16.1幂的运算与整式乘除专题复习讲义 2026—2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册　第16章 整式的乘法 第16章 整式的乘法 幂的运算与整式乘除 2026—2027学年人教版八年级数学上册专题复习 教师解析版 【学习目标】理解幂运算法则及逆用，熟练完成整式乘法与简单除法，能处理零次幂的条件，并用展开、整体代入和几何模型解决问题。 【学习范围】对应16.1幂的运算与16.2整式的乘法，含该节安排的零次幂、同底数幂除法及整式除法。 学习导航 一、同底数幂相乘与运算辨析 2 二、相反底数与整体底数 2 三、幂的乘方与指数关系 3 四、积的乘方与系数符号 4 五、三种运算的混合与化简 5 六、同底数幂与幂的乘方的逆用 5 七、积的乘方的逆用与简便计算 6 八、统一底数与大小比较 7 九、单项式乘法与系数规范 8 十、单项式乘多项式与分配律 8 十一、多项式乘多项式与展开检验 9 十二、同底数幂除法与零次幂 10 十三、单项式除法与多项式除以单项式 11 十四、不含某项与恒等系数 12 十五、展开化简与整体代入 13 十六、面积模型与数量关系 14 十七、乘除混合与逆向求式 16 A、基础通关 17 B、难点突破 18 C、综合提升 19 D、近年真题 21 【学习建议】先读方法与易错提醒，再独立完成母题和三道递进变式。A组复练基础，B组突破结构，C组综合迁移，D组对照近年试题。 一、同底数幂相乘与运算辨析 【知识详解】乘方表示相同因数的连乘。在中，是底数，是指数，表示个相乘。本题型先讨论正整数指数。同底数幂相乘，底数不变，指数相加：底数可以是数、字母，也可以是一个整式。 【理解依据】两组相同因数合在一起，因数个数相加，因此指数相加；并不是把底数相加或相乘。三个及以上同底数幂相乘时，同样把各指数相加。 【方法示范】先看运算符号，再认底数，最后处理指数。例如而单独一个可看作所以 【从运算对象判断法则】看到两边是两个幂，中间是乘号，因此把两组相同因数合并。看到外面的作用于整个属于幂的乘方。看到是两个相同的项相加，只能把系数合成指数不变。先说清“什么与什么做什么运算”，再动指数，可以避免把三个规则混在一起。 【迁移与检验】底数相同不等于式子相同。可直接相乘；需要先把偶次幂化为既不同底数也不同指数，不能直接套本法则。 【易错提醒】同底数幂的乘法法则只用于“相乘”。不是同类项，不能合并成的底数不同，也不能写成 例1、判断下列计算是否正确，错误的请改正：①②③ 【解析】①错误，应为②正确；③错误，每个因数都要乘方，应为 变式1-1、在括号中填入适当的幂： ①（________） ②（________） 【解析】①因为②因为这是从总指数倒推缺少的指数。 变式1-2、化简若对任意实数成立，求正整数 【解析】第一式为第二式取得所以代回可知原等式对任意都成立。 变式1-3、已知为正整数，计算 【解析】原式同底数幂相乘时指数相加，不能把前两个指数相乘。 二、相反底数与整体底数 【知识详解】底数相同，是使用同底数幂乘法的前提。遇到与与时，要先统一底数。因为所以偶数次幂不变号，奇数次幂要变号。 【理解依据】由乘方的意义，一般地，其中为正整数。括号决定负号是否参加乘方。 【方法示范】先判定负号，再把相反底数统一，最后相乘。例如不必展开 【统一底数时逐项记号】把记作一个整体则例如这道示范有题目前面的负号、相反底数带来的负号两层含义，先分别写清，再判断最终正负。整体代换只是为了看清结构，最后要把还原为 【迁移与检验】判断符号不是判断字母正负。对正数、负数和零都成立；不能因为底数写着负号，就断言结果一定小于零。例如时， 【易错提醒】表示的相反数；表示的四次方。二者一般不相等。改变底数方向时，要根据该因式的指数决定是否变号。 例2、计算 【解析】先统一底数：所以 变式2-1、计算：①② 【解析】第一式第二式第一式中的是的相反数，第二式中的是的平方。括号改变了负号是否参加平方。 变式2-2、化简：①② 【解析】①结果为②结果为 变式2-3、化简并求当时该式的值。 【解析】原式当时，原式先统一整体底数，避免把两个相反数混用。 三、幂的乘方与指数关系 【知识详解】幂的乘方，底数不变，指数相乘：外层指数表示里面的整个幂被重复相乘的次数。多层乘方要从内到外处理，各层指数依次相乘。 【理解依据】一般地，个相乘，指数和为个相加，即这与的指数相加不同。 【方法示范】遇到指数中的未知数，可把两边写成同底数幂。例如由得所以这里底数为其正整数次幂随指数增大而增大。 【括号与指数的作用范围】表示三个相乘，结果为的指数是表示二者不是同一种写法，不能只看到了数字和就一律相乘。计算含多层括号的式子时，可以先标出最内层的完整底数，再从内到外逐层处理。 【迁移与检验】求指数时要区分“对某个底数成立”与“对任意底数成立”。例如若只在时成立，不能推出若对任意实数成立，可取来比较指数，再把所得条件代回原式验证。 【易错提醒】不能不加条件地说“底数相同就能令指数相等”。底数是时，不同指数仍得到底数是时，同奇偶性的指数也可能得到相同结果。 例3、计算 【解析】也就是 变式3-1、计算：①②③ 【解析】①②③嵌套乘方要辨明每一层的底数，后两式中负号所在层次不同。 变式3-2、已知求再求 【解析】由得于是 变式3-3、已知为正整数，化简 【解析】先用幂的乘方：再用同底数幂相乘，得内外指数先相乘，两因式的指数随后相加。 四、积的乘方与系数符号 【知识详解】积的乘方，等于各因数乘方的积：多个因数时仍成立，例如每个因数都要乘方，包括数值系数和负号。 【理解依据】这里使用了乘法交换律和结合律。因此 【方法示范】可以分为三步：先看整体符号，再算数值系数的乘方，最后算每个字母因数的乘方。例如 【从外层指数逐个分配】处理时，可以把底数列成三个因数分别写成再相乘。省略的系数也参加乘方，例如如果只把最后一个字母乘方，就改变了原式的乘方范围。 【迁移与检验】逆向填一个底数时，也要逐个因数检查。例如先确认每个指数是否都是外层指数的整数倍，再组合底数，最后正向算一遍验证。 【易错提醒】的系数是不是积的乘方可以逐个因数乘方；和的乘方不能照搬此法，不能直接写成 例4、计算 【解析】每个因数都要平方： 变式4-1、计算 【解析】先算内层于是原式也可以将外层平方逐因数分配，但两层负号都要处理。 变式4-2、已知一个单项式的三次方等于求这个单项式。 【解析】所求单项式为验证：先把系数与字母因数分别写成三次方，再合成整个底数。 变式4-3、若对任意实数都成立，且为正整数，求 【解析】由的指数得所以系数也满足再由得所以 五、三种运算的混合与化简 【知识详解】混合计算时，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项。每一步只使用符合当前结构的法则。同底数幂相乘时指数相加，幂的乘方时指数相乘，积的乘方时每个因数都乘方。 【理解依据】例如两项先各自完成幂的运算，得到同类项以后，才能作加减。 【方法示范】可在草稿中给每一项分开编号，先统一指数形式，再判断能否合并。若结果是若干个不同次数的幂之和，应保留，不能为了得到一个幂而强行合并。 【先分项再运算】加号和减号把式子分成若干项，每项内部先完成乘方、乘法。例如的三项依次化为前两项抵消后剩减号应看作后一项的一部分，抄写中间结果时不能漏掉。 【迁移与检验】可以代入简单数作检验，但检验不能代替证明。会使所有正整数幂都等于容易掩盖指数错误；选常能发现指数错误，选还能帮助检查奇偶次幂的符号。两个值相符也不能证明两个式子恒等。 【易错提醒】不是负号不能在中途丢掉。化简求值题应先化简，再代入。 例5、化简 【解析】先乘方，再相乘，最后合并： 变式5-1、化简 【解析】原式与不是同类项，不能继续合并；不同次数的幂不能因为底数相同就作加法合并。 变式5-2、化简 【解析】第一项为第二项中所以第二项为原式两项次数不同，不能合并。 变式5-3、先化简，再求值：其中 【解析】原式当时，原式最后一个减号在整个幂之外，不能与底数中的负号抵消。 六、同底数幂与幂的乘方的逆用 【知识详解】等式可以从右向左使用：当题目给出某个幂的值时，应把目标指数改写成已知指数的和或整数倍，尽量不求底数。 【理解依据】若则若另知则前一式先拆指数之和，再拆整数倍；后一式直接拆成两个已知幂相乘。 【方法示范】先圈出已知幂，再拆目标指数。例如已知求时，先写成再代入得这里为正整数，条件可以同时成立。 【把已知量当作一个整体】逆用时不必还原底数或指数。若则这里直接把当成整体。如果目标指数是拆开后得到仍有未知量这时应检查题目是否另给条件，不能把多出来的因数省去。 【迁移与检验】指数“和”对应幂相乘，指数“倍数”对应整个幂再乘方，目标式本来的加减则仍要保留。给出两个幂时，先把目标指数写成这两个指数的整数倍之和；给出一个幂时，先看能否完全拆成它的整数次方。 【易错提醒】不是也不要为了代入而把未知指数改成分数或负数；本题型只使用正整数幂的性质。若出现应保留并处理多出的 例6、已知其中均为正整数。求 【解析】先把目标指数拆成已知指数之和，再代入已知幂。 变式6-1、已知为正整数。求 【解析】目标式是两项相加，每一项分别逆用幂的乘方后再求和。 变式6-2、已知其中为正整数。求的值。 【解析】先整体平方：再把改写成所以原式不必求或 变式6-3、已知其中为正整数。用含的式子表示并求时的值。 【解析】故所求式子为当时值为 七、积的乘方的逆用与简便计算 【知识详解】当几个幂的指数相同时，可逆用积的乘方：先看能否把底数相乘得到等易算的数，再决定是否合并。 【理解依据】例如又如合并时指数不相加，只有底数相乘。 【方法示范】指数相差不大时，可先拆出多出的因数，使剩余部分同指数。例如拆分使用的是同底数幂乘法的逆用。 【选择值得配对的因数】简算前先观察，而不是先算每个大幂。遇到与可以配成遇到与可以配成遇到与可以配成例如前面的系数不参加七次方，不能把它也放进同一个括号。 【迁移与检验】多出来的因数要单独保留。若指数不一致，先按较小的指数配对；若底数可拆成较小数的幂，先用幂的乘方统一指数。只有乘积能够这样重组，不能改成 【易错提醒】指数不同，不能直接合成若底数含负号，要把负号一起放入括号；的奇数次幂为偶数次幂为 例7、简便计算 【解析】两个幂的指数相同，可合并底数： 变式7-1、简便计算 【解析】先拆出多出的 变式7-2、简便计算 【解析】第一项第二项所以原式 变式7-3、简便计算结果写成底数为的幂。 【解析】先拆底数：因此原式先统一合适的指数，再把两个易配对的底数合并。 八、统一底数与大小比较 【知识详解】若底数之间有乘方关系，可先统一底数，例如这样能把不同底数幂的乘积转化为同底数幂的乘法，也能用于比较大小或求指数。 【理解依据】例如底数大于时，正整数指数每增加结果就再乘一个大于的数，因此幂变大。 【方法示范】比较与可分别化成与所以也可统一指数：比较与写成与再比较正底数。 【比较之前先确定符号】正底数的幂可以按同底数或同指数比较；有负底数时，应先利用奇偶性判定正负。任何正数都大于负数。同为偶次幂时，例如同为奇次幂时，不要把只适用于正底数的比较结论直接套给负底数。 【迁移与检验】统一底数与统一指数都可以时，选计算更简洁的一种。底数大于时，指数越大幂越大；底数在和之间时，多乘一个该底数会使结果变小。用一句话说明所用条件，比只写一个大小符号更完整。 【易错提醒】不能只比较原底数或原指数。若底数在与之间，指数越大，幂反而越小。求出的指数还要符合题目给定的正整数条件。 例8、比较与的大小，并说明理由。 【解析】底数指数大的幂大，所以 变式8-1、比较与的大小，不必计算具体数值。 【解析】两个底数不容易统一，可统一指数：由于所以 变式8-2、已知求正整数再比较与 【解析】所以故 变式8-3、设其中为正整数。比较的大小。 【解析】因为且为正整数，所以结论不随改变。 九、单项式乘法与系数规范 【知识详解】单项式相乘，要把系数相乘，把相同字母的幂相乘；只在某个因式里出现的字母，连同指数保留。结果仍是一个单项式。系数相乘与字母指数相加是两种不同操作。 【概念理解】依据是乘法交换律、结合律及同底数幂的乘法。例如不是把2、3也当指数相加。 【概念理解】有乘方时先算括号内整个单项式的乘方，再处理单项式之间的乘法。检查时依次核对符号、数值系数、各字母指数和是否遗漏字母。 【概念理解】本型科学记数法讨论正数量，10的幂也按同样规则相乘，最终系数须满足涉及速度、时间等实际量时，先统一单位；小数点移动必须与10的幂同步调整。 【解题步骤】先完成积的乘方，再把数值系数与每个字母分开处理。应用题先统一单位，最后检查科学记数法的系数。 【易错提醒】积的乘方要乘指数，两个幂相乘才加指数。 某字母只在一个因式中出现，不代表它应被消去。 科学记数法结果不能只满足数值相等而不规范系数。 例9、计算： 【解析】原式系数为的指数为的指数为 变式9-1、计算： 【解析】数值系数中的两个负号相消，系数的指数为为为因此结果为 变式9-2、计算： 【解析】先乘方得再相乘：外层平方只作用于第一个括号。 变式9-3、某设备以的稳定速率读取数据，连续读取假设中途不停顿，求读取的数据量，用科学记数法表示，单位为 【解析】先把化为数据量为最后一步把系数调到1与10之间，指数相应加1。 十、单项式乘多项式与分配律 【知识详解】单项式乘多项式，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。这里的“一项”包含它前面的正负号。来自乘法分配律。 【概念理解】先标出多项式的项数，可以检查分配有没有遗漏；分数或常数也都是完整的一项。分配完后再合并同类项，不能跳过中间的符号。 【概念理解】遇到两个乘积相减，先分别完成乘法，再去外层括号。若外层是减号，它会改变后面整组展开式每一项的符号。 【概念理解】已知等式中缺失一个整式时，可以先展开已知部分，再根据整式加减求出缺失式，最后代回完整等式检查。此处只用分配律和整式加减，不要求学习因式分解。 【解题步骤】先点清括号中的项数，连同每一项的符号一起相乘；有两组乘积时分别展开，再处理外层减号。逆向补式后须代回验证。 【易错提醒】负因式必须乘到括号里的每一项。 外层减号不能只改变括号内第一项。 用某一个代入检验不能替代恒等式验证。 例10、计算： 【解析】单项式分别乘到和 变式10-1、计算： 【解析】依次相乘得到所以结果是第二项的数值系数是负数乘负数，最后的常数2也要被乘。 变式10-2、化简： 【解析】原式第二组展开后整体被减去。 变式10-3、若对任意实数都成立，求整式 【解析】左边为因此代回：验证成立。 十一、多项式乘多项式与展开检验 【知识详解】多项式乘多项式，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。这是连续两次使用分配律，不是只把首项与首项、末项与末项相乘。 【概念理解】二项式乘二项式，合并前有4个局部乘积；二项式乘三项式有6个。合并后的项数可以变少，因为有同类项合并或系数相消，但不能倒过来把“结果项数”当成分配次数。 【概念理解】每个局部乘积的符号由所乘两项共同确定。完整写出局部乘积后，按相同字母、相同指数找同类项，再按次数整理结果。 【概念理解】本型使用一般展开，不把平方差、完全平方公式作为前提。展开结果可用常数项、最高次项以及代入简单数辅助检错，但代入相符不构成恒等证明。 【解题步骤】先确定每项配对的次数，再合并同类项。若问某项是否消去，要指出其系数和；若问结果是否随字母变化，要看完整化简结果。 【易错提醒】漏掉交叉乘积。 把和等不同次项合并。 某次项相消应说明系数和为0，不能漏算后恰好没有写。 例11、计算： 【解析】原式合并前共有四个乘积。 变式11-1、计算： 【解析】原式与同类，与不同类。 变式11-2、计算： 【解析】合并前有个乘积。原式 变式11-3、展开化简： 【解析】第一个积为第二个积为原式所有含的项都抵消，所以对每个实数结果都是不随变化。这里由恒等变形得出结论，不是只取一个数检查。 十二、同底数幂除法与零次幂 【知识详解】同底数幂相除，底数不变，指数相减：其中为正整数且底数非零来自除式不能为0。 【概念理解】规定任何非零数的零次幂等于1：因而时，可写指数相减得0，不等于商为0。 【概念理解】0的正整数次幂等于0；非零数的零次幂等于1。这是两件不同的事。本节不定义不能把的条件删去。 【概念理解】底数可以是一个数、字母或整体式。相反底数须先统一，嵌套乘方须先算清指数；底数为整体式时，非零条件作用于整个底数。 【概念理解】含有多个除式或零次幂时，每一处的非零条件都必须满足。化简后的式子看似可取更多值，也不能扩大原式的取值范围。 【理解依据】先用乘法验证商：当时，因所以由乘除互逆可知这一步没有引入负指数。 【理解依据】当时，非零数除以自身等于1，即为了让“指数相减”在指数相等时仍保持一致，规定这不是用含零除式的运算推导 【理解依据】例如因此如果底数方向相反且指数为奇数，先处理负号，再用同底数幂的除法。 【解题步骤】先圈出所有除式和零次幂的底数，写出非零条件；把相反底数改成同一方向，先算嵌套乘方，保留符号；确认底数相同后，指数相减；差为0时写1；遇到“是否对任意值成立”，同时检查结果与原式有意义条件。 【易错提醒】把写成或误用相乘时的指数相加。 把指数差为0误写成结果0，或者把与都判成1。 只看到最后结果是常数，就把使原除式或零次幂底数为0的值代回原式。 未统一相反底数便直接减指数，导致漏掉奇数次幂的负号。 例12、计算其中 【解析】因为且所以 用法则记为指数相减来自乘除互逆。 变式12-1、化简其中 【解析】先算幂的乘方： 由于且3为奇数，所以 原式 变式12-2、当时，计算 【解析】所以第一项为也可记为 而 原式注意：指数相减为0表示出现非零底数的零次幂，值为1，并不是整个幂的值为0。 变式12-3、设求原式有意义时的取值范围，并化简 【解析】由得由得两处条件要同时满足，所以且 在上述条件下，因此商为1。 故适用条件仍为且 注意：时出现本节不定义；时原除式为0，除法无意义。化简得到的常数2不能反过来为原式补上这两个取值。 十三、单项式除法与多项式除以单项式 【知识详解】单项式相除，先把系数相除，再把同底数幂相除；只在被除式中出现的字母因数保留。除式必须非零。 【概念理解】某个字母在被除式和除式中的指数相等时，其商为1，可以不写该字母；这不表示原除式允许为0。 【概念理解】多项式除以单项式，要把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得商相加减。括号内没有“免除”的最后一项。 【概念理解】含字母参数的指数也按同底数幂除法处理，减去的是整个指数。例如括号前的减号要作用于与两项。 【概念理解】使用本节的正整数指数与零指数规则时，要保留题目给出的参数范围。若化简后参数消去，只表示在原来允许的范围内，结果不随该参数变化。 【理解依据】以为例：乘以系数得12，的指数得4，的指数得3，因此商为所需条件保证除式非零。 【理解依据】逐项除法来自分配律和乘除互逆。若且那么所以减法同理。这里只把分配律用于说明商，不设置因式分解任务。 【理解依据】以为例，在且为整数、时，指数均为正整数，商为参数在指数差中抵消，不需要把取成某个具体数字。 【解题步骤】先列除式非零条件。除式出现的每个字母因数都要检查；只在被除式中出现的字母不必额外要求非零；单项式相除按“符号、系数、字母清单、指数差”依次处理；多项式相除用逐项对应，特别核对商为常数的项；指数中含参数时，先用括号写出完整的指数差，化简后再观察参数是否保留；最后可乘回检查。 【易错提醒】只除系数，不处理字母；或者只处理共同字母，把被除式独有的字母漏掉。 相等指数相减得0后，把这一项整体删掉；实际上字母因数变为1。 多项式只除第一项，或最后一项与除式相同时把商写成0。 看到化简后少了某个字母，便取消该字母的原非零条件。 把误写成漏掉减括号时的变号。 例13、计算其中 【解析】系数相除： 同底数字母因数相除： 把各部分相乘，得 变式13-1、计算其中为任意实数。 【解析】数值系数所以商的系数为正；整个商的符号仍取决于字母的取值。 只在被除式中出现，直接保留。 原式 原式仍不能取因为会使除式为0。商中没有是因不是原非零条件被取消。 变式13-2、计算其中 【解析】依次求商： 把各项的商按原符号相加，得 最后一项的商是1，因为不是0，也不能保留原来的不除。 全式乘回： 变式13-3、已知为不小于2的整数，化简 【解析】第一项的商为减去时，两项都要变号。 第二项的商为 第三项与除式相同，商为1。因此原式 在且为整数的范围内，三个指数差分别固定为5、3、0，因此结果不随变化；它仍然随取值而可能变化。 十四、不含某项与恒等系数 【知识详解】展开式“不含项”，指合并同类项后的系数为0；不是说题目原来没有写也不是找一个特殊的让那一项数值为0。 【概念理解】若等式要求对任意实数成立，左右两边相同次数项的系数必须对应一致。因此应先展开、合并，再把系数条件列清。多个条件必须同时满足。 【概念理解】只代入通常只能得到常数项条件，不能据此确认整个恒等式；得到参数后，应代回展开式逐项检验。 【概念理解】若多个次数的项都要求消失，应分别找出产生这些次数的局部乘积，列出所有系数条件。可以先求参数，再完成整体展开并核对；不必一开始盲目展开所有项。 【解题步骤】先读清所要求消失或匹配的是哪一项，再展开并收集对应系数。多个系数条件必须同时满足，所得参数要代回核对。 【易错提醒】把误作“不含项”的原因。 尚未合并就比较各项。 多条件只解出一组数而不验证其他条件。 例14、若的展开式不含项，求 【解析】展开式为由得此时展开式确实不含项。这里只用逐项展开，不要求平方差公式。 变式14-1、若的展开式不含项，求并写出化简结果。 【解析】原式故化简结果为 变式14-2、若对任意实数成立，求 【解析】左边化为比较常数项得即再由得代回得成立。 变式14-3、（挑战）若的展开式不含项和项，求并写出展开式。 【解析】项由与得到，系数为项由与得到，系数为因此得再由得代回展开：项和项均消失。 十五、展开化简与整体代入 【知识详解】多项式乘法的化简求值，通常可先展开、合并，再代入；若式中已有共同的整体，也可先用分配律简化。化简可能使高次项抵消，直接把很大的数代入原式通常增加工作量。 【概念理解】已知的是一个整体而不是每个字母时，应观察化简结果是否能用这个整体表示。例如已知的值，可以对进行整体代入，不必分别求与 【概念理解】题设可能不是直接给出所需整体的值，而是给出等式。例如可先整理为再看展开后的目标式能否用这个整体表示；不需要先解出 【概念理解】若给出两个整体，如和要先确认化简结果只依赖它们，再分别代入。把未知量“看作整体”并不允许省去仍然未知的部分。 【解题步骤】先读已知条件能提供哪个整体，再化简目标式，最后整体代入。题设给的是等式时，可先移项得到所需整体，不急于解出字母。 【易错提醒】没展开就把加法误当乘法。 只看式子中出现已知整体，就忽略其他未知量。 以无法分别求为理由断言不能求整体式。 例15、先化简，再求值：其中 【解析】原式当时，原式 变式15-1、已知求的值。 【解析】展开得代入得到6。也可直接把看作整体，原式两种方法都不必分别求直接使用分配律更简洁。 变式15-2、已知求的值。 【解析】先由已知条件得目标式展开为所以原式这里先把条件整理成可代入的整体，不需要解方程求 变式15-3、已知求的值。 【解析】原式条件可实现，如 十六、面积模型与数量关系 【知识详解】长方形面积等于长乘宽。把一个边长拆成两段，再把两个小长方形面积相加，可直观解释单项式乘多项式；同时拆长和宽，可解释多项式乘多项式。 【概念理解】求阴影或剩余面积时，应先按图形关系列式，再展开。减去的区域必须位于原图形内部，且不能重复扣除重叠部分。示意图只表达关系，不靠目测读取长度。 【概念理解】同周长不代表同面积。可以把两块长方形的面积分别展开后相减，判断面积差是否随参数变化。 【概念理解】已知长方体容积、高和底面一边时，先用体积除以高与这条底边的积，反求底面另一边。由四角裁去正方形折盒时，原纸板的每个方向都要加回两侧的裁剪长度。实际长度须为正。 【解题步骤】先画清尺寸及对应关系，再列面积或体积等式。正向题按图形加减面积，反向题用除法求尺寸；还原裁剪前尺寸时两侧都要加回。 【易错提醒】长度、面积、体积的单位混写。 原纸板尺寸还原时只加回一侧裁剪长度。 从相同周长直接推出相同面积。 例16、一块长方形纸板的长为宽为其中求这块纸板的面积（用含的整式表示）。 【解析】面积为所以这块纸板的面积为也可按图分成面积分别为和的两块长方形，再相加。 变式16-1、一块长为宽为的长方形纸板，从一角剪去一块沿长方向为沿宽方向为的小长方形，其中求剩余面积。 【解析】剩余面积题设时，剪去小长方形的对应边均小于原纸板对应边，图形有效。 变式16-2、甲、乙两块长方形纸板的边长分别为和其中它们的周长是否相同？哪块面积更大，大多少？ 【解析】两者周长都为甲面积乙面积所以乙比甲大差不随变化。相同周长不能保证相同面积。 变式16-3、从一张长方形纸板四角各剪去边长为的正方形，再折成高为的无盖长方体纸盒。纸盒容积为底面一边为其中求原纸板的长和宽。 虚线为折痕，四角虚框为剪去的正方形。 【解析】底面另一边为四角各剪去边长的正方形，原纸板的两个方向都比底面对应边多所以两边分别为和由得故原纸板长为宽为乘回核验：底面面积乘高容积为 十七、乘除混合与逆向求式 【知识详解】同一级乘法和除法，按从左到右的顺序计算；括号会改变除法所作用的范围。一般表示不是 【概念理解】含括号的整式混合运算，先完成括号内的乘法、加减或乘方，再按顺序处理乘除；加减时只能合并同类项。 【概念理解】对除法乘回检验是若除式本身有括号，必须乘回整个除式，不能只乘其中一个因数。 【概念理解】已知商与除式，可以先用乘法还原完整被除式，再与已知部分比较，确定缺失部分。这是乘除互逆，不是多项式长除法，也不需要因式分解。 【概念理解】所有计算和检验都在原式有意义的范围内进行。简式能在某个被排除的值处计算，不代表原式在该值处也有意义。 【理解依据】乘除同级的运算顺序决定要先得再乘得如果把后面的擅自并入除式，就改变了原题。 【理解依据】乘回检验直接依据除法的意义：只有乘以完整且非零的除式恰好还原才是所求商。多项式商必须逐项乘回，才能检查漏项和符号。 【理解依据】若且则再减去得这里仅使用乘除互逆和整式加减。 【解题步骤】先写有意义条件，再用括号标清每个除式的范围；按“括号内、乘方、乘除、加减”安排顺序；同级乘除从左到右；一段除法做完后，乘回整个除式，检查系数、符号和各项；逆向补项时先恢复整个被除式，再减去已知部分；最后代回原结构检验。 【易错提醒】把误读成 减去括号时只改变第一项的符号。 乘回检验时只乘回部分除式，或只核对首项。 补项时把完整被除式当成缺失项忘记减去已知部分 只代一个特殊数便当作恒等检验；代值有助发现错误，却不能代替逐项乘回。 例17、计算其中 【解析】乘除同级，从左到右：先算 再算 对除法这一步乘回：正确。这里乘回的是中间商不是整个混合算式的最终结果 变式17-1、分别化简其中 【解析】的除式只有之后还要乘因此 的除式是整个先算括号得再相除： 两式的区别在于是否属于除式。按同级乘除从左到右；先算括号内整个除式。两式不是同一个整式运算结构。 乘回检验： 变式17-2、化简其中 【解析】先展开方括号： 逐项除以得到中间商 再展开后一个乘积： 所以注意减去后一个括号时两项都要变号。 乘回检验：恰与方括号内展开合并的结果相同。 变式17-3、若对所有成立，求多项式 【解析】先由商乘以除式还原完整被除式： 已知部分为 缺失部分应是“完整被除式−已知部分”： 代回后，被除式为另一方面，二者相同，故乘回检验通过。 A、基础通关 1、下列计算正确的是（　）。 A．　　B． C．　　D． 【解析】C。A不能合并；B应为D应为 2、计算：①②③ 【解析】①②③ 3、化简：①② 【解析】①② 4、若则正整数________。 【解析】由得 5、已知为正整数，则________，________。 【解析】 6、简便计算：①② 【解析】①② 7、把写成底数为的幂，并比较它与的大小。 【解析】而故 8、化简 【解析】原式 9、计算其中 【解析】先计算积的乘方： 再求商：系数为的指数分别为和 10、当时，下列式子中有意义的是（　　）。 A. 　　 B. C. 　 D. 【解析】把代入，均出现本节不定义；的除式为0，除法无意义。 变为有意义，故选 11、计算结果用科学记数法表示。 【解析】分别处理系数与10的幂：原式 系数3满足已是规范科学记数法。 B、难点突破 1、化简并求当时原式的值。 【解析】令则原式当时，值为 2、若对任意实数都成立，且为正整数，求 【解析】左边先乘方再相乘，得恒等要求得故系数也符合；代回验证恒等成立。 3、已知其中为正整数。求 【解析】原式 4、已知其中均为正整数。用含的式子表示 【解析】因此原式为 5、简便计算 【解析】所以原式 6、若求正整数 【解析】左边故解得 7、比较与的大小，不必计算它们的具体数值。 【解析】因所以也可写成与后继续统一，但统一为四次幂更直接。 8、先化简，再求值：其中 【解析】原式当时，原式 9、已知为正整数，且求的值。 【解析】统一底数： 由得原式无需分别求出 10、若的值与无关求的值。 【解析】先逐项相除，再展开乘积：原式 合并得原式要使其值与无关，须所以 代入后原式恒等于符合题意。 11、已知求的值。 【解析】由可知原式中的除法有意义。 逐项相除并展开：原式 合并得原式 C、综合提升 1、若正整数满足求所有有序数对并求的最大值。 【解析】由得因故对应数对为对应为最大值为 2、已知求的值。 【解析】所以原式没有必要先求因为每一项都能表示成已知整体的整数次幂，且正负不同也不影响这些偶次幂的值。 3、对正整数比较与的大小。 【解析】因为且为正整数，所以该大小关系不随改变。 4、在一个复制模型中，开始时有份相同样本，每轮使样本总份数变为上一轮的倍，中途没有损失。经过轮后共有份。求若改为每轮变为上一轮的倍，达到同样份数需要多少轮？ 【解析】原方案有故改为每轮变为倍，设需轮，则得初始份数也要计入，不是直接比较与 5、利用同底数幂的运算简便计算 【解析】按指数由大到小重排：先用再用依此继续，最后剩 6、已知为正数，且不求的具体值，比较它们的大小，并说明理由。 【解析】故对正数，取相同的正整数次幂保持大小关系，因此 7、一块长方形地块的长为宽为从同一条长边向内留出两个互不重叠的长方形凹口：第一个凹口沿长边的宽为深为第二个凹口沿长边的宽为深为其中 用含的整式表示剩余地块的面积； 当时，求剩余地块的面积。 【解析】剩余面积等于外长方形面积减去两个凹口面积： 逐项相乘得两个凹口面积之和为 因此 当时， 8、已知为正整数，且先化简，再求值： 【解析】先按分配律展开： 再加方括号内化为 逐项除以得确保上述指数差为正，最后一项是相等非零幂的商1。 由得原式 D、近年真题 1、（2025年北京朝阳 八上期末第9题）计算：________。 【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、（2025年北京清华附中朝阳学校 八上期中第3题）下列运算正确的是（　）。 A．　　B． C．　　D． 【解析】C。A中B中C中D中本题分别辨析合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方。 3、（2025年北京清华附中朝阳学校 八上期中第11题）计算：________。 【解析】系数与字母因数都要乘方，负数的奇数次幂为负。 4、（2025年北京二中 八上期中第10题）已知则的值等于________。 【解析】拆指数以后直接代入，不需要先求 5、（2026年北京门头沟 八上期末第12题）计算：________。 【解析】故原式先将每个单项式分别乘方，再把同字母因数相乘。 6、（2025年1月北京西城 八上期末第18(1)题）计算： 【解析】原式 7、（2025年1月北京西城 八上期末第13题）已知等式：（________）若括号内所填的式子记为则________。 【解析】右边展开为左边已知部分为故也可直接使用分配律写为 8、（2025年1月北京西城 八上期末第9(2)题）计算：________。 【解析】因为所以零次幂等于1的前提是底数不为0。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八年级上册　第16章 整式的乘法 第16章 整式的乘法 幂的运算与整式乘除 2026—2027学年人教版八年级数学上册专题复习 学生版 【学习目标】理解幂运算法则及逆用，熟练完成整式乘法与简单除法，能处理零次幂的条件，并用展开、整体代入和几何模型解决问题。 【学习范围】对应16.1幂的运算与16.2整式的乘法，含该节安排的零次幂、同底数幂除法及整式除法。 学习导航 一、同底数幂相乘与运算辨析 2 二、相反底数与整体底数 2 三、幂的乘方与指数关系 3 四、积的乘方与系数符号 4 五、三种运算的混合与化简 5 六、同底数幂与幂的乘方的逆用 6 七、积的乘方的逆用与简便计算 6 八、统一底数与大小比较 7 九、单项式乘法与系数规范 8 十、单项式乘多项式与分配律 9 十一、多项式乘多项式与展开检验 10 十二、同底数幂除法与零次幂 11 十三、单项式除法与多项式除以单项式 12 十四、不含某项与恒等系数 13 十五、展开化简与整体代入 14 十六、面积模型与数量关系 15 十七、乘除混合与逆向求式 17 A、基础通关 18 B、难点突破 19 C、综合提升 21 D、近年真题 22 【学习建议】先读方法与易错提醒，再独立完成母题和三道递进变式。A组复练基础，B组突破结构，C组综合迁移，D组对照近年试题。 一、同底数幂相乘与运算辨析 【知识详解】乘方表示相同因数的连乘。在中，是底数，是指数，表示个相乘。本题型先讨论正整数指数。同底数幂相乘，底数不变，指数相加：底数可以是数、字母，也可以是一个整式。 【理解依据】两组相同因数合在一起，因数个数相加，因此指数相加；并不是把底数相加或相乘。三个及以上同底数幂相乘时，同样把各指数相加。 【方法示范】先看运算符号，再认底数，最后处理指数。例如而单独一个可看作所以 【从运算对象判断法则】看到两边是两个幂，中间是乘号，因此把两组相同因数合并。看到外面的作用于整个属于幂的乘方。看到是两个相同的项相加，只能把系数合成指数不变。先说清“什么与什么做什么运算”，再动指数，可以避免把三个规则混在一起。 【迁移与检验】底数相同不等于式子相同。可直接相乘；需要先把偶次幂化为既不同底数也不同指数，不能直接套本法则。 【易错提醒】同底数幂的乘法法则只用于“相乘”。不是同类项，不能合并成的底数不同，也不能写成 例1、判断下列计算是否正确，错误的请改正：①②③   变式1-1、在括号中填入适当的幂： ①（________） ②（________）   变式1-2、化简若对任意实数成立，求正整数   变式1-3、已知为正整数，计算   二、相反底数与整体底数 【知识详解】底数相同，是使用同底数幂乘法的前提。遇到与与时，要先统一底数。因为所以偶数次幂不变号，奇数次幂要变号。 【理解依据】由乘方的意义，一般地，其中为正整数。括号决定负号是否参加乘方。 【方法示范】先判定负号，再把相反底数统一，最后相乘。例如不必展开 【统一底数时逐项记号】把记作一个整体则例如这道示范有题目前面的负号、相反底数带来的负号两层含义，先分别写清，再判断最终正负。整体代换只是为了看清结构，最后要把还原为 【迁移与检验】判断符号不是判断字母正负。对正数、负数和零都成立；不能因为底数写着负号，就断言结果一定小于零。例如时， 【易错提醒】表示的相反数；表示的四次方。二者一般不相等。改变底数方向时，要根据该因式的指数决定是否变号。 例2、计算   变式2-1、计算：①②   变式2-2、化简：①②   变式2-3、化简并求当时该式的值。   三、幂的乘方与指数关系 【知识详解】幂的乘方，底数不变，指数相乘：外层指数表示里面的整个幂被重复相乘的次数。多层乘方要从内到外处理，各层指数依次相乘。 【理解依据】一般地，个相乘，指数和为个相加，即这与的指数相加不同。 【方法示范】遇到指数中的未知数，可把两边写成同底数幂。例如由得所以这里底数为其正整数次幂随指数增大而增大。 【括号与指数的作用范围】表示三个相乘，结果为的指数是表示二者不是同一种写法，不能只看到了数字和就一律相乘。计算含多层括号的式子时，可以先标出最内层的完整底数，再从内到外逐层处理。 【迁移与检验】求指数时要区分“对某个底数成立”与“对任意底数成立”。例如若只在时成立，不能推出若对任意实数成立，可取来比较指数，再把所得条件代回原式验证。 【易错提醒】不能不加条件地说“底数相同就能令指数相等”。底数是时，不同指数仍得到底数是时，同奇偶性的指数也可能得到相同结果。 例3、计算   变式3-1、计算：①②③   变式3-2、已知求再求   变式3-3、已知为正整数，化简   四、积的乘方与系数符号 【知识详解】积的乘方，等于各因数乘方的积：多个因数时仍成立，例如每个因数都要乘方，包括数值系数和负号。 【理解依据】这里使用了乘法交换律和结合律。因此 【方法示范】可以分为三步：先看整体符号，再算数值系数的乘方，最后算每个字母因数的乘方。例如 【从外层指数逐个分配】处理时，可以把底数列成三个因数分别写成再相乘。省略的系数也参加乘方，例如如果只把最后一个字母乘方，就改变了原式的乘方范围。 【迁移与检验】逆向填一个底数时，也要逐个因数检查。例如先确认每个指数是否都是外层指数的整数倍，再组合底数，最后正向算一遍验证。 【易错提醒】的系数是不是积的乘方可以逐个因数乘方；和的乘方不能照搬此法，不能直接写成 例4、计算   变式4-1、计算   变式4-2、已知一个单项式的三次方等于求这个单项式。   变式4-3、若对任意实数都成立，且为正整数，求   五、三种运算的混合与化简 【知识详解】混合计算时，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项。每一步只使用符合当前结构的法则。同底数幂相乘时指数相加，幂的乘方时指数相乘，积的乘方时每个因数都乘方。 【理解依据】例如两项先各自完成幂的运算，得到同类项以后，才能作加减。 【方法示范】可在草稿中给每一项分开编号，先统一指数形式，再判断能否合并。若结果是若干个不同次数的幂之和，应保留，不能为了得到一个幂而强行合并。 【先分项再运算】加号和减号把式子分成若干项，每项内部先完成乘方、乘法。例如的三项依次化为前两项抵消后剩减号应看作后一项的一部分，抄写中间结果时不能漏掉。 【迁移与检验】可以代入简单数作检验，但检验不能代替证明。会使所有正整数幂都等于容易掩盖指数错误；选常能发现指数错误，选还能帮助检查奇偶次幂的符号。两个值相符也不能证明两个式子恒等。 【易错提醒】不是负号不能在中途丢掉。化简求值题应先化简，再代入。 例5、化简   变式5-1、化简   变式5-2、化简   变式5-3、先化简，再求值：其中   六、同底数幂与幂的乘方的逆用 【知识详解】等式可以从右向左使用：当题目给出某个幂的值时，应把目标指数改写成已知指数的和或整数倍，尽量不求底数。 【理解依据】若则若另知则前一式先拆指数之和，再拆整数倍；后一式直接拆成两个已知幂相乘。 【方法示范】先圈出已知幂，再拆目标指数。例如已知求时，先写成再代入得这里为正整数，条件可以同时成立。 【把已知量当作一个整体】逆用时不必还原底数或指数。若则这里直接把当成整体。如果目标指数是拆开后得到仍有未知量这时应检查题目是否另给条件，不能把多出来的因数省去。 【迁移与检验】指数“和”对应幂相乘，指数“倍数”对应整个幂再乘方，目标式本来的加减则仍要保留。给出两个幂时，先把目标指数写成这两个指数的整数倍之和；给出一个幂时，先看能否完全拆成它的整数次方。 【易错提醒】不是也不要为了代入而把未知指数改成分数或负数；本题型只使用正整数幂的性质。若出现应保留并处理多出的 例6、已知其中均为正整数。求   变式6-1、已知为正整数。求   变式6-2、已知其中为正整数。求的值。   变式6-3、已知其中为正整数。用含的式子表示并求时的值。   七、积的乘方的逆用与简便计算 【知识详解】当几个幂的指数相同时，可逆用积的乘方：先看能否把底数相乘得到等易算的数，再决定是否合并。 【理解依据】例如又如合并时指数不相加，只有底数相乘。 【方法示范】指数相差不大时，可先拆出多出的因数，使剩余部分同指数。例如拆分使用的是同底数幂乘法的逆用。 【选择值得配对的因数】简算前先观察，而不是先算每个大幂。遇到与可以配成遇到与可以配成遇到与可以配成例如前面的系数不参加七次方，不能把它也放进同一个括号。 【迁移与检验】多出来的因数要单独保留。若指数不一致，先按较小的指数配对；若底数可拆成较小数的幂，先用幂的乘方统一指数。只有乘积能够这样重组，不能改成 【易错提醒】指数不同，不能直接合成若底数含负号，要把负号一起放入括号；的奇数次幂为偶数次幂为 例7、简便计算   变式7-1、简便计算   变式7-2、简便计算   变式7-3、简便计算结果写成底数为的幂。   八、统一底数与大小比较 【知识详解】若底数之间有乘方关系，可先统一底数，例如这样能把不同底数幂的乘积转化为同底数幂的乘法，也能用于比较大小或求指数。 【理解依据】例如底数大于时，正整数指数每增加结果就再乘一个大于的数，因此幂变大。 【方法示范】比较与可分别化成与所以也可统一指数：比较与写成与再比较正底数。 【比较之前先确定符号】正底数的幂可以按同底数或同指数比较；有负底数时，应先利用奇偶性判定正负。任何正数都大于负数。同为偶次幂时，例如同为奇次幂时，不要把只适用于正底数的比较结论直接套给负底数。 【迁移与检验】统一底数与统一指数都可以时，选计算更简洁的一种。底数大于时，指数越大幂越大；底数在和之间时，多乘一个该底数会使结果变小。用一句话说明所用条件，比只写一个大小符号更完整。 【易错提醒】不能只比较原底数或原指数。若底数在与之间，指数越大，幂反而越小。求出的指数还要符合题目给定的正整数条件。 例8、比较与的大小，并说明理由。   变式8-1、比较与的大小，不必计算具体数值。   变式8-2、已知求正整数再比较与   变式8-3、设其中为正整数。比较的大小。   九、单项式乘法与系数规范 【知识详解】单项式相乘，要把系数相乘，把相同字母的幂相乘；只在某个因式里出现的字母，连同指数保留。结果仍是一个单项式。系数相乘与字母指数相加是两种不同操作。 【概念理解】依据是乘法交换律、结合律及同底数幂的乘法。例如不是把2、3也当指数相加。 【概念理解】有乘方时先算括号内整个单项式的乘方，再处理单项式之间的乘法。检查时依次核对符号、数值系数、各字母指数和是否遗漏字母。 【概念理解】本型科学记数法讨论正数量，10的幂也按同样规则相乘，最终系数须满足涉及速度、时间等实际量时，先统一单位；小数点移动必须与10的幂同步调整。 【解题步骤】先完成积的乘方，再把数值系数与每个字母分开处理。应用题先统一单位，最后检查科学记数法的系数。 【易错提醒】积的乘方要乘指数，两个幂相乘才加指数。 某字母只在一个因式中出现，不代表它应被消去。 科学记数法结果不能只满足数值相等而不规范系数。 例9、计算：   变式9-1、计算：   变式9-2、计算：   变式9-3、某设备以的稳定速率读取数据，连续读取假设中途不停顿，求读取的数据量，用科学记数法表示，单位为   十、单项式乘多项式与分配律 【知识详解】单项式乘多项式，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。这里的“一项”包含它前面的正负号。来自乘法分配律。 【概念理解】先标出多项式的项数，可以检查分配有没有遗漏；分数或常数也都是完整的一项。分配完后再合并同类项，不能跳过中间的符号。 【概念理解】遇到两个乘积相减，先分别完成乘法，再去外层括号。若外层是减号，它会改变后面整组展开式每一项的符号。 【概念理解】已知等式中缺失一个整式时，可以先展开已知部分，再根据整式加减求出缺失式，最后代回完整等式检查。此处只用分配律和整式加减，不要求学习因式分解。 【解题步骤】先点清括号中的项数，连同每一项的符号一起相乘；有两组乘积时分别展开，再处理外层减号。逆向补式后须代回验证。 【易错提醒】负因式必须乘到括号里的每一项。 外层减号不能只改变括号内第一项。 用某一个代入检验不能替代恒等式验证。 例10、计算：   变式10-1、计算：   变式10-2、化简：   变式10-3、若对任意实数都成立，求整式   十一、多项式乘多项式与展开检验 【知识详解】多项式乘多项式，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。这是连续两次使用分配律，不是只把首项与首项、末项与末项相乘。 【概念理解】二项式乘二项式，合并前有4个局部乘积；二项式乘三项式有6个。合并后的项数可以变少，因为有同类项合并或系数相消，但不能倒过来把“结果项数”当成分配次数。 【概念理解】每个局部乘积的符号由所乘两项共同确定。完整写出局部乘积后，按相同字母、相同指数找同类项，再按次数整理结果。 【概念理解】本型使用一般展开，不把平方差、完全平方公式作为前提。展开结果可用常数项、最高次项以及代入简单数辅助检错，但代入相符不构成恒等证明。 【解题步骤】先确定每项配对的次数，再合并同类项。若问某项是否消去，要指出其系数和；若问结果是否随字母变化，要看完整化简结果。 【易错提醒】漏掉交叉乘积。 把和等不同次项合并。 某次项相消应说明系数和为0，不能漏算后恰好没有写。 例11、计算：   变式11-1、计算：   变式11-2、计算：   变式11-3、展开化简：   十二、同底数幂除法与零次幂 【知识详解】同底数幂相除，底数不变，指数相减：其中为正整数且底数非零来自除式不能为0。 【概念理解】规定任何非零数的零次幂等于1：因而时，可写指数相减得0，不等于商为0。 【概念理解】0的正整数次幂等于0；非零数的零次幂等于1。这是两件不同的事。本节不定义不能把的条件删去。 【概念理解】底数可以是一个数、字母或整体式。相反底数须先统一，嵌套乘方须先算清指数；底数为整体式时，非零条件作用于整个底数。 【概念理解】含有多个除式或零次幂时，每一处的非零条件都必须满足。化简后的式子看似可取更多值，也不能扩大原式的取值范围。 【理解依据】先用乘法验证商：当时，因所以由乘除互逆可知这一步没有引入负指数。 【理解依据】当时，非零数除以自身等于1，即为了让“指数相减”在指数相等时仍保持一致，规定这不是用含零除式的运算推导 【理解依据】例如因此如果底数方向相反且指数为奇数，先处理负号，再用同底数幂的除法。 【解题步骤】先圈出所有除式和零次幂的底数，写出非零条件；把相反底数改成同一方向，先算嵌套乘方，保留符号；确认底数相同后，指数相减；差为0时写1；遇到“是否对任意值成立”，同时检查结果与原式有意义条件。 【易错提醒】把写成或误用相乘时的指数相加。 把指数差为0误写成结果0，或者把与都判成1。 只看到最后结果是常数，就把使原除式或零次幂底数为0的值代回原式。 未统一相反底数便直接减指数，导致漏掉奇数次幂的负号。 例12、计算其中   变式12-1、化简其中   变式12-2、当时，计算   变式12-3、设求原式有意义时的取值范围，并化简   十三、单项式除法与多项式除以单项式 【知识详解】单项式相除，先把系数相除，再把同底数幂相除；只在被除式中出现的字母因数保留。除式必须非零。 【概念理解】某个字母在被除式和除式中的指数相等时，其商为1，可以不写该字母；这不表示原除式允许为0。 【概念理解】多项式除以单项式，要把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得商相加减。括号内没有“免除”的最后一项。 【概念理解】含字母参数的指数也按同底数幂除法处理，减去的是整个指数。例如括号前的减号要作用于与两项。 【概念理解】使用本节的正整数指数与零指数规则时，要保留题目给出的参数范围。若化简后参数消去，只表示在原来允许的范围内，结果不随该参数变化。 【理解依据】以为例：乘以系数得12，的指数得4，的指数得3，因此商为所需条件保证除式非零。 【理解依据】逐项除法来自分配律和乘除互逆。若且那么所以减法同理。这里只把分配律用于说明商，不设置因式分解任务。 【理解依据】以为例，在且为整数、时，指数均为正整数，商为参数在指数差中抵消，不需要把取成某个具体数字。 【解题步骤】先列除式非零条件。除式出现的每个字母因数都要检查；只在被除式中出现的字母不必额外要求非零；单项式相除按“符号、系数、字母清单、指数差”依次处理；多项式相除用逐项对应，特别核对商为常数的项；指数中含参数时，先用括号写出完整的指数差，化简后再观察参数是否保留；最后可乘回检查。 【易错提醒】只除系数，不处理字母；或者只处理共同字母，把被除式独有的字母漏掉。 相等指数相减得0后，把这一项整体删掉；实际上字母因数变为1。 多项式只除第一项，或最后一项与除式相同时把商写成0。 看到化简后少了某个字母，便取消该字母的原非零条件。 把误写成漏掉减括号时的变号。 例13、计算其中   变式13-1、计算其中为任意实数。   变式13-2、计算其中   变式13-3、已知为不小于2的整数，化简   十四、不含某项与恒等系数 【知识详解】展开式“不含项”，指合并同类项后的系数为0；不是说题目原来没有写也不是找一个特殊的让那一项数值为0。 【概念理解】若等式要求对任意实数成立，左右两边相同次数项的系数必须对应一致。因此应先展开、合并，再把系数条件列清。多个条件必须同时满足。 【概念理解】只代入通常只能得到常数项条件，不能据此确认整个恒等式；得到参数后，应代回展开式逐项检验。 【概念理解】若多个次数的项都要求消失，应分别找出产生这些次数的局部乘积，列出所有系数条件。可以先求参数，再完成整体展开并核对；不必一开始盲目展开所有项。 【解题步骤】先读清所要求消失或匹配的是哪一项，再展开并收集对应系数。多个系数条件必须同时满足，所得参数要代回核对。 【易错提醒】把误作“不含项”的原因。 尚未合并就比较各项。 多条件只解出一组数而不验证其他条件。 例14、若的展开式不含项，求   变式14-1、若的展开式不含项，求并写出化简结果。   变式14-2、若对任意实数成立，求   变式14-3、（挑战）若的展开式不含项和项，求并写出展开式。   十五、展开化简与整体代入 【知识详解】多项式乘法的化简求值，通常可先展开、合并，再代入；若式中已有共同的整体，也可先用分配律简化。化简可能使高次项抵消，直接把很大的数代入原式通常增加工作量。 【概念理解】已知的是一个整体而不是每个字母时，应观察化简结果是否能用这个整体表示。例如已知的值，可以对进行整体代入，不必分别求与 【概念理解】题设可能不是直接给出所需整体的值，而是给出等式。例如可先整理为再看展开后的目标式能否用这个整体表示；不需要先解出 【概念理解】若给出两个整体，如和要先确认化简结果只依赖它们，再分别代入。把未知量“看作整体”并不允许省去仍然未知的部分。 【解题步骤】先读已知条件能提供哪个整体，再化简目标式，最后整体代入。题设给的是等式时，可先移项得到所需整体，不急于解出字母。 【易错提醒】没展开就把加法误当乘法。 只看式子中出现已知整体，就忽略其他未知量。 以无法分别求为理由断言不能求整体式。 例15、先化简，再求值：其中   变式15-1、已知求的值。   变式15-2、已知求的值。   变式15-3、已知求的值。   十六、面积模型与数量关系 【知识详解】长方形面积等于长乘宽。把一个边长拆成两段，再把两个小长方形面积相加，可直观解释单项式乘多项式；同时拆长和宽，可解释多项式乘多项式。 【概念理解】求阴影或剩余面积时，应先按图形关系列式，再展开。减去的区域必须位于原图形内部，且不能重复扣除重叠部分。示意图只表达关系，不靠目测读取长度。 【概念理解】同周长不代表同面积。可以把两块长方形的面积分别展开后相减，判断面积差是否随参数变化。 【概念理解】已知长方体容积、高和底面一边时，先用体积除以高与这条底边的积，反求底面另一边。由四角裁去正方形折盒时，原纸板的每个方向都要加回两侧的裁剪长度。实际长度须为正。 【解题步骤】先画清尺寸及对应关系，再列面积或体积等式。正向题按图形加减面积，反向题用除法求尺寸；还原裁剪前尺寸时两侧都要加回。 【易错提醒】长度、面积、体积的单位混写。 原纸板尺寸还原时只加回一侧裁剪长度。 从相同周长直接推出相同面积。 例16、一块长方形纸板的长为宽为其中求这块纸板的面积（用含的整式表示）。   变式16-1、一块长为宽为的长方形纸板，从一角剪去一块沿长方向为沿宽方向为的小长方形，其中求剩余面积。   变式16-2、甲、乙两块长方形纸板的边长分别为和其中它们的周长是否相同？哪块面积更大，大多少？   变式16-3、从一张长方形纸板四角各剪去边长为的正方形，再折成高为的无盖长方体纸盒。纸盒容积为底面一边为其中求原纸板的长和宽。 虚线为折痕，四角虚框为剪去的正方形。   十七、乘除混合与逆向求式 【知识详解】同一级乘法和除法，按从左到右的顺序计算；括号会改变除法所作用的范围。一般表示不是 【概念理解】含括号的整式混合运算，先完成括号内的乘法、加减或乘方，再按顺序处理乘除；加减时只能合并同类项。 【概念理解】对除法乘回检验是若除式本身有括号，必须乘回整个除式，不能只乘其中一个因数。 【概念理解】已知商与除式，可以先用乘法还原完整被除式，再与已知部分比较，确定缺失部分。这是乘除互逆，不是多项式长除法，也不需要因式分解。 【概念理解】所有计算和检验都在原式有意义的范围内进行。简式能在某个被排除的值处计算，不代表原式在该值处也有意义。 【理解依据】乘除同级的运算顺序决定要先得再乘得如果把后面的擅自并入除式，就改变了原题。 【理解依据】乘回检验直接依据除法的意义：只有乘以完整且非零的除式恰好还原才是所求商。多项式商必须逐项乘回，才能检查漏项和符号。 【理解依据】若且则再减去得这里仅使用乘除互逆和整式加减。 【解题步骤】先写有意义条件，再用括号标清每个除式的范围；按“括号内、乘方、乘除、加减”安排顺序；同级乘除从左到右；一段除法做完后，乘回整个除式，检查系数、符号和各项；逆向补项时先恢复整个被除式，再减去已知部分；最后代回原结构检验。 【易错提醒】把误读成 减去括号时只改变第一项的符号。 乘回检验时只乘回部分除式，或只核对首项。 补项时把完整被除式当成缺失项忘记减去已知部分 只代一个特殊数便当作恒等检验；代值有助发现错误，却不能代替逐项乘回。 例17、计算其中   变式17-1、分别化简其中   变式17-2、化简其中   变式17-3、若对所有成立，求多项式   A、基础通关 1、下列计算正确的是（　）。 A．　　B． C．　　D．   2、计算：①②③   3、化简：①②   4、若则正整数________。   5、已知为正整数，则________，________。   6、简便计算：①②   7、把写成底数为的幂，并比较它与的大小。   8、化简   9、计算其中   10、当时，下列式子中有意义的是（　　）。 A. 　　 B. C. 　 D.   11、计算结果用科学记数法表示。   B、难点突破 1、化简并求当时原式的值。   2、若对任意实数都成立，且为正整数，求   3、已知其中为正整数。求   4、已知其中均为正整数。用含的式子表示   5、简便计算   6、若求正整数   7、比较与的大小，不必计算它们的具体数值。   8、先化简，再求值：其中   9、已知为正整数，且求的值。   10、若的值与无关求的值。   11、已知求的值。   C、综合提升 1、若正整数满足求所有有序数对并求的最大值。   2、已知求的值。   3、对正整数比较与的大小。   4、在一个复制模型中，开始时有份相同样本，每轮使样本总份数变为上一轮的倍，中途没有损失。经过轮后共有份。求若改为每轮变为上一轮的倍，达到同样份数需要多少轮？   5、利用同底数幂的运算简便计算   6、已知为正数，且不求的具体值，比较它们的大小，并说明理由。   7、一块长方形地块的长为宽为从同一条长边向内留出两个互不重叠的长方形凹口：第一个凹口沿长边的宽为深为第二个凹口沿长边的宽为深为其中 用含的整式表示剩余地块的面积； 当时，求剩余地块的面积。   8、已知为正整数，且先化简，再求值：   D、近年真题 1、（2025年北京朝阳 八上期末第9题）计算：________。   2、（2025年北京清华附中朝阳学校 八上期中第3题）下列运算正确的是（　）。 A．　　B． C．　　D．   3、（2025年北京清华附中朝阳学校 八上期中第11题）计算：________。   4、（2025年北京二中 八上期中第10题）已知则的值等于________。   5、（2026年北京门头沟 八上期末第12题）计算：________。   6、（2025年1月北京西城 八上期末第18(1)题）计算：   7、（2025年1月北京西城 八上期末第13题）已知等式：（________）若括号内所填的式子记为则________。   8、（2025年1月北京西城 八上期末第9(2)题）计算：________。   第 页 学科网（北京）股份有限公司 $