)，若 ⊥，则实数 m＝

A．−2　　B．1　　C．2　　D．−1

4．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是对角线 BD1 的中点，则 ＝

A．(＋＋)

B．＋＋

C．(＋)

D．(＋)

5．设 α，β 是两个不重合的平面，它们的一个法向量分别为 ＝(2,−1,2)，＝(−4,2,−4)，则

A．α⊥β　　B．α∥β　　C．α 与 β 相交但不垂直　　D．无法判断

6．已知平面 α 经过点 A(1,2,3)，且其一个法向量为 ＝(1,−1,2)，则点 P(2,0,1) 到平面 α 的距离为

A．　　B．　　C．　　D．

7．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的大小为

A．30°　　B．45°　　C．90°　　D．60°

8．一个长方体的长、宽、高分别为 2，3，6，则该长方体的外接球的表面积为

A．49π　　B．7π　　C．14π　　D．196π

9．已知 ＝(1,2,2)，＝(2,0,1)，则 在 上的投影数量为

A．　　B．　　C．　　D．4

10．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n

B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n

C．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α

D．若 α⊥β，m⊂α，则 m⊥β

二、选择题：本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

11．下列说法正确的有

A．若 ·＝0，则 ＝ 或 ＝

B．若 ，， 是空间的一个基底，则 ＋，＋，＋ 也是空间的一个基底

C．空间中任意两个向量都是共面向量

D．若 ||＝||，则 ＝ 或 ＝−

12．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，则下列结论正确的有

A．平面 A1BD∥平面 CB1D1

B．异面直线 A1B 与 AD1 所成角为 60°

C．三棱锥 A1-ABD 的体积为

D．直线 BD1 与平面 A1BD 所成角为 45°

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．在空间直角坐标系中，点 A(1,−2,3)，B(2,1,−1)，则线段 AB 的中点坐标为________．

14．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1＝，则直线 AC1 与平面 ABCD 所成角的大小为________．

15．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 A1 到平面 AB1D1 的距离为________．

16．已知 ＝(x,1,2)，＝(1,−1,1)，若 与 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是________．

四、解答题：本题共 4 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(15 分) 已知空间向量 ＝(2,−1,3)，＝(−4,m,n)，且 ∥，＝(1,1,1).

(1)求实数 m，n 的值；

(2)求向量 ＋ 与 夹角的余弦值；

(3)求向量 在 方向上的投影向量的坐标．

18．(17 分) 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.

(1)证明：平面 A1BD∥平面 CB1D1；

(2)求直线 A1C 与平面 A1BD 所成角的正弦值；

(3)求点 C 到平面 A1BD 的距离．

19．(18 分) 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝PA＝2.

(1)证明：AB⊥平面 PAC；

(2)求二面角 A-PC-B 的余弦值；

(3)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值．