2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷一

2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷一（人教A版适用) 范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+3.1椭圆 考试注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位 置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知直线l的方向向量为m,平面a的法向量为n,则“m·n=0”是“l‖a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知平面Q,β的法向量分别是m=3,-4,1,n=5,4,1,则平面a与β的位置关系是() A.相交但不垂直B.a∥B C.a⊥β D.与B重合 y-0=x+1 3.已知直线的两点式方程为3-0一4+行，则直线1的倾斜角为（） A.150° B.120° C.609 D.30° 4.若过点M-1,0的直线1与以A1,2?B-2,3为端点的线段相交，则直线1的倾斜角取值范围为 () A.π /u/匹2n B. 4’2 2’3 42 2 6 试卷第1页（共3页） D π2π 4’3 5.在直线2x-y-4=0有一点P,使它与两点A4,-1,B3,4的距离之差最大，则距离之差的最大值 为() A.3 B.2V3 C.5 D.3V2 6.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求之的最大值和最小值() X A.2,0 B.V3,0 c.V3,-V3 D.2,-V3 ,.己知F为椭圆+兰=1的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在X铺上，且AF⊥AB,A,B,F 2 43 三点确定的圆C恰好与直线x+my+3=0相切，则m的值为() 0 A.±3 B.3 c.±V3 D.3 8.已知F,E,分别是椭圆C:丈+y 音+长=1Q≥b>0的左，右焦点，过点g,的直线与捕圆c交于点与) 轴交于点B.若c0s∠AF,B君B响，=2FA,则椭圆C的离心率e=() 1 A.2 2 B.2 c.4 7 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知猫圆℃gX义i,C:子+x,其中>1，则( 43 A.C1与C2的长轴长相等 B.C1的焦距小于C2的焦距 C.C1与C2有公共点 D.C1与C2的离心率相等 试卷第2页（共3页） 10.已知圆C:(x-3}+(y-4=1点A0,4B3,0直线：y=2x+b'p为c上-点，则（） A.直线AB的方程为4X+3y-12=0 B.当∠PAB取得最大值时，AP=3 C.当∠PAB取得最小值时，AP=2V2 D.当在C上且到的距离为的点有3个，则b=- 1 V5+4 2 11.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D,中，|AB=AD=AA=1且 ∠A,AD=∠AAB=∠BAD号M为A,C与B,D的交点，设A迹=：ǜ=6，A直=C,则下 列结论正确的是() D D B A.AC=a+b+c C.AC=V6 D.w成A-要 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设x,y∈R向量a=(32,1),6=-1,X,1,=(y,42且a1i,ā/8则6+= 13.已知某台风中心从A点出发，以每小时60千米的速度向东偏北30°方向匀速移动，离该台风中心不 超过450千米的地区为危险区域.若B在A的东偏南15°方向上，且相距600千米，则B点处于危险区域 的时长是 小时 14.定义离心率e=5 的椭圆为“西瓜椭圆”.己知椭圆C:士+少=1《m>4)是“西瓜椭圆”，则 3 m 4 m一一若西时冬+a>b≥0》的石焦点为E,直线&k20与阳圆理 试卷第3页（共3页） A,B两点，以线段AB为直径的圆过点F,则k= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，M,N分别是三棱锥O-ABC的棱OA,BC的中点，Q是线段MN上一点且MQ= 3M,oi-a,o丽-6.6d-e ○ B (①)用a,b,c表示AC,MN,O0: 回若==1，=2，∠A0B=∠B0C=受∠A0C-号求cosC,00 16.(15分)已知直线1经过点P3,2 (1)若直线1与直线3x-2y-1=0垂直，求直线1的方程： (2)设直线1在x轴上的截距为a,y轴上的截距为b,若a=3b,求直线1的方程； 17.(15分)已知圆C的圆心C为直线x-2y+7=0与2x+y-6=0的交点，且圆C与直线 12x+5y-6=0相切. (1)求圆C的方程； (2)若直线l:x-y+m=0与圆C交于A,B两点，且AC⊥BC,求直线I的方程. 18.(17分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC, AC=BC=BD=2AE=2,M是棱AB上一点. M B (1)求证：BC⊥平面AEC. (②若AM=AB,求平面MPC与平面ECD所成锐面角的余弦值。 试卷第4页（共3页） (3)求点D到直线EM的距离的最大值. 19.(17分)已知椭圆c:父+y 夏+长1a>b>0的右焦点为R,C上点p1, 满足PF⊥X轴. (1)求C的方程： (2)过F且斜率为k的直线与C交于A,B两点. (i)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2-2k; (i)若直线PA,PB分别与x轴交于点Q,R,证明：△PQR的外接圆经过异于P的定点， 试卷第5页（共3页） 2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷一（人教A版适用 ） 范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+3.1椭圆 考试注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案． 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B． C． D．与重合 【答案】C 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 3．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 4．若过点的直线l与以，为端点的线段相交，则直线l的倾斜角取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，计算的斜率，得到两者倾斜角，数形结合分析倾斜角的范围. 【详解】 设直线的倾斜角为，如图，若和线段相交，考虑两个端点和连线的斜率， 由题知，， 根据倾斜角和斜率的关系，则的倾斜角分别是， 结合图形可知，时，和线段相交. 5．在直线有一点，使它与两点的距离之差最大，则距离之差的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】判断、与直线的位置关系，求出关于直线的对称点的坐标，结合三角形三边关系求解距离之差的最大值即可. 【详解】 如图： 易知、在直线的两侧， 设关于直线的对称点， 则，解得：. 由对称性可知，对任意直线上的点，均有，因此. 根据三角形三边关系，， 当且仅当为直线与的交点时等号成立. 故距离之差的最大值为. 6．已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 7．已知为椭圆的左焦点，是椭圆的短轴的上顶点，点在轴上，且三点确定的圆恰好与直线相切，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】先求出坐标，由知圆心为中点，求出圆心半径；再根据相切条件：圆心到直线距离等于半径解方程求. 【详解】由题意可知：椭圆的左焦点，设，由，且三点确定的圆，圆心，半径为．在中，由，即，解得，则，半径为2，由题意可知：圆心到直线距离，解得．故选C． 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量条件得到线段长度比例，设，结合椭圆定义写出，再在中使用余弦定理，求解关于的表达式；接着在中由余弦定理求出，再对再次使用余弦定理，建立关系式，进而求出离心率. 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）. ， ， 在中，， 整理得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：，：，其中，则（     ） A．与的长轴长相等 B．的焦距小于的焦距 C．与有公共点 D．与的离心率相等 【答案】BD 【详解】将椭圆整理为标准形式得.由，得，因此焦点都在轴上. 选项A：的长半轴，长轴长为；的长半轴，长轴长为，二者长轴长不相等，A错误； 选项B：椭圆焦距满足，的半焦距，焦距为；的半焦距，焦距，即的焦距小于的焦距，B正确； 选项C：对任意上的点，都有，不满足的方程，两个椭圆没有公共点，C错误； 选项D：的离心率；的离心率，二者离心率相等，D正确. 10．已知圆，点，，直线，为上一点，则（   ） A．直线的方程为 B．当取得最大值时， C．当取得最小值时， D．当在上且到的距离为的点有3个，则 【答案】AC 【分析】求出直线的截距式方程，化简为一般方程即可判断A；根据直线与圆的位置关系可判断B，C；根据圆的性质判断点到直线的距离从而可判断D. 【详解】由直线的截距式方程，得的方程为，即，故A正确； 如图当取得最大值或最小值时，直线与相切，故，故B错误，C正确； 当在上且到的距离为的点有3个时，因为圆的半径为1， 所以圆心到的距离等于，即， 所以，或，故D错误． 11．如图，在平行六面体中，且，为与的交点，设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算求解判断AB；利用数量积的运算律求解模长判断C；利用向量夹角的运算公式求解判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，， ，，则， 则，故C正确； 对于D，，故D错误． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，向量，且，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量垂直、平行的坐标表示求出的值，再计算的模长即可. 【详解】，，解得. ，，解得. 则，，. . 13．已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 【答案】5 【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案. 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系. 当台风中心到点距离不超过450千米时，处于危险区域，即以为圆心，450千米为半径作圆， 圆与台风行进路线交于，两点. 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 在直角三角形中，千米， 从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 14．定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 【答案】 9 【分析】第一空直接利用椭圆离心率公式列方程求；第二空利用椭圆的对称性将“圆过右焦点”转化为圆的半径，再联立直线、圆与椭圆方程消去交点坐标，代入由离心率确定的比例关系即可解出斜率. 【详解】对于椭圆，由题意得其离心率，，，所以， 进而，解得， 对于椭圆，由题意得其离心率，进而， 且，进而有， 因为直线过原点，所以是线段的中点， 因为以线段为直径的圆过点，所以， 即以线段为直径的圆的方程为， 设点，则有，，， 将代入后两式得，联立整理得， 将与代入得，即， 结合，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且 ，记，，． (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）应用空间向量线性运算及空间向量基本定理，用，，表示，，即可； （2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间向量夹角公式，代入求值即可. 【详解】（1）如图，连接，可得， ， ． （2）由题意，得，，， 由（1）得，，， 所以， ， 所以， 所以. 16．（15分）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）直线整理可得，斜率， 由题两直线垂直，故直线l的斜率为， 直线l过点，故由点斜式可知直线为， 整理得的直线方程为：. （2）当x轴上与y轴上的截距都为0时，即直线过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，直线方程为； 当x轴上与y轴上的截距不为0时，即直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得，，直线方程为； 综上所述，所求直线l方程为或. 17．（15分）已知圆的圆心为直线与的交点，且圆与直线相切． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由，解得，即， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为． （2）因为，， 所以为等腰直角三角形，， 所以到的距离为， 即到直线的距离即为，所以，解得或5， 所以直线的方程为或． 18．（17分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是棱上一点． (1)求证：平面． (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． (3)求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以． 又因为，，且平面，所以平面． (2)． (3)3． 【分析】（1）先由线面垂直性质定理推出，结合已知，利用线面垂直判定定理证得平面； （2）建系写出各点坐标，求出两个平面的法向量，利用法向量夹角公式计算锐二面角的余弦值； （3）设参数表示点，写出向量，由找到垂直条件，依据点到直线距离模型得到距离最大值为. 【详解】（1）略 （2）过点作，则平面，以点为原点，，，的正方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由，得． 由，得． 设平面的法向量为，且，， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，且，， 则令，则， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （3）由是棱上一点，可设， 由（2）知， 所以． 由（2）知，． 若，则，解得，满足题意， 则有，此时点到直线的距离最大，等于线段的长， 所以点到直线的距离的最大值为． 19．（17分）已知椭圆：的右焦点为F，C上一点满足轴． (1)求C的方程； (2)过F且斜率为k的直线与C交于A，B两点． （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ)若直线，分别与x轴交于点Q，R，证明：的外接圆经过异于P的定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ)由圆的几何性质，只需证明的外心在定直线上， 设，，的外心为，记，， 直线的方程为，故，同理， 由得，，解得， 由得，，解得， 由（ⅰ）可得，， 所以， ， 因此，即， 故在定直线上，从而的外接圆始终经过点，其中为关于的对称点， 所以直线的斜率为，且的中点是直线与的交点， 由，得，故， 综上，的外接圆经过异于的定点； 【分析】（1）根据已知及椭圆参数关系求出椭圆参数值，即可得； （2）（i）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理且、化简，即可得；（ii）问题化为证明的外心在定直线上，设，，的外心为，记，，利用、得、，结合，从而得到、，进而得到的线性关系式，再联立直线，即可证； 【详解】（1）记，由轴可知，从而，, 又是椭圆上一点，则，联立解得或（舍去）， 所以，故的方程为； （2）（ⅰ）设，，直线的方程为， 由，得， 显然,且，， ，同理， 所以 ； （ⅱ）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $