精品解析：甘肃定西市渭源第二中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试题

定西市渭源二中2026-2027学年第一学期期中考试试题 高一数学 一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线l经过点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 空间的一点满足，若，，，共面，则（ ）． A. B. C. D. 4. 平行六面体，其中，，，，，，则的长为（） A. B. C. D. 5. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 6. 正四棱锥，其所有棱长都为，且，交于点，点在棱上，且，则的重心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 8. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 二.多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 11. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 三.填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 13. 已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为______ 14. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为________． 四.解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，． （1）求在中边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 16. 已知动点到两个定点，的距离比为，设动点的轨迹方程为． （1）求的轨迹方程． （2）过作的切线，求切线方程及切线段长． 17. 如图，在平行六面体中，，，，， （1）求的长； （2）与所成角的余弦值． 18. 已知 （1）设向量，求； （2）若，求的值. （3）若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面、并求与平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若动点在线段上，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定西市渭源二中2026-2027学年第一学期期中考试试题 高一数学 一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线l经过点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】直线l经过点，则直线l的斜率为. 2. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题图可知,直线,的倾斜角都是锐角,且的倾斜角大于的倾斜角， 当倾斜角为锐角时,倾斜角越大,斜率越大,所以； 直线,的倾斜角都是钝角,且的倾斜角小于的倾斜角， 当倾斜角为钝角时,倾斜角越大,斜率越大,所以. 因此. 3. 空间的一点满足，若，，，共面，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线定理即可解决. 【详解】若，，，共面，则， 即 ， 又， 所以. 4. 平行六面体，其中，，，，，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量模长与数量积关系计算即可得. 【详解】如图，可得， 故 ， ． 5. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】D 【解析】 【详解】对于：，所以，所以向量与向量的夹角为，故错误； 对于：，，所以，故错误； 对于：向量在向量上的投影向量为，故错误； 对于：，所以，所以向量与向量共面，故正确. 6. 正四棱锥，其所有棱长都为，且，交于点，点在棱上，且，则的重心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法即可求解． 【详解】如图所示，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 因为所有棱长都为6，所以，， 所以，，，，， 因为为的重心，所以， 设，，， 因为，所以，解得，即， 因为，， 则到直线的距离． 7. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，，； 由，所以，. 因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上。 所以. 所以， 所以，又，所以圆与圆内切. 8. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由圆，可得圆心，半径， 根据最短路径的对称转化规则，蚂蚁从出发经轴到圆上的最短路程， 等价于点关于轴的对称点到圆上点的最短距离， 由关于轴对称的点的坐标性质，得的对称点为， 根据两点间距离公式， ，  圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径， 因此最短路程为 二.多选题（每题6分，共18分） 9. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，因为 ，且，所以  在底面 上的射影 落在 的平分线  上，  则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】AD 【解析】 【分析】通过空间向量三点共线、四点共面、线面垂直与向量夹角判定，利用系数和、向量平行、数量积规则判断，同时注意锐角要排除同向共线情况. 【详解】：若，且，则，，三点共线，因为，所以，，三点共线， ：不存在使，所以与不平行，即直线与平面不垂直， ：， 夹角为锐角需要满足：且与不共线， ， 若，共线：，解得：， 所以且， 当时，，错误 ：若，，则，，，四点共面， 因为，所以，，，共面. 11. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过举反例即可说明命题不成立；对于B，按合并同类项后令两系数为零求定点；对于C通过斜率和纵截距判断直线位置即得；D分“截距不为0”与“截距为0”两类求直线，可得所给答案不全. 【详解】对于A，若取两直线的斜率，则对应的倾斜角分别为， 显然，故A错误； 对于B，由直线方程可得，因， 则有，解得、，即直线恒过定点，故B正确； 对于C，直线方程化成斜截式，可知其斜率大于零，纵截距大于零，则直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，过且在两轴上截距相等的直线有两类： 截距不为时，可设为，代入点解得，则直线方程为； 截距为时，可设为，代入点解得，即直线方程为， 即满足条件的直线有两条，故D错误. 三.填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】使用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解. 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 13. 已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和半径，将直线化为一般式，利用圆心到直线的距离小于半径建立不等式，解出的取值范围． 【详解】由圆，得圆心为，半径为． 将直线化为一般式，得． 所以圆心到该直线的距离为． 因为直线与圆相交，所以，即． 因为，所以两边平方，得， 展开并整理，得，即． 解得，故实数的取值范围为． 14. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】点在平面内，，，， 所以点到平面的距离为 四.解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，． （1）求在中边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，进而根据直线的斜截式方程即可求解． （2）分截距不为和截距为两种情况讨论，结合直线的截距式方程和斜截式方程即可求解． 【小问1详解】 由，， 则边所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高所在的直线过， 所以边上的高所在直线的方程为． 【小问2详解】 当截距不为时，设其截距式方程为，代入，得，此时其方程为； 当截距为时，直线过原点，设其方程为，代入，得，此时其方程为． 综上，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为，或． 16. 已知动点到两个定点，的距离比为，设动点的轨迹方程为． （1）求的轨迹方程． （2）过作的切线，求切线方程及切线段长． 【答案】（1） （2）切线方程为或；切线段长为1 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，结合两点间距离公式运算求解即可； （2）分类讨论切线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解即可，再结合垂直关系求切线长即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 即，整理可得， 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：动点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 若切线的斜率不存在，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：切线方程为或； 因为，所以切线长为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，， （1）求的长； （2）与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 记由题夹角都为， ， ， ，故 【小问2详解】 , ， ， ， , 与所成角的余弦值为. 18. 已知 （1）设向量，求； （2）若，求的值. （3）若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出，从而求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. （3）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【小问1详解】 由，得； 所以，而， 因此，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 得 ，所以. 【小问3详解】 ，则， 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． ,解得 ， 若向量与同向共线，则存在，使得， 即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面、并求与平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若动点在线段上，求三棱锥的体积． 【答案】（1）取中点，连接，. 因为四边形为直角梯形，且，，， 所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又，所以为等腰三角形，所以. 故可以为原点，，，所在的射线为，，轴建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 因为，所以，且平面， 所以平面. 又，所以点到平面的距离为：， 即直线与平面的距离为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，并利用空间向量求点到平面的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦. （3）利用锥体的体积公式求锥体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面就是平面，因为，. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在中，，，所以. 又点到平面的距离，就是到平面的距离，为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $