广西柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

2027届高三（上)期中考试（数学) (本卷满分150分考试时间120分钟) 一、单选题（共40分)：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.(5分)已知集合A={x2-2>x},B={(x-1<x<3},则AnB=() A.{x|-1<x<2 B.{x|2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x|-1<x<3} 2.(5分)设a=1og25,b=0.510,c=√2，则，b,c的大小关系为() A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 3.(5分)设函数f(x)是定义域为（∞，+∞）的奇函数.若f(1)=-3,则f(1)=() A.-3 B.-1 C.0 D.3 4.(5分)设f(x)是R上的奇函数，且满足∫(x+4)+∫(2)=∫(x),则f(-8)=() A.-4 B.-2 C.0 D.2 5.(5分)若tan6=-3,则sim6+cos6 sindcos20=() A.3 B.-10 3 c.a D.6 6.(5分)在平行四边形 中，AB=3,AD=4,∠BAD=60°，点E是BC的中点，CF=2FD,则 AE.BF=() A.-6 B.-2 C.2 D.6 7.(5分)若4=1，对任意的n∈N*,都有a.>0,且nc-(21-)a+1A-2m=0.设M(x)表示整数x 的个位数，则M(a21)为() A.2 B.4 C.6 D.8 8.(5分)过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C相交于点A,B(AF>BF),与准线相交于， 过线段B的中点V且垂直于AB的直线与抛物线的准线交于M,若A=V,则巴为() FB A.2 B.2W5 C.4 D.3 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)已知a>0,b>0,且a+b=4,则下列结论正确的是() A.ab≤4 B.+1 C.22+2≥16 D.2+b2≤8 a b 试卷第1页（共4页） 10.(6分)若复数z不是纯虚数，且z=1-21 3, 则() A.z的实部为-2 B.z的虚部为1 C.z的模为5 D.z在复平面内对应点在第二象限 11.(6分)如图，已知矩形ABCD,AB=√5，AD=1,AF1平面 ，且AF=3,点 为线段 DC(除端点外)上的一点.沿直线AE将△DAE向上翻折成△DAE,M为BD'的中点，则 下列说法正确的有() B A。三棱锥A-BCF的体积为石 B.当点固定在线段DC某位置时，则D在某圆上运动 C.当点在线段DC上运动时，则D'在某球面上运动 D.当点在线段DC上运动时，三棱锥M-BCR的体积的最小值为 2 三、填空题（共15分） 12.(5分)已知函数f(x)= 「1og2x,(x>0) /(x+3),x<0'则f(-)= 13.(5分)(2x2+x-的展开式中y2的系数为 (用数字作答) 14.(5分)若关于x的不等式e1-a>aln对于任意的x∈(0，+n)恒成立，则实数的取值范围是 四、解答题（共77分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)△ABC中，，b,c分别是角A,B,C的对边，且有sin2C+√3cos(A+B)=0. (1)求角C: (2)当a=4,c=13时，求△ABC的面积 16.(15分)记等差数列{a}(n∈N)的前n项和为Sn,满足4+a4=6,S-4=7. 试卷第2页（共4页） (1)求{a}的通项公式： (2)设-受，求6（用含n的代数式表示）. 17.(15分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大 受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知 识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的 整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 e 0.025 0.020 0.010 0.005 0 405060708090100分数 (I)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数： (2)求样本成绩的平均数； (3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合 并后的平均数z和方差52. 18.(17分)如图，四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上，CEI1AB. E (1)求证：CE⊥PD: ②若PA=lAB=2AD=3,且∠CDE=界牙，BC1AD, ①求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的大小： ②在棱CD上是否存在点Q,使得PQ与平面PCE所成的角为匹？若存在，确定Q点的位置：若不存 6 在，请说明理由 1917分)已知数列a满是a=2,A=2女，mEN,函数-hx. (1)证明：数列 是等差数列. a-1 试卷第3页（共4页） (2)求使不等式∑f(a)>a,成立的最小正整数的值. i1 3)若f(a,)小tsm(g-1 恒成立，求实数t的取值范围. 4 试卷第4页（共4页） 《2027届高三（上)期中考试（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B 0 O Q D D B ABD 题号 11 答案 BCD 1.B 【分析】先化简集合A,再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】X2-2>x整理得x2-x-2>0,解得x<-1或x>2, 所以集合A={x2-2>={x<-1或x>2, 又因为B={x|-1<x<3}, 所以A∩B={x2<x<3} 2.B 【分析】根据对数函数性质估计的范围，再计算b的范围，结合平方根的性质估计C,由此可得结论 【详解】因为函数y=log2x在(0，+o)上单调递增，4<5<8， 所以1og24<1og25<log28,故2<a=log25<3, 又0<b=0.50= 710241, 1<c=√2<2， 所以b<c<a. 3.D 【详解】因为函数f(x)是定义域为(-”，+ω)的奇函数，且(1)=-3，所以f(-1)=-f(1)=3 4.C 【分析】由已知可得2f(2)=f(-2),结合奇函数性质可得∫(2)=0，f(0)=0,由此可得 f(x+4)=f(x),根据此关系可得结论. 【详解】因为f(x+4)+f(2)=f(x),所以f(-2+4)+f(2)=f(-2),即2f(2)=f(-2), 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-2)+f(2)=0,f(0)=0, 所以f(2)+f(2)=-f(2),即f(2)=0, 所以f(x+4)=f(x), 答案第1页（共11页） 所以f(-8)=f(-8+4)=f(-4)=f(-4+4)=f(0)=0. 5.C 【分析】利用切化弦的思想求解即可. sine+cose sine+cose 【详解】因为tan日=-3，所以 sinecos20 sine(sine+cose)(cos0-sine) sin26+cos'6=tan20+1=9+1=-5 sine(cos0-sine)sinecos0-sin20 tane-tan20 -3-9 6' 故选：C. 6.D 【分析】将AE,BF以AB,AD为基底表示，再根据数量积的运算公式，求得数量积 【详解】正-A0+B6-A0+号Bc-AB+AD, BF-Bc+Cf-BC+号CD=Bc号Dc-AD-A, =-2×32+2x3x4xc0s60 3 3 1x4=6 故选：D B E 7.C 【分析】由已知整理得(a+1+4)a+1-2a)=0,再由己知得a+1-2a=0,则数列{an}的通项公式为 a=2”，根据指数运算得出数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，由此可得选项. 【详解】因为na1-(2n-1)a+4n-2G=0，整理得(an1+a)(aH-2a)=0,由已知得4>0，a+H>0, 所以0+1+a>0,则有a+-2a=0，所以a+1=2a,所以数列{a}的通项公式为an=2”-,所以 4021=22020， 又2=2，个位数字为2：22=4，个位数字为4；2=8，个位数字为8；24=16，个位数字为6， 所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，所以421与4的个位数字相同，所以 M(a21)=6. 故选：C 答案第2页（共11页） 【点睛】关键点睛：本题考查根据数列的递推关系求数列的通项，以及数列的周期性，关键在于将己知 的递推关系进行因式分解，得出数列的通项公式，再得出数列的个位数字的周期性得以解决 8.D 【分析】设直线1的斜率为k(k>0),直线方程为y=(x-),代入抛物线方程应用韦达定理得x+x, AB=x+x2+p,求出AB中点N的坐标，写出MN的方程，求得W, 然后由己知条件可求得斜率k,再分别求出FQ,FB即可. 【详解】由题意F(化，0)，设直线1的斜率为k(k>0),直线方程为y=k(x-),A(3,),Bs2,), (v2=2px y=-马得r-pW2+2x+p 由 =0, 4 21 +5=PK+2) 2 4a=X+5+p=2+2)+p=2p+D 2 n告-2，w-w分-g 2k2 2k2 直线W的方程为y-g=-, IMN=+)(-x) 卫p(k2+2) p1+K2)V1+k2 2 2k2 3 4B=3MN, 2pk+0-5×20+k1+R 壁理得2=3，k>0,k=V3,倾斜角为60°.R0-2F=2型 把2=3代入kx-p+2x+卫=0，可得12x2-20x+3D=0,5=号 4 Fg_2卫=3 团+号所以0 3 故选：D 9.AB 【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可. 【详解】A:因为a>0,b>0,所以a+b≥2ab三b≤4，当且仅当a=b=2时取等号， 故本选项正确： 答案第3页（共11页） B因为a0,b0,所以有a户-++32=-1当且仅当 a b α=b=2时取等号，故本选项正确； C:因为2°+2≥2√2.2=2√2a=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，所以本选项不正确； D:因为a>0,b>0,所以有a+bs,@+B a+b 2≤2→2V2 -→2+b2≥8，当且仅当a=b=2时取等 号，所以本选项不正确， 故选：AB 10.ABD 【分析】设2=a+bi(a,b∈R),代入z=1-2化简，列关于a,b的方程组，求解出复数2=-2+i,再对选 2+2 项逐一判断 【详解】设z=a+bi(a,beR),因为z=1-24 2+7所以五+2z1-2i所以G+2+2a-2=1-21,所 云1侣子内方数数：不花纯正氨所以3以：的装都有之 「a=0.「a=-2 虚部为1，模为√5，z在复平面上的点位于第二象限 故选：ABD 11.BCD 【分析】对A,求出体积即可判断；对B,根据DA⊥DE可判断：对C,根据AD=1保持不变即可判 断；对D,可求出求M到平面BCF距离d的最小值，过A作BF的垂线，求出d即可得出， 【年1A:ae写539，饭A结误 当点在线段DC上运动时，AD=1保持不变，即D的轨迹为以A为球心，半径为1的球面的一部分， 故C正确： 则当固定点E时，可知点D在球面被平面截得的圆弧上，即在某圆上运动，故B正确： D:Sscx8Br-lx5-=5, 2 ∴.求三棱锥M-BCF的体积的最小值即求M到平面BCF距离d的最小值， 即求D到面BCF距离的最小值，且4- 过A作BF的垂线，垂足为H,因为AF⊥平面 ,所以AF⊥BC, 因为BC⊥AB,AFO AB=A,所以BC⊥平面ABF, 因为AHc平面ABF,所以BC⊥AF, 因为BC∩BF=B,所以可得AH⊥平面BCF, 答案第4页（共11页） 因为D'在以A为球心，半径为1的球面上运动， 3 1 1 1 则D'到面BCR距离的最小值为d=极-1=1=2,4=2d=4 所以三棱锥M-BCR的体积的最小值y=Ss×d,故D正确 12 故选：BCD. F B 12.1 【分析】将x=-1代入相应的分段函数即可求解 【详解】f(-1)=f(-1+3)=f(2)=1og22=1 故答案为：1. 13.120 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于xy2=(x2)xy, 所以(2x2+x-y)的展开式中含xy2的项为C(2x2)2×Cx×C(-y)}=120xy2, 所以(2x2+x-y)的展开式中xy2的系数为120 故答案为：120 14.(0,1) 【分析】问题转化为e>血aer,e,设h)=e,根据函数的单调性得到a< r，设p(x)=e , 求出函数的最小值，求出的取值范围即可 【详解】由题意知，a>0,将原不等式变形可得e-1>a(hn+1), xe*>aex In aex In aex.ehmaex, 设h(x)=xe,，则H(x)=(x+1)e, 答案第5页（共11页） 所以h(x)在(0，+o)上单调递增， 当Inaex≤0时，原不等式显然成立； 当In aex>0时，：h(x)在(0，+o)上单调递增， .e-1 .∴.x>Inaex→a< 设(w)e则p四e-1 x2 .p(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， .p(x)的最小值为p(1)=1, 故0<a<1, 故答案为：(0,1). 15.0c-号或写或智 (2)Ssc=V3或3√5 【分析】(1)根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角C的大小： (2)先根据余弦定理求出边b的长度，再根据三角形面积公式即可求解 【详解】(1)因为sin2C+V3cos(A+B)=0,且A+B+C=元， 所以sin2C+V3cos(A+B)=sin2C+V3cos(π-C)=2 sinCcosC-V3cosC=0, 即2 sin CcosC=3cosC, 所以cosC=0或sinC= 2 解得e一受政号或行 3 (2)因为a=4,c=3,所以c= 根据余弦定理得cosC-心+B-c2 2ab 所以=16+-13，即B-4b+3=0, 2 8b 解得b=1或b=3, 1 当b=1时，SABc= absinc-x4x1x 当6=3f.S=地nc43x95, 1 2 所以△ABC的面积的面积为√3或3√3 答案第6页（共11页） 16.(1) g.=n(n∈N) (2) (nex) 【分析】(1)首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公 式 (2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和. 【详解】(1)设等差数列首项a,公差d, 4+a44=(4+d)+(a+3d)=2a+4d=6 8-4=5a+544-a+7=a+=7 化简： 4+2d=3 4+3d=7'解得： 4=1 d=1 通项：a=n(neN) 2)设7=24=*2+3 之 两边乘： +@ ①-②，错位相减： 111 .1n 22+2++22, 2+1 =1- 2 2”2+1 2 所以=2-n+2 20 即26=2-+2 i=1 2(nEN). 17.(1)a=0.030;84 (2)74 (3)62;37 【分析】(1)根据频率分布直方图频率关系可得的值，再根据百分位数的概念求解样本成绩的第75百 分位数即可； (2)根据频率分布直方图计算平均数即可； (3)根据样本的平均数与方差求解总体的平均数与方差即可. 答案第7页（共11页） 【详解】(1)由频率分布直方图面积和为1， 可得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, 解得 成绩在[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65， 则第75百分位数为0,750.65+80=84. 0.025 (2)由频率分布直方图可得样本平均数为 45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74. (3)可知成绩落在 的人数为100×0.1=10人， 成绩落在 的人数为100×0.2=20人， 则两组总体成绩平均数为2=10x54+20x66=62, 10+20 则总体方范为：-874(6254门84(62-60门37. 18.(1)证明： AB⊥AD,CE/IAB,.CE⊥AD :PA⊥底面 ,CEc底面 ,∴PA⊥CE PAC平面PAD,ADC平面PAD,PAOAD=A, ∴.CE⊥平面PAD PDC平面PAD,.CE⊥PD; (a00-年 ②不存在，理由如下： 设Q(x,y,z),则CQ=(x-2,y-1,z),CD=(-2,2,0), x-2=-2 x=2-2 设C0=CD(0≤≤1)，则y-1=21,解得{y=21+1, 2=0 2=0 即0(2-2元，2元+1,0)，则P0=(2-22,2+1,-1), PO.n 22+1-1 sin 6 po. V(2-2)}+(2+12+(12 1 化简得： V21 2V822-4+6 平方得 222 4822-4元+6→-41+6=0， 解得2=3 又因[0，]，放舍去， 答案第8页（共11页） 故不存在点，使得与面所成的角为一· 【分析】(1)依题意可证出CE⊥平面PAD,即可证得CE⊥PD: (2)①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出： ②设CQ=CD(0≤元≤1)得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件 的点是否存在。 【详解】(1)略： (2)①依题意可知，AB,AD,AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， ZA 由题A(0,0,0),P(0,0,1),B(2,0,0),E(0,1,0),C(2,1,0),D(0,3,0), 则PA=(0,0,-1)AB=(2,0,0),CE=(-2,0,0),PE=(0,1,-1) 设平面PAB的法向量为%=(，，)，平面 的法向量乃=(x2,y2,) h·PA=0「-z=0 则有 4AB=02x=0’取乃=(01,0). 2·CE=0. -2x=0 z·PE=0y-z=0' 取y=1,则z=1,故2=(0,1,1) 设平面PAB与平面 所成的锐二面角的平面角为B, 12·见 1√2 c0s0= ②不存在，理由略。 19.(1)证明：由 一可得，a1-1=2-1-1=1-1=凸-1 anan 则1 =8=&-1+-1+1. a,一11m1=1十7，即-，=1， a+H-14-1 又11 412-11,故数列 一是以首项为1，公差为1的等差数列. (2)3 (3)(-0,1] 答案第9页（共11页） 【分析】(1)对己知条件进行变形，结合等差数列的定义判断即可. (2)根据(1)的结论求出a,再利用对数运算性质化简∑f(4),得到关于的不等式后，通过构造函 i=1 数或试值法求解最小正整数即可. (3)通过分离常数即换元法将不等式变为1<1+血1+)】 构造函数p(x)= 1+x)血(1+y）,结合单调 sinx sinx 性与最值的关系，求出(x)的最小值，进而确定t的取值范围。 【详解】(1)略 （2)由1D知.a1+a-11=,所以a=1+月 2 (a)h-(t+1)-h. n 则∑f(a)=(n2-n1)+(m3-ln2)+…+(m(n+1)-nm）=ln(n+1). 则不等式fa)>a,可化为nm+1)>1+】 设8创=nu+小-1-a=N): 因为y=x+山，y三在定义域内均为增函数 所以gm)=n(n+1)-1-1在定义域内为增函数， 又g(2)=ln3-1-1-n3-3 2 1 令)-血h)-}2装 x 2 2x 当0<x<2时，N(x)>0,h(x)在(0,2)上单调递增： 当x>2时，H(x)<0,h(x)在(2，+o)上单调递减 所以h)在x=2处取得辰大做，又(2)=h2-号=n2-1<nc-1=0, 所以3)<2，即(Q)=n3-子0，也当n=2时，h(2-)1 2 ,所以4>，所以血4>he-即当m3 所以不等式∑f(a)>a,成立的最小正整数n的值为3. tsin .1 令x=则x的取值集合为12行，且m>0: ,11 答案第10页（共11页） 则不等式可化为n+xm即1<+)如+恒成立 sin x 设py-+)h+,xe(01], sinx 则pd)=血+x+]simx-1+x)h(1+)cosx sinx 令w(x)=h(1+x)+1sinx-(1+x)n(1+x)cosx,x∈(0,1]， 则w-mx+[h-+ea-h+加a-+o40+h+x =1_simx=Q+)(+)sinx-sinx+)n(+) 1+x 1+x 当eo时sx>0,>0,+h+到>0， 所以w(x)>0,则Ψ(x)在(0,1]上单调递增，故Ψ(x)>少(0)=0，则9(x)>0, 故p(x)在(0,1上单调递增.。 当x→0时，1im +x)h0+)-lm sinx =m+x)=1 所以t≤1，即实数t的取值范围为(-，. 答案第11页（共11页)