18.2 分式的乘法与除法 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦分式的乘法与除法核心知识点，系统梳理从分数乘除类比到分式乘除法则，明确分子分母积为积的分子分母，除法转化为乘除式颠倒，乘方需分子分母分别乘方的原理。构建“先分解因式、再约分、结果最简”的运算支架，衔接前后知识脉络。 资料以情境列式（如长方体容积、拖拉机效率）引导学生用数学眼光发现问题，通过归纳法则、例题研习培养数学思维（推理与运算能力），结合“丰收1号2号产量比较”等实际问题提升数学语言表达能力。分层训练（A/B/C组）适配不同学生，预习导航与课堂小结助力课中教学高效，课后作业与答案便于学生查漏补缺。

人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.2 分式的乘法与除法(教师讲义) 18.2 分式的乘法与除法 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十八章 分式 · 2课时 · 本书配套《学生用书》使用 一 教学导航 【教材分析】 18.2 分式的乘法与除法是第十八章"分式"的第二节, 承接 18.1 分式的概念与基本性质, 从课本 P146 的"思考"展开。学生在小学学过分数的乘除法, 在本章 18.1 学过约分与最简分式, 在第十六、十七章学过幂的运算与因式分解。本节按"类比分数的乘除"的思路展开: 先由分数的乘除法法则猜想分式的乘除法法则, 再通过例题与练习掌握"分子乘分子、分母乘分母"与"除变乘、除式颠倒"两个基本动作, 最后学习分式的乘方与乘除混合运算。 教材的展开顺序是"由分数到分式、由法则到应用": P146 用"思考"回顾分数的乘除法法则, 类比归纳出分式的乘法法则与除法法则, 并配以例1(分子、分母是单项式); P147 用例2(分子、分母是多项式)与例3("丰收1号""丰收2号"两块试验田的实际问题)落实运算法则与实际应用, 其中例3对应课本图18.2-1; P148 为例题后的练习; P148-P149 讨论分式的乘除混合运算(例4)与分式的乘方(思考、乘方法则、例5); P150 为练习; P150-P151 为习题18.2。 本节是全章运算的关键: 分式的乘除是后续分式其他运算的基础, 运算中反复用到的"分解因式、约分、化成最简分式或整式"也是本章运算的核心动作。因此本节既要让学生"会算", 更要让学生"按依据算、按顺序算"。 【学情分析】 学生的有利条件是: 对分数的乘除法非常熟练, 在 18.1 已掌握分式的基本性质、约分与最简分式, 在第十六、十七章已学过幂的运算与因式分解, 具备"类比—迁移"的丰富经验。困难集中在四处: ① 单项式的乘除中系数与字母的约分不彻底, 结果不是最简分式; ② 分子、分母是多项式时, 不先分解因式就"约项"; ③ 乘除混合运算时把后面的乘法先算, 打乱从左到右的顺序; ④ 分式乘方时漏掉系数的乘方, 或符号判断错误。 【教学目标】 ① 理解并掌握分式的乘法法则与除法法则, 能熟练进行分式的乘除运算; ② 会进行分子、分母含多项式的分式乘除运算, 掌握"先分解因式、再约分"的方法; ③ 理解分式乘方的意义, 掌握乘方法则 = /, 会进行分式的乘方运算; ④ 掌握分式乘除、乘方混合运算的顺序(先乘方、再乘除、同级运算从左到右), 能正确确定结果的符号, 并把结果化成最简分式或整式; ⑤ 经历类比分数的运算研究分式运算的过程, 体会类比思想与转化思想, 发展运算能力与应用意识。 【重难点】 教学重点: 分式的乘法法则、除法法则与乘方法则, 分式的乘除、乘方混合运算。教学难点: 分子、分母是多项式时先分解因式再约分; 乘除混合运算的运算顺序与结果符号的确定。 【教学策略】 采用"情境列式 — 类比猜想 — 法则归纳 — 例题示范 — 变式辨析 — 综合应用"六环节教学法。用"长方体容器、拖拉机耕地"两个情境把"式"还原成数量关系; 用一张"分数与分式乘除对照卡"把相同点、不同点并置呈现; 用"一变、二分、三约、四算"四字口诀把运算过程变成可复述的动作; 用找错活动集中突破"不分解因式就约项""运算顺序颠倒""乘方漏乘系数与符号"三类典型错误。 【课时建议】 本节建议 2 课时, 具体安排见下表。每课时 40 分钟, 新授约 25 分钟, 巩固与作业约 15 分钟。 课时 内容 课本页码 核心要点 第 1 课时 18.2.1 分式的乘法与除法 P146-P148 情境列式 → 乘除法则 → 例1(单项式) → 例2(多项式) → 例3(实际应用) → 练习 第 2 课时 18.2.2 分式的乘方与乘除混合运算 P148-P150 乘除混合运算 → 例4 → 乘方法则 → 例5 → 练习 【教学准备】 多媒体课件; "分数与分式乘除对照卡"; 分解因式的复习卡片(提公因式、平方差、完全平方); 彩笔用于框出公因式与约分痕迹。 二 教学过程 第 1 课时 · 18.2.1 分式的乘法与除法 一、情境引入(5分钟) 【情境】从长方体容器、拖拉机耕地两个情境列式, 感受分式的乘除运算。 图 18.2-1 分式乘除的两个情境 【教师活动】 出示两个情境, 提问: 怎样用含字母的式子表示这些数量关系? 其中出现了怎样的运算? 【学生活动】 独立列式: 容器的高为 V/(ab), 水面高度为 V/(ab) × m/n; 大拖拉机工作效率 a/m, 小拖拉机工作效率 b/n, 大的是小的 a/m ÷ b/n 倍。 【关键提示】 列出的式子都含有分式的乘除 — 分式的乘除该怎样计算? 分数的乘除我们很熟悉, 可以类比着研究。 【预设与对策】 可能有学生把 a/m ÷ b/n 与 a/m × b/n 混为一谈。对策: 先回忆"除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数", 为下面的法则作铺垫。 二、法则探究(7分钟) 【教师活动】 复习分数的乘除法法则, 引导类比猜想分式的乘除法法则。 图 18.2-2 分式的乘法法则与除法法则 【板演】 板书: a/b × c/d = (a×c)/(b×d); a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c)。 【学生活动】 用语言复述法则: 分式乘分式, 用分子的积作为积的分子、分母的积作为积的分母; 分式除以分式, 把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 【关键提示】 除法记"一变一倒": 变除法为乘法, 把除式的分子、分母颠倒位置。若除式是整式, 先把它的分母看成 1; 运算结果要化成最简分式或整式。 【预设与对策】 常见误解: ① 把除法法则记成"把被除式的分子、分母颠倒"; ② 忘记把结果化到最简。对策: 用"除式颠倒"四个字反复强调, 并在每道题后追问一句"结果是最简分式吗"。 三、例题示范(14分钟) 【教师活动】 板演例1, 示范分子、分母是单项式的分式乘除。 图 18.2-3 例1 分式的乘除 (课本 P146) 【板演】 例1(1) 4x/(3y) × y/() = (4x×y)/(3y×) = (4xy)/(y) = 2/(); (2) /() ÷ (-)/(4cd) = /() × (4cd)/(-) = -(×4cd)/(×) = -2bd/(5ac)。 【教师活动】 追问: 为什么(2)的结果带负号? 约分时先约什么、后约什么更简便? 【学生活动】 口答: 负号来自除式的分子 -; 先约系数、再约相同字母(取最低次幂)比较简便。 【关键提示】 先约分再相乘, 可以避免分子、分母变得很复杂; 结果的符号要一步到位。 四、例题示范(12分钟) 【教师活动】 板演例2、例3, 示范多项式乘除与实际应用。 图 18.2-4 例2 分子、分母含多项式的乘除 (课本 P147) 【板演】 例2(1) (-4a+4)/(-2a+1) × (a-1)/(-4) = ()/() × (a-1)/((a-2)(a+2)) = ((a-1))/((a-2)(a+2)) = (a-2)/((a-1)(a+2)); (2) 1/(49-) ÷ 1/(-7m) = 1/((7-m)(7+m)) × m(m-7) = -(m(m-7))/((m-7)(7+m)) = -m/(7+m)。 【教师活动】 强调: 分子、分母是多项式时, 通常先分解因式, 再约分。 【预设与对策】 常见错误: 直接把分子、分母中的相同项"约掉"。对策: 在每道题前固定追问一句"分子、分母能分解因式吗", 并用彩笔框出公因式。特别提醒 m-7 与 7-m 互为相反数, 约分后要保留负号。 图 18.2-5 例3 "丰收1号"与"丰收2号" (课本 P147, 对应课本图18.2-1) 【板演】 例3(1) "丰收1号"试验田面积 (-1) , 单位面积产量 500/(-1) kg/; "丰收2号"试验田面积 , 单位面积产量 500/ kg/; 因为 a>1 时 < -1, 所以 500/ > 500/(-1), "丰收2号"的单位面积产量高。(2) 500/ ÷ 500/(-1) = 500/ × (-1)/500 = ((a+1)(a-1))/ = (a+1)/(a-1), 即"丰收2号"是"丰收1号"的 (a+1)/(a-1) 倍。 【学生活动】 独立写出(2)的计算过程, 同桌互查, 指名板演。 【关键提示】 实际问题的最后一步常常是"分式的除法", 列式时要先分清谁是"高的"、谁是"低的"。 五、巩固与练习(10分钟) 【学生活动】 完成课堂练习(对应课本 P148 练习)。 图 18.2-6 课堂练习: 分式的乘除 (对应课本 P148 练习) 【学生活动】 第1题、第2题独立完成, 四人小组互批; 第3题先回忆"整式的分母是 1"; 第4题先列式再计算。 【找错活动】 预判错误: ① (3x)/(4y) × (8y)/() 只约了系数, 忘了约字母 — 应得 2/(3x); ② (-9)/(+6x+9) × (x+3)/(x-1) 中把 直接约掉 — 要先分解因式; ③ b ÷ (2a)/(3b) 忘记把整式 b 的分母看成 1。对策: 每题都在草稿上写出"分解因式"与"约分痕迹"两步再落笔。 六、小结与作业(3分钟) 【学生活动】 口述分式的乘法法则与除法法则。 【课堂小结】 分式的乘法: 分子乘分子、分母乘分母; 分式的除法: 一变一倒(变除为乘, 除式颠倒)。分子、分母是多项式时要先分解因式, 结果要化成最简分式或整式。 【作业布置】 课堂练习与课本 P148 练习整理到作业本; 预习 P148-P150 分式的乘方与乘除混合运算, 思考 应该怎样计算。 第 2 课时 · 18.2.2 分式的乘方与乘除混合运算 一、复习引入(4分钟) 【教师活动】 复习分式的乘除法则, 提出三个分式连乘除的问题。 【学生活动】 回顾: a/b × c/d = (a×c)/(b×d); a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c)。 【教师活动】 追问: 式子 (2x)/(5x-3) ÷ 3/(-9) × x/(5x+3) 里既有乘又有除, 应该按什么顺序算? 图 18.2-7 分式的乘除混合运算 【板演】 板书: 分式的乘除混合运算, 一般先依据法则把乘除统一成乘法, 再按从左到右的顺序计算; 分子、分母是多项式时先分解因式, 能约分的先约分。 【关键提示】 同级运算必须从左到右, 不能先算后面的乘法。 【预设与对策】 常见错误: 把 a ÷ b × (1/b) 算成 a ÷ 1 = a。对策: 用"先变除为乘、再从左到右"两句话把顺序固定下来。 二、例题示范: 混合运算(9分钟) 【教师活动】 板演例4, 示范乘除混合运算。 图 18.2-8 例4 分式的乘除混合运算 (课本 P149) 【板演】 例4 (2x)/(5x-3) ÷ 3/(-9) × x/(5x+3) = (2x)/(5x-3) × ((5x+3)(5x-3))/3 × x/(5x+3) = (2x×x)/3 = ()/3。 【教师活动】 追问: -9 是怎样变成 (5x+3)(5x-3) 的? 为什么要先把除法变成乘法再约分? 【学生活动】 口答: 用平方差公式分解因式; 变成乘法后可以整体约分, 减少运算量。 【找错活动】 预判错误: 先算后面的乘法 (3/(-9) × x/(5x+3)), 再与前面相除 — 运算顺序错误, 结果完全不同。对策: 先把三个分式全部写成乘法形式, 再一次性约分。 三、法则探究: 分式的乘方(7分钟) 【教师活动】 由分数的乘方与分式的乘法法则, 归纳分式的乘方法则。 图 18.2-9 分式的乘方法则 【教师活动】 提问: 等于多少? 表示几个 a/b 相乘? 由分式的乘法法则能得出什么结论? 【学生活动】 独立计算后归纳: = / (n 是正整数, B≠0)。用文字说: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 【板演】 板书: 一般地, = (A×A×...×A)/(B×B×...×B) = /, 其中 n 为正整数, B≠0。 【关键提示】 分子、分母乘方时要带上括号, 系数与符号都要参与乘方; 负数的偶次幂为正、奇次幂为负。 【预设与对策】 常见错误: 写成 ()/(), 漏掉系数 2 的乘方。对策: 把 与 并排板书对比, 一次讲清"括号里的是一个整体"。 四、例题示范: 乘方与混合(10分钟) 【教师活动】 板演例5, 示范乘方与乘除的混合运算。 图 18.2-10 例5 分式的乘方与混合运算 (课本 P149) 【板演】 例5(1) = / = ()/(); (2) ÷ (2a)/() × = ()/(-) × ()/(2a) × ()/() = -()/()。 【教师活动】 归纳运算顺序: 先乘方, 再乘除; 同级运算从左到右; 结果化到最简。 【学生活动】 独立完成(1), 小组内互相检查符号与指数。 【找错活动】 预判错误: ① 乘方时漏乘系数, 写成 ; ② 的负号处理错误; ③ 把 与 × 混为一谈。对策: 乘方写一步、指数运算核对一步。 五、巩固与练习(10分钟) 【学生活动】 完成课堂练习(对应课本 P150 练习)。 图 18.2-11 课堂练习: 乘方与乘除混合运算 (对应课本 P150 练习) 【学生活动】 第1-3题独立完成, 指名板演; 第4题先化简再代入, 代入前检查原式中每个分式是否都有意义; 第5题先化成乘法再约分。 【找错活动】 预判错误: ① 化简求值题直接把 x 的值代入原式, 计算量大且易错 — 应先化简再代入; ② 代入时忽略原式中分母不能为 0 的限制。 六、小结与作业(2分钟) 【学生活动】 复述乘方法则与混合运算的顺序。 【课堂小结】 分式的乘方: 分子、分母分别乘方; 混合运算: 先乘方, 再乘除, 同级运算从左到右; 多项式先分解因式, 结果化到最简。 【作业布置】 课堂练习与课本 P150 练习整理到作业本; 完成课本 P150-P151 习题18.2, 详见第七部分作业布置。 三 方法对比与易错辨析 图 18.2-12 分式乘除运算的一般步骤 把分式的乘除运算拆成"一变、二分、三约、四算"四步, 可以让运算过程"步步有依据"。同一次运算中, 除法一定要先变成乘法, 分子、分母中的多项式一定要先分解因式, 最后再用分子乘分子、分母乘分母。 图 18.2-13 分数与分式乘除的对比 分数与分式的乘除在法则上完全一致, 区别只在"数"与"式": 分数的分子、分母都是整数, 约分时约去公因数; 分式的分子、分母是整式, 含多项式时要先分解因式, 约分时约去公因式。下表可作为板书或复习卡使用。 比较对象 相同点 不同点 分数与分式的乘除 法则相同: 分子乘分子、分母乘分母; 除法都"变乘倒除" 分数的分子、分母是整数, 约分约去公因数; 分式的分子、分母是整式, 含多项式时要先分解因式, 约分约去公因式 乘除与乘方 都依据分式的乘法法则 除法要转化为乘法; 乘方是 n 个相同分式相乘, 把分子、分母分别乘方 图 18.2-14 三类典型易错点警示 三类典型错误必须在课堂上当场纠正: ① 运算顺序颠倒, 把后面的乘法先算; ② 不先分解因式就"约项", 如把 (-9)/(+6x+9) 中的 直接约掉; ③ 乘方时漏掉括号与符号, 如把 写成 ()/()。 图 18.2-15 18.2 分式的乘法与除法 知识结构 四 分层巩固训练(A/B/C, 与《学生用书》同题) 说明: 以下 A、B、C 三组为教师根据本节知识范围自编的分层训练题, 与《学生用书》逐题一致, 便于配套发用。课本练习与习题另见第七部分作业布置。 A 组(基础过关, 全体学生) 1. 计算: (1) (4a)/(3b) × ()/(); (2) ()/(5y) ÷ (6x)/()。 2. 计算: (1) (-2x)/(-1) × (x+1)/x; (2) (-1)/(+2a) × a/(a-1)。 3. 计算(乘方): (1) ; (2) 。 4. 计算(乘除混合): ()/n ÷ m/() × n/m。 5. 一个长方体的体积为 , 底面的长为 3a, 宽为 b, 用含 a、b 的式子表示它的高。 B 组(提高拓展, 中等及以上学生) 1. 计算: × 。 2. 计算: ÷ ()/()。 3. 计算: (-2xy+)/(y) ÷ (x-y)/x。 4. 先化简, 再求值: (-1)/(+2x) × (2x)/(x-1), 其中 x = 3。 C 组(挑战, 学有余力学生) 1. 已知 a/b = 2, 求 (-ab)/(ab+) 的值。 2. 计算: ÷ ()/() × ()/()。 3. 计算: ÷ × b/(2a)。 4. 一块长方形铁皮的面积为 (-) (a>b>0), 用它剪出一个边长为 (a-b) 的正方形, 最多能剪出多少个这样的正方形? 五 课堂小结 【学生说, 教师补】 请学生用自己的话回答下列问题, 教师用板书补全: 1. 分式的乘法法则是什么? ——分式乘分式, 用分子的积作为积的分子, 分母的积作为积的分母, 即 a/b × c/d = (a×c)/(b×d)。 2. 分式的除法法则是什么? ——分式除以分式, 把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘, 即 a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c)。 3. 分式的乘方法则是什么? —— = / (n 为正整数, B≠0), 就是把分子、分母分别乘方。 4. 分式乘除、乘方的混合运算按什么顺序进行? ——先乘方, 再乘除; 同级运算从左到右; 有括号先算括号内的。 5. 运算中有哪些必须养成的习惯? ——分子、分母是多项式时先分解因式, 能约分的先约分, 结果化成最简分式或整式。 【方法提炼表】 见第三部分图 18.2-15 与对比表, 可让学生抄写到笔记本上作为本章运算的方法索引。 六 板书设计 【主板书(随课时推进书写顺序)】 课题: 18.2 分式的乘法与除法 课时 1 分式的乘法与除法: (1) 情境: 容器的高 V/(ab); 水面高度 V/(ab) × m/n; 拖拉机效率 a/m ÷ b/n (2) 乘法法则: a/b × c/d = (a×c)/(b×d) (3) 除法法则: a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c) — "一变一倒" (4) 例1: 4x/(3y) × y/() = 2/(); /() ÷ (-)/(4cd) = -2bd/(5ac) (5) 例2: (-4a+4)/(-2a+1) × (a-1)/(-4) = (a-2)/((a-1)(a+2)); 1/(49-) ÷ 1/(-7m) = -m/(7+m) (6) 例3: "丰收2号"单位面积产量高, 是"丰收1号"的 (a+1)/(a-1) 倍 课时 2 分式的乘方与乘除混合运算: (1) 混合运算: 先把除法变乘法, 统一成乘法, 再从左到右 (2) 例4: (2x)/(5x-3) ÷ 3/(-9) × x/(5x+3) = ()/3 (3) 乘方法则: = / (n 为正整数, B≠0) (4) 例5: = ()/(); ÷ (2a)/() × = -()/() 【副板书(学生板演 / 错例纠正 / 对照卡)】 错例栏: 错例 1: a ÷ b × (1/b) = a ÷ 1 = a → 先算了后面的乘法, 运算顺序错误 错例 2: (-9)/(+6x+9) = 1/(6x+9) → 未分解因式就"约项", 应为 (x-3)/(x+3) 错例 3: = ()/() → 系数 2 没有乘方, 应为 ()/() 错例 4: (3x)/(4y) × (8y)/() = 2/() → 字母约分不彻底, 应为 2/(3x) 公式对照栏: 分数的乘除: a/b × c/d = (a×c)/(b×d); a/b ÷ c/d = (a×d)/(b×c) 分式的乘除: 与分数完全相同, 只是约分时约去的是公因式 分式的乘方: = /, 分子、分母分别乘方 七 作业布置(真实还原《习题18.2》P150-P151, 2024版) 【基础层(必做, 所有学生)】 1. 课本 P148 练习(对应第 1 课时); 2. 课本 P150 练习(对应第 2 课时)。 【巩固层(必做, 中等及以上学生) — 课本 P150 习题18.2 复习巩固 第 1-4 题】 第 1 题(计算): (1) (6ab)/() × (10c)/(3b); (2) (-7x)/(3yz) × (-)/(); (3) (2m)/(5n) ÷ ()/(); (4) x/(5y) ÷ (-)/()。 第 2 题(计算): (1) (4a+4b)/(5ab) × (b)/(-); (2) (-)/(+4x+4) × (x+2)/(+6xy); (3) (+1)/(x-6) × (-36)/(+x); (4) (-)/(-4xy) ÷ (x+y)/(5x-4y)。 第 3 题(计算): (1) ; (2) 。 第 4 题(计算): (1) (b)/() × (d)/() ÷ (2abc)/(3d); (2) (81-)/(+6a+9) ÷ (a-9)/(2a+6) × (a+3)/(a+9); (3) × ÷ ; (4) ÷ × a/(5b)。 【综合层(选做, 学有余力学生) — 课本 P151 习题18.2 综合运用 第 5-9 题】 第 5 题(先化简, 再求值): (1) (a-2)/(a+1) × (-1)/(-4a+4) ÷ 1/(-4), 其中 a=3; (2) (x+y)/() ÷ ÷ 1/, 其中 x=, y=。 第 6 题: 如图, 有甲、乙两个花坛(阴影部分), 分别在这两个花坛中均匀播种 m 颗花种, 哪一个花坛的撒播密度大?(撒播密度 = 花种数量 ÷ 撒播面积) 第 7 题: 一艘船顺流航行 n km 用了 m h, 如果逆流航速是顺流航速的 p/q, 那么这艘船逆流航行 t h 走了多少路程? 第 8 题: 在一块 a 的稻田上插秧, 如果 10 个人插秧, 要用 m 天完成; 如果一台插秧机工作, 要比 10 个人插秧提前 3 天完成。一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍? 第 9 题: 在调配饮料时, 需要考虑不同原料的质量配比。如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg, 甲、乙两种原料的配比是 x:y, 那么需要甲原料多少千克? 图 18.2-16 习题18.2 第4(1)、7、8题的解答 【拓广层(挑战, 尖子生) — 课本 P151 习题18.2 拓广探索 第 10 题】 第 10 题: 观察周边生活或查阅书籍, 设计一个运用分式乘除运算的实际问题, 并给出解答。 八 教学反思 本节教学的亮点是用"长方体容器、拖拉机耕地"两个情境把抽象的分式乘除还原成真实的"数量关系", 学生列式自然, 对分式的乘除产生了计算需求; 一张"分数与分式乘除对照卡"把相同点、不同点并置呈现, 类比迁移顺理成章; "一变、二分、三约、四算"四字口诀把运算过程变成了可复述的动作, 课堂反馈良好。 预设改进点: ① 单项式分式的乘除, 学生容易"只约系数、忘约字母"。建议在板书中固定写出"系数取最大公约数、相同字母取最低次幂"两行提示, 并要求每道题都在草稿上留下约分痕迹。 ② "分子、分母是多项式时先分解因式"是本节的难点。建议把 (-9)/(+6x+9) 作为标准范例写进错例栏, 并让学生反复对照"分解前"与"分解后"的差别。 ③ 乘除混合运算的顺序错误率较高, 根源是"看见乘法就想先算"。建议固定动作: 先把所有除法写成乘法, 再一次性约分, 最后相乘。 ④ 乘方是本节的第二个易错点, 漏乘系数、符号判断错误居多。建议把 与 、 与 ()/() 并排板书对比。 ⑤ 实际问题(例3 与习题18.2 第6-9题)的关键是"先列式、再计算、最后回到实际作答"。建议在讲评时留出一栏"列式—计算—作答"的三步格式, 让学生养成规范。 后续衔接: 本节之后, 第十八章还将在本节的基础上继续学习分式的其他运算。后面的运算都离不开通分与约分, 而通分与约分都依据分式的基本性质; 本节打牢的"分解因式 + 约分 + 化成最简"的基本功, 将在后面的学习中反复使用。 九 参考答案 第 1 课时 课本 P146-P148 例题与练习 例 1: (1) 2/(); (2) -2bd/(5ac)。 例 2: (1) (a-2)/((a-1)(a+2)); (2) -m/(7+m)。 例 3: (1) "丰收2号"的单位面积产量高; (2) 高的单位面积产量是低的 (a+1)/(a-1) 倍。 课堂练习(对应 P148 练习): 1. (1) 2/(3x); (2) (ac)/4。2. (1) (x-3)/(x-1); (2) 1。3. (1) ; (2) xy。4. ÷ (3a×b) = b。 第 2 课时 课本 P148-P150 例题与练习 例 4: ()/3。 例 5: (1) ()/(); (2) -()/()。 课堂练习(对应 P150 练习): 1. (1) 1; (2) 2。2. -()/(3y)。3. x/y。4. 1。5. 。 《习题18.2》(课本 P150-P151) 参考答案 第 1 题: (1) 4a/c; (2) 21y/(xz); (3) /m; (4) -y/(4x)。 第 2 题: (1) 12a/(a-b); (2) (x-2y)/(3x(x+2)); (3) (x+6)/x; (4) (y-x)/x。 第 3 题: (1) -/(); (2) /。 第 4 题: (1) 5/(); (2) -2; (3) /(); (4) 5/(4ab)。 第 5 题: (1) 原式 = +a-2, 当 a=3 时原式 = 10; (2) 原式 = x/(2x+2y), 当 x=, y= 时原式 = 。 第 6 题: 甲花坛的撒播密度是 m/(-), 乙花坛的撒播密度是 4m/; 由题图中 a、b 的大小关系可知甲花坛的撒播密度大。 第 7 题: 顺流速度为 n/m km/h, 逆流速度为 p/q × n/m = np/(mq) km/h, 逆流航行 t h 的路程为 npt/(mq) km。 第 8 题: 一个人的工作效率为 a/(10m), 插秧机的工作效率为 a/(m-3), a/(m-3) ÷ a/(10m) = 10m/(m-3), 即插秧机是一个人的 10m/(m-3) 倍。 第 9 题: 需要甲原料 x/(x+y) kg。 第 10 题: 答案不唯一。例如: 某长方形的面积为 (-) , 宽为 (a-b) m, 则长为 (-) ÷ (a-b) = a+b (m)。 A 组基础 参考答案 1. (1) (3b)/(2a); (2) (5xy)/2。 2. (1) (x-2)/(x-1); (2) (a+1)/(a+2)。 3. (1) ()/(); (2) -()/()。 4. 。 5. 高为 ÷ (3a×b) = b。 B 组提高 参考答案 1. × = ()/() × ()/() = (2ab)/3。 2. ÷ ()/() = -()/() × ()/() = -1/(2a)。 3. (-2xy+)/(y) ÷ (x-y)/x = ()/(y) × x/(x-y) = (x-y)/(xy)。 4. (-1)/(+2x) × (2x)/(x-1) = ((x-1)(x+1))/(x(x+2)) × (2x)/(x-1) = 2(x+1)/(x+2); 当 x=3 时, 原式 = 。 C 组挑战 参考答案 1. 由 a/b = 2 得 a = 2b, 原式 = (-ab)/(ab+) = (a(a-b))/(b(a+b)) = 2 × (2-1)/(2+1) = 。 2. 原式 = ()/() × ()/() × ()/() = ()/()。 3. 原式 = ()/() × ()/() × b/(2a) = ()/8。 4. (-) ÷ = ((a+b)(a-b))/() = (a+b)/(a-b), 所以个数为 (a+b)/(a-b)。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.2 分式的乘法与除法(学生用书) 18.2 分式的乘法与除法 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十八章 分式 · 2课时 · 配套《教师讲义》使用 一、学习目标 1. 理解并掌握分式的乘法法则与除法法则, 会进行分式的乘除运算。 2. 会进行分子、分母含多项式的分式乘除运算, 掌握"先分解因式、再约分"的方法。 3. 理解分式乘方的意义, 掌握乘方法则 = /, 会进行分式的乘方运算。 4. 掌握分式乘除、乘方混合运算的顺序, 能正确确定结果的符号, 并把结果化成最简分式或整式。 5. 经历类比分数的运算研究分式运算的过程, 体会类比、转化思想, 提高运算能力。 学习提示: 本节是第十八章运算的起点。请务必抓住两条主线 — 一是"除法先变乘法、除式颠倒分子分母"这一动作, 二是"分子分母是多项式时先分解因式、能约分的先约分、结果化成最简分式或整式"这一习惯。 二、预习导航 请先阅读课本 P146-P150, 再完成下面的填空。 1. 类似于分数, 分式的乘法法则: 分式乘分式, 用____的积作为积的分子, ____的积作为积的分母。 2. 分式的除法法则: 分式除以分式, 把____的分子、分母____位置后, 与被除式相乘。 3. 用式子表示上面两个法则: a/b × c/d = ____; a/b ÷ c/d = a/b × ____ = ____。 4. 分子、分母是多项式时, 通常先____, 再____; 运算结果应化为____或整式。 5. 分式乘方要把____、____分别乘方, 即 = ____ (n 为正整数, B≠0)。 6. 分式的乘除、乘方混合运算, 运算顺序是: 先____, 再____; 同级运算从____到右。 预习自测: 计算 (1) (2x)/(3y) × ()/() = ____; (2) = ____。 三、课内探究 第 1 课时 · 18.2.1 分式的乘法与除法 活动一 情境列式(填空) (1) 长方体的容积为 V, 底面的长为 a、宽为 b, 则容器的高为____; 当容器内的水占容积的 m/n 时, 水面的高度为____。 (2) 大拖拉机 m 天耕地 a , 小拖拉机 n 天耕地 b , 大拖拉机的工作效率是____, 小拖拉机的工作效率是____, 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的____倍。 图 18.2-1 分式乘除的两个情境 思考: 上面列出的式子都含有分式的乘除, 应当怎样计算? 与我们学过的分数的乘除有什么联系? 我的作答: 活动二 归纳乘除法则(填空) 分式的乘法法则: 分式乘分式, 用____的积作为积的分子, ____的积作为积的分母。 分式的除法法则: 分式除以分式, 把____的分子、分母____位置后, 与被除式相乘。 符号表示: a/b × c/d = ____; a/b ÷ c/d = a/b × ____ = ____。 图 18.2-2 分式的乘法法则与除法法则 想一想: 除式是整式时怎么办? ____。运算结果应化为____。 我的作答: 活动三 例题研习(课本 P146 例1) 例1 计算: (1) 4x/(3y) × y/() = ____; (2) /() ÷ (-)/(4cd) = ____。 图 18.2-3 例1 分式的乘除 (课本 P146) 我的作答: 活动四 例题研习(课本 P147 例2) 例2 计算: (1) (-4a+4)/(-2a+1) × (a-1)/(-4) = ____; (2) 1/(49-) ÷ 1/(-7m) = ____。 【思路提示】分子、分母是多项式时, 通常先分解因式, 再约分; 注意 m-7 与 7-m 互为相反数。 图 18.2-4 例2 分子、分母含多项式的乘除 (课本 P147) 我的作答: 活动五 例题研习(课本 P147 例3) 例3 "丰收1号"试验田是边长为 a m (a>1) 的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分; "丰收2号"试验田是边长为 (a-1) m 的正方形。两块试验田都收获了 500 kg 小麦。 (1) 哪种小麦的单位面积产量高? (2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 图 18.2-5 例3 "丰收1号"与"丰收2号" (课本 P147) 我的作答: 活动六 当堂练习(对应课本 P148 练习) 1. 计算: (1) (3x)/(4y) × (8y)/() = ____; (2) (b)/(6c) ÷ (10ab)/() = ____。 2. 计算(分子、分母是多项式, 先分解因式): (1) (-9)/(+6x+9) × (x+3)/(x-1) = ____; (2) (-4)/(+2a) ÷ (a-2)/a = ____。 3. 计算(整式与分式的乘除): (1) b ÷ (2a)/(3b) = ____; (2) ()/y × ()/x = ____。 4. 一个长方体的体积为 , 底面的长为 3a, 宽为 b, 用含 a、b 的式子表示它的高。 图 18.2-6 课堂练习: 分式的乘除 (对应课本 P148 练习) 我的作答: 第 2 课时 · 18.2.2 分式的乘方与乘除混合运算 活动一 乘除混合运算(填空) 分式的乘除混合运算, 一般先依据法则把乘除统一成____运算, 再按从____到右的顺序计算; 分子、分母是多项式时先____, 能约分的先____。 图 18.2-7 分式的乘除混合运算 辨一辨: 计算 a ÷ b × (1/b) 时, 应当先算____, 再算____, 结果是____。 我的作答: 活动二 例题研习(课本 P149 例4) 例4 计算: (2x)/(5x-3) ÷ 3/(-9) × x/(5x+3) = ____。 【思路提示】乘除混合运算统一为乘法运算, 再约分; -9 先用平方差公式分解因式。 图 18.2-8 例4 分式的乘除混合运算 (课本 P149) 我的作答: 活动三 分式的乘方法则(填空) 算一算: = ____; = ____; 一般地, = ____ (n 为正整数, B≠0)。 文字表述: 分式乘方要把____、____分别乘方。 图 18.2-9 分式的乘方法则 想一想: 等于 ()/() 吗? ____; 为什么? ____。 我的作答: 活动四 例题研习(课本 P149 例5) 例5 计算: (1) = ____; (2) ÷ (2a)/() × = ____。 【思路提示】先乘方, 再乘除; 分子、分母乘方时要带上括号, 系数与符号都要参与乘方。 图 18.2-10 例5 分式的乘方与混合运算 (课本 P149) 我的作答: 活动五 当堂练习(对应课本 P150 练习) 1. 计算: (1) (-9)/(+6a+9) ÷ (a-3)/(a+3) = ____; (2) (+2xy+)/(-) × (2x-2y)/(x+y) = ____。 2. 计算: ÷ ()/() = ____。 3. 计算: ()/() × ()/() ÷ y/() = ____。 4. 先化简, 再求值: (-4)/(+4x+4) ÷ (x-2)/(x+2), 其中 x = 1。 5. 已知 x/y = 3, 求 (-)/(+xy) 的值。 图 18.2-11 课堂练习: 乘方与乘除混合运算 (对应课本 P150 练习) 我的作答: 四、分层训练(A/B/C, 与《教师讲义》同题) 说明: 以下 A、B、C 三组与《教师讲义》第四部分逐题一致, 请在留白处作答; 答案见文末参考答案。 A 组(基础过关, 全体学生) 1. 计算: (1) (4a)/(3b) × ()/() = ____; (2) ()/(5y) ÷ (6x)/() = ____。 2. 计算: (1) (-2x)/(-1) × (x+1)/x = ____; (2) (-1)/(+2a) × a/(a-1) = ____。 3. 计算(乘方): (1) = ____; (2) = ____。 4. 计算(乘除混合): ()/n ÷ m/() × n/m = ____。 5. 一个长方体的体积为 , 底面的长为 3a, 宽为 b, 用含 a、b 的式子表示它的高。 我的作答: B 组(提高拓展, 中等及以上学生) 1. 计算: × = ____。 2. 计算: ÷ ()/() = ____。 3. 计算: (-2xy+)/(y) ÷ (x-y)/x = ____。 4. 先化简, 再求值: (-1)/(+2x) × (2x)/(x-1), 其中 x = 3。 我的作答: C 组(挑战, 学有余力学生) 1. 已知 a/b = 2, 求 (-ab)/(ab+) 的值。 2. 计算: ÷ ()/() × ()/() = ____。 3. 计算: ÷ × b/(2a) = ____。 4. 一块长方形铁皮的面积为 (-) (a>b>0), 用它剪出一个边长为 (a-b) 的正方形, 最多能剪出多少个这样的正方形? 我的作答: 五、课堂小结 图 18.2-12 分式乘除运算的一般步骤 1. 分式的乘法法则: 分式乘分式, 用分子的积作为积的____, 分母的积作为积的____。 2. 分式的除法法则: 分式除以分式, 把除式的分子、分母____位置后, 与被除式相乘。 3. 分式的乘方法则: = ____ (n 为正整数, B≠0)。 4. 混合运算的顺序: 先____, 再____; 同级运算从____到右。 5. 运算的习惯: 分子、分母是多项式时先____, 能约分的先____, 结果化成____或整式。 图 18.2-13 分数与分式乘除的对比 图 18.2-15 18.2 分式的乘法与除法 知识结构 六、课后作业(课本《习题18.2》P150-P151) 说明: 以下题目完整取自课本《习题18.2》, 请在留白处完成全部过程; 答案见文末参考答案。 复习巩固 第 1 题 计算: (1) (6ab)/() × (10c)/(3b); (2) (-7x)/(3yz) × (-)/(); (3) (2m)/(5n) ÷ ()/(); (4) x/(5y) ÷ (-)/()。 第 2 题 计算: (1) (4a+4b)/(5ab) × (b)/(-); (2) (-)/(+4x+4) × (x+2)/(+6xy); (3) (+1)/(x-6) × (-36)/(+x); (4) (-)/(-4xy) ÷ (x+y)/(5x-4y)。 第 3 题 计算: (1) ; (2) 。 第 4 题 计算: (1) (b)/() × (d)/() ÷ (2abc)/(3d); (2) (81-)/(+6a+9) ÷ (a-9)/(2a+6) × (a+3)/(a+9); (3) × ÷ ; (4) ÷ × a/(5b)。 我的作答: 综合运用 第 5 题 先化简, 再求值: (1) (a-2)/(a+1) × (-1)/(-4a+4) ÷ 1/(-4), 其中 a=3; (2) (x+y)/() ÷ ÷ 1/, 其中 x=, y=。 第 6 题 如图, 有甲、乙两个花坛(阴影部分), 分别在这两个花坛中均匀播种 m 颗花种, 哪一个花坛的撒播密度大?(撒播密度 = 花种数量 ÷ 撒播面积) 第 7 题 一艘船顺流航行 n km 用了 m h, 如果逆流航速是顺流航速的 p/q, 那么这艘船逆流航行 t h 走了多少路程? 第 8 题 在一块 a 的稻田上插秧, 如果 10 个人插秧, 要用 m 天完成; 如果一台插秧机工作, 要比 10 个人插秧提前 3 天完成。一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍? 第 9 题 在调配饮料时, 需要考虑不同原料的质量配比。如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg, 甲、乙两种原料的配比是 x:y, 那么需要甲原料多少千克? 图 18.2-16 习题18.2 第4(1)、7、8题的解答 我的作答: 拓广探索 第 10 题 观察周边生活或查阅书籍, 设计一个运用分式乘除运算的实际问题, 并给出解答。 我的作答: 七、参考答案 【填空类】预习导航 1. 分子; 分母。 2. 除式; 颠倒。 3. (a×c)/(b×d); d/c; (a×d)/(b×c)。 4. 分解因式; 约分; 最简分式。 5. 分子; 分母; /。 6. 乘方; 乘除; 左。 预习自测: (1) (3y)/(2x); (2) ()/()。 【填空类】课内探究(各活动填空) 第1课时 活动一: (1) V/(ab); V/(ab) × m/n; (2) a/m; b/n; a/m ÷ b/n。 第1课时 活动二: 分子; 分母; 除式; 颠倒; (a×c)/(b×d); d/c; (a×d)/(b×c)。除式是整式时先把它的分母看成 1; 结果化为最简分式或整式。 第1课时 活动三: 例1 (1) 2/(); (2) -2bd/(5ac)。 第1课时 活动四: 例2 (1) (a-2)/((a-1)(a+2)); (2) -m/(7+m)。 第1课时 活动五: 例3 (1) "丰收2号"的单位面积产量高; (2) 高的单位面积产量是低的 (a+1)/(a-1) 倍。 第1课时 活动六: 1. (1) 2/(3x); (2) (ac)/4。2. (1) (x-3)/(x-1); (2) 1。3. (1) ; (2) xy。4. b。 第2课时 活动一: 乘法; 左; 分解因式; 约分。辨一辨: 先算 a ÷ b, 再乘 (1/b), 结果是 a/。 第2课时 活动二: 例4 ()/3。 第2课时 活动三: = ()/() = ; = ()/(); = /。分子; 分母。想一想: 不等于; 因为 (2a) 是一个整体, 乘方时系数 2 也要乘方, = ()/()。 第2课时 活动四: 例5 (1) ()/(); (2) -()/()。 第2课时 活动五: 1. (1) 1; (2) 2。2. -()/(3y)。3. x/y。4. 1。5. 。 【练习类】分层训练 A / B / C A 组: 1. (1) (3b)/(2a); (2) (5xy)/2。2. (1) (x-2)/(x-1); (2) (a+1)/(a+2)。3. (1) ()/(); (2) -()/()。4. 。5. b。 B 组: 1. (2ab)/3。2. -1/(2a)。3. (x-y)/(xy)。4. 2(x+1)/(x+2), 当 x=3 时值为 。 C 组: 1. 。2. ()/()。3. ()/8。4. (a+b)/(a-b) 个。 【练习类】课后作业《习题18.2》(课本 P150-P151) 第 1 题: (1) 4a/c; (2) 21y/(xz); (3) /m; (4) -y/(4x)。 第 2 题: (1) 12a/(a-b); (2) (x-2y)/(3x(x+2)); (3) (x+6)/x; (4) (y-x)/x。 第 3 题: (1) -/(); (2) /。 第 4 题: (1) 5/(); (2) -2; (3) /(); (4) 5/(4ab)。 第 5 题: (1) 原式 = +a-2, 当 a=3 时原式 = 10; (2) 原式 = x/(2x+2y), 当 x=, y= 时原式 = 。 第 6 题: 甲花坛的撒播密度是 m/(-), 乙花坛的撒播密度是 4m/; 由题图中 a、b 的大小关系可知甲花坛的撒播密度大。 第 7 题: 顺流速度为 n/m km/h, 逆流速度为 np/(mq) km/h, 逆流航行 t h 的路程为 npt/(mq) km。 第 8 题: 一个人的工作效率为 a/(10m), 插秧机的工作效率为 a/(m-3), 所以插秧机是一个人的 10m/(m-3) 倍。 第 9 题: 需要甲原料 x/(x+y) kg。 第 10 题: 答案不唯一。例如: 某长方形的面积为 (-) , 宽为 (a-b) m, 则长为 (-) ÷ (a-b) = a+b (m)。 学科网（北京）股份有限公司 $