期中自主模拟检测 含答案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

新人教版2026-2027学年第一学期11月期中学生自主模拟检测3 九年级数学试卷 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例第28章旋转） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知点在反比例函数（）的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕B点顺时针方向旋转，得到，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 7．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列结论中正确的是（     ） A．抛物线与轴交点的坐标为 B．顶点是抛物线的最低点 C．对称轴为直线 D．在对称轴左侧，图像上升 8．对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．图象经过 B．图象位于二、四象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而增大 9．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知竿的长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为_____． 12．如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．若要使草坪的面积为，则道路的宽应为______m． 13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，则_______（填“”“”或“”）． 14．如图是反比例函数在第一象限的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，延长到点，使．若的面积为，则的值为______． 15．如图，中，，，，为边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________； 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．解下列一元二次方程： (1)． (2)． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根； (2)已知的斜边的长为5，是否存在实数k，使的两直角边，的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 18．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)根据图像写出当时，求的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 21．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题14分，第23题13分，共27分． 22．【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 23．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版2026-2027学年第一学期11月期中学生自主模拟检测3 九年级数学试卷 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例第28章旋转） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：最高次为1次，不是二次函数； B选项：，当时，不是二次函数； C选项：，当时，不是二次函数； D选项：∵，∴，二次项系数恒不为0，故一定是二次函数. 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，则有： ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．已知点在反比例函数（）的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该反比例函数上的点满足， A、B、D选项的横纵坐标乘积均为，不等于，不符合， C选项，符合． 5．如图，在中，，将绕B点顺时针方向旋转，得到，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将绕B点顺时针方向旋转，得到， ，， 的度数为． 故选：B． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮所有患者均参与传染，每人传染人， ∴第二轮后总患病人数为， 根据题意列方程得 ， 解得或（负值舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为10． 7．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列结论中正确的是（     ） A．抛物线与轴交点的坐标为 B．顶点是抛物线的最低点 C．对称轴为直线 D．在对称轴左侧，图像上升 【答案】D 【详解】解：在抛物线中，， ， 抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为，对称轴为直线，故选项B和C不符合题意； 开口向下的抛物线，对称轴左侧随增大而增大，即图像上升，故选项D符合题意， 令，得， 即与轴交点为，故选项A不符合题意． 8．对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．图象经过 B．图象位于二、四象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴， 将代入解析式，得，故图象经过点，A正确，不符合题意； ∵， ∴图象位于第二、四象限，B正确，不符合题意； 反比例函数图象关于直线对称，C正确，不符合题意； ∵， ∴在每个象限内，随的增大而增大，D选项未限定在每个象限内，表述错误，符合题意． 9．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知竿的长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺，门宽为尺，门高为尺， ∵门的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边， ∴根据勾股定理，得． 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，选项A正确； ∵这个二次函数的图象经过点， ∴， ∴，即，选项B正确； ∵这个二次函数的图象开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∴点在二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，选项C正确； 将代入二次函数得：， ∴这个二次函数的最大值为， ∵点在二次函数的图象上， ∴，即，选项D错误． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为_____． 【答案】/ 【详解】解：方程， 方程的两根之和为， 方程的一个根为， 方程的另一个根为， 故答案为：． 12．如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．若要使草坪的面积为，则道路的宽应为______m． 【答案】2 【详解】解：设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为，宽为， 由题意得：，整理得：， 所以，解得：或42（不合题意舍弃）． 所以道路的宽应为． 故答案为：2． 13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵ 抛物线经过点和, ∴ 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵ ， ∴ . 14．如图是反比例函数在第一象限的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，延长到点，使．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵点是反比例函数图象上的一点，轴， ∴， ∴， 解得， 又∵图象的一支分布在第一象限， ∴， ∴． 15．如图，中，，，，为边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________； 【答案】 【详解】解：连接、，如图， 由旋转的性质可知，，， ， 当的值最小时，的值最小， 为边上任意一点， 当时，的值最小， 在中，，，， ， ， ， 的最小值为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 则， ∴； （2）解：， 即， 因式分解得， 故，． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根； (2)已知的斜边的长为5，是否存在实数k，使的两直角边，的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， 无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． (2)解：不存在．理由如下： 斜边， 由勾股定理得， ，的长是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 不存在实数k，使的两直角边的长是这个一元二次方程的两个实数根． 18．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)根据图像写出当时，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)或 【详解】（1）解：代入，得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由图像得，当或时，， ∴当时，的取值范围为或． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 【答案】(1)篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． (2)篮球离出手点的水平距离为3米或1米． (3)篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 【详解】（1）解∶∵篮球高度h与水平距离x的函数关系为，， ∴当时，h取得最大值，最大值为． 答∶篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． （2）解：令，则， 整理得， 解得． 答∶篮球离出手点的水平距离为3米或1米． （3）解：当时， ． ∵， ∴篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． （2）解：连接，， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴令得：， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，反比例函数的图像经过一、三象限， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 21．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在， 理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题14分，第23题13分，共27分． 22．【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明：根据旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴； (2)解：；理由如下： 过点A作于点M，于点N，如图2所示： 根据旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； (3)的值为定值； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的值为定值；；理由如下： 过点A作于点G，如图3所示： 根据旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（2）可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 23．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $