广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2028届高二（上)期中考试（数学) (本卷满分150分考试时间120分钟) 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1.(5分)已知ā=(2，l,-1),b=(4,2,k),若a∥b,则k=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(5分)已知复数z=i(3-i),则z的虚部为() A.1 B.3 C.i D.3i 3.(5分)1,8,9,4,5,5,8,2,3,10这组数据的下四分位数(25百分位数)为() A.2.5 B.3 C.7.5 D.8 4.(5分)若直线：x+(m-1)y+1=0与直线：x+2y+2=0平行，则的值为() A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2 5.(5分)已知直线1：(2m+1)x+(m+1)y+=0经过定点P,直线1'经过点P,且1'的方向向量 a=(3,2),则直线1'的方程为() A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0 C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0 6.(5分)已知方程x2+y2-2+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是() A.（-m,-1) B.(3,+0) C.(-w,-1)U(3,+m) D.（3+ 75分)已知椭国C活若-10>0)的左、有焦点分别为不、月，点O为坐标原点，点P为精题C 上一点，点Q为P耳中点，若△OO的周长为6，则椭圆C的焦距为() A.2 B.4 C.6 D.12 8.(5分)双曲线C:芒-茶=1a>Qb>0)的左，右焦点分别为R,及，过乃的直线与C交于4，月 两点，且AF=2B,∠AB耳=60°，点M为线段A耳的中点，则 M=() R引 A号 B.2V2 c. D.3v2 8 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)已知4，b,c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是() A.2a,a-b,a+2b B.26,b+c,b+2a 试卷第1页（共3页) C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 10.(6分)已知圆M的一般方程为x2+y2+6.x+8y=0,则下列说法正确的是() A.圆M的半径为4 B.圆M关于直线x-y-1=0对称 C.点(-6,1)在圆M外 D.实数x,y满足圆M的方程，则√x-3)+(y-4)的最小值是5 11.(6分)如图，若正方体的棱长为2，点P是正方体ABCD-AB,CD的底面AB,CD上的一个动点 (含边界)，Q是棱CC的中点，则下列结论正确的是() B D --C1 A 今 A.若保持∠POC=60,则点P在底面4BCA内运动路径的长度为yBm B。三枝锥B-PB吧体积的最大值为青 C.若PQLBD,则二面角8-PQ-C的余弦值的最大值为 D.若PO1BD,则AB与P四所成角的余弦值的最大值为 三、填空题（共15分） 12.(5分)若扇形的圆心角为2弧度，扇形的周长为12cm,则扇形的面积为 cm2. 13.(5分)斜率为2的直线1与抛物线y2=px相交于A、B两点，若A、B两点的中点为M(2,1),则p 的值是 14.(5分)设0<a<b,若函数y=log2x-1,x∈[a,b]的值域为[0,1]，则a+b的取值范围是 四、解答题（共77分) 15.(13分)已知直线4：x-3y-4=0,:3x-2y+2=0,设直线，2的交点为P. (1)求点P的坐标： (2)若直线过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程. 16.（本题15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a b tanA 2sin B 试卷第2页（共3页） (1)求角A的值： (2)若a=6,b=2c,求△ABC的面积. 17.(15分)某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升 服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成如下频率分布直方图： 频率 组距 0.035 0.025 0 0.010 5060708090100分数 (1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数： (2)求频率分布直方图中a的值： (3)估计当天游客满意度分值的75%分位数， 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD的中点，PA⊥AD, BE∥CD,BE⊥AD,PA=AE=BE=2,CD=1. D E D B (1)求点A到平面PCD的距离： (2)求直线PE与平面PBC所成角的余弦值； (3)在线段PE上是否存在点M,使得DM//平面PBC？若存在，求出点M的位置：若不存在，说明理 由. 19.(17分)已知双曲线c:器器-1a>0b0的左、右焦点分别为风、见，直线1过右焦点元且与双 曲线C交于A、B两点. (1)若双曲线C的离心率为√3，虚轴长为2√2，求双曲线C的焦点坐标； (2)设a=1,b=√5，若l的斜率存在，且(EA+B)AB=0,求l的斜率； ⊙)设1的斜率为，O1-0网-O1-0=4,求双曲线c的方程。 试卷第3页（共3页） 《2028届高二（上）期中考试（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A ⊙ ⊙ A A C B B BC BCD 题号 11 答案 ABD 1.A 【详解】因为a/b,且a≠0，所以存在实数1，使b=2a. 即(4,2，k)=(2,1,-1)=(22,,-) 由对应坐标相等得1=2，于是k=-1=-2. 2.B 【分析】直接根据复数四则运算法则进行求解即可： 【详解】z=i(3-i)=3i-i2=1+3i,由此可得：z的虚部为3. 3.B 【分析】根据已知条件，将10个数按从小到大排序，再结合第25百分位数的定义，即可求解。 【详解】10个数从小到大排列，1,2,3,4,5,5,8,8,9,10， 因为10×25%=2.5，所以这组数据的25百分位数是3. 故选：B 4.A 【分析】利用两直线平行关系，可得x,y的系数成比例，再检验是否有重合情况，从而可作出判断 【详解】由直线：x+(m-1)y+1=0与直线l2:x+2y+2=0平行可得： 1×2=（-1),解得：m=2或m=-1, 检验，当=2时，直线：x+y+1=0与直线l2:x+y+1=0重合，故舍去： 当m=-1时，直线4：x-2y+1=0与直线：x-2y-2=0平行： 故选：A. 5.A 【分析】直线1方程变为x+y+m(2x+y+1)=0,可得定点P(-1,1).根据'的方向向量a=(3,2),可得斜 率为号，代入点斜式方程，化简为一般式即可 【详解】(2m+1)x+(m+1)y+m=0可变形为x+y+m(2x+y+1)=0, 「x+y=0 「x=-1 2x+y+1=0得」 解 得{y=1,即P点坐标为(-1,1) 答案第1页（共13页） 因为a=(6,2)-3写引所以直线r的斜率为号，又r过点p(←1， 代入点斜式方程可得y-1=（x+),整理可得2x-3y+5=0. 3 故选：A. 6.C 【分析】根据D+-4F>0解不等式即可. 【详解】由题意得D2+E2-4F=(-2k)-4(2k+3)>0,即k2-2k-3>0,解得k>3或k<-1, 所以k的取值范围是(-0，-1)U(3,+0), 故选：C 7.B 【分析】由中位线性质得出焦点△P的周长，从而求得半焦距C. 【详解】因为e是P的中点，而O是3中点，所以oQ=P, 所以△OQE的周长是△PFE周长的一半， 又△OOF的周长为6，所以△P周长是12， 即P+PF+F=2a+2c=12,得a+c=6, 又a=4,所以c=2,2c=4. 故选：B. 8.B 【分析】设B=t,由已知得A=2t,利用双曲线定义知B=t+2a,A=2t+2a, 在△B那E中与BA中分别用余弦定理，再结合cOsAM次+cos亚E0,可求得BME21a,进 而得解 【详解】设BF引=t,因为AF=2EB,所以AF=2t, 由双曲线定义知B-BR=2a,则B=t+2a 由双曲线定义知A-AF=2a,则A=2t+2a 答案第2页（共13页） 设EF=2c,c2=+b2,因为∠ABr=60°， 在AB明R中，cos∠RB3=《+2@+f2c=】→+2at+4a2-4c2=0@； 2×(t+2a×t 2 在△BA中cos∠RB4=《+2a'+3)2-(2t+2m2 2×(t+2a)×3t 2→32-10at=0, 解得：t=10。 7 a,代入①式，得c=3a. 点M为找段4迟的中点，所以4=号， 因为cos AM+cos EM=0,所以 10)2 +M-3=0→M=42i 2x10 2x10 2 ax FM ax FM 3 3 4W21 又因为K1-号a,所以以- a 2W21 |E14 7 -a 故选：B 9.BC 【分析】根据空间的基底概念进行判断即可. 【详解】对于A选项，因2a=-4a-)+(a+2迈，故2aa-五，a+2b不能构成一个基底，选项A错 3 误： 对于B选项，2b,五+c,五+2三个向量中，任何一个都不能用其它两个线性表示，故可以构成一个基 底，选项B正确： 对于C选项，4,2b,b-c三个向量中，任何一个都不能用其它两个线性表示，故可以构成一个基底，选 项C正确： 对于D选项， 因c=(a+0-a-0,故C,a+c,a-c不能构成一个基底，选项D错误 2 故选：BC 10.BCD 【分析】A选项，将圆的一般方程化为标准方程，求出半径为5，A错误；得到圆心在直线x-y-1=0 上，得到圆M关于直线x-y-1=0对称，B正确；求出(-6,1)与圆心的距离得到点在圆外，C正确；将 V(x-3}+(y-4)看作圆M上的点到Q(3,4)的距离，得到最小值为Mg的长减去半径5，求出答案 【详解】x2+y2+6x+8y=0变形为(x+3)+(y+4)=25,圆心为(-3，-4)，半径为5，A错误： 答案第3页（共13页） 由于(-3，-4)满足x-y-1=0,故圆心在直线x-y-1=0上，故圆M关于直线x-y-1=0对称，B正确： (6,1)与(-3，-4)的距离为V(-6+3)+(1+4-34>5,故点(6,1)在圆M外，C正确： 实数x,y满足圆M的方程，则(x+3)+(y+4)=25, 则Vx-3)}+(y-4)2可看作圆M上的点到(3,4)的距离， 故最小值是M0的长减去半径5，即√3+3)+(4+4)2-5=5，D正确。 故选：BCD 11.ABD 【分析】根据题意可知，A选项中点P的轨迹是以C为圆心，半径为√3的圆的四分之一，即可得轨迹长 度为yBm,判断出A正确；建立空间直角坐标系，由△BOD的面积为定值可知P到平面BO0的距离最 2 时，三棱锥A-PBO体积的最大值为，可得B正确：对于C、D选项，当POL BDE时可得点P在 AC上，设出点P坐标并利用空间向量可求得二面角B-PO-C的余弦值的最大值为号，可判断C错 误，A2与P心所成角的余弦值的最大值为子，可得D正确 【详解】对于A,根据题意可知QC1⊥平面ABC1D,所以△POC1为直角三角形，即∠PCQ=90°，且 QC1=1 若保持∠POC=60°，可知PC1=√3， 所以点P的轨迹是以C为圆心，半径为r=PC=√3的圆在底面内的部分，即为四分之一圆， 因此点P在底面内的运动路径长度为宁加了5-医。即A正确： 2 对于B,以D为坐标原点，分别以D4,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： B A D B 易知D(0,0,0),B(2,2,2),Q(0,2,1),则D9=(0,2,1),B0=(-2,0,-1), 设平面BQD的一个法向量为n=(x,y,z), 答案第4页（共13页） i.D2=2y+z=0 可得 ,令z=2,可得x=-1,y=-1,即n=(-1,-1,2): iiBO=-2x-z=0 可设P(,n,0),0≤≤2,0≤n≤2，则DP=(,n,0), DP.m+川 所以P到平面BQD的距离为 易知当m=n=2时，距离最大值为26 3 又在△BQD中，易知BQ=D2=V5,BD=2W3,所以BD边上的高为√2； 其面积为定值，即50-分25x万=6： 所以P到平面00的距离最大时，三楼维APB0体积的最大为Snd-×Gx25=专，即B正 3 33 确； 对于C,根据正方体性质可知BD⊥平面AACC,又Q是棱CC1的中点，PQ⊥BD, 所以可得点P在平面AACC,又点P在底面AB,CD内，平面AACC∩平面ABCD=AC,所以 P∈AC1: 根据B中的坐标系可知，所以可得P(m,2-,0),0≤m≤2，B(2,2,0),C1(0,2,0),Q(0,2,1): 则B,2=(-2,0,1),B,P=(m-2,-m,0), a.B2=-2x1+31=0 设平面B,PQ的一个法向量为u=(3,,3),可得 i.B,P=(-2)x-%=0' 令X=m,则为=m-2,31=2,即u=(m,-2,2m); 易知平面P9G的一个法向量为DB=(2,2,0), 所以cos(DB,u)= 2+2(-2) 4(-1) -1 2W2×Vm2+(m-2)y2+4m22V2×V6m2-4m+4V3m2-2m+2' 易知当m=1时，cos(DB,4=0, 当me1,2]时，cos(DB,0=V3-2m+2 m-3,令fm)=二 3r2-2m+2me(12], 可得了'（叫）=2(2u+1m- (32-2m+2) >0在(1,2]上恒成立，即f(m)在(1,2]上单调递增： 此时m=2时，cos(DB.0=0最大， 10 答案第5页（共13页） m-2m+1, [0.),cos(.3mp-2m+2 易知f(m)在[0,1)上单调递减， 所以m=0时， cos(DB4)=号取得最小值， 又由图可知，当=0时，二面角B-PQ-C1为锐角， 所以二面角B-PO-C的余弦值的最大值为}，即C错误： 对于D,根据选项C易知AB=(0,2,0),PO=(-,m,1), 可得cos(AB,PO) AB.PO 2n ABP回2×+m2+1V2m2+1 当m=0时，cos(AB,PO)=0, 当m≠0时， cos(AB.PO)= 2m2+1 1,易知当m=2时， 2+ +。取到最大值为2 2 2 综上可知，AB与P吧所成角的余弦值的最大值为？，即D正确： 故选：ABD 【点睛】方法点睛：在求解立体几何中动点问题时，往往根据其几何位置关系找到变量之间的数量关系 式，结合变量与定值之间的关系利用函数单调性或基本不等式求得最值， 12.9 【分析】先根据扇形的周长求出半径，再根据扇形的面积公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为R, 则2R+2R=12,解得R=3, 所以扇形的面积为一×2×3=9cm2 故答案为：9. 13.4 【分析】根据题意利用点差法即可求解。 【详解】设A(:,),B(x2,y2),由点A、B都在抛物线上得： ∫y=p% v=px2 两式相减得：-巧=p-x,),等价变形为当业.(y+)=p x1-x3 即ks·(+y2)=p,又A、B两点的中点为M(2,1), 所以头+y2=2×1=2,又ks=2 答案第6页（共13页） 所以卫=2×2=4， 故答案为：4 14.[3,6] 【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为[0,1]，分析特殊点的横坐标，分 类讨论即可得解， 【详解】作出函数图像， y个 1 -2-101234 -1 -2 根据题意y=f(x)=log2x-1=0, 得x=2, 令y=f(x)=logx-1=1, 解得x=1或x=4, 所以结合0<a<b ①若a>2,则不合题意，舍去， ②若a=2,则b=4,此时a+b=6: ③若1<a<2,则b=4,此时5<a+b<6: ④若a=1,则2≤b≤4,3≤a+b≤5 综上所述，3≤a+b≤6， 故答案为：[3,6] 15.(1)P(-2,-2): (2)x+y+4=0或x-y=0 【分析】(1)将两直线方程联立求解，即得交点坐标： (2)结合图形理解，直线1在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为-1或经过原点，分别求直线方程即 得 3x-2y+2=0解得P(-2-2). x-3y-4=0, 【详解】(1)联立方程 (2):直线1在两坐标轴上的截距相等， 答案第7页（共13页） .直线的斜率为-1或经过原点 ①当直线过原点时，：直线过点P, .l的方程为y=x; ②当直线1斜率为-1时，直线l过点P, .1的方程为y+2=-(x+2),即x+y+4=0. 综上所述，直线l的方程为x+y+4=0或x-y=0 1604号 (2)6V5 【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合角的范围求解即得. (2)由(1)的结论，利用余弦定理求出c,再利用三角形面积公式计算即得， 【详解】(1)在△ABC中， b 得acos4b tanA 2sin B sinA 2sin B 由正弦定理得sinAcosA、sinB sin A 2sin B .又simA>0,sinB>0, 因此cosA=1 而40，所以4=号 (2)由（①知A-子由余弦定理得d=B+c2-2水oA=+e2-be, 而a=6,b=2c,则36=4c2+c2-2c2=3c2,解得c=2√5（舍去负值)，所以b=2c=4V5, 所以△4BC的面积S=be sin4=x45×25x5=6N5, 2 2 17.(1)50,40,10 (2)0.020 (3)82.5 【分析】(1)求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数： (2)利用频率之和为1列出方程，求出a的值： (3)利用百分位数的定义进行求解， 【详解】(1)老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为 625:500:125=5:4:1, 故抽取100人，样本中老年人数为100×，5=50人，中青年人数为100×，4 5+4+1 =40人，少年人数为 5+4+1 1 100× =10人： 5+4+1 (2)由题意可得，(0.010+0.025+0.035+a+0.010)×10=1,解得：a=0.020; (3)设当天游客满意度分值的75%分位数为x, 答案第8页（共13页） 因为(0.010+0.025+0.035)×10=0.7<0.75，(0.010+0.025+0.035+0.020)×10=0.9>0.75， 所以x位于区间[80,90)内， 则(x-80)×0.020=0.75-0.7,解得：x=82.5, 所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5. 18.)4v5 (2)42 7 (3)当点M为PE的中点时，有DMI/平面PBC 【分析】(1)作E⊥平面ABCD,结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面PCD的法向量h以及 PA.n PA,再由公式d= 即可求解。 (2)分别算出PE与平面PBC的法向量h,再由公式s8= PE. PE 即可求解。 (3)若DM/1平面PBC,则DM2=0,而n在第二问中已经求出，所以只需设 DM=DE+EM=DE+EP,待定系数即可求解， 【详解】(1)作E⊥平面ABCD,又BE⊥AD,所以以EB,ED的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立 如下图所示的空间直角坐标系卫-vz: 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,且PA⊥AD,PAC平面PAD, 所以PAL平面ABCD, 又因为E为AD的中点，PA=AE=BE=2,且BE∥CD,BE⊥AD,CD=1, 所以由题意有A(0,-2,0),P(0,-2,2),D(0,2,0),C(1,2,0), 所以有PA=(0,0,-2),PC=(1,4,-2),PD=(0,4,-2), 不妨设平面PCD的法向量为h=(3,,工)， 答案第9页（共13页） h·PC=0 所以有 x+4y-23=0 ,即 g·PD=0’4劣-2z=0 取片=1，解得=(0,1,2)， PA.n 0×0+0×1+(-2)×24√5 所以点A到平面PCD的距离为d: V0+12+22 5 (2)如图所示： E D 由题意有E(0,0,0),P(0,-2,2),B(2,0,0),C(1,2,0), 所以有PE=(0,2,-2),PC=(1,4,-2),PB=(2,2,-2), 不妨设平面PBC的法向量为乃=(x2,,22), 所以有 h·PC=0 ,脚+4-24，=0 zPB=0’2x2+2y2-2z2=01 取x3=2,解得=(2,1,3) 不防设直线班与平面PsC所成角为0，a0引 PE·n 所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为sn8= 0×2+2x1+(-2)x3☐-万 PE0+22+←22+P+3 7 所以直线PE与平面PBC所成角的余弦值为cos0=V-im0-√ 1 (3)如图所示： B 由题意有E(0,0,0),P(0,-2,2),D(0,2,0), 所以DE=(0,-2,0),EP=(0,-2,2), 答案第10页（共13页） 由题意不妨设EM=EP,(0<1<1), 所以DM=DE+EM=DE+1EP=(0,-2,0)+2(0,-2,2)=(0,-2-2,2), 又由(2)可知平面PBC的法向量为m=(2,1,3), 若DM/平面PBC,则DM,=0, 即-2-22+61=0，解得入=片 所以当点M为PE的中点时，有DMII平面PBC. 19.(1)(←V3,0),(3,0) (2)±5 5 5 【分析】(1)由离心率公式和a,b,c的关系，即可得到结果； (2)求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线 的斜率。 (3)设直线l的方程为y=k(x-c),与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的 OA.OB=0,AB=4两个条件，即可求得双曲线的方程. 【详解】(1)由题意得2b=22,e=C-√5，c2=d+b 解得a=1,b=√2，c=√5 故双曲线C的焦点坐标为(-√5,0)，5,0). (2)双曲线x2_y=1,可得R(2,0) 3 设A(:,),B(,,直线1的斜率为：k=5当 X2-X1 设直线l的方程为y=k(x-2) y=-2h 联立直线与双曲线的方程 . 消去y得：(3-k2)x2+4k2x-42-3=0 由直线与双曲线有两个交点，则3-k2≠0且△=361+k2)>0,即k≠±5 4k2 4k2 12k 可得x+马='则y+少=k(+为4)=2三34F23 答案第11页（共13页） A=(x+2,4),RB=(x+2,y2) (A+B)AB=0,可得：(：+x,+4,片+马)（化-，2-）=0 (+3+4)(x3-x)+(4+2)(y2-4)=0 将k=5-上代入上式，可得++4+（以+马，）k=0 X2-x 得、42 然1+=0，可的-号 解得在±正，即的斜率为± 5 5 (3)右焦点为(C,0),设直线I的方程为y=k(x-c),A(x,y),B(x2,y) [y=k(x-c) 联立直线与双曲线的方程x子y (a1 消去y得：(b2-dk2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0 △=4c2a4k4+4b2-a2k2)(a2k2c2+d2b2）>0 1张5=8 -2ca'k2 b2-ak2 (-)kc ak?-b2 由OA+OB=OA-OE,得(OA+OB=(OA-oBj 整理得OA.OB=0,则￥x+y2=0 即d2b2+dk2c2+k2(a22-b2c2)=0 则aB+a22(d+b)+k2[ab2-(d+b)】=0 整理得k2= ab ba-a-ab 因的牛=后，片以。不基理得=女 ab2 c2-d=3d,c2=4d,c=2a -2ca'k? 所以名+为=B-R y2,x一kCT=一 b2-a'k? 由0A-08=4,得AB=4,即AB=4 汉4--0*广-]-a--a 则4a=4,解得a=1 答案第12页（共13页） 所以=1，b2=3,c2=4,经检验△>0 所以双曲线C的方程为x-上=1. 3 答案第13页（共13页）