第17章 因式分解 因式分解的方法与应用 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17章 因式分解 因式分解的方法与应用 2026—2027学年人教版八年级数学上册 学生版 目录导航 一、因式分解的概念 2 二、提取单项式公因式 3 三、提取多项式公因式 5 四、用平方差公式分解因式 6 五、用完全平方公式分解因式 8 六、提公因式法与公式法的综合应用 11 七、因式分解与计算求值 12 八、因式分解与面积问题 14 A、基础通关 17 B、难点突破 19 C、方法进阶 21 D、真题精选 23 九、十字相乘法 24 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 一、因式分解的概念 【知识详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。例如，左边是多项式，右边是整式的积，变形前后的值相等。 【方法与示范】因式分解与整式乘法方向相反：整式乘法把积化成和，因式分解把和化成积。判断一个变形是否为因式分解，既要核对等式成立，又要看右边整体是否是几个整式的积。 【易错提醒】的等式不成立；的右边仍是和，二者都不是正确的因式分解。乘回去检查，能发现漏项、系数或符号错误。 【检验示范】因此正确。检查时要把括号内每一项都乘到，不能只核首项。 【区分三个形式】判断时先看整个式子，不只看其中有没有括号。的右边是积；的右边整体是和，即使第一项写成了乘积，也还没有把整个多项式分解因式。 整式的积还要求每个因式都是整式。在时没有意义，且括号内含分式，所以不能把它作为多项式的因式分解结果。 【等式与形式分别检查】例如检验先展开右边：等式成立；再检查右边是与两个整式相乘，形式也符合。 若写成右边展开为系数不符。若写成等式与积形式都正确，但括号内还有公因式2；本章练习要求把它继续整理为 例一、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是________（填序号）。 ① ② ③ ④   变式1-1、下列因式分解正确的是（　　）。 A． B． C． D．   变式1-2、若对任意都成立，则________。   变式1-3、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）。 A． B． C． D．   二、提取单项式公因式 【知识详解】一个多项式各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式。把公因式提到括号外面，就是提公因式法： 【方法与示范】公因式的系数通常取各项系数绝对值的最大公因数，字母取各项共有的字母，每个字母的指数取各项中最低的次数。再用原式的每一项除以公因式，依次写出括号内各项。 【易错提醒】括号内各项必须与原式各项一一对应。完成后逐项乘回，核对系数、字母次数和正负号，尤其检查是否漏掉常数项。 例二、分别写出下列多项式各项的公因式（系数取最大公因数，字母取最低次幂）： （1） （2）   【提取后保留1】第二项恰是公因式提取后应写1，不能写成 同理，第二项提取后是括号内的项数应与原式对应，不能因为原项和公因式相同就把这一项删除。 【负公因式与乘回检验】对于提出后，各项分别变为和所以原式 乘回检验：负公因式会改变括号内各项的符号，不能只改第一项。提出正公因式写成也成立。 这里是在把多项式恒等地改写为乘积，不是把方程两边除以一个数。最终恒等式在时同样成立，不应额外给字母添加“非零”条件。 变式2-1、在横线上填写提取公因式后括号内的式子： （1）________ （2）________ （3）________ （4）________   变式2-2、分解因式： （1） （2）   【确定公因式的三步】以为例，先比较系数12与18，最大公因数是6；再找共有字母最后比较次数，取2次，也取2次。因此通常提出 逐项写出商，得到只在某一项中出现的字母，不能放进公因式；某字母的次数也不能超过任一项中该字母的次数。 变式2-3、分解因式：   变式2-4、分解因式：   变式2-5、分解因式：   变式2-6、分解因式：   变式2-7、分解因式：   变式2-8、分解因式：   三、提取多项式公因式 【知识详解】公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式。若各项都含有相同的括号，就把这个括号中的整式看作一个整体，按提公因式法分解。 【方法与示范】例如，同一括号出现平方时，可先写成相同因式的乘积：再找公因式。 【易错提醒】相反的两个括号要先统一符号：一次括号变号，要同时改变外面的符号；平方括号满足不能额外添负号。 【方法示范】提取后仍要整理括号，最后乘回检查。 【整体与各项对应】对可以暂把记作于是换回原来的整体，得到 提取括号时，不能把括号内某一项单独取走。例如中的是完整因式，不能漏掉结果中的每一个因式都来自原式，乘回后必须恢复全部项。 【相反括号的变号】所以原式第二项前面已有减号，与变换括号带来的负号相乘后成为加号。 平方与立方的符号不同：偶数次方不变号，奇数次方变号。 【有平方或更高次幂的括号】在中，两项共有一个先把平方看成两个相同因式的积，再提取： 两项中同一括号的次数不同时，取较低次数。例如先把简单同括号和一次反号做熟，再处理这类幂的整体。 【提后再去括号】若剩下的商含括号，先写全再整理。例如， 方括号内为因此结果是减去整个括号时，两项符号都要改变。 例三、分解因式：   变式3-1、分解因式：   变式3-2、分解因式：   变式3-3、分解因式：   变式3-4、分解因式：   变式3-5、分解因式：   变式3-6、分解因式：   变式3-7、分解因式：   四、用平方差公式分解因式 【知识详解】平方差公式为能直接使用这一公式的多项式，可以整理为两个整式的平方相减的形式。这里的可以是数、单项式或多项式。 【方法与示范】先写清两个平方的底数，再写成“和乘差”。例如，系数是4时，平方的底数是不是 【易错提醒】平方和不能直接套平方差公式。例如不能写成若正项在后，可交换项的顺序；写差因式时要与原式的正负对应。 【整体示范】把整体代入公式，最后整理两个因式。 【平方底数的识别】系数与字母的指数都要一起处理，不能只把系数开平方。 例如这里第二个平方的底数是不是先写清底数，能避免把因式写成 【项次改变与差因式】正项在后时，可先交换项次，例如 两个因式交换次序不改变乘积，但交换差因式内两项的次序会使这个因式变号。所以不能随意把换成而不补负号。 【从单项式到底数是括号】若底数本身是一个多项式，仍用同一个公式。例如： 第一括号整理为第二括号整理为4，所以原式套公式后还要整理；有数字公因式时，继续提出。 【小数与分数的平方底数】先把系数准确写成平方，再与字母合在一起。例如， 因此底数要连同字母一起写入两个因式，不把原系数直接照抄。 例四、分解因式： （1） （2）   变式4-1、下列各式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　）。 A．　　B． C．　　D．   变式4-2、分解因式：   变式4-3、分解因式：   变式4-4、分解因式：   变式4-5、分解因式：   变式4-6、分解因式：   变式4-7、分解因式：   变式4-8、分解因式：   五、用完全平方公式分解因式 【知识详解】完全平方公式为完全平方式有三个项，其中两个项是平方项，另一个项是这两个底数乘积的2倍或它的相反数。 【方法与示范】先找出两个平方项及其底数，再核对中间项。例如，两个平方项为正，中间项的正负决定括号中用加号还是减号。 【易错提醒】只看到两个平方项还不够。例如是完全平方式，不是。项次打乱时可以重新排列，但不能改变各项符号。 【三个条件一起核对】识别完全平方式时，先找两个平方项，再核对另一个项是否正好为两底数乘积的2倍。例如的底数为与且所以原式 若中间项是就不符合该公式；不能把“有两个平方项”当作充分条件。此处也不要求把所有三项式都凑成完全平方。 【项次重排与先提负号】项次打乱时，先把两个平方项与中间项排清楚：移动项时要连同前面的符号一起移动。 原式两个平方项均为负时，可先提出最外面的负号不能丢，也不能误写成 【缺项与参数的两种符号】若已知是完全平方式，两平方项的底数是与5。中间项可以是也可以是所以或 若对任意都成立，括号中已指定加号，此时只有要区分“是完全平方式”和“等于某个指定的平方”，不能机械地每题都写两个答案。 【分数底数与缺失常数】在中，两个底数为与因为所以原式 若只缺常数，如为完全平方式，由确定底数5，得这里求的是底数的平方，不是中间项系数，不应写成正负两个常数。 【两个底数都含字母】对于可先记三项恰为不是只看外面是否有括号。 因此原式先整体套公式，再合并括号内同类项，比把所有平方先展开更简洁。 例五、分解因式： （1） （2）   变式5-1、分解因式：   变式5-2、分解因式：   变式5-3、分解因式：   变式5-4、分解因式：   变式5-5、分解因式：   变式5-6、若是完全平方式，求的值，并将该多项式分解因式。   变式5-7、若是完全平方式，则________。   变式5-8、分解因式：   变式5-9、分解因式：   变式5-10、分解因式：   六、提公因式法与公式法的综合应用 【知识详解】当多项式既有公因式，又含有平方差或完全平方结构时，通常先提公因式，再对括号内的式子使用公式。分解到各个多项式因式都不能用本章所学方法继续分解为止。 【方法与示范】先看各项有无公因式，再看剩余式子的项数和结构。两项先检查平方差，三项检查完全平方。已经写成乘积后，还要逐个检查因式，不能只看外形是乘积就停止。 【易错提醒】已经出现乘积时，还要检查每个多项式因式。只要仍有本章方法可以继续使用，就要继续分解；公因式和最外面的负号都必须保留。 【两种常规组合】第一类是先提公因式再平方差：第一步提出第二步对套公式。 第二类是先提公因式再完全平方：外面的公因式与里面的平方都要保留。 【检查是否分解彻底】分解后的每个多项式因式都要检查。例如其中还可以分解，所以最后为 检查时只依据所学方法，不把平方和误写成平方差。不能直接写成两者相差 【先整理再识别公式】有些式子原来的外形不直接符合公式，先做必要的整式运算，结构就会显现。例如： 这里先化简中间项，再用完全平方公式。并非遇到括号就一律展开；如果原式已有清楚的公因式或平方差结构，应优先利用，减少计算。 例六、分解因式： （1） （2）   变式6-1、分解因式：   变式6-2、分解因式：   变式6-3、分解因式：   变式6-4、分解因式：   变式6-5、分解因式： （1） （2）   七、因式分解与计算求值 【知识详解】数值计算也能使用因式分解。几个数相加减时，先观察有无相同因数或熟悉的平方结构，转化为乘积后再计算，往往比逐项算出大数更简便。 【方法与示范】代数式求值时，先看已知的是单个字母，还是字母的和、差、积。若给出了或可先把所求式分解为这些整体的乘积，再代入，不必分别求出每个字母。 【易错提醒】分解过程要保留全部因式和系数。例如代入时不能漏掉2。出现已知整体相同但排列不同的形式时，先统一再代入。 【计算示范】若则 【简便计算的不同入口】相同数因子可先提出：两平方之差可直接套公式： 三个数符合完全平方结构时，可先写成平方：先看结构再计算，不必把每个平方都单独算出。 【给字母值时先分解】若求在时的值，先分解为再代入： 代入负数时要加括号；平方的对象和负号的位置要分清。化成乘积后仍须按运算顺序计算，不能把某个因式遗漏。 【给整体值时保留整体】若给出与先寻找这两个整体。例如若多了则统一写成 给出与时，可以直接改写为它们的积。只要求一个代数式的值时，不必把题目变成求出各自数值的问题。 【幂的公共因数】同底数幂次数不同时，可以先提出低次幂。例如， 也可以先利用幂的性质改写同一因数，再合并；但不能直接把不同次数的幂当成相同因数相加。完成分解后，仍须计算外面的因数。 例七、计算：   变式7-1、计算：   变式7-2、计算：   变式7-3、计算：   变式7-4、计算：   变式7-5、计算：   变式7-6、计算：   变式7-7、先分解因式，再求值：其中   变式7-8、已知求的值。   变式7-9、已知求的值。   变式7-10、已知求的值。   八、因式分解与面积问题 【知识详解】长方形的面积等于两条邻边长的积。若面积用一个多项式表示，可以先分解因式，把它写成适合的乘积，再根据已知边长确定另一条边。正方形的面积是边长的平方。 【方法与示范】求两块正方形的面积差时，先列出两个边长的平方之差，再用平方差公式化简。剪去一块正方形，也可用“大面积减小面积”表示剩余面积。 【易错提醒】边长必须为正。由面积为得到正方形边长为需要有应用题求出代数式或数值后，要写清对应的量和单位。 【从面积到边长】长方形面积写成乘积后，要用已知边长识别相应因式，不能随意把任何一个因式当作边长。例如面积为若已知一边为另一边才是 若题中给的是面积先分解为再求边长；周长仍按两组邻边长的和计算，不能把面积表达式误作周长。 【剪拼只改变形状】从边长为的正方形中剪去边长为的小正方形，剩余面积为其中 若将剩余部分剪拼成长方形，面积保持不变。已知一边为时，另一边为正长度条件既保证图形有意义，也保证用面积求边长时分母不为0。 【检查量与单位】边长和周长使用长度单位，面积使用平方单位。求得只是面积的乘积表示，若题目问面积，还应写明平方厘米等单位。 当面积表示为一个平方时，边长取正值。例如且面积为边长为不能在没有条件时直接去掉平方符号。 【四个小圆面积的处理】一个半径为的圆面积为四个相同小圆的总面积为数量4乘在面积上，不能误写为 从半径为的圆板中挖去四个小圆，先写大面积减小面积，再提出共同因数此时适合继续用平方差公式。 例八、如图，三个长方形的宽都是厘米，长分别为厘米、厘米、厘米，字母均表示正数。它们拼成一个大长方形，用多项式表示大长方形的面积，并将所得多项式分解因式。   变式8-1、一个长方形的面积为平方厘米，一边长为厘米，其中求另一边长和周长。   变式8-2、两块正方形板材的边长分别为厘米和厘米，其中求两块板材的面积差。   变式8-3、一块正方形纸片的面积为平方厘米，其中求这块纸片的边长。   变式8-4、一张边长为厘米的正方形纸片，从一角剪去边长为3厘米的正方形，其中 （1）用整式表示剩余面积，并分解因式； （2）把剩余部分剪拼成一个长方形，若一边长为厘米，求另一边长。   变式8-5、如图，在半径为厘米的圆形钢板上，挖去四个半径均为厘米的小圆，小圆互不重叠且都在钢板内。 （1）用含的整式表示剩余部分的面积，并分解因式； （2）当时，求剩余面积（取3.14）。   A、基础通关 1、下列各式中，与恒等的是（　　）。 A．　　B． C．　　D．   2、分解因式：   3、分解因式：   4、分解因式：   5、分解因式：   6、分解因式：   7、分解因式：   8、分解因式：   9、分解因式：   10、分解因式：   11、填空：________   12、计算：   13、若对任意都成立，则________。   14、下列多项式中，是完全平方式的是（　　）。 A．　　B． C．　　D．   15、计算：   16、分解因式：   17、下列各式中，与恒等的是（　　）。 A．　　B． C．　　D．   18、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）。 A． B． C． D．   B、难点突破 1、分解因式：   2、分解因式：   3、已知求的值。   4、分解因式：   5、分解因式：   6、分解因式：   7、若是完全平方式，求的值，并写出相应的分解结果。   8、先分解因式，再求值：其中   9、分解因式：   10、小明分解因式的过程如下： ① ②。 （1）从第________步开始出现错误； （2）写出正确的分解结果。   11、下列因式分解正确且彻底的是（　　）。 A． B． C． D．   12、先分解因式，再求值：其中   13、某同学分解因式的过程如下： ① ②。 （1）从第________步开始出现错误； （2）写出正确的分解结果。   14、分解因式：   C、方法进阶 1、分解因式： （1） （2）   2、分解因式： （1） （2）   3、已知求的值。   4、一块长方形铁板的面积为平方厘米，一边长为厘米，其中 （1）求另一边长； （2）当时，求这块铁板的周长。   5、已知为整数，求证：是8的倍数。   6、分解因式：   7、分解因式：   D、真题精选 1、（2025年江西中考·第8题）因式分解：________。   2、（2025—2026学年武汉江岸八上期末·第3题）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）。 A． B． C． D．   3、（2026年福建中考·第13题）因式分解：________。   4、（2026年天津和平八上期末·第20（Ⅰ）题）分解因式：________。   5、（2025年北京育才八上期中·第18（1）题）因式分解：   6、（2025年北京怀柔八上期末·第18题）分解因式：   7、（2026年天津和平八上期末·第20（Ⅲ）题）分解因式（要求写过程）：   8、（2025年北京育才八上期中·第18（2）题）因式分解：   9、（2025—2026学年天津南开八上期末·第19（Ⅰ）题）分解因式：   九、十字相乘法 阅读与思考 选学 【阅读范围】本节作为阅读选学，讨论二次项系数为1的二次三项式。由可得 【两个条件】要分解需找到两个数使且本组先从常数项的整数因数组合寻找。两个条件都符合后，写成最后乘回检查。 【十字相乘示范】以为例，且把二次项系数拆成常数项拆成交叉相乘后相加为故原式 【符号与顺序】常数项为正时，两个数同号，符号由它们的和决定；常数项为负时，两个数异号。若原式先有公因式，应先提出公因式，再分解括号内的首一三项式。本节不讨论二次项系数不是1的一般情形。 例九、分解因式：   变式9-1、分解因式：   变式9-2、分解因式：   变式9-3、分解因式：   变式9-4、分解因式：   1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 因式分解 因式分解的方法与应用 2026—2027学年人教版八年级数学上册 教师解析版 目录导航 一、因式分解的概念 2 二、提取单项式公因式 3 三、提取多项式公因式 5 四、用平方差公式分解因式 6 五、用完全平方公式分解因式 7 六、提公因式法与公式法的综合应用 9 七、因式分解与计算求值 10 八、因式分解与面积问题 12 A、基础通关 14 B、难点突破 15 C、方法进阶 17 D、真题精选 18 九、十字相乘法 19 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 一、因式分解的概念 【知识详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。例如，左边是多项式，右边是整式的积，变形前后的值相等。 【方法与示范】因式分解与整式乘法方向相反：整式乘法把积化成和，因式分解把和化成积。判断一个变形是否为因式分解，既要核对等式成立，又要看右边整体是否是几个整式的积。 【易错提醒】的等式不成立；的右边仍是和，二者都不是正确的因式分解。乘回去检查，能发现漏项、系数或符号错误。 【检验示范】因此正确。检查时要把括号内每一项都乘到，不能只核首项。 【区分三个形式】判断时先看整个式子，不只看其中有没有括号。的右边是积；的右边整体是和，即使第一项写成了乘积，也还没有把整个多项式分解因式。 整式的积还要求每个因式都是整式。在时没有意义，且括号内含分式，所以不能把它作为多项式的因式分解结果。 【等式与形式分别检查】例如检验先展开右边：等式成立；再检查右边是与两个整式相乘，形式也符合。 若写成右边展开为系数不符。若写成等式与积形式都正确，但括号内还有公因式2；本章练习要求把它继续整理为 例一、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ 【解析】②④。①是整式乘法，③的右边仍是和；②④等式成立且右边是整式的积。 变式1-1、下列因式分解正确的是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】选A。B应为C右边比左边多1；D应为 变式1-2、若对任意都成立，则________。 【解析】右边展开为比较的系数，得 变式1-3、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】选B。B等式成立且右边是整式的积。A是整式乘法，C、D右边仍是和。 二、提取单项式公因式 【知识详解】一个多项式各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式。把公因式提到括号外面，就是提公因式法： 【方法与示范】公因式的系数通常取各项系数绝对值的最大公因数，字母取各项共有的字母，每个字母的指数取各项中最低的次数。再用原式的每一项除以公因式，依次写出括号内各项。 【易错提醒】括号内各项必须与原式各项一一对应。完成后逐项乘回，核对系数、字母次数和正负号，尤其检查是否漏掉常数项。 例二、分别写出下列多项式各项的公因式（系数取最大公因数，字母取最低次幂）： （1） （2） 【解析】（1）系数12与8的最大公因数为4，共有字母的最低次数为1，所以公因式为 （2）系数仍取4，共有字母的最低次数均为1，所以公因式为 【提取后保留1】第二项恰是公因式提取后应写1，不能写成 同理，第二项提取后是括号内的项数应与原式对应，不能因为原项和公因式相同就把这一项删除。 【负公因式与乘回检验】对于提出后，各项分别变为和所以原式 乘回检验：负公因式会改变括号内各项的符号，不能只改第一项。提出正公因式写成也成立。 这里是在把多项式恒等地改写为乘积，不是把方程两边除以一个数。最终恒等式在时同样成立，不应额外给字母添加“非零”条件。 变式2-1、在横线上填写提取公因式后括号内的式子： （1）________ （2）________ （3）________ （4）________ 【解析】（1）各项分别除以商为 （2）第二项恰好等于公因式提取后保留1。 （3）末项是公因式的相反数，提取后保留 （4）两项都除以括号内第一项为正、第二项为负。 变式2-2、分解因式： （1） （2） 【解析】（1） （2） 【确定公因式的三步】以为例，先比较系数12与18，最大公因数是6；再找共有字母最后比较次数，取2次，也取2次。因此通常提出 逐项写出商，得到只在某一项中出现的字母，不能放进公因式；某字母的次数也不能超过任一项中该字母的次数。 变式2-3、分解因式： 【解析】公因式为原式 变式2-4、分解因式： 【解析】原式第二项与公因式相同，提取后保留1。 变式2-5、分解因式： 【解析】提出得原式 变式2-6、分解因式： 【解析】公因式为原式末项相除后为不能漏写。 变式2-7、分解因式： 【解析】提出得原式 变式2-8、分解因式： 【解析】系数的最大公因数为6，共有字母的最低次数均为2；不是共有字母。 所以原式 三、提取多项式公因式 【知识详解】公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式。若各项都含有相同的括号，就把这个括号中的整式看作一个整体，按提公因式法分解。 【方法与示范】例如，同一括号出现平方时，可先写成相同因式的乘积：再找公因式。 【易错提醒】相反的两个括号要先统一符号：一次括号变号，要同时改变外面的符号；平方括号满足不能额外添负号。 【方法示范】提取后仍要整理括号，最后乘回检查。 【整体与各项对应】对可以暂把记作于是换回原来的整体，得到 提取括号时，不能把括号内某一项单独取走。例如中的是完整因式，不能漏掉结果中的每一个因式都来自原式，乘回后必须恢复全部项。 【相反括号的变号】所以原式第二项前面已有减号，与变换括号带来的负号相乘后成为加号。 平方与立方的符号不同：偶数次方不变号，奇数次方变号。 【有平方或更高次幂的括号】在中，两项共有一个先把平方看成两个相同因式的积，再提取： 两项中同一括号的次数不同时，取较低次数。例如先把简单同括号和一次反号做熟，再处理这类幂的整体。 【提后再去括号】若剩下的商含括号，先写全再整理。例如， 方括号内为因此结果是减去整个括号时，两项符号都要改变。 例三、分解因式： 【解析】把看作整体，原式 变式3-1、分解因式： 【解析】原式作为完整因式保留，不能把平方和误作平方差。 变式3-2、分解因式： 【解析】原式 变式3-3、分解因式： 【解析】因为所以原式 变式3-4、分解因式： 【解析】原式 变式3-5、分解因式： 【解析】因为所以原式 继续提出2，得原式 变式3-6、分解因式： 【解析】因为所以原式 提出得原式 变式3-7、分解因式： 【解析】先提出原式 整理括号：所以原式 四、用平方差公式分解因式 【知识详解】平方差公式为能直接使用这一公式的多项式，可以整理为两个整式的平方相减的形式。这里的可以是数、单项式或多项式。 【方法与示范】先写清两个平方的底数，再写成“和乘差”。例如，系数是4时，平方的底数是不是 【易错提醒】平方和不能直接套平方差公式。例如不能写成若正项在后，可交换项的顺序；写差因式时要与原式的正负对应。 【整体示范】把整体代入公式，最后整理两个因式。 【平方底数的识别】系数与字母的指数都要一起处理，不能只把系数开平方。 例如这里第二个平方的底数是不是先写清底数，能避免把因式写成 【项次改变与差因式】正项在后时，可先交换项次，例如 两个因式交换次序不改变乘积，但交换差因式内两项的次序会使这个因式变号。所以不能随意把换成而不补负号。 【从单项式到底数是括号】若底数本身是一个多项式，仍用同一个公式。例如： 第一括号整理为第二括号整理为4，所以原式套公式后还要整理；有数字公因式时，继续提出。 【小数与分数的平方底数】先把系数准确写成平方，再与字母合在一起。例如， 因此底数要连同字母一起写入两个因式，不把原系数直接照抄。 例四、分解因式： （1） （2） 【解析】（1） （2） 变式4-1、下列各式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　）。 A．　　B． C．　　D． 【解析】选C。 变式4-2、分解因式： 【解析】原式 变式4-3、分解因式： 【解析】原式 变式4-4、分解因式： 【解析】原式 变式4-5、分解因式： 【解析】 所以原式 变式4-6、分解因式： 【解析】原式 变式4-7、分解因式： 【解析】原式 整理得原式 变式4-8、分解因式： 【解析】原式 第一个因式为第二个因式为所以原式 五、用完全平方公式分解因式 【知识详解】完全平方公式为完全平方式有三个项，其中两个项是平方项，另一个项是这两个底数乘积的2倍或它的相反数。 【方法与示范】先找出两个平方项及其底数，再核对中间项。例如，两个平方项为正，中间项的正负决定括号中用加号还是减号。 【易错提醒】只看到两个平方项还不够。例如是完全平方式，不是。项次打乱时可以重新排列，但不能改变各项符号。 【三个条件一起核对】识别完全平方式时，先找两个平方项，再核对另一个项是否正好为两底数乘积的2倍。例如的底数为与且所以原式 若中间项是就不符合该公式；不能把“有两个平方项”当作充分条件。此处也不要求把所有三项式都凑成完全平方。 【项次重排与先提负号】项次打乱时，先把两个平方项与中间项排清楚：移动项时要连同前面的符号一起移动。 原式两个平方项均为负时，可先提出最外面的负号不能丢，也不能误写成 【缺项与参数的两种符号】若已知是完全平方式，两平方项的底数是与5。中间项可以是也可以是所以或 若对任意都成立，括号中已指定加号，此时只有要区分“是完全平方式”和“等于某个指定的平方”，不能机械地每题都写两个答案。 【分数底数与缺失常数】在中，两个底数为与因为所以原式 若只缺常数，如为完全平方式，由确定底数5，得这里求的是底数的平方，不是中间项系数，不应写成正负两个常数。 【两个底数都含字母】对于可先记三项恰为不是只看外面是否有括号。 因此原式先整体套公式，再合并括号内同类项，比把所有平方先展开更简洁。 例五、分解因式： （1） （2） 【解析】（1） （2） 变式5-1、分解因式： 【解析】原式 变式5-2、分解因式： 【解析】原式 变式5-3、分解因式： 【解析】先重排，得原式 变式5-4、分解因式： 【解析】 所以原式 变式5-5、分解因式： 【解析】原式 变式5-6、若是完全平方式，求的值，并将该多项式分解因式。 【解析】由中间项可知，另一个底数为4，所以 当时， 变式5-7、若是完全平方式，则________。 【解析】或中间项应为所以 变式5-8、分解因式： 【解析】把看作整体，原式 变式5-9、分解因式： 【解析】两个底数分别为与中间项为它们乘积的2倍。 所以原式 变式5-10、分解因式： 【解析】把与分别看作两个底数，原式 整理得原式写成也正确。 六、提公因式法与公式法的综合应用 【知识详解】当多项式既有公因式，又含有平方差或完全平方结构时，通常先提公因式，再对括号内的式子使用公式。分解到各个多项式因式都不能用本章所学方法继续分解为止。 【方法与示范】先看各项有无公因式，再看剩余式子的项数和结构。两项先检查平方差，三项检查完全平方。已经写成乘积后，还要逐个检查因式，不能只看外形是乘积就停止。 【易错提醒】已经出现乘积时，还要检查每个多项式因式。只要仍有本章方法可以继续使用，就要继续分解；公因式和最外面的负号都必须保留。 【两种常规组合】第一类是先提公因式再平方差：第一步提出第二步对套公式。 第二类是先提公因式再完全平方：外面的公因式与里面的平方都要保留。 【检查是否分解彻底】分解后的每个多项式因式都要检查。例如其中还可以分解，所以最后为 检查时只依据所学方法，不把平方和误写成平方差。不能直接写成两者相差 【先整理再识别公式】有些式子原来的外形不直接符合公式，先做必要的整式运算，结构就会显现。例如： 这里先化简中间项，再用完全平方公式。并非遇到括号就一律展开；如果原式已有清楚的公因式或平方差结构，应优先利用，减少计算。 例六、分解因式： （1） （2） 【解析】（1） （2） 变式6-1、分解因式： 【解析】原式 变式6-2、分解因式： 【解析】原式 变式6-3、分解因式： 【解析】原式 继续分解得原式 变式6-4、分解因式： 【解析】原式 变式6-5、分解因式： （1） （2） 【解析】（1）原式 （2）原式 七、因式分解与计算求值 【知识详解】数值计算也能使用因式分解。几个数相加减时，先观察有无相同因数或熟悉的平方结构，转化为乘积后再计算，往往比逐项算出大数更简便。 【方法与示范】代数式求值时，先看已知的是单个字母，还是字母的和、差、积。若给出了或可先把所求式分解为这些整体的乘积，再代入，不必分别求出每个字母。 【易错提醒】分解过程要保留全部因式和系数。例如代入时不能漏掉2。出现已知整体相同但排列不同的形式时，先统一再代入。 【计算示范】若则 【简便计算的不同入口】相同数因子可先提出：两平方之差可直接套公式： 三个数符合完全平方结构时，可先写成平方：先看结构再计算，不必把每个平方都单独算出。 【给字母值时先分解】若求在时的值，先分解为再代入： 代入负数时要加括号；平方的对象和负号的位置要分清。化成乘积后仍须按运算顺序计算，不能把某个因式遗漏。 【给整体值时保留整体】若给出与先寻找这两个整体。例如若多了则统一写成 给出与时，可以直接改写为它们的积。只要求一个代数式的值时，不必把题目变成求出各自数值的问题。 【幂的公共因数】同底数幂次数不同时，可以先提出低次幂。例如， 也可以先利用幂的性质改写同一因数，再合并；但不能直接把不同次数的幂当成相同因数相加。完成分解后，仍须计算外面的因数。 例七、计算： 【解析】原式 变式7-1、计算： 【解析】原式 变式7-2、计算： 【解析】原式 变式7-3、计算： 【解析】原式 变式7-4、计算： 【解析】因为所以原式 原式 变式7-5、计算： 【解析】因为所以原式 原式也可先提出得到 变式7-6、计算： 【解析】分别使用平方差公式，原式 原式 变式7-7、先分解因式，再求值：其中 【解析】原式 当时，原式 变式7-8、已知求的值。 【解析】原式 变式7-9、已知求的值。 【解析】原式 变式7-10、已知求的值。 【解析】原式 把已知整体代入，原式 八、因式分解与面积问题 【知识详解】长方形的面积等于两条邻边长的积。若面积用一个多项式表示，可以先分解因式，把它写成适合的乘积，再根据已知边长确定另一条边。正方形的面积是边长的平方。 【方法与示范】求两块正方形的面积差时，先列出两个边长的平方之差，再用平方差公式化简。剪去一块正方形，也可用“大面积减小面积”表示剩余面积。 【易错提醒】边长必须为正。由面积为得到正方形边长为需要有应用题求出代数式或数值后，要写清对应的量和单位。 【从面积到边长】长方形面积写成乘积后，要用已知边长识别相应因式，不能随意把任何一个因式当作边长。例如面积为若已知一边为另一边才是 若题中给的是面积先分解为再求边长；周长仍按两组邻边长的和计算，不能把面积表达式误作周长。 【剪拼只改变形状】从边长为的正方形中剪去边长为的小正方形，剩余面积为其中 若将剩余部分剪拼成长方形，面积保持不变。已知一边为时，另一边为正长度条件既保证图形有意义，也保证用面积求边长时分母不为0。 【检查量与单位】边长和周长使用长度单位，面积使用平方单位。求得只是面积的乘积表示，若题目问面积，还应写明平方厘米等单位。 当面积表示为一个平方时，边长取正值。例如且面积为边长为不能在没有条件时直接去掉平方符号。 【四个小圆面积的处理】一个半径为的圆面积为四个相同小圆的总面积为数量4乘在面积上，不能误写为 从半径为的圆板中挖去四个小圆，先写大面积减小面积，再提出共同因数此时适合继续用平方差公式。 例八、如图，三个长方形的宽都是厘米，长分别为厘米、厘米、厘米，字母均表示正数。它们拼成一个大长方形，用多项式表示大长方形的面积，并将所得多项式分解因式。 【解析】三块长方形的面积分别为平方厘米，所以总面积为平方厘米。 大长方形的宽为厘米，长为厘米，所以 变式8-1、一个长方形的面积为平方厘米，一边长为厘米，其中求另一边长和周长。 【解析】所以另一边长为厘米。 周长为厘米。 变式8-2、两块正方形板材的边长分别为厘米和厘米，其中求两块板材的面积差。 【解析】面积差为平方厘米。 变式8-3、一块正方形纸片的面积为平方厘米，其中求这块纸片的边长。 【解析】因为且所以边长为厘米。 变式8-4、一张边长为厘米的正方形纸片，从一角剪去边长为3厘米的正方形，其中 （1）用整式表示剩余面积，并分解因式； （2）把剩余部分剪拼成一个长方形，若一边长为厘米，求另一边长。 【解析】（1）剩余面积为平方厘米， （2）剪拼前后面积不变，且所以另一边长为厘米。 变式8-5、如图，在半径为厘米的圆形钢板上，挖去四个半径均为厘米的小圆，小圆互不重叠且都在钢板内。 （1）用含的整式表示剩余部分的面积，并分解因式； （2）当时，求剩余面积（取3.14）。 【解析】（1）剩余面积为平方厘米。 （2）代入得平方厘米。 A、基础通关 1、下列各式中，与恒等的是（　　）。 A．　　B． C．　　D． 【解析】选B。 2、分解因式： 【解析】原式 3、分解因式： 【解析】原式 4、分解因式： 【解析】原式 5、分解因式： 【解析】原式 6、分解因式： 【解析】原式 7、分解因式： 【解析】原式 8、分解因式： 【解析】原式 9、分解因式： 【解析】原式 10、分解因式： 【解析】原式 11、填空：________ 【解析】中间项为 12、计算： 【解析】原式 13、若对任意都成立，则________。 【解析】右边展开为所以 14、下列多项式中，是完全平方式的是（　　）。 A．　　B． C．　　D． 【解析】选B。B为A、D的中间项不符合两底数乘积的2倍，C的常数项为负。 15、计算： 【解析】原式 16、分解因式： 【解析】原式 17、下列各式中，与恒等的是（　　）。 A．　　B． C．　　D． 【解析】选C。原式A、B互相相等，但都漏掉最外面的负号；D的中间项展开后为 18、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】选B。B的两项有公因式提取后得到A的右边含分式，不是整式的积；C等式不成立；D的右边整体仍是和。 B、难点突破 1、分解因式： 【解析】原式 2、分解因式： 【解析】原式 3、已知求的值。 【解析】原式 4、分解因式： 【解析】原式 5、分解因式： 【解析】原式 6、分解因式： 【解析】原式 7、若是完全平方式，求的值，并写出相应的分解结果。 【解析】中间项为所以或 时，原式时，原式 8、先分解因式，再求值：其中 【解析】原式 当时，原式 9、分解因式： 【解析】因为所以原式 提出公因式，得原式 10、小明分解因式的过程如下： ① ②。 （1）从第________步开始出现错误； （2）写出正确的分解结果。 【解析】（1）②。平方差公式中9应写成两个因式应为与 （2） 11、下列因式分解正确且彻底的是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】选B。B两次使用平方差，结果正确且已分解彻底。 A等式成立，但仍可分解；C应为D提取后漏写应为 12、先分解因式，再求值：其中 【解析】原式 当时，原式 13、某同学分解因式的过程如下： ① ②。 （1）从第________步开始出现错误； （2）写出正确的分解结果。 【解析】（1）②。减去括号时前应变为加号。 （2） 14、分解因式： 【解析】因为所以原式 提出得原式 C、方法进阶 1、分解因式： （1） （2） 【解析】（1）原式 （2）原式 2、分解因式： （1） （2） 【解析】（1） （2） 3、已知求的值。 【解析】原式 代入得原式 4、一块长方形铁板的面积为平方厘米，一边长为厘米，其中 （1）求另一边长； （2）当时，求这块铁板的周长。 【解析】（1）且所以另一边长为厘米。 （2）当时，边长为7厘米，周长为厘米。 5、已知为整数，求证：是8的倍数。 【解析】 因为是整数，所以是8的倍数，即原结论成立。 6、分解因式： 【解析】先用完全平方， 再把分解，得原式 7、分解因式： 【解析】先将前三项写成完全平方，原式 再用平方差公式，原式 D、真题精选 1、（2025年江西中考·第8题）因式分解：________。 【解析】 2、（2025—2026学年武汉江岸八上期末·第3题）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】选B。B将多项式化为整式的乘积；A、D是整式乘法，C的右边仍是和。 3、（2026年福建中考·第13题）因式分解：________。 【解析】 4、（2026年天津和平八上期末·第20（Ⅰ）题）分解因式：________。 【解析】原式 5、（2025年北京育才八上期中·第18（1）题）因式分解： 【解析】原式 6、（2025年北京怀柔八上期末·第18题）分解因式： 【解析】原式 7、（2026年天津和平八上期末·第20（Ⅲ）题）分解因式（要求写过程）： 【解析】原式 8、（2025年北京育才八上期中·第18（2）题）因式分解： 【解析】原式 9、（2025—2026学年天津南开八上期末·第19（Ⅰ）题）分解因式： 【解析】原式 整理两个因式，得原式 九、十字相乘法 阅读与思考 选学 【阅读范围】本节作为阅读选学，讨论二次项系数为1的二次三项式。由可得 【两个条件】要分解需找到两个数使且本组先从常数项的整数因数组合寻找。两个条件都符合后，写成最后乘回检查。 【十字相乘示范】以为例，且把二次项系数拆成常数项拆成交叉相乘后相加为故原式 【符号与顺序】常数项为正时，两个数同号，符号由它们的和决定；常数项为负时，两个数异号。若原式先有公因式，应先提出公因式，再分解括号内的首一三项式。本节不讨论二次项系数不是1的一般情形。 例九、分解因式： 【解析】因为所以原式 变式9-1、分解因式： 【解析】因为所以原式 变式9-2、分解因式： 【解析】因为所以原式 变式9-3、分解因式： 【解析】因为所以原式 变式9-4、分解因式： 【解析】先提出公因式得原式 因为所以原式 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $