精品解析：甘肃省定西市渭源县第四高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

渭源县第四高级中学2025-2026第一学期期中测试卷 高二 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 2或 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 解得或． 当时，，，所以与重合； 当时，，，所以，符合题意； 综上所述：． 故选：A. 2. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，应用中点坐标公式写出点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹. 【详解】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为. 故选：A 3. 如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 4. 如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量的加减法计算求解. 【详解】因为是平行四边形，所以点为与的中点， 则. 故选：A. 5. 已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】由题：设，点到点与点的距离相等， 所以， ，， 解得：， 则点的竖坐标为 故选：A 6. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 7. 与圆关于直线对称的圆的方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径；再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结果． 【详解】因为圆转化为标准方程为， 所以其圆心为，半径为， 设关于直线对称点为： 则有． 故所求圆的圆心为：，半径为， 所以所求圆的方程为： 故选：B． 8. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，将直线整理成，得到，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】对于选项A，直线，， ，，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于， ，圆心 圆心到直线的距离， ，选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围为 B. 经过点，且方向向量为的直线方程为 C. 若直线与平行，则a可以为1 D. 过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为或 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解；对于B，根据直线的方向向量以及直线的点斜式方程即可求解；对于C，根据两直线平行斜率相等即可求解；对于D，分截距为零和不为零两种情况讨论即可求解． 【详解】对于A，由正切函数的性质可知，当时，斜率，当时，斜率，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，由直线的方向向量为，可知直线的斜率为，由直线方程的点斜式可得，即，故B正确； 对于C，若，易知，则，解得，故C错误； 对于D，当直线l在x轴和y轴上的截距为0时，过点的直线l的方程为，当直线l在x轴和y轴上的截距不为0时，设其在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则方程为，又，，解得，所以直线l的方程为，即，综上，直线l的方程为或，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出向量，，和平面的法向量、平面的一个法向量为，由即可判断A；由即可判断B；由计算即可判断C；计算即可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则令，得，得. 因为，所以， 又平面，所以平面，A正确； 因为，所以，所以平面，B正确； 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为，C错误； 点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 13. 若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】由题，，又， 所以. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算证得线面垂直，得是平面的一个法向量．设到平面距离为，根据公式计算距离，设，结合辅助角公式计算最值． 【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ， 则，，， 即， 连接，因为，所以， 则，， 又，又，平面， 平面， 则是平面的一个法向量， 设到平面距离为，则， 由上可设， 则，其中， 故动点到平面距离的最小值为． 故答案为：． 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过两条直线和交点，且垂直于直线的直线方程是. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，由题意解出即可； （2）先求交点，再设与垂直的直线方程为，解出即可. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 有直线经过点， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意有，解得，所以交点为， 设与垂直的直线方程为， 所以，解得， 所以. 16. 已知圆． （1）求圆的圆心坐标及半径； （2）求过点且与圆相切的直线方程； （3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 【答案】（1）圆心为，半径 （2） 和 （3） 是轴上的动点，圆与轴交于点，， 令，则，解得或， ，设，若，所在直线为轴，不合题意，故， 直线， 联立直线和得：，整理得， 解得或，对应点，对应点，对应， ， 同理，联立直线和得，整理得， 解得或，对应，， 直线方程为： ， ，当时，， 直线恒过定点，命题得证． 【解析】 【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，进而得出圆心和半径； （2）根据直线与圆的位置关系，分斜率存在和不存在两种情况讨论得出对应的切线方程； （3）根据直线与圆的位置关系，分别联立圆与直线方程得出的坐标，再利用两点式求出所在直线方程，最后根据直线方程的性质得出恒过定点． 【小问1详解】 ，化为标准形式得， 圆的圆心为，半径． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径，设切线方程斜率为， 当不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为，满足相切条件， 直线是过点且与圆相切的一条直线方程； 当存在时，设过点的切线方程为：，即， 则圆心到切线的距离，解得， ，即， 过点且与圆相切的直线方程为：和． 【小问3详解】 略 17. 如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接． （1）求证：； （2）若为线段上一动点，，求的最小值． 【答案】（1）∵分别是的中点，，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面∴平面. ∵平面，∴. （2）6 【解析】 【分析】（1）将线线垂直问题转换为线面垂直问题； （2）证明三直线两两垂直进而建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，与相交于点，且平面，平面. 所以平面. 因为平面，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，. 设， . 所以的最小值为6. 18. 已知直线，直线与交于点 （1）求过点且与垂直的直线的方程； （2）点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，再利用垂直关系求出斜率，进而根据点斜式方程求解即可； （2）取点，求出其关于直线的对称点坐标，再利用点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即. 19. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭源县第四高级中学2025-2026第一学期期中测试卷 高二 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 2或 D. 5 2. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 与圆关于直线对称的圆的方程是（ ）. A. B. C. D. 8. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 6 D. 4 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围为 B. 经过点，且方向向量为的直线方程为 C. 若直线与平行，则a可以为1 D. 过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为或 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 13. 若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 14. 已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为______． 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过两条直线和交点，且垂直于直线的直线方程是. 16. 已知圆． （1）求圆的圆心坐标及半径； （2）求过点且与圆相切的直线方程； （3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 17. 如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接． （1）求证：； （2）若为线段上一动点，，求的最小值． 18. 已知直线，直线与交于点 （1）求过点且与垂直的直线的方程； （2）点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求所在直线的方程. 19. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $