广西南宁市第四中学五象凤凰校区高中部2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

南宁四中五象凤凰校区高中部2026年秋季学期期中 考试题 高二数学 命题人：谢凤莲 审题人：覃庆玲 注意凛项： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2考生作答时，请将答案答在答题卡。选择题每小题选出答素后，用2B铅笔把答题卡上对应 题目的答素标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答，题.卡，上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3考试结束后，将答题卡文回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={0<x<2),B={0,1,2),则AnB=() A.{O) B.} C.(L,2) D.{0,1,2) 2.若直线a+y+1=0与直线2x+(a+1)y+2=0平行，则a=( A.a=-2 B.a=1 C.a=-2或a=1 D.a=2 3.双曲线上-2=3的渐近线方程是（) 2 A.y=2x B.y=tv2x c.y=号 .y 4.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)， [60,80),[80,100].估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是( 频率/组距 0.020 0.015 0.010 0.005 20406080100成绩/分 A.93 B.80 90 D.95 5.设a=log,0.3,b=lo80.3,c=0.3,则a、b、c的大小关系为( A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D a<c<b 6.曲线+父=1与￡+少 259 与g-k+25-k=10<k<9)的关系是（ A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有不等的焦距，相同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.有相等的焦距，不同的焦点 第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 7.如图，在直三棱柱ABC-4BC中，CA⊥CB,CA=CB=2,AA=3,M为AB的中点.则A到平面CB,M的 距离为( B.3v0 C.3 B.6W22 11 11 &.如图，点，及分别是椭圆C:三+芳=>b>0)的左、右焦点，过巧的直线交精圆C于4B丽点，且 y IR4非2到R8,R4级=7，则C的离心率为（ A. B. 0. F 3 9 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.在空间直角坐标系0-92中，已知A(1,2,-1),B(01,1),下列结论正确的有（ A.M@=6 B.04-0B=1 C.若元=(4,2，)，且元⊥丽，则1=3 A.若m=(1,1,k)且m∥AB,则k=2 10.下列选项正确的是（ A直线3x+(4+m)y-3+3m=0(m∈R)▣过定点(-3,3) B直线5」 3x+y+1=0的顺角为150° C.圆x2+y2=3上有且仅有2个点到直线x-y+V2=0的距离都等于1 D.若点P(k,O)在圆C:(x-1)2+y2=1内，则实数k的取值范围为0<k<2. 11.已知0为坐标原点，过P(0,2)的直线1与双曲线C:x-上=1相交于A,B两点，则下列说法正确的是 2 ( A.双曲线C的离心率为√5 B.直线1斜率的取值范围为(-V6,V6) C.若2是双曲线C上的动点，则Pg的最小值为团 D.过0作1的垂线，垂足为M,则点M的轨迹与直线y= x+1有且只有1个公共点 4 第2页共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共，15分.） 12.点(1,2)关于直线2x-3y-9=0对称的点的坐标为 13.已知直线：m(x+y+l)+y-x=0,m∈R,圆C:(x-1旷+(y-2)=9,则直线I被圆C截得的最短弦的长 度为 14.已知函数y=(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2-x),若f(0)=5,则 f(0)+f(2)+…+f(2026)= 四、解答题（本慰共5小题，共？7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步跳.） 15.已知圆C的圆心C在直线x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A(-5,0),B(1,0), (1)求圆C的标准方程： (2)己知2(3，)，点P在圆C上运动，求线段P2中点M的轨迹方程. 16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且满足2 acosB=2c-b. (1)求角A的大小： (2)若a=2W5,b+c=6，,求△ABC的面积. 17.已知函数f(x)=2V3sinx~cosx+2cosx-1. (1)求∫(x)的单调区间： (2)当x∈ 一石，时，求函数飞)的最值以及取得最大值时x的值， 第3页共4页 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,底面BCD是直角梯形，AD/BC,∠ABC=90°， 且PA=AD=4,AB=BC=2,PB=2V5,E为PD的中点. (1)证明：CE/平面PAB: (2)求二面角E-AC-D的余弦值. 19.在平面直角坐标系a0中，已知椭圆C:善+片-1(Q>b>0)的右焦点P化，0)，离心率为号 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线l:y=:+2与C交于A,B两点。 (1)求△AB0面积的最大值： (ⅱ)在y轴上是否存在一定点P,使得直线PA,PB的斜率之和恒为0？若存在，求出P的坐标：若不存在， 请说明理由. 第4页共4页■ 南宁四中五象凤凰校区高中部2026年秋季学期期中 考试高二数学参考答案 1.B【详解】因为A={0<x<2),B=(0,l2),所以AnB={ 2A【详解】由直线红+y41=0与直线2x4+o+y+2-=0平行，相号本千分所以a-2。 3.B【详探】双曲线子-2=3，化为标准式：。- =1, 63 焦点在y轴上，d2=6,b2=3,即a=V6,b=5, 焦点在)轴上的双曲线浙近线方程为y=±号， 代入得：y= x=土√2x. 3 4.A【详解】由直方图得，从左到右的第一、二、三、四小组的频率分别是0.10、0.20、0.40、0.30.第-、 二、三小组的频率之和为0.10+0.20+0.40=0.70<0.90， 所以第90百分位数处在第四组[80,10]内，为80+20×0,90-0,70=93、 1.00-0.70 5.D【详解】因为对数函数y=log2x在(0，+∞)上为增函数，所以a=log20.3<log21=0,因为对数函数y=log1x 在0，+四)上为减函数，所以b=1638:03>1呢号 =1,因为指数函数y=0.3在R上为减函数，所以 0<c=0.3<0.3°=1，故a<c<b. 6.D(详解】由愿意可知，椭圆二+上=1的焦点在x轴上，且c2=25-9=16, 259 所以c=4,焦距为2c=2×4=8,焦点坐标为(t4,0), 椭圆 g-k+25-=10<k<9)的焦点在y轴上，且c2=(25-)-(9-)=16, y2 所以c=4,焦距为2c=2×4=8,焦点坐标为(0,4)， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点 故选：D. 7.D【详解】 C A 如图，以C为原点，分别以C4,CB,CC所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系， 第1页共8页 则A(2,0,0),B(0,2,0)，4(2,0,3),B(0,2,3)，M(11,0) 于是CB=(0,2,3),CM=(1,1,0). 设平面CB,M的一个法向量为i=(xyz), [2y+3z=0 则 CB-元=0 即 CM-R=0 x+y=01 令z=2,得万=(3，-3,2) 又4B=(-2,2,0), 所以4到平面CAM的距离d-网_是一62 同√22 11 8.D【详解】 连接那，设B=m,则A=2m,M=2a-2m,B=2a-m,因为∠R5=至，所以在a48中， 由勾股定理得|A+=FE2,即(2m)2+(2a-2m}=(2c)2,①在aABF中，由勾股定理得 h+af=Bs,即(3m+(2a-2mj°=(2a-m,整理得m=号，将m=号代入①式得 仔〔a-,整里得G-如，所以离心e-层-吾-5 9.ABC【详解】已知在空间直角坐标系中，A(L,2,-1),，B(0,1,1),原点O(0,0,0), 则0a=0,2,-),0丽=(0,11)，历=(-1，-1,2).选项A:西的模长A=-)2+(-1)2+2=+1+4=V6, 因此A正确：选项B:OAOB=1×0+2×1+(-1)×1=0+2-1=1,因此B正确：选项C:已知i=(4,2,),且n1AB, 因此元-B=4×(-1)+2×(-1)+1×2=2t-6=0,解得t=3,因此C正确；选项D:已知m=(L,1,),且m/1B, 因此号号-受解得太=22，因此D蜡误 [3x+4y-3=0 10.BCD【详解】对于A,直线整理得(3x+4y-3)+m(y+3)=0,若对任意m都成立，则有 y+3=0 第2页共8页 解得5 3 y=- ,即直线过定点5，-)，故A错误，对于B,直线的斜率k=-三= √5，则其倾斜角a满足 3 tana=-3 解得a=150°，故B正确，对于C,易得圆心为O(0,0),半径R=√3， 3 侧圆心到直线的距高d0-10+2-1,若圆上的点到直线x-y+2=0的矩离为1，则这些点一定 V2+(-2 位于与x-y+V反=0平行，且到x-y+2=0的距离为1的两条平行直线上， 这两条平行直线到圆心的距离分别是d,d-1日1一1=0，即该直线过圆心，与圆有2个交点， 和d2=d+1=1+1=2,因为R=√5，所以d,>R,即该直线与圆没有交点， 所以圆上共有2个点到该直线的距离为1，故C正确，对于D,易得圆的圆心为(L,0),半径R=1,若点P(k,0) 在圆C:(x-)2+y2=1内，则有Vk-1)+(0-0)2<1,即(k-1)2<1,解得0<k<2,故D正确。 1.AGD【详解】对于A,e=-昼+在-+2-5：对于B,假设斜率不存在，则直线1：x=0,此时与 0 a [y=a+2 双曲线没有交点，不符合题意，舍去，若斜率存在，设：y=女+2，联立 2-￡=12-)2-h-6=0, 2 因为直线与双曲线有两个交点，则△=(4k)2-4×(6)(2-k2)=48-8k2>0且2-？≠0，解得√6<k<-√2或 2<k<5或互<k<6:对于C,设2(w),则Pg=2+0y-2},因为2-上=1，所以 2 -4纱+4仁3买4y+5,根据三次函数性质可得当y只 2 2 -45= 3 即peL- 万√ L:对于D,由于O,P为定点，由题知，动点M满足M0⊥MP, 3 即点M的轨迹是以线段OP为直径的圆的一部分，且圆心为(0，)，半径为1，这个圆的方程为x2+(y-1)'=1, 设过P的直线为y=:+2,由B选项可知，该直线和双曲线交于两点时满足M<V后且（≠V反， 当k=0,过原点和y=2垂直的直线为x=0,此时垂足为(0,2)，当k≠0，过原点的直线和y=:+2垂直，可 -,M个器品电<64t0,0 [y=c+2 设该直线为y=-x,联立 w品后引传得小6，注到M在圆2+0-=1上可知w品导引作 综上所远，w品号引作2]，令y=号代入圆2+b-旷=1可得=±25，记 3 引引 如下图所示，M的轨迹为一段优弧挖去两个点E,F所得而来 第3页共8页 二x+1恰好经过E,注意到该直线还经过圆心，如图，该直线和M +1 的轨迹只有一个交点， ‘综上所述，ACD正确. 12.(5,4) 【详解】由直线方程2x-3y-9=0,则其斜率k= 与直线2x-3y-9=0罪直的直线1斜率6=-子， 2’ 设直线过(2)，可得其直线方程y-2=-x-,整理可得3x+2y-7=0, 联立可得 3x+2-7=0解得交点坐标6，-)。 [2x-3y-9=0 x=3 （a*1=3 2 a=5 设(1,2)关于直线2x-3y-9=0对称点坐标(a,b),则{ b+2 ，解得 b=-41 =-1 2 所以(1,2)关于直线2x-3y-9=0对称点坐标(5,4) 13.√2 【详解】由1：m(x+y+)+y-x=0,令+y+1=0, x=- 2 y-x=0得 y=-1 2 所以直线/恒过定点P(分》， 圆C:(x-1)2+y-2)2=9的圆心C(1,2),半径r=3, 9-分小分2习-受<3，可得点P在围C内部即直线1与圆C始终相交， 因直线I被圆C截得的弦长公式为L=2√P2-d严=2√9-d严，d为圆心C到直线1的距离， 当d取绿大值时，孩长最短，则当11Pc时，之一C-受 第4页共8页 2 此时最短弦的长度为2,32 V34 =2. 2 14.5【详解】由(x)为奇函数，可得（-x)=-∫(x) 由f()=(2-x,得f(x+2)=f(x)=-f(),故fx+4)=-fx+2)=∫). f(0)=5,f(2)=(0)=0,f3)=f(-1)=-0)=-5,f4)=f(0)=0. f(0)+f(2)+f(3)+f(4)=5+0-5+0=0. 2026=4×506+2,故f(1)+f(2)+…+f(2026)=506×0+∫(0)+∫(2)，代入得506×0+5+0=5. 15.【详解】(1)因为圆C与x轴交于两点A(-5,0)、B(1,0),则线段4B的中点为D(-2,0), 由垂径定理可知CD⊥x轴，则点C的横坐标为-2，将x=-2代入x-2y+4=0,得-2-2y+4=0,解得y=1, 得圆心C(-2,1),圆C的半径为r=BC=V(-2-1)+(1-0)2=而， 圆c的标准方程为(x+22+(y-1)2=10 x=名+2 (2)设M(名，y)、P(x),由中点坐标公式得 1·22 2 %=2y-1' 2 将点P的坐标代入圆c的方程得(x。+22+(%-1)2=10,即(2x-2+2)2+(2y-1-1)2=10,即 4+40-=10,化简得2+0--，线段P2中点M的轨迹方程为2+0--多 16.【详解】G1)由余孩定理csB=+-公，代入2asB=26-6得2a.+-心-2G-, 2ac 2ac 即+c2-8=2c-b,两边同乘e得2+c2-B=2c2-bc,整理得bc=c2+b2-a2,又由余弦定理 m4=+-,又4e(Q动.放4=号(2)由)知心=c+-6c=e+-3c, 2bc 代入a=25.b+=6得12=36-欢，解得c=8,所以C的面积e一c血4=×8-2a5。 2 17.【详解】(1)f(x)=2W5 sinxcosx-+2cos2x-1=V5sin2x+cos2x=2 令2版-受52x+后≤2a+受ke2,解得m-号≤x≤r+名，keZ: 令 2+5s2x+元s2r+3 2 6 ，ke乙，解得低+5x5m+2匹 6 3,kez. 故的单调造区同为[血+引，ke，单调适减区间为[+k+】ke乙。 第5页共8页 )当引时2+ 由正弦函数鞋质得血个2：+引[宁剖， 因此-=2smx+周i2. 当2x+名-牙，即x=若时，因取得最大值2. 62 故∫(：)最大值为2，最小值为-1，取得最大值时x= 6 18.【详解】(1)(I)取PA中点M,连接EM,BM.因为E为PD的中点，M为PA中点，所以EMIIAD且 EM=4D, 又AD1IBC,BC=2,AD=4,BC-4D,所以有BM1BC且aM=BC.所以四 边形BCEM为平行四边形.则CEIIBM,又BMc平面PAB,CEc平面P4B,所以CE1I平面PAB. (2)在△PAB中，由PA=4,AB=2,PB=2N5,得PB2=PP+AB2,所以PA⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,PAc平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD. 又因为AD/IBC,∠ABC=90°，所以∠BAD=90°，则AB⊥AD. 如图以A为原点，以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， D B 则A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,2,0),D(0,4,0).因为E为PD的中点，所以E(0,2,2),所以 严=(0,0,4)，AC=(2,2,0),E=(0,2,2),设平面ACE的法向量为i=(x,y,2),则 7.AC=2x+2y=0 元.i=2y+2z=0 取x=1,可得y=-,z=1,所以万=(，-l,),又由(2)知PA⊥平面ABCD,所以平面ACD的一个法向量为 P=(0,0,4).设三面角E-AC-D的平面角的大小为0，由图可知二面角E-AC-D为锐二面角.则cos8= 第6页共8页 cos<AP, i 4 阿 所以二面角B-4C-D的余弦值为 3 19.【详解】（1)由题意可知：e=日2c=2,则a=4,即=0-d2=2, 所以C的标准方程为三+二=1.(2)设4：，X),B(,),直线1与y轴的交点为D0,2, 16121 y=a+2 y=a+2 因为点D(0,2)在椭圆内，直线1与椭圆必相交，联立方程x2,y,消去y整理得(3+42)x2+16-32=0, =1 1612 16k 因为x, x是上述方程的根，则 x+为=3+4 (1)因为 32 42=3+4圾 5.0=5.400+5.o 且为<0，可得So=+=32-=V《x+)2-4%x 162k2 V(3+42)2 7+4×,3286+2,令1+2K=121,则2k'=P-1,可得A0=272+ 3+4k2 2141, 因为0-2+片在tm)内单调道，则/020=3，可得ao35586 2 二3，所以△AB0面积的最 大值为8v6 ；(i)设存在点P(0,),使k+kn=0,即二+=0， 3 可得色+2-+色+2-=0，整理可得265+2-5+5)=0，即-，64-16t2-=0,整理可得 3+4k23+4k2 k(-6)=0,因为上式对k∈R恒成立，则1-6=0，解得1=6，所以存在一定点P(0,6),使得直线PA,PB 的斜率之和恒为0. 第7页共8页