第一章 空间向量与立体几何 章末提升试题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《空间向量与立体几何》单元复习卷，以真实情境与梯度问题融合，全面考查空间向量运算及立体几何应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|空间向量线性运算、坐标对称、基底表示|结合正方体模型，基础巩固| |多选题|3题|共面向量、线面角、动点轨迹|多选项分层，考查推理意识| |填空题|3题|方向向量与法向量、点到直线距离|简洁考查运算能力| |解答题|5题|面面垂直证明、表面积函数、圆柱动点问题|智慧物流仓库等真实情境，创新应用，发展数学建模与空间观念|

第一章 空间向量与立体几何 章末提升试题 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 4．已知是空间的一个基底，，，若，则（      ） A．0 B． C．6 D．5 5．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 8．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．x轴所在直线与平面ABC所成角的正弦值为 D．点P为平面xOy上动点，则的最小值为 11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 三、填空题 12．已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 13．已知点，点，则点到直线的距离为________. 14．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 四、解答题 15．如图，四边形，ADCB和是三个全等的直角梯形，D为公共直角顶点，其上底为，每个梯形的下底长和垂直于底边的腰长相等且为上底长的2倍． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 16．如图，某智慧快递物流仓库搭建直三棱柱钢制立体货架，底座托盘满足．竖直支撑立柱，搭载自主导航升降分拣小车沿立柱上下停靠，停靠位置记为，设，四面体为存放异形快件的封闭式储物仓． (1)证明：平面平面； (2)设四面体的表面积为，写出解析式，并求的取值范围； (3)分拣小车沿立柱上下工作时，为了安全，需从定点引出吊装钢索，钢索另一端点连在线段上，并且满足，求钢索的长度的取值范围. 17．如图1所示，三角形中，，，点是线段上的动点，过点作的垂线，使. (1)求长度的最小值； (2)沿将折起，使得平面平面，如图2所示，点在何位置时，点与点之间的距离最小？并求此时平面与平面夹角的余弦值. 18．在空间直角坐标系Oxyz中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中a，b，，，且），在空间中，给定平面内一点和该平面的法向量，也可以确定该平面的方程，例如已知是平面内一点，是平面的法向量，设是平面内任意一点，根据可得平面的方程为.如图，在正方体中，，点是线段的中点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. (1)求平面的方程； (2)①求证：是平面的一个法向量； ②求证：到平面的距离为. (3)若过点的平面PQN的方程为，求平面与平面PQN夹角的余弦值. 19．如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月18日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C D C D A ABD ABD 题号 11 答案 AC 1．D 对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 2．A 若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3．A 由题意得， . 4．C 因为，，所以存在实数，使得， 所以， 因为是空间的一个基底，所以，解得，所以. 5．D 利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 6．C 作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 7．D 建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 8．A 根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 9．ABD 根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 10．ABD 因为点，，，则， 所以，即，A选项正确； 因为，所以，所以，B选项正确； 设平面的法向量， 则，令，则，所以， 设轴的一个方向向量 则x轴所在直线与平面所成角的正弦值为，C选项错误； 点P为平面xOy上动点，设关于平面xOy的对称点为， 则，所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 11．AC 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，求出平面的一个法向量，利用求解即可； 对于B，利用求解即可； 对于C，若与相交，则存在唯一使得即可求解； 对于D，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可求解. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 对于A，当时，，在上，则， 则，， 设平面的一个法向量，则 取，则，即， ，若平面，则， 即，故存在，故A正确； 对于B，当时，，，， 若，则， 即， 不满足，故B 错误； 对于C，当时，，， 若与相交，则存在唯一使得， 即：， 解得，故 C 正确； 对于D， 因为底面是直角三角形，外接圆半径​​， 因为平面，设外接球半径为，则： ， 三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为​，故D错误， 12． 由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量. ①若，则，即，解得，则； ②若，则，即，解得. 13． 先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14．/ 应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 15．(1)平面 (2) （1）建立空间直角坐标系，通过判断与平面法向量的关系判断. （2）利用向量法，先求出两平面夹角的余弦值，再求两平面夹角的正弦值. （1）因为为三个直角梯形公共直角顶点，所以以为原点，三条两两垂直的方向作为轴建立坐标系，如图， 设梯形的上底边长为1，根据题意，下底边长、垂直底边的腰长均为2， 所以. 则 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. ，因此， 又平面，所以平面. （2）因为平面，所以为平面的法向量， 设两平面的夹角为，所以， 所以. 16．(1)证：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面成立. (2) ， (3) (1)通过线面垂直证明面面垂直. (2)通过证明线面垂直求出棱锥的高后利用等体积法求得，进而求出表面积和其范围. (3)建立空间直角坐标系，通过垂直和平行的坐标性质求解坐标的表达式，并求解距离范围. （1）略 （2）作于点. 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面，即为棱锥的高. 因为，所以， 解得. 因为，所以， 解得. 故表面积. 由此可知单调递增，因为，，. 所以. （3） 建立如图空间直角坐标系， 可知，，，，， 所以，，，， 因为，所以，. 又，设，所以，. 解得，，，， 所以 ， 因为，所以 17．(1)3 (2)答案见解析 （1）根据向量相等的概念，判断四边形的性质，进而判定线段长度最小时的情况，求出结果即可； （2）根据折叠的几何性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，列出方程组，进而求出两点间距离最小时的情况，再根据面面夹角余弦值的向量方法，求出余弦值. （1） 如图所示，连接交于， 因为，所以四边形是平行四边形， 则点为中点，， 所以当时，即为中点时，取得最小值， 此时长度的最小值为. （2） 如图所示，因为平面平面，平面上存在一点，使平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 所以， 设，， 即，解得，得， 则， 设点，可知， 即，解得，即， 则， 可知时，即时，长度取得最小值； 此时， 可得， 设平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，即平面的一个法向量为， 平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以. 18．(1) (2) ①在平面上任取两点， 则有 因为， 所以， 所以，即垂直于平面内任意一条直线， 所以是平面的一个法向量. ②取平面上一点，则， 所以点到平面的距离为. (3) （1）求得平面的一个法向量，设点是平面内任意一点，利用，可求得平面的方程； （2）①在平面上任取两点，由题意可证，可得结论；②利用点到面的距离公式计算即可证明； （3）利用点在平面内可求得，求得平面PQN的一个法向量，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式计算可求得平面与平面PQN夹角的余弦值. （1）由题意可得， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 所以. 设点是平面内任意一点，， 由，得， 所以平面的方程为. （2）略 （3）因为平面PQN过点，所以，解得. 所以平面PQN的方程为， 由（2）知平面PQN的一个法向量为， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面与平面PQN的夹角为，则， 即平面与平面PQN夹角的余弦值为. 19．(1) (2) (3) （1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. （1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $