精品解析：甘肃临夏回族自治州部分校2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 2. 已知为4与9的等比中项，则的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. 36 3. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 5. 经过三点，，的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环最少移动的次数为（ ） A. 16 B. 14 C. 7 D. 5 7. 若数列满足，其前项积为，则（ ） A. B. C. 6 D. -6 8. 已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与直线：的交点在第二象限，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 1 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有两个交点 C. 若不经过第三象限，则 D. 圆与圆恰有条公切线 11. 列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 13. 某地新建一个会议厅，要求容纳880个座位，会议厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第20排有_____个座位. 14. 已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 17. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点，距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过点向轨迹作切线，，切点分别是，，求直线的方程. 18. 设为等差数列的前项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章，第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以斜率为， 故选：B 2. 已知为4与9的等比中项，则的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列中项性质求解即可. 【详解】因为4与9的等比中项，即，解得. 3. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到不等式，求出答案. 【详解】，即， 由，解得，故实数的取值范围是. 故选：A 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算. 【详解】由题意可得， 再由平行线的距离公式得. 故选：B 5. 经过三点，，的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环最少移动的次数为（ ） A. 16 B. 14 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由并利用递推公式逐项代入计算可得结果. 【详解】依题意由可得， 因此,,. 即解下5个圆环最少移动的次数为16. 故选：A 7. 若数列满足，其前项积为，则（ ） A. B. C. 6 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】通过递推公式计算出，可得数列是以4为周期的周期数列，据此可得答案. 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；， 故数列是以4为周期的周期数列，， . 8. 已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得直线方程为，设， 则， 当时，，即， 化简得，当时方程有解， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与直线：的交点在第二象限，则实数的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】联立两条直线方程求出交点坐标，根据第二象限横坐标负、纵坐标正的特征列分式不等式组，解出的取值范围，再逐一匹配选项． 【详解】由，得，， 因为两直线的交点在第二象限， 所以，即， 解得． 对于A，，A符合； 对于B，，B符合； 对于C，，C不符合； 对于D，，D不符合． 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有两个交点 C. 若不经过第三象限，则 D. 圆与圆恰有条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，将直线方程分离参数求出直线恒过的定点；选项B，可取时圆心到直线距离大于半径，以此反例否定；选项C，把直线化为斜截式，根据不过第三象限，讨论斜率、截距的数量关系；选项D，求出两圆心距离与两圆半径的数量关系，判断两圆位置关系，从而确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为. 对于A，把直线的方程变形得，令且，解得，，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，取，得，此时直线与圆没有交点，B错误； 对于C，直线的方程变形为，若不经过第三象限，则，解得，C正确； 对于D，圆，即，其圆心为、半径为， 两圆圆心距为，而两圆半径分别为2，3，由知两圆外切，恰有3条公切线，D正确. 11. 列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出 分别计算选项A和B，再利用递推性质求解. 【详解】由题意知： ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， = ，故C错误； 对于D，由， 则 ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象变换的知识求得正确答案. 【详解】直线，即， 向右平移2个单位长度后得到， 即. 故答案为： 13. 某地新建一个会议厅，要求容纳880个座位，会议厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第20排有_____个座位. 【答案】63 【解析】 【分析】将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为，由题意可知是等差数列，再结合题意建立方程求出首项，最后利用求和公式求解即可. 【详解】设会议厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为， 依题意得数列是一个公差为2的等差数列，且， 则，得，故. 故答案为：63. 14. 已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由的最小值为的最小值求解. 【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：， 由题意得的最小值为的最小值， 设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 如图所示： 当三点共线时，取得最小值， 最小值为， 所以的最小值为， 故选：B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直得出斜率，点斜式即可求解； （2）分类讨论利用截距相等求解. 【小问1详解】 直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即. 【小问2详解】 ①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，从而得到，则，再利用裂项相消法求和即可； 【小问1详解】 证明：因为，， 所以，又，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以， 所以 所以 17. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点，距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过点向轨迹作切线，，切点分别是，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据线段长度关系列方程化简；（2）圆心与切点的连线垂直于切线，可得出点，在以为直径的圆上，联立两圆方程可得公共弦方程. 【小问1详解】 设，则由可得， 即，整理得点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知轨迹为圆，设圆心，半径. 因为，与圆相切，所以，则点，在以为直径的圆上， ，的中点为， 所以以为直径的圆的方程为，即. 由得， 即直线的方程为. 18. 设为等差数列的前项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 【答案】（1）; （2）①②常数的最小值为4. 【解析】 【分析】（1）由等差数列得到，再根据得到,，于是可得，进而得到公差，通项公式为； （2）①求得，用错位相减法得到； ②由，代入化简得，利用得到为递减数列，依次验证各项，可得到常数的最小值为4. 【小问1详解】 令，则，所以， 令，则，即，所以 因为为等差数列，所以前三项成等差数列， 所以，即，所以. 所以，所以公差， 所以通项公式为. 【小问2详解】 ①， （1） （2） 所以（1）减去（2）可得 所以. ②由可得，即， 设，则， 因为，所以， 所以为递减数列，又因为， 所以当时，恒有，所以常数的最小值为4. 19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）证明:由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动. AI    【解析】 【分析】（1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，设，，则，， 由，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； 【小问3详解】 点在定直线上运动,证明略. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $