专题16.1 幂的运算（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题16.1幂的运算 教学目标 1.了解整数指数幂的意义和基本性质． 2.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的意义和运算性质． 3.运用幂的运算的相关性质进行计算． 教学重难点 1.重点 （1）同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的意义； （2）同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质． 2.难点 运用幂的运算的相关性质进行计算． 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即同底数幂相乘，_____________________． 注意： ①三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②不要忽视指数为1的因数． ③底数不一定只是一个数或一个字母． ④注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么x的值为_______． 4．计算（结果以幂的形式表示）： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．计算：．（k为正整数） 6．解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求x的值． 知识点02 幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方． 2．幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，_____________________． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②此法则可以逆用，即（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．按要求完成下列各题： （1）若，，求的值； （2）若，，求． 知识点03 积的乘方 1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如，等． （积的乘方的意义） （乘法交换律、结合律） 2．积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的__________． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（n为正整数）． ②此法则可以逆用，即（n为正整数）． 【即学即练】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．______． 4．若，则__________． 5．计算： （1）； （2）． 6．阅读下列各式：，，，…．回答下列三个问题： （1）验证：________，________； （2）通过上述验证，归纳得出：________，________； （3）请应用上述性质计算：． 题型01 积的乘方与幂的乘方运算性质的逆用 【典例1】已知，，解决以下问题： （1）计算的值． （2）计算的值． 【变式1】计算：． 【变式2】材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． （1）【计算】； （2）【拓展】若，求n的值． 【变式3】化简求值 （1）； （2）若，，求的值． 题型02 幂的混合运算 【典例1】计算： 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】计算的结果是________． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（n为正整数）． 题型03 应用幂的运算性质化简求值 【典例1】如果，． （1）用含x的代数式表示y； （2）如果，求y的值． 【典例2】已知，．求： （1）的值； （2）的值． 【变式1】已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则的值是___________． 【变式3】根据幂的运算，完成下列问题． （1）已知，，求． （2）已知，求的值． 题型04 利用幂的运算性质解方程 【典例1】已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： （1）若，则________； （2）若，求n的值； （3）若，求x的值． 【变式1】已知正整数a满足，则___________． 【变式2】对于有理数a，b定义一种幂的新运算：，其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求x的值． 【变式3】计算： （1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 题型05 幂的大小比较 【典例1】若，，则m，n的大小关系是______________． 【典例2】已知，，，则a、b、c的大小关系是________． 【变式1】用“”将，，从大到小排列是____________． 【变式2】已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：___________． 【变式3】阅读下列材料： 若，，其中a、b为正数，则a________b（填“<”或“>”）． 解：因为， ，且， 所以． 因为a、b为正数， 所以． 小结：当指数相同时，通过比较两个幂的大小，来确定底数的大小． 依据以上材料，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________（填写正确的选项）． A．同底数幂的乘法 B．幂的乘方 C．积的乘方 （2）若，，试比较x与y的大小； （3）比较__________的大小（填“>”或者“<”）． 题型06 幂的运算的实际应用 【典例1】魔方是深受人们喜爱的玩具．如图，设组成魔方的每一个小立方体的棱长为1，那么这个魔方的体积为，我们把它称为1号魔方．用若干个1号魔方可以拼成2号魔方，它的棱长是1号魔方棱长的3倍．用若干个2号魔方可以拼成3号魔方，它的棱长是2号魔方棱长的3倍，按照这个规律，可以拼成n号魔方． （1）①请直接写出n号魔方的体积（用含n的代数式表示）． ②若，求n的值． （2）类比探究：计算，小明同学的解法如下： 解：，① ，② ②－①，得：，． 请根据小明的方法探究计算1号魔方，2号魔方至10号魔方的体积之和，并说明理由． 【变式1】（1）请按底面周长相等的要求，制作无盖、等高的圆柱形和长方体形（底面是正方形）的容器各一个． （2）请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大． （3）设它们的底面周长为a，请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大． 1．代数式可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则n的值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若k为正整数，则（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．4 7．计算：________． 8．若，，则______． 9．已知：，求______． 10．计算：______． 11．若，，则______． 12．下列各式中，错误的有_______ （填序号）． ①；②；③；④． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 1．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（    ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，，若，则______（结果用含m的代数式表示）． 3．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 （1）①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 （2）①比较与的大小． ②比较与的大小． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.1幂的运算 教学目标 1.了解整数指数幂的意义和基本性质． 2.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的意义和运算性质． 3.运用幂的运算的相关性质进行计算． 教学重难点 1.重点 （1）同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的意义； （2）同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质． 2.难点 运用幂的运算的相关性质进行计算． 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 注意： ①三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②不要忽视指数为1的因数． ③底数不一定只是一个数或一个字母． ④注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．已知，那么x的值为_______． 【答案】7 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即， 解得 ． 4．计算（结果以幂的形式表示）： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 5．计算：．（k为正整数） 【答案】 【详解】解：∵，k为正整数，是奇数， ∴， ∴ ． 6．解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）126；（2）3 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点02 幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方． 2．幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②此法则可以逆用，即（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ∵，， ∴． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．按要求完成下列各题： （1）若，，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）108；（2） 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点03 积的乘方 1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如，等． （积的乘方的意义） （乘法交换律、结合律） 2．积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（n为正整数）． ②此法则可以逆用，即（n为正整数）． 【即学即练】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，计算错误； B选项：与不是同类项，不能合并，计算错误； C选项：，计算错误； D选项：，计算正确． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．______． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．若，则__________． 【答案】49 【详解】解：∵， ∴． 5．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．阅读下列各式：，，，…．回答下列三个问题： （1）验证：________，________； （2）通过上述验证，归纳得出：________，________； （3）请应用上述性质计算：． 【答案】（1）1，1；（2），；（3） 【详解】（1）解：；； （2）解：；； （3）解： ． 题型01 积的乘方与幂的乘方运算性质的逆用 【典例1】已知，，解决以下问题： （1）计算的值． （2）计算的值． 【答案】（1）400；（2） 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【变式1】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． （1）【计算】； （2）【拓展】若，求n的值． 【答案】（1）1；（2）3 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【变式3】化简求值 （1）； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【详解】（1）解：； （2）解：∵，， ∴． 题型02 幂的混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【详解】解：． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）256；（2） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（n为正整数）． 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）；（5） 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 题型03 应用幂的运算性质化简求值 【典例1】如果，． （1）用含x的代数式表示y； （2）如果，求y的值． 【答案】（1）；（2）19 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即． （2）解：当时，． 【典例2】已知，．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）4；（2）72 【详解】解：（1）； （2）． 【变式1】已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】已知，，则的值是___________． 【答案】96 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得， ∵，且， ∴， 将，代入得． 【变式3】根据幂的运算，完成下列问题． （1）已知，，求． （2）已知，求的值． 【答案】（1）135；（2）243 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． 题型04 利用幂的运算性质解方程 【典例1】已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： （1）若，则________； （2）若，求n的值； （3）若，求x的值． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式1】已知正整数a满足，则___________． 【答案】3 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【变式2】对于有理数a，b定义一种幂的新运算：，其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）97；（2） 【详解】（1）解：； （2）解：由，得， 即， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式3】计算： （1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）12；（2） 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型05 幂的大小比较 【典例1】若，，则m，n的大小关系是______________． 【答案】 【详解】解： ，， ∵， ∴． 【典例2】已知，，，则a、b、c的大小关系是________． 【答案】 【详解】解：，，， ∵， ∴． 【变式1】用“”将，，从大到小排列是____________． 【答案】 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴． 【变式2】已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：___________． 【答案】 【详解】解：，，， ∵， ∴． 【变式3】阅读下列材料： 若，，其中a、b为正数，则a________b（填“<”或“>”）． 解：因为， ，且， 所以． 因为a、b为正数， 所以． 小结：当指数相同时，通过比较两个幂的大小，来确定底数的大小． 依据以上材料，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________（填写正确的选项）． A．同底数幂的乘法 B．幂的乘方 C．积的乘方 （2）若，，试比较x与y的大小； （3）比较__________的大小（填“>”或者“<”）． 【答案】（1）B；（2）；（3）< 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴x、y均为正数， ∴； （3）解：∵，，， ∴， 即． 题型06 幂的运算的实际应用 【典例1】魔方是深受人们喜爱的玩具．如图，设组成魔方的每一个小立方体的棱长为1，那么这个魔方的体积为，我们把它称为1号魔方．用若干个1号魔方可以拼成2号魔方，它的棱长是1号魔方棱长的3倍．用若干个2号魔方可以拼成3号魔方，它的棱长是2号魔方棱长的3倍，按照这个规律，可以拼成n号魔方． （1）①请直接写出n号魔方的体积（用含n的代数式表示）． ②若，求n的值． （2）类比探究：计算，小明同学的解法如下： 解：，① ，② ②－①，得：，． 请根据小明的方法探究计算1号魔方，2号魔方至10号魔方的体积之和，并说明理由． 【答案】（1）①（n为正整数）；②；（2），理由见解析 【详解】（1）解：①由题意知： 1号魔方的体积：， 2号魔方的体积：， 3号魔方的体积：， …… ∴n号魔方的体积（n为正整数）； ②由①知：n号魔方的体积， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：． 理由：设， ∴①， ∴②， ②－①，得：， ∴． 【变式1】（1）请按底面周长相等的要求，制作无盖、等高的圆柱形和长方体形（底面是正方形）的容器各一个． （2）请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大． （3）设它们的底面周长为a，请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大． 【答案】（1）按照题目要求制作即可；（2）圆柱形的容积大；（3）圆柱形的容积大 【详解】解：（1）按照题目要求制作即可； （2）将两个容器加满水，用量筒分别测量加入水的体积，加入水体积大的，容器的容积就大．通过测量可知圆柱形的容积大； （3）设圆柱形和长方体形的高为h． 底面圆的半径，底面圆的面积，圆柱形的容积． 底面正方形的边长，底面正方形的面积，长方体形的容积． 因为，所以圆柱形的容积大． 1．代数式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意． 2．已知，，且，则n的值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】解：∵，又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 3．代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，运算错误； 选项B：，运算正确； 选项C：，运算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误． 5．若k为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：括号内为k个k相加，得，原式． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：原式． 7．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 8．若，，则______． 【答案】 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得， ∵，， ∴代入计算得． 9．已知：，求______． 【答案】4 【详解】解：先将原式左侧各幂转化为以3为底的幂， ∵，， ∴原等式可改写为， 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 ， 即， ∴， 移项计算得， 解得． 10．计算：______． 【答案】4 【详解】解：∵，， ∴原式． 11．若，，则______． 【答案】30 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 12．下列各式中，错误的有_______ （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【详解】解：① ，，故①错误； ② ，且，，故②正确； ③，，故③错误； ④，故④正确； 综上，错误的式子为①③． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 14．解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）81；（2）32 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 1．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（    ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】解：对于结论①： ∵， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ∵，， ∴． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ∵， 同理， ∴． ∴结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 2．观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，，若，则______（结果用含m的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 3．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 （1）①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 （2）①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】（1）①；②3；（2）①；② 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即． 16 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $