29.2.1 垂直于弦的直径讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 29.2.1  垂直于弦的直径 学生版  29.2.1　垂直于弦的直径 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　垂径定理的基本图形：知二求二 2 　　题型 2　实际应用：拱桥、水管与圆材埋壁 3 　　题型 3　垂径定理与坐标系、折叠的结合 5 　　题型 4　平行弦、多弦与最值 7 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 8 　题型 1　　垂径定理的基本图形：知二求二 知识梳理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；半径、弦心距、半弦构成直角三角形： 所有计算都落在同一个直角三角形上：半径作斜边，弦心距与半弦作两条直角边，于是 这四个量（拱高 ）里知道两个，另外两个就能求出来。 拱高与弦心距的关系要分清：拱高 ，其中 是圆心到弦的距离。圆心在弦的另一侧时，——题目没画清楚圆心位置时，先判断圆心在弦的哪一侧。 遇到" 的最小值""点 在弦上运动"这类问法，答案就是弦心距：动点到圆心的距离，最短的那一条正是垂线段。把它翻译成""，问题立刻变成求弦心距。 易错　①把弦心距、拱高、半径三者的关系写混；　②半弦当成整条弦代入勾股式；　③圆心在弦另一侧时仍用 　④把"平分弦的直线垂直于弦"当定理用（必须是过圆心的直线，且被平分的弦不能是直径）。 要点　——这两条式子撑起本节绝大多数计算。 1． 如图，为的弦，垂足为C，已知则的长为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2． 如图，是的弦，半径于点．若．则的长是  （  ） A．3 B．2 C．6 D． 3． 如图，在中，弦的长为8，连接是弦的中点，经过圆心且交于点若的半径为5，则的长为      ． 　 4． 如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5， 于点 D，交⊙O于点 C，且 （1）求线段 OD 的长度； （2）求弦 AB 的长度． 　 　 　 　 　 　题型 2　　实际应用：拱桥、水管与圆材埋壁 知识梳理 把实物抽象为"圆 + 一条弦 + 弦心距"：水面宽即弦长，拱顶到水面的距离即拱高，圆心到弦的距离即弦心距 建模就三步：定圆、定弦、定拱高。拱桥的水面宽是弦长，拱顶到水面的距离是拱高，圆心到水面的距离是弦心距；三者一旦对上，就套 与 联立求 水管、门洞、圆材埋壁是同一套模型，只是把"拱高"换了名字：水深、门洞高、锯口深。《九章算术》"圆材埋壁"那题的"深"就是拱高，"锯道"就是弦长。 通行问题不能只比拱高，要比船宽一半处那一竖的高度：先求出船边缘到圆心的水平距离，再算这个位置对应的弦心距与可用净高，最后与船身高度比较。 易错　①把水面宽当成半径或直径；　②通行问题只比拱顶高度，忽略船宽；　③单位不统一（米与厘米混算）；　④算出半径就交卷，题目问的是直径或水深。 要点　弦长、拱高、弦心距三者对号入座；通行问题比"船边缘处"的净高。 1． 桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为 （  ） A．米 B．米 C．米 D．5米 2． 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是 （  ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 3． 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径水面宽求截面圆圆心到水面的距离． 　 　 　 4． 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为拱高为． （1）求拱桥的半径； （2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由． 　 　 　 　 　 　题型 3　　垂径定理与坐标系、折叠的结合 知识梳理 圆心在坐标轴上时，另一条坐标轴就是过圆心的垂线；折叠的折痕是一条弦，折叠后弧过圆心等价于圆心到折痕的距离为 坐标系里圆与某条坐标轴相交，那条轴往往正是"过圆心的垂线"，于是它把弦垂直平分。把交点的坐标一读，弦长与中点就有了，再配圆的半径求弦心距。 折叠题的钥匙是一句话：折叠后弧恰好经过圆心，说明圆心到折痕的距离等于半径的一半。设折痕为弦，弦心距为 则 再由勾股式求弦长。 折叠前后半径不变、弧长不变，但圆心的位置变了（对称到另一侧）。把"折叠后的圆心"和"原圆心"关于折痕对称这一点用上，往往一步到位。 易错　①坐标题不知道用哪条轴当垂线；　②折叠题把"弧过圆心"理解成"弦过圆心"；　③折叠后仍用原圆心位置算弦心距；　④圆与坐标轴交点坐标读错正负。 要点　弧过圆心 弦心距 ；坐标轴常是那条垂线。 1． 如图，半径为5的与y轴交于点则点A的横坐标为 （  ） A．-3 B．3 C．4 D．6 2． 如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为  （  ） A． B． C． D． 3． 如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、已知点A的坐标为点C的坐标为则点D的坐标为      ． 　 4． 如图在半圆中，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是 （  ） A． B． C． D． 　题型 4　　平行弦、多弦与最值 知识梳理 两条平行弦要分圆心同侧、异侧两种情形；过圆内定点的最长弦是直径，最短弦是垂直于它的弦 平行弦必须分类讨论：圆心在两弦同侧时，弦心距之差是两弦距离；在异侧时，弦心距之和才是两弦距离。只写一种情形是这类题最常见的失分，答案通常是两组。 最值只有两条结论：过圆内一定点的最长弦是直径，最短弦是过该点且垂直于这条直径的弦。证明时用"垂线段最短"即可，不必复杂论证。 两条弦相交、或弦与弦互相垂直时，分别作两条弦的弦心距，常能凑出一个矩形，把分散的已知长度接到一起，这是求半径的常用手法。 易错　①平行弦只算同侧一种；　②最值题把"最长的弦"答成"最长的弦心距"；　③多弦题只作一条弦心距；　④求得两组解后不检验哪一组合乎图形。 要点　平行弦分同侧异侧；过定点最长是直径、最短是垂直它的弦。 1． 如图，的半径为5，弦点M是弦上的动点，则 （  ） A． B． C． D． 2． 已知圆中两条平行的弦之间距离为其中一弦长为若半径为则另一弦长为 （  ） A．或 B．或 C．或 D．或 3． 如图，是上的一动点，与交于点．若则的最小值为 （  ） A． B． C．3 D．5 4． 如图，已知梯形内接于（梯形四顶点均在圆上），且位于圆心的异侧．若的半径为求梯形的面积． 　 　 　 A 组　基础题 必做｜定理辨析与半径、弦长、弦心距的基本换算 1． 下列说法中，不正确的是 （  ） A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 2． 如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 （  ） A．2 B．4 C．6 D．8 3． 如图，CD是⊙O的直径，弦于点E，则下列结论不一定成立的是 （  ） A．AE=BE B．OE=DE C． D． 4． 如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为圆形拱门的最高点到最低点的距离为则底端的长为 （  ） A． B． C． D． 5． 下列命题中，正确的是 （  ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 6． 如图，CD是⊙O的直径，弦垂足为M，若则AB等于  （  ） A．4 B．8 C．8 D．4 7． 如图，已知是的直径，且于点E，则下列结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 8． 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明 （  ） A．圆的直径互相平分 B．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 9． 下列判断中，正确的是 （  ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 10． 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度 （  ） A． B． C． D． 11． 如图，的弦垂直于点为垂足，连接．若则的值是  （  ） A． B． C． D． 12． 如图， 都是的半径，于点则下列结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 13． 如图，是的直径，弦垂足为P，则的长为 （  ） A．6 B．8 C．10 D．12 14． 如图，的直径是的弦，垂足为M，则的长为 （  ） A． B． C． D． 15． 如图，的直径弦于若则的长为 （  ） A． B． C．5 D．6 16． “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为 （  ）． A． B． C． D． B 组　提升题 必做｜实际建模、坐标系与折叠、综合计算 1． 如图，在半径为的中，弦与交于点则的长是 （  ） A． B． C． D． 2． 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长轮子的吃水深度为则该桨轮船的轮子直径为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，用一块直径为的圆桌布平铺在对角线长为的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为 （  ） A． B． C． D． 4． “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦垂足为寸，寸，则半径的长度为 （  ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 5． 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为 （  ） A．10 B．12 C．18 D．24 6． 如图，都是的弦，垂足分别为若则的长为      ． 　 7． 如图，是两条互相垂直的弦，于点于点连接．若则的长为      ． 　 8． 如图，在⊙O中，弦M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为      ． 　 9． “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦垂足为E，寸，寸，则的直径为      寸． 　 10． 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为      m． 　 11． ​是内一点，过点的最长弦为最短弦为则的长为      ． 　 12． 如图，是的直径，弦于点E，连接若则的面积为      ． 　 13． 如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若则      ． 　 14． 如图，在中，以点为圆心，为半径的圆与交于点则的长为      ． 　 15． 如图，是锐角三角形的外接圆，垂足分别为连接．若的周长为21，则的长为      ． 　 16． 如图，的半径为5，弦点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是      ． 　 17． 如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若则小圆半径是      ． 　 18． 如图，是的直径，点C在线段上运动，过点C的弦将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为      ． 　 19． 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，点C是的中点，点D是的中点，且则这段弯路所在圆的半径为      m． 　 20． 如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE²EF²，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为       　 C 组　拓展题 选做｜多弦平行、动点最值与阅读探究 1． 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是的半径，点是的中点，连接于点“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：当时，则的值为      ． 　 2． 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是半径为2，函数的图象被截得的弦的长为则      ． 　 3． 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 　 　 　 4． 下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不具备，请说明为什么． 　 　 　 5． 蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知半径求高度． 　 　 　 6． 如图，AB是⊙O的一条弦，于点C，交⊙O于点D，连接OA．若求⊙O半径的长． 　 　 　 7． 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接（桌面），的半径分别与直线垂直于B，D两点，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 　 　 　 8． 如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径， 交于点E．且．若求． 　 　 　 9． 如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点和．求证： （1） （2）． 　 　 　 　 　 10． 如图，是直径，是的弦，于点 （1）若的半径是10，求的长? （2）若求的半径？ 　 　 　 　 　 11． 如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． （1）              （2）设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点过点作于点延长与弦交于点连接已知矩形纸条的宽为． ①              ②求的半径． 　 　 　 　 　 12． 如图，在半径为6的扇形中，C是上的一个动点（不与A，B重合），垂足分别为点D，E． （1）求的长． （2）求四边形各内角的度数． 　 　 　 　 　 13． 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接与弦交于点连接．已知碗深求的长． 　 　 　 14． 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 　 　 　 15． 一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度桥拱到水面的最大高度． （1）圆弧形桥拱的半径是       （2）现有一艘宽船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 　 　 　 　 　 16． 解答下列问题 （1）如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点． ①求证： ②如图2，连接并延长交小圆于E，连接若求的值； （2）如图3，过内一点P作弦使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 　 　 　 　 　 17． （1）【自主探索】如图，在中，求边的高．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．作于点D，设用含x的代数式表示则      ；在和中根据勾股定理得：      ； （2）【尝试运用】如图，在中，M为弦上一点，且连接过M作交于点N，则的长为      ． （3）【问题解决】如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接延长相交于点E．若求的半径． （4）【迁移拓展】已知线段点D在是线段上，且点A是平面内任意一点，且满足则的最大值为      ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 18． 如图，在中，是的直径，是上一点，且． （1）如图①，当点与圆心重合时，的值是      ． （2）如图②，若求的值． （3）如图③，当点在上运动时，（2）中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.1  垂直于弦的直径 解析版  29.2.1　垂直于弦的直径 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　垂径定理的基本图形：知二求二 2 　　题型 2　实际应用：拱桥、水管与圆材埋壁 4 　　题型 3　垂径定理与坐标系、折叠的结合 7 　　题型 4　平行弦、多弦与最值 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 14 　题型 1　　垂径定理的基本图形：知二求二 知识梳理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；半径、弦心距、半弦构成直角三角形： 所有计算都落在同一个直角三角形上：半径作斜边，弦心距与半弦作两条直角边，于是 这四个量（拱高 ）里知道两个，另外两个就能求出来。 拱高与弦心距的关系要分清：拱高 ，其中 是圆心到弦的距离。圆心在弦的另一侧时，——题目没画清楚圆心位置时，先判断圆心在弦的哪一侧。 遇到" 的最小值""点 在弦上运动"这类问法，答案就是弦心距：动点到圆心的距离，最短的那一条正是垂线段。把它翻译成""，问题立刻变成求弦心距。 易错　①把弦心距、拱高、半径三者的关系写混；　②半弦当成整条弦代入勾股式；　③圆心在弦另一侧时仍用 　④把"平分弦的直线垂直于弦"当定理用（必须是过圆心的直线，且被平分的弦不能是直径）。 要点　——这两条式子撑起本节绝大多数计算。 1． 如图，为的弦，垂足为C，已知则的长为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．5 　思路分析　　运用垂径定理即可求解． 解： ​． 2． 如图，是的弦，半径于点．若．则的长是  （  ） A．3 B．2 C．6 D． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 解： ​ 又 ​在中，故选：A． 3． 如图，在中，弦的长为8，连接是弦的中点，经过圆心且交于点若的半径为5，则的长为      ． 　思路分析　　先根据垂径定理推论可知然后结合圆的半径和勾股定理求得进而可求得的长． 解 ：是弦的中点，经过圆心 ​ ​的半径为5， ​ 在中， ​． 4． 如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5， 于点 D，交⊙O于点 C，且 （1）求线段 OD 的长度； （2）求弦 AB 的长度． 　思路分析　　（1）-CD，即可得出结果； （2）连接AO，由垂径定理得出AD，由勾股定理求出AD，即可得出结果． （1）半径是 5， ​1=4； （2）连接 AO，如图所示： ​ ​AD， 根据勾股定理：AD= ​2=6， 因此弦 AB 的长是 6． 　题型 2　　实际应用：拱桥、水管与圆材埋壁 知识梳理 把实物抽象为"圆 + 一条弦 + 弦心距"：水面宽即弦长，拱顶到水面的距离即拱高，圆心到弦的距离即弦心距 建模就三步：定圆、定弦、定拱高。拱桥的水面宽是弦长，拱顶到水面的距离是拱高，圆心到水面的距离是弦心距；三者一旦对上，就套 与 联立求 水管、门洞、圆材埋壁是同一套模型，只是把"拱高"换了名字：水深、门洞高、锯口深。《九章算术》"圆材埋壁"那题的"深"就是拱高，"锯道"就是弦长。 通行问题不能只比拱高，要比船宽一半处那一竖的高度：先求出船边缘到圆心的水平距离，再算这个位置对应的弦心距与可用净高，最后与船身高度比较。 易错　①把水面宽当成半径或直径；　②通行问题只比拱顶高度，忽略船宽；　③单位不统一（米与厘米混算）；　④算出半径就交卷，题目问的是直径或水深。 要点　弦长、拱高、弦心距三者对号入座；通行问题比"船边缘处"的净高。 1． 桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为 （  ） A．米 B．米 C．米 D．5米 　思路分析　　根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可． 解： ​（米）， 设桥洞的半径为r，则：米， 根据勾股定理得： 即 解得： 即桥洞的半径为5米． 2． 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是 （  ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 　思路分析　　设的半径为r，在中， ，则有解方程可得r，进而确定直径． 解：设的半径为r， ​ ​ 在中， 则有 解得 ​圆形木材的直径是为10寸． 3． 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径水面宽求截面圆圆心到水面的距离． 解： ​ ​ ​ 即截面圆圆心到水面的距离为6． 4． 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为拱高为． （1）求拱桥的半径； （2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由． 　思路分析　　（1）连接ON，OB，根据垂径定理得到BD，在中利用勾股定理列方程求解； （2）首先求出OE，在Rt中，根据勾股定理求出EN，得到MN，与货船的宽相比即可得到结论． 解：（1）如图，连接ON，OB． ​ ​D为AB中点， ​m， ​m． 又m， 设=ON则OD=（r-4）m． 在Rt中，根据勾股定理得：=（r-4） 解得r=10， 即拱桥的半径为10m； （2）m，船舱顶部为长方形并高出水面2m， ​-2=2m， ​-2=8m， 在Rt中，=6m， ​10m， ​此货船能顺利通过这座拱桥． 　题型 3　　垂径定理与坐标系、折叠的结合 知识梳理 圆心在坐标轴上时，另一条坐标轴就是过圆心的垂线；折叠的折痕是一条弦，折叠后弧过圆心等价于圆心到折痕的距离为 坐标系里圆与某条坐标轴相交，那条轴往往正是"过圆心的垂线"，于是它把弦垂直平分。把交点的坐标一读，弦长与中点就有了，再配圆的半径求弦心距。 折叠题的钥匙是一句话：折叠后弧恰好经过圆心，说明圆心到折痕的距离等于半径的一半。设折痕为弦，弦心距为 则 再由勾股式求弦长。 折叠前后半径不变、弧长不变，但圆心的位置变了（对称到另一侧）。把"折叠后的圆心"和"原圆心"关于折痕对称这一点用上，往往一步到位。 易错　①坐标题不知道用哪条轴当垂线；　②折叠题把"弧过圆心"理解成"弦过圆心"；　③折叠后仍用原圆心位置算弦心距；　④圆与坐标轴交点坐标读错正负。 要点　弧过圆心 弦心距 ；坐标轴常是那条垂线。 1． 如图，半径为5的与y轴交于点则点A的横坐标为 （  ） A．-3 B．3 C．4 D．6 　思路分析　　过点A作与D，连接根据点B和点C的坐标求出再根据垂径定理求出根据勾股定理求出即可； 解：过点A作与D，连接, ,半径为5的与y轴交于点 ​ ​过圆心A， ​ 由勾股定理得： ​ ​点的横坐标为3，故选择：B 2． 如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先过点O作垂足为D，连接OA，由题意求得OD=由勾股定理求得AD=再由垂径定理即可求解． 解：过点O作垂足为D，连接OA， ​ ​将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O， ​ 在 中，由勾股定理得 ​故选：C． 3． 如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、已知点A的坐标为点C的坐标为则点D的坐标为      ． 　思路分析　　首先根据点A，C的坐标得出然后在中利用勾股定理求出半径，从而可得出OD的长度，进而可得出答案． 如图，连接AP， ​点A的坐标为点C的坐标为 ​． 设半径为r，则 ​ ​ 解得 ​ ​ ​点D的坐标为 故答案为：． 4． 如图在半圆中，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点交半圆于点由轴对称的性质可知，由勾股定理可得再利用垂径定理求解即可． 解：如图，过点作的垂线交于点交半圆于点 ​ ​ 由轴对称的性质可知， 在中， ​是半径， ​故选：A． 　题型 4　　平行弦、多弦与最值 知识梳理 两条平行弦要分圆心同侧、异侧两种情形；过圆内定点的最长弦是直径，最短弦是垂直于它的弦 平行弦必须分类讨论：圆心在两弦同侧时，弦心距之差是两弦距离；在异侧时，弦心距之和才是两弦距离。只写一种情形是这类题最常见的失分，答案通常是两组。 最值只有两条结论：过圆内一定点的最长弦是直径，最短弦是过该点且垂直于这条直径的弦。证明时用"垂线段最短"即可，不必复杂论证。 两条弦相交、或弦与弦互相垂直时，分别作两条弦的弦心距，常能凑出一个矩形，把分散的已知长度接到一起，这是求半径的常用手法。 易错　①平行弦只算同侧一种；　②最值题把"最长的弦"答成"最长的弦心距"；　③多弦题只作一条弦心距；　④求得两组解后不检验哪一组合乎图形。 要点　平行弦分同侧异侧；过定点最长是直径、最短是垂直它的弦。 1． 如图，的半径为5，弦点M是弦上的动点，则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM 变化过程中的最小值，由垂径定理可求得M 'B，再由勾股定理可求得OM '，另可知OM变化过程中的最大值等于圆半径，如此问题可以得解． 解：如图，过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM变化过程中的最小值， 由垂径定理可知M ' ​OM '=3， 又有OM变化过程中的最大值等于圆半径5， ​3≤OM≤5，故选D． 2． 已知圆中两条平行的弦之间距离为其中一弦长为若半径为则另一弦长为 （  ） A．或 B．或 C．或 D．或 　思路分析　　根据题意可知直径是由此分类讨论，①如图所示，在的上方；②如图所示，在的下方；运用垂径定理，勾股定理，图形结合分析即可求解． 解：圆的半径为 ​圆的直径是 ①如图所示，在的上方，连接 ​ 在中， ​ 在中， ​ ②如图所示，在的下方，连接 ​ 在中， ​ 综上所述，另一弦长为或故选：． 3． 如图，是上的一动点，与交于点．若则的最小值为 （  ） A． B． C．3 D．5 　思路分析　　本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得再结合是上的一动点，与交于点进行分析，即可作答． 解：依题意，过点O作交于一点连接如图所示： ​ ​ ​ ​是上的一动点，与交于点． ​当时，即点与点重合时，则有最小值，且为故选：A 4． 如图，已知梯形内接于（梯形四顶点均在圆上），且位于圆心的异侧．若的半径为求梯形的面积． 　思路分析　　本题主要考查了垂径定理和勾股定理，过点O作于F，延长交于E，连接由垂径定理和勾股定理可求出的长，可证明则由垂径定理和勾股定理可求出的长，进而求出的长，再根据梯形面积计算公式求解即可． 解：如图所示，过点O作于F，延长交于E，连接 ​ ​的半径为4， ​ ​ ​ ​即 ​ ​ ​ ​． A 组　基础题 必做｜定理辨析与半径、弦长、弦心距的基本换算 1． 下列说法中，不正确的是 （  ） A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 　思路分析　　根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可． 解：A、圆是轴对称图形，正确； B、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确； C、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误； D、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，故选：C． 2． 如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 （  ） A．2 B．4 C．6 D．8 　思路分析　　根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 解：由题意可知，该图形的对称轴条数为6．故选：C． 3． 如图，CD是⊙O的直径，弦于点E，则下列结论不一定成立的是 （  ） A．AE=BE B．OE=DE C． D． 　思路分析　　根据垂径定理即可判断． 解：是的直径，弦于点 ​ ．故选：B． 4． 如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为圆形拱门的最高点到最低点的距离为则底端的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　由垂径定理可得再由勾股定理计算即可得解． 解：由题意可得： ​ 由勾股定理可得： 解得： ​ 答：底端的长为． 5． 下列命题中，正确的是 （  ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 　思路分析　　根据圆和对称轴的有关基本概念，逐一判断即可． 解：A、圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条，故选项A错误，该选项不符合题意； B、圆的对称轴有无数条，故选项B错误，该选项不符合题意； C、对称轴是直线，直径是线段，因此直径不是圆的对称轴，故选项C错误，该选项不符合题意； D、每条直径所在的直线都经过圆心，因此圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴，故选项D正确，该选项符合题意． 6． 如图，CD是⊙O的直径，弦垂足为M，若则AB等于  （  ） A．4 B．8 C．8 D．4 　思路分析　　连接OA，由图可得CD是⊙O的直径，OA=再由勾股定理求解即可． 解：如图，连接OA． ​CD是⊙O的直径， ​ ​8=2． 在Rt中， 由勾股定理可得：AM= ​． 故选C． 7． 如图，已知是的直径，且于点E，则下列结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据垂径定理进行判断即可． 解：是的直径，且于点E， ​ 无法得到． 8． 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明 （  ） A．圆的直径互相平分 B．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 　思路分析　　根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性． 解：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴．故选：D 9． 下列判断中，正确的是 （  ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 　思路分析　　抓住直线需过圆心这一核心前提，逐一判断各选项正误． 解：A、任意过弦中点的直线都可平分弦，不一定垂直于弦，错误； B、平分弦的直线不一定过圆心，不一定平分弦所对的两条弧，错误； C、弦的垂直平分线经过圆心，必平分弦所对的两条弧，正确； D、平分一条弧的直线不一定过圆心，不一定平分这条弧所对的弦，错误． 10． 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　过圆心作根据垂径定理得出根据图示得出勾股定理即可求解． 解：如图，过圆心作则 在中， ​ ​,故选：D． 11． 如图，的弦垂直于点为垂足，连接．若则的值是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　如图所示，过点作于点，于点，连接根据垂径定理可求出的值，再证可得根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可求解． 解：如图所示，过点作于点，于点，连接 ​根据垂径定理得， ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形为正方形，是正方形的对角线， ​故选：． 12． 如图， 都是的半径，于点则下列结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，根据圆周角定理，垂径定理，等边对等角逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由题意得，与不一定相等，原选项错误，符合题意； ​ ​原选项正确，不符合题意； ​ ​ ​原选项正确，不符合题意； ​ ​原选项正确，不符合题意；故选： 13． 如图，是的直径，弦垂足为P，则的长为 （  ） A．6 B．8 C．10 D．12 　思路分析　　本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接由垂径定理可得由可得在中，由即可求解． 解：连接如图所示： ​ ​ ​ ​ 在中， ​是的直径，弦 ​故选：B． 14． 如图，的直径是的弦，垂足为M，则的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接根据题意可得的半径为再由则可以求出根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 解：连接 ​的直径 ​的半径为 ​ 又 ​ ​ ​ 在中， ​．故选：B． 15． 如图，的直径弦于若则的长为 （  ） A． B． C．5 D．6 　思路分析　　连接设先用勾股定理求出再在中利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，连接 设 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 解得 ​ 16． “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为 （  ）． A． B． C． D． 　思路分析　　作直径垂足为设圆的半径为由垂径定理可得根据题意则在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 解：如图，作直径垂足为设圆的半径为 ​直径 ​ 由题意可知， ​ 在直角中， ​ 解得 ​圆的半径为． B 组　提升题 必做｜实际建模、坐标系与折叠、综合计算 1． 如图，在半径为的中，弦与交于点则的长是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了圆的性质、垂径定理和解直角三角形，熟练掌握垂径定理和解直角三角形的方法是解题的关键． 过点作于点于点连接根据垂径定理得到则用勾股定理求出得到是等腰直角三角形，可得再利用含角的直角三角形性质求出的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 解：过点作于点于点连接如图所示： 则 ​ 在 ​ ​是等腰直角三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在中， ​故选：B． 2． 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长轮子的吃水深度为则该桨轮船的轮子直径为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解： ​ 设该桨轮船的轮子半径为 在中， 即 解得： ​该桨轮船的轮子直径为故选：C． 3． 如图，用一块直径为的圆桌布平铺在对角线长为的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　如图，正方形为直径为的的内接正方形，作于交于连接则根据等腰三角形的性质可得再利用三角函数可求出最后计算即可． 解：如图，正方形为直径为的的内接正方形，作于交于连接 ​ ​ ​在中， ​ ​． ​桌布下垂的最大长度为． 故选：B． 4． “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦垂足为寸，寸，则半径的长度为 （  ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 　思路分析　　本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 解：连接 ​为的直径，且寸， ​寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ​寸， ​寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ​ 解得 ​则半径的长度为寸，故选：D． 5． 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为 （  ） A．10 B．12 C．18 D．24 　思路分析　　本题考查垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决本题的关键． 解：对于直线当时， ​直线恒经过点记为点D， 过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短， 如图连接 ​以原点O为圆心的圆过点即的半径为 ​ ​ ​ ​ ​故选：D． 6． 如图，都是的弦，垂足分别为若则的长为      ． 　思路分析　　根据垂直定理得出根据三角形的中位线性质得出再求出即可． 解：垂足分别为过圆心过圆心 ​ ​ ​ ​故答案为：． 7． 如图，是两条互相垂直的弦，于点于点连接．若则的长为      ． 　思路分析　　本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出的长度，结合勾股定理得出的长度． 解： ​ ​ ​ ​ ​在中，故答案为： 8． 如图，在⊙O中，弦M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为      ． 解：根据垂线段最短知，当时，OM有最小值， 此时，由垂径定理知，点M是AB的中点， 连接OA，AM= 由勾股定理知，O． 即O 解得． 所以⊙O的半径为5；故答案为5． 9． “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦垂足为E，寸，寸，则的直径为      寸． 　思路分析　　本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 解：为的直径，且寸， ​寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ​寸， ​寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ​ 解得 ​寸，故答案为：26． 10． 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为      m． 　思路分析　　先根据题意作出的直径过作连接再结合正方形的性质以及垂径定理得由勾股定理列式计算，即可作答． 解：如图所示：是的直径，过作连接 依题意， ​ ​ ​一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ​ 在中， ​这枚古钱币的半径为． 11． ​是内一点，过点的最长弦为最短弦为则的长为      ． 　思路分析　　圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 解：圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦， ​的直径为半径为最短弦长为 ​根据垂径定理，最短弦被点平分， ​最短弦一半的长度为 ​由勾股定理得． 12． 如图，是的直径，弦于点E，连接若则的面积为      ． 　思路分析　　本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上定理． 根据垂径定理和勾股定理求出直角三角形的两直角边长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：于点E，且是的直径， ​ 由勾股定理得， ​的面积为故答案为：30． 13． 如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若则      ． 　思路分析　　本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点连接由垂径定理可得由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 解：如图所示，过点作于点连接 ​ 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ​故答案为：． 14． 如图，在中，以点为圆心，为半径的圆与交于点则的长为      ． 　思路分析　　本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，过作交于点由垂径定理可知为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论． 解：在中， ​ 过作交于点如图所示， ​ ​为的中点， ​且 ​ 在中，根据勾股定理得： 解得： ​．故答案为：． 15． 如图，是锐角三角形的外接圆，垂足分别为连接．若的周长为21，则的长为      ． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，由垂径定理得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长计算公式求解即可． 解：是锐角三角形的外接圆， ​点D、E、F分别是的中点， ​都是三角形的中位线， ​ ​的周长为21， ​即 ​ ​ ​故答案为：4． 16． 如图，的半径为5，弦点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是      ． 　思路分析　　本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到由勾股定理求出当C和H重合时，的最小值是当是圆直径时，的值最大是即可得到的取值范围． 解：过O作于H， ​ ​的半径为5， ​ ​ ​当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是 当是圆直径时，的值最大是 ​的取值范围是．故答案为：． 17． 如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若则小圆半径是      ． 　思路分析　　过O点作于H点，连接如图，根据垂径定理得到设则再利用双勾股得到然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 解：过O点作于H点，连接如图，则 设则 ​ ​ ​ ​ ​ 解得或r（舍去）， 即小圆半径是 故答案为：． 18． 如图，是的直径，点C在线段上运动，过点C的弦将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为      ． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 解：为直径，为弦， ​ ​当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， ​ ​将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故 当时，且在点在线段之间， 如图，连接 此时 ​ ​ ​ ​ ​ 当时，且点在线段之间，连接 同理可得 ​ 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 19． 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，点C是的中点，点D是的中点，且则这段弯路所在圆的半径为      m． 　思路分析　　根据题意，可以推出AD=若设半径为r，则OD-10，OB结合勾股定理可推出半径r的值． 解：连接OD，点C是的中点，D是AB的中点， ​ ​m， 在Rt中，O 设半径为r得：=（r-10） 解得：r=25m， ​这段弯路的半径为25m， 故答案为：25． 20． 如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE²EF²，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为       　思路分析　　首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得并可求得AG的值，由勾股定理可得AE即可求得y即可求得函数关系式． 解：延长CO交AB于G， ​点C是⊙O优弧ACB上的中点， ​AG=6=3（cm）， ​E 当0≤x≤3时，AF=xcm，FG=（3-x）cm， ​=9-（3-x） 当3x≤6时，AF=xcm，FG=（x-3）cm， ​=9-（x-3）．故答案为y=6x-． C 组　拓展题 选做｜多弦平行、动点最值与阅读探究 1． 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是的半径，点是的中点，连接于点“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：当时，则的值为      ． 　思路分析　　连接根据垂径定理的推论，知从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出再求出计算求出答案即可． 解：连接如图所示： ​点是的中点， ​ ​ ​N、M三点在同一直线上， ​ ​ ​ ​在中，根据勾股定理得： ​ ​ ​． 2． 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是半径为2，函数的图象被截得的弦的长为则      ． 　思路分析　　作轴于交于作于连接易得点坐标为进而则由根据垂径定理得在中，利用勾股定理可计算出则继而可得答案． 解：作轴于交于作于连接如图， ​的圆心坐标是 ​ 把代入得 ​点坐标为 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在中， ​ ​ ​ ​ 故 3． 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 　思路分析　　过点O作由等腰三角形的性质可知再由垂径定理可知故可得出结论． 　答案　　证明：如图所示，过点O作垂足为点P， 由垂径定理可得PAPD， ​． 4． 下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不具备，请说明为什么． 　思路分析　　垂径定理需满足：弦的垂线过圆心． 　答案　　图1，3，5，6具备垂径定理的条件．图2因为没有垂直，所以不具备；图4因为两条弦都不过圆心，所以不具备． 5． 蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知半径求高度． 　思路分析　　弦半径根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解． 解：根据题意得，在中，半径 ​ ​故答案是：． 6． 如图，AB是⊙O的一条弦，于点C，交⊙O于点D，连接OA．若求⊙O半径的长． 　思路分析　　设⊙O的半径为r，在Rt中，根据勾股定理列式可求出r的值． 解：设⊙O的半径为r，则OAOC1， ​ ​ 在Rt中，O ​+（r1） r= 答：⊙O半径的长为． 7． 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接（桌面），的半径分别与直线垂直于B，D两点，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 　思路分析　　本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据可得再根据垂径定理得然后根据勾股定理得即可得出答案． 解：分别垂直于点B，D， ​． ​ ​． 在中，根据勾股定理得 ​． 8． 如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径， 交于点E．且．若求． 　思路分析　　本题考查垂径定理、三角形中位线性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得进而得到根据平行线的性质可得再根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理求出的长，利用线段和差关系求解长即可． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 9． 如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点和．求证： （1） （2）． 　思路分析　　（1）过点分别作则可知且则可证得可得出． （2）由可得再根据垂径定理即可证明． （1）证明：理由如下： 过点分别作垂足分别为 ​ ​和是直角三角形， ​ ​ 在和中， ​ ​ ​． （2）证明： ​ ​ ​ ​． 10． 如图，是直径，是的弦，于点 （1）若的半径是10，求的长? （2）若求的半径？ 　思路分析　　本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）并结合勾股定理列方程计算是解题的关键． （1）根据垂径定理，由得再连接利用勾股定理在中求． （2）设圆的半径为则结合垂径定理得再用勾股定理列方程求解． （1）解：连接． ​是直径， ​ ​是半径， ​在中， （2）解：连接． 设的半径为则． ​是直径， ​ 在中， ​ 解得 11． 如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． （1）              （2）设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点过点作于点延长与弦交于点连接已知矩形纸条的宽为． ①              ②求的半径． 　思路分析　　题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设得出再利用勾股定理求解即可得出结果． （1）解：当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ​ 故答案为：3；4； （2）① ​ 故答案为：2； ②设 ​ ​ 在中， ​ 在Rt中， ​ ​ ​ 解得 ​ ​的半径为． 12． 如图，在半径为6的扇形中，C是上的一个动点（不与A，B重合），垂足分别为点D，E． （1）求的长． （2）求四边形各内角的度数． 　思路分析　　（1）如图所示，连接过点O作于F，先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出进而求出利用垂径定理证明是的中位线，则 （2）如图所示，在优弧上取一点H，连接利用圆周角定理求出再根据圆内接四边形对角互补求出据此求解即可． （1）解：如图所示，连接过点O作于F， ​ ​ ​ 在中，由勾股定理得 ​由垂径定理得： ​ ​D、E分别是的中点， ​是的中位线， ​ （2）解：如图所示，在优弧上取一点H，连接 ​ ​四边形是圆内接四边形， ​ ​ ​ ​ 13． 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接与弦交于点连接．已知碗深求的长． 　思路分析　　本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出,在中，由勾股定理列方程求解即可． 解：是的中点， ​． 设则． 在中，由勾股定理得 即解得 ​的长为． 14． 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 　思路分析　　本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出的长，设由勾股定理得到求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 解：如图，取点为圆心，过点作于点交于点连接 ​ ​ ​ ​纸条宽为． ​ ​ 设 ​ ​ ​ ​ 解得： ​ ​ ​ ​纸杯的直径长为． 15． 一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度桥拱到水面的最大高度． （1）圆弧形桥拱的半径是       （2）现有一艘宽船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 　思路分析　　本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点过点作于点连接在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点连接则点在上．作弦交于点使得连接在中，用勾股定理求出再求的长，比较与的大小，即可求解 （1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点连接 由垂径定理知，是的中点， ​ 设半径是 由勾股定理，得 即 解得 ​桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点连接则点在上．作弦交于点使得连接 ​ 由（1），得 ​ 在中， ​ ​ ​这艘轮船能顺利通过． 16． 解答下列问题 （1）如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点． ①求证： ②如图2，连接并延长交小圆于E，连接若求的值； （2）如图3，过内一点P作弦使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 　思路分析　　（1）①过O作于H，根据垂径定理得到即可得出结论； ②连接首先证明出然后利用相似三角形的性质得到然后结合即可求出的值； （2）连接并延长至Q使以Q为圆心为半径画弧交圆O于点A，连接并延长交圆O于另一点B，则弦即为所求． （1）①证明：过O作于H，如图1所示： ​ ​ ​ ​ ②解：连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 由（1）得 ​ （2）如图，线段即为所求． 17． （1）【自主探索】如图，在中，求边的高．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．作于点D，设用含x的代数式表示则      ；在和中根据勾股定理得：      ； （2）【尝试运用】如图，在中，M为弦上一点，且连接过M作交于点N，则的长为      ． （3）【问题解决】如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接延长相交于点E．若求的半径． （4）【迁移拓展】已知线段点D在是线段上，且点A是平面内任意一点，且满足则的最大值为      ． 　思路分析　　（1）根据线段和差计算，解一元二次方程即可求解． （2）如图所示，连接过点作于点根据题意，结合垂径定理得到的长度，通过勾股定理变形得到 即可求解． （3）延长交于点F，通过垂径定理和直径所对的圆周角是直角，得到是的中位线，从而求出的长度，再和用勾股定理列方程，即可求解． （4）连接作设的长度为x，通过勾股定理变形用含有x式子将表示出来，再结合图形发现当点A在的延长线上时，最大，即可求解． 解：（1） ​ 将化简，得解得． 故答案为：． （2） ​ 如图所示，连接过点作于点可知 ​ ​ ​ ​ ​． 故答案为：． （3）如图，延长交于点F， ​点是的中点， ​ ​是直径， ​ ​ ​ 根据勾股定理可知 即 设半径长度为r，则化简得 解得（不合题意，舍去）， ​的半径为． （4）如图，连接作 设的长度为x，则 ​ ​ ​ ​当最长时，即点A在的延长线上时，最大， 而此时则 ​解得（不合题意，舍去）， ​的最大值为．故答案为：． 18． 如图，在中，是的直径，是上一点，且． （1）如图①，当点与圆心重合时，的值是      ． （2）如图②，若求的值． （3）如图③，当点在上运动时，（2）中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围． 　思路分析　　本题主要考查的是垂径定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线； （1）根据圆的半径相等，化简已知代数式即可得到答案； （2）过点作于点连接再根据垂径定理和勾股定理即可得解； （3）过点作于点连接再根据垂径定理和勾股定理即可得解． （1）解：设圆半径为 当点与圆心重合时， ​ 故答案为：． （2）解：如图①，过点作于点连接 则 ​． ​ ​． 在中， ​ ​． （3）解：（2）中的结论不变． 如图②，过点作于点连接． 设 则 ​． ​ ​． 在中， ​． 故当点在上运动时，（2）中的结论不变，的值是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $