上海市格致中学2026-2027学年度第一学期第一次测验高一年级数学试卷

格致中学二〇二六学年度第一学期第一次测验高一年级数学试卷–答案 班级________　姓名________　学号________　准考证号________ （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分） 1、不等式的解集为________。 【答案】 【解析】定义域为。分子零点为，分母零点为，分式在上为负；使分式为零，无定义。因此解集为。 2、已知，，则的取值范围为________。 【答案】 【解析】由，相加得。两变量独立变化：令，，，则遍历，两端不能取到。 3、已知一元二次方程的两个实数根分别为，若，则实数的值为________。 【答案】 【解析】由韦达定理，，，所以，得。此时判别式为，确有两个实根，满足题设。 4、全集为，，，则________。 【答案】 【解析】。由于且所有非负数均可写成平方，，故。取并集得；不属于并集，属于并集。 5、若，则的最小值为________。 【答案】 【解析】令，则。等号当即时成立，对应，故最小值为。 6、已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为________。 【答案】 【解析】第一条不等式的解集为，第二条为。两者无交点当且仅当。特别地，时第二条为严格不等式，仍无交点；时满足两条，故应排除。 7、若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为________。 【答案】 【解析】分子，故等价于分母对所有实数严格小于零。若，大绝对值时分母为正，不成立；若，分母恒为，成立。若，写成，最大值为，必须小于零，即。故范围为；时分母在处为零，不可取。 8、已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________。 【答案】 【解析】有界非空解集要求。分子、分母零点须为，且无穷远处符号须为负，所以。故，，得；代回原式确得。待解式为，定义域。移项得到，即，所以。 9、已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合的个数是________。 【答案】 【解析】倒数存在要求均不为零；三元子集要求三者互异。代入并乘以非零的，得到，化为。因，必须，继而。 令，则，其中为非零整数。元素绝对值不超过当且仅当，即。这些集合均有三个不同的非零元素且代回满足两式。 不会重复计数：三数成等差数列，按大小排序后中间元素唯一为，同一集合不能对应不同的。故共有个。 10、已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和” 。例如：对于集合，。则当时，集合的所有子集的交替和的总和为________。 【答案】 【解析】按每个元素对总和的贡献计数。对，将含的子集按是否含两两配对；添加或删除会使之前的元素个数改变一，从而使的符号相反，因此这些贡献抵消。 元素在所有含它的子集中都为最大元素，符号恒正，其余六个元素可任意选取，故贡献为。不含的子集中各较小元素的贡献也已纳入配对。故总和为。空集若规定交替和为零，不影响结果。 二、选择题（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分） 11、若，则“”是“”的（　　）条件。 A．充分非必要　B．必要非充分　C．充要　D．既非充分也非必要 【答案】A，充分非必要。 【解析】若，则，所以，充分性成立。反之取，有，但不成立，故非必要。选A。 12、用反证法证明结论“至少有一个是正数”时，应假设（　　）。 A．都是正数　B．都不是正数 C．至多有一个正数　D．至多有两个正数 【答案】B，三者都不是正数。 【解析】“至少存在一个正数”的否定是“三者均不是正数”，即。反证法应先假设结论的否定，故选B。 13、“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有广泛的应用。“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“”，满足以下条件： ①任意，有； ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使（为的单位元），称为的逆元； 此时称为一个群。 例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（　　）。 A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群（“”表示实数集上的乘法运算） D．，则为一个群（“”表示实数集上的乘法运算） 【答案】D。 【解析】A：有理数相加仍为有理数，结合律成立，单位元为，任意有理数的相反数唯一且仍为有理数，满足全部条件。 B：两元素相加对应整数系数相加，仍属于；结合律继承自实数加法，，相反数对应系数同时取负，仍在且唯一，满足全部条件。 C：两元素乘积仍为，结合律成立，单位元为，每个元素的乘法逆元就是自身，故为群。 D：虽乘法封闭、结合律成立且为单位元，但的乘法逆元为，条件④不成立，故错误的是D。 14、已知，若关于不等式的解集为（），则（　　）。 A．不存在有序数组，使得 B．存在唯一有序数组，使得 C．有且只有两组有序数组，使得 D．存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D。 【解析】给出无穷多组满足全部题设的参数即可判定。任取，设。定义域。 当，原不等式等价于两者交集为。 当，第一条不成立，因为分子为正、分母为负。因此没有负数解，完整解集恰为，满足及。不同的对应不同的有序数组，故有无穷多组，选D。 三、解答题（本题共有4大题，满分44分。解题时要有必要的解题步骤） 15、（本题共2小题，其中第1小题3分，第2小题5分，满分8分） 已知函数，。 （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式。 【答案】（1）；（2）时为；时为；时为。 【解析】（1）因式分解。给定负值区间有两个端点，故，且开口向上，即。另一根为，得。代回，负值区间确为。 （2）时开口向上，两根为与。当时，，解集为。 当时，恒成立，解集为。 当时，，解集为。非严格不等式的两个零点均保留。 16、（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题5分，满分10分） 若集合，。 （1）若，写出的子集个数； （2）若，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1），故。当时，，故。并集为，共有个子集，故答案为。 （2）等价于。定义的二次方程判别式为。 当时，无实根，，满足包含关系。当时，方程为，。 当时，方程有两个不同实根。若，则。由根和得到，但根积，矛盾。因此这一分支没有解。综上。 17、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分，满分12分） 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界。某公园受此启发打算设计一个人造花活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地块，十字形的面积为。计划在正方形上建一座花坛，造价为元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为元/，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元/。设长为（），总造价为元，求： （1）设长为（），用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价； （3）若总造价不超过元，求长的取值范围。 【答案】（1），；（2）时，总造价最低为元；（3）（米）。 【解析】（1）中心正方形边长为，四个相同的外围矩形边长为。十字形面积为，故。由得到；该范围内按此式所得均为正，设计可实现。 （2）四个空角均为两直角边长的直角三角形，合计面积为。总造价为。 代入面积关系和的表达式，得。 因，，故。等号要求，即，，位于设计范围内，且。因此最低造价为元。 （3）令。等价于，乘以并约去，得。所以，即。两端均在设计范围内，均对应，故保留端点。 18、（本题共3小题，其中第1小题3分，第2小题4分，第3小题7分，满分14分） 设为实数，集合。 （1）若，求集合； （2）若集合，求实数满足的条件； （3）设，当时，如果，，且集合均恰有两个元素，求三元数对。 【答案】（1）；（2），且或；（3）、、、。 【解析】（1）代入得到，因此，重根只记一个元素。 （2）线性因子必给出实根，故，即。二次因子不得有以外的实根：它可以没有实根，即；也可以仅有重根，此时，即。若有两个不同实根则必有另一个元素，不允许。上述两类代回均使，故为全部条件。 （3）因，两个多项式的常数项均非零，所有根都非零。记，，直接计算得。故。 由可知，再结合与元素恰有两个，得，相应。线性根只能为，故。 若二次因子有两个不同实根，则这两根只能为，由韦达定理得，两个均可，得到前两组。 若二次因子有重根，必须补上与线性根不同的那个元素：当时，线性根为，二次因子须为，得；当时，须为，得。若二次因子无实根，则只有一个元素，排除。 四组均满足，代回均得及，所以全部答案就是所列四组。 【复核记录】未提供独立参考答案，照片中的手写作答仅作比对材料。第9题按三元子集计数为1012，第10题总和为448，第14题为D；解析均已给出计数或满足题设的构造依据。第16题（2）须包含空集及重根情形，范围为。第18题（3）四组参数均已代回核验，证明覆盖全部分支。题图仅保留印刷内容，去除图外手写面积标注。 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二〇二六学年度第一学期第一次测验高一年级数学试卷 班级________　姓名________　学号________　准考证号________ （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分） 1、不等式的解集为________。 2、已知，，则的取值范围为________。 3、已知一元二次方程的两个实数根分别为，若，则实数的值为________。 4、全集为，，，则________。 5、若，则的最小值为________。 6、已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为________。 7、若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为________。 8、已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________。 9、已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合的个数是________。 10、已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”。例如：对于集合，。则当时，集合的所有子集的交替和的总和为________。 二、选择题（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分） 11、若，则“”是“”的（　　）条件。 A．充分非必要　B．必要非充分　C．充要　D．既非充分也非必要 12、用反证法证明结论“至少有一个是正数”时，应假设（　　）。 A．都是正数　B．都不是正数 C．至多有一个正数　D．至多有两个正数 13、“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有广泛的应用。“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“”，满足以下条件： ①任意，有； ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使（为的单位元），称为的逆元； 此时称为一个群。例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（　　）。 A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群（“”表示实数集上的乘法运算） D．，则为一个群（“”表示实数集上的乘法运算） 14、已知，若关于不等式的解集为（），则（　　）。 A．不存在有序数组，使得 B．存在唯一有序数组，使得 C．有且只有两组有序数组，使得 D．存在无穷多组有序数组，使得 三、解答题（本题共有4大题，满分44分。解题时要有必要的解题步骤） 15、（本题共2小题，其中第1小题3分，第2小题5分，满分8分） 已知函数，。 （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式。 16、（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题5分，满分10分） 若集合，。 （1）若，写出的子集个数； （2）若，求实数的取值范围。 17、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分，满分12分） 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界。某公园受此启发打算设计一个人造花活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地块，十字形的面积为。计划在正方形上建一座花坛，造价为元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为元/，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元/。设长为（），总造价为元，求： （1）设长为（），用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价； （3）若总造价不超过元，求长的取值范围。 18、（本题共3小题，其中第1小题3分，第2小题4分，第3小题7分，满分14分） 设为实数，集合。 （1）若，求集合； （2）若集合，求实数满足的条件； （3）设，当时，如果，，且集合均恰有两个元素，求三元数对。 学科网（北京）股份有限公司 $