专题16 分式的乘法与除法、加法与减法 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题16分式的乘法与除法、加法与减法同步培优讲义 ✺知识框架 1.分式乘除：分式乘法法则、分式除法法则、分式乘方 2.分式加减：同分母分式加减、异分母分式加减 3.混合运算：分式运算顺序、化简与求值 ✺学习目标 1.理解分式乘、除、乘方的运算法则，熟练进行分式乘除运算。 2.掌握同分母、异分母分式的加减法则，能够通分并完成加减运算。 3.掌握分式混合运算顺序，规范运算步骤，准确进行混合运算。 4.会先化简分式再代入求值，关注字母取值限制，提升代数运算能力。 ✺题型归纳 题型1.分式乘法 题型2.分式除法 题型3.分式乘除混合运算 题型4.分式乘方 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法 题型7.异分母分式加减法 题型8.整式与分式相加减 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型10.分式加减混合运算 题型11.分式加减的实际应用 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.分式化简求值 题型14.分式最值 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点01分式的乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：×==.(B≠0,D≠0) 运算要点：先因式分解，提前约分，再计算，结果化为最简分式或整式。 知识点02分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 知识点03分式的乘方 分式乘方，要把分子、分母分别乘方。 公式：公式表示：= (B≠0, n为正整数） 知识点04同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 公式：公式表示： = (B≠0) 知识点05异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。 公式：±= .(B≠0，D≠0) 知识点06分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先算括号内。 运算要求：结果化为最简分式或整式；代入求值时，保证原式所有分母不为 0。 知识点07整式与分式的加减运算 将整式看作分母为1的特殊分式，统一通分后，再与分式进行加减运算。 示例：a－－ ✺题型精讲 题型1.分式乘法 1．计算：=（　　　） A．x B． C．y D． 2．化简的结果为________． 3．按要求完成下列各题： (1)因式分解：． (2)计算：． 题型2.分式除法 1．在计算时，下列数中x能取的值是(     ) A．1 B． C．0 D．2 2．计算：______． 3．化简：． 题型3.分式乘除混合运算 1．老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（     ） 老师 甲 乙 丙 丁 A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2．有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 3．计算： (1)； (2)． 题型4.分式乘方 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是________． 3．计算： (1) (2) 题型6.同分母分式加减法 1．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：___________． 3．分式计算 (1) (2) 题型7.异分母分式加减法 1．下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式…第一步 ………第二步 ………第三步 ……………第四步 ． 在化简过程中，第几步开始出现错误．（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．计算的结果是_____． 3．分式计算： (1)； (2)； (3)． 题型8.整式与分式相加减 1．对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 2．计算：的结果是________． 3．计算： (1)； (2)． 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．若常数，满足，则（     ） A． B． C．2 D．3 2．已知（其中、均为常数），则_________． 3．已知，求A、B的值． 题型10.分式加减混合运算 1．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 2．小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是．如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用______（结果化为最简）． 3．计算： (1)； (2) 题型11.分式加减的实际应用 1．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 2．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 3．【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜．我们可以用分式的知识解释这一现象，设一杯糖水的总质量为克，其中糖的质量为克，则糖与糖水的质量之比为，若往杯里加糖克，此时糖水中糖的质量为克，糖水总质量为克，糖与糖水的质量之比为． 因为（其中）， 即，所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜． 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售． (1)小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元；小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元．小明与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释； (2)小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了元，若梨的实际单价是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付___________元（用的代数式表示）． 题型12.分式加减乘除混合运算 1．下列式子运算结果为的是(     ) A． B． C． D． 2．若已知，则的值为_______． 3．已知，，，若，求的值． 题型13.分式化简求值 1．若，则的值是（     ） A． B． C．1 D．2 2．对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：，若，则_________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型14.分式最值 1．若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 2．已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 3．综合与实践 素材1 为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决: 任务1： (1)①当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 (2)当时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当为整数时，请直接写出所有符合条件的正整数x的值； 任务3 (4)若分式的值为，求的取值范围． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知代数式则（     ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．某校举办计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算．某组同学计算过程如下： 则出现错误的是(     ) A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 二、填空题 5．计算：=________． 6．计算______． 7．在化简分式 □ 时，漏掉了"□"中的运算符号（仅限 +、−、×、÷），已知最后的化简结果是整式，由此可以猜想漏掉的运算符号是 __________． 8．某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前____________小时完成生产任务． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．先化简再求值：，其中从，，，中任取一个合适的值． 11．【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 12．阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： (1)下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ①  ②  ③  ④ (2)当________时，代数式有最大值________； (3)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； (4)求分式的最值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16分式的乘法与除法、加法与减法同步培优讲义 ✺知识框架 1.分式乘除：分式乘法法则、分式除法法则、分式乘方 2.分式加减：同分母分式加减、异分母分式加减 3.混合运算：分式运算顺序、化简与求值 ✺学习目标 1.理解分式乘、除、乘方的运算法则，熟练进行分式乘除运算。 2.掌握同分母、异分母分式的加减法则，能够通分并完成加减运算。 3.掌握分式混合运算顺序，规范运算步骤，准确进行混合运算。 4.会先化简分式再代入求值，关注字母取值限制，提升代数运算能力。 ✺题型归纳 题型1.分式乘法 题型2.分式除法 题型3.分式乘除混合运算 题型4.分式乘方 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法 题型7.异分母分式加减法 题型8.整式与分式相加减 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型10.分式加减混合运算 题型11.分式加减的实际应用 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.分式化简求值 题型14.分式最值 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点01分式的乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：×==.(B≠0,D≠0) 运算要点：先因式分解，提前约分，再计算，结果化为最简分式或整式。 知识点02分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 知识点03分式的乘方 分式乘方，要把分子、分母分别乘方。 公式：公式表示：= (B≠0, n为正整数） 知识点04同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 公式：公式表示： = (B≠0) 知识点05异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。 公式：±= .(B≠0，D≠0) 知识点06分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先算括号内。 运算要求：结果化为最简分式或整式；代入求值时，保证原式所有分母不为 0。 知识点07整式与分式的加减运算 将整式看作分母为1的特殊分式，统一通分后，再与分式进行加减运算。 示例：a－－ ✺题型精讲 题型1.分式乘法 1．计算：=（　　　） A．x B． C．y D． 【答案】A 【分析】根据分式乘法计算法则解答． 【详解】解：=x， 故选：A． 【点睛】此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键． 2．化简的结果为________． 【答案】 【分析】先对二次多项式因式分解，再约去分子分母的公因式得到化简结果． 【详解】解：． 3．按要求完成下列各题： (1)因式分解：． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2.分式除法 1．在计算时，下列数中x能取的值是(     ) A．1 B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为0、除法中除数不为0，列出限制条件，排除不符合要求的选项，即可得到答案． 【详解】解：∵分式运算中，分母不能为0，除数不能为0， ∴原式需满足以下条件： ， 解得：且且， 选项A的，选项B的，选项C的都不满足条件，只有选项D的符合要求，因此选D． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 题型3.分式乘除混合运算 1．老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（     ） 老师 甲 乙 丙 丁 A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】C 【分析】判断每位同学的运算是否正确，需以其承接的前一步式子为基准，验证自身运算步骤的正误． 【详解】解：∵ 甲承接原式，变形为， ∴ 甲的运算正确， ∵ 乙承接甲的式子，将变形为，，漏写负号， ∴ 乙的运算错误， ∵ 丙承接乙的式子，将因式分解为，， ∴ 丙的运算错误， ∵ 丁承接丙的式子，约分得， ∴ 丁的运算正确． 2．有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘除进行计算，先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解； （2）先因式分解，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型4.分式乘方 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可． 【详解】A. ， ∵， ∴A错误； B. ， ∵， ∴B正确； C. ， ∵， ∴C错误； D. ， ∵， ∴D错误． 故选：B． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 2．计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式 题型6.同分母分式加减法 1．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式加减法法则分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 2．计算：___________． 【答案】1 【分析】两个分式分母相同，分母不变，把分子相加即可； 【详解】解：． 3．分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算计算即可； （2）把能够分解因式的分子分母分解因式，再约分即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 题型7.异分母分式加减法 1．下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式…第一步 ………第二步 ………第三步 ……………第四步 ． 在化简过程中，第几步开始出现错误．（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】D 【详解】解：第一步因式分解、第二步约分变形、第三步通分变形均正确， 第四步去括号时，误展开为，正确应为，符号错误， ∴第四步开始出现错误． 2．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式． 【详解】解： ． 3．分式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型8.整式与分式相加减 1．对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．计算：的结果是________． 【答案】． 【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案． 【详解】解： = = = 故答案为． 【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．若常数，满足，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】对等式右侧分式通分，对比分子一次项系数可直接求得的值． 【详解】解：， ∴ 对等式右侧通分，得， ∵ 等式两边分式分母相同且等式成立， ∴ 分子对应相等，即， 由多项式相等对应项系数相等，得． 2．已知（其中、均为常数），则_________． 【答案】 【分析】将等式右侧通分后，根据分子相等对应系数相等，即可直接得到的值． 【详解】解：， ， 整理得：， 两个多项式相等，则对应项系数相等， 的一次项系数相等， 可得：． 3．已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 题型10.分式加减混合运算 1．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【分析】甲：由分式加减运算法则和分式的基本性质求解；乙：根据所给的例子可知，，即取中较小的数，据此即可判断． 【详解】甲同学： 故甲错误． 乙同学： 故乙错误，则两人都错． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算以及新定义下实数的大小比较，解题的关键是掌握分式的混合运算和新定义题目的理解． 2．小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是．如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用______（结果化为最简）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式以及分式的加减．正确的列出代数式是解决问题的关键． 先分别求出小刚和小丽用的时间，然后比较即可得出答案． 【详解】解：小丽用的时间为， 小刚用的时间为， ∴， ， 故答案为: ． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式除法转化为乘法，约分计算即可； （2）将整式部分通分，转化为同分母分式减法，化简即可． 【详解】（1）解∶原式 （3） 解：原式 题型11.分式加减的实际应用 1．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 2．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程：（千米）， 提速后的速度：（千米/小时）， 提速后的时间：（小时）， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）， 故答案为：． 3．【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜．我们可以用分式的知识解释这一现象，设一杯糖水的总质量为克，其中糖的质量为克，则糖与糖水的质量之比为，若往杯里加糖克，此时糖水中糖的质量为克，糖水总质量为克，糖与糖水的质量之比为． 因为（其中）， 即，所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜． 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售． (1)小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元；小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元．小明与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释； (2)小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了元，若梨的实际单价是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付___________元（用的代数式表示）． 【答案】(1)小亮所买苹果的实际单价便宜；理由如下： 设箱重， 则小明买的苹果单价为：元/千克，小亮买的苹果单价为：元/千克， 比较：与的大小， ， ， 故比较与的大小， ， ， 故， ， 小亮所买苹果的实际单价便宜； (2) 【分析】（1）设箱重，则小明买的苹果单价为：元/千克，小亮买的苹果单价为：元/千克，根据题干提供的方法比较与的大小即可； （2）设箱重，则小李第一次买梨单价为：元/千克，小李第二次买梨单价为：元/千克，设梨单价为元/千克，根据梨的单价不变，得出，求出，再用梨的单价乘梨的质量求出小李再买连箱重7千克的梨一箱需付的钱数即可． 【详解】（1）略 （2）解：设箱重，则小李第一次买梨单价为：元/千克，小李第二次买梨单价为：元/千克， 设梨单价为元/千克， 所以， 故， ， 即， 则小李再买连箱重7千克的梨一箱需付： （元）． 题型12.分式加减乘除混合运算 1．下列式子运算结果为的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，不符合． 选项B：，是分式，不符合． 选项C：，是分式，不符合． 选项D：，符合． 2．若已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】已知等式与待求分式结构相似，且，可通过取倒数、拆分分式，结合完全平方公式整体代入求解，无需单独求解的值． 【详解】解：∵， ∴（若，左边为0，与等式右边矛盾.） 将已知等式两边同时取倒数，得， 即． 对待求的分式，因，将分子、分母同时除以，得 ， 由完全平方公式，得 ， 代入，得 ， 因此待求分式的分母为， ∴待求分式的值为． 3．已知，，，若，求的值． 【答案】 【分析】先化简C的表达式，再利用已知比例关系求出的值，代入化简后的式子即可得到C的结果； 【详解】解：化简C的表达式 ， 由，，，且， 得， ∴． 题型13.分式化简求值 1．若，则的值是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据已知条件式得到，进而得到，则可推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：，若，则_________． 【答案】 【分析】根据新运算定义整理出的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 新运算定义为，且， ∴ ， 对等式左边通分，得， 将代入所求式子，得 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，． 【详解】解： ， 将代入，得原式． 题型14.分式最值 1．若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【答案】A 【分析】先对分式因式分解化简，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，结合分式的增减性判断最值即可． 【详解】解：先对分式化简：， 分式要有意义，分母不能为， ， 且， 为正整数， 的最小取值为， 分子为固定正数，越大，的值越小， 当取最小整数时，原式取得最大值，最大值为，且原式没有最小值． 2．已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 【答案】 【分析】利用已知条件对所求代数式进行恒等变形，设，对配方可得，求出最小值，即可解答． 【详解】由题意得 ，，， ∴ ， 设， ∴， ∴， 对配方可得， ∴的最小值为：； ∴代数式的最小值为． 3．综合与实践 素材1 为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决: 任务1： (1)①当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着x的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 (2)当时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当为整数时，请直接写出所有符合条件的正整数x的值； 任务3 (4)若分式的值为，求的取值范围． 【答案】(1)减小；减小 (2)2 (3)符合条件的正整数x的值为，或； (4) 【分析】（1）根据素材1的结论即可求解； （2）先化简，再根据素材1的结论，可得当时，随着x的增大，的值无限接近0，因此的值无限接近2； （3）根据为整数，x的值是正整数，可得为整数，从而，，，，或，解方程即可； （4）先化简，再讨论，，时，的变化情况，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； ，当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； （2）解：， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近2， 即的值无限接近2； （3）解：为整数，x的值是正整数， 为整数， ，，，，或， ，，，，或， 则符合条件的正整数x的值为，或； （4）解：， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0， 当时，取得最大值， 当时，随着x的减小，的值随之减小，并无限接近0， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近2， 当时，取得最大值， 当时，随着x的减小，的值随之减小，并无限接近2， 综上，的取值范围为． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，分式乘法法则，分别计算各选项后判断正误即可． 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 2．已知代数式则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，通过计算的结果，根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 即． 3．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察两个分式的分母，发现二者互为相反数，先通过变号统一分母，再合并分子，对分子的平方差多项式因式分解后约去公因式，即可得到化简结果． 【详解】解： ． 4．某校举办计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算．某组同学计算过程如下： 则出现错误的是(     ) A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】逐人分析计算步骤，判断符号处理及去括号法则的应用是否正确． 【详解】解：∵，甲写为 ∴甲错误 ∵ ∴乙正确 ∵，丙分子写为 ∴丙错误 ∵ ∴丁正确． 二、填空题 5．计算：=________． 【答案】 【详解】解：． 6．计算______． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键． 7．在化简分式 □ 时，漏掉了"□"中的运算符号（仅限 +、−、×、÷），已知最后的化简结果是整式，由此可以猜想漏掉的运算符号是 __________． 【答案】 【分析】分别对四种运算进行化简，判断结果是否为整式，筛选出符合条件的运算符号． 【详解】解： 若运算符号为：，不是整式，不符合题意； 若运算符号为：，不是整式，不符合题意； 若运算符号为：，不是整式，不符合题意； 若运算符号为：，是整式，符合题意． 8．某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前____________小时完成生产任务． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先根据幂的乘方计算，再根据分式的除法法则解答； （2）先根据幂的乘方计算，再根据分式的乘除法法则计算； （3）先根据幂的乘方计算，同时因式分解，再根据分式的乘除法法则计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 10．先化简再求值：，其中从，，，中任取一个合适的值． 【答案】化简结果为，从给定取值中选取合适的时，原式；选取时，原式． 【详解】解：原式 ，， ，， 当时，原式； 当时，原式． 11．【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【答案】(1) (2)解：①，； ② ． ，， ， ， ∴食堂采购员、的采购方式中，采购员的方式平均单价更低． 【分析】（1）作差法比较大小即可； （2）①用总价除以数量，求出平均单价即可；②作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：①根据题意，食堂采购员两次采购大米的平均单价为； 食堂采购员两次采购大米的平均单价为． ②略 12．阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： (1)下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ①  ②  ③  ④ (2)当________时，代数式有最大值________； (3)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； (4)求分式的最值． 【答案】(1)①④ (2)3； (3) (4)最大值为，无最小值 【分析】（1）根据题中所给新定义进行排除答案即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）令，则有，然后进行求解即可； （4）由可令，则，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：属于“假分式”的是①④； （2）解：∵ ， ∵， ∴当时，代数式有最大值； （3）解：由可令，则有， ∴原式， ∴； （4）解：由可令， ∴原式， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，无最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $