专题29.2.1 垂直于弦的直径（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，以圆的轴对称性为基础，系统梳理垂径定理及其推论，构建“概念理解—辅助线构造—勾股定理应用—实际问题解决”的学习支架，衔接圆的基本性质与后续综合应用。 资料通过拱桥、排水管等实际情境问题培养数学眼光，以“作弦心距、连半径”辅助线策略发展推理与运算能力，分层练习与中考链接助力数学语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题29.2.1 垂直于弦的直径 教学目标 1.掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题目对其熟练的进行应用。 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理的内容； （2）垂径定理的推论； 2.难点 （1）垂径定理的内容和垂径定理的推论的综合应用； （2）垂径定理中半径、半弦长及弦心距构成的勾股定理的使用； （3）垂径定理的实际应用。 知识点01 垂径定理及其推论 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。 证明逻辑：设AB是直径，M是圆上任意一点。作M关于直线AB的对称点M′。因为圆心O在AB上，且直线AB垂直平分MM′，所以OM′=OM（等于半径），从而证明点M′也在圆上。 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则： ①AE=BE（平分弦） ②=（平分劣弧） ③=（平分优弧） 3.垂径定理的推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 4.弧的中点与等分 弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点。 尺规作图：作弧的中点只需作弦的垂直平分线，与弧的交点即为该弧的中点。 5.垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； （3）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6.常见辅助线做法 (1)过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股定理，求线段长度； (2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 【即学即练】 1．如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】连接，先根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为，则， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 解得， 即的半径为5． 2．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 【答案】A 【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围． 【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点， 在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5， ∴ ， ∴A′B′=8； 当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点， 此时AB=10， 所以AB的取值范围是8≤AB≤10． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值． 4．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 5．下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解． 【详解】解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误； ∵②等弧对等弦，故②正确； ∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误； ∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确； ∴ 正确的有②④，共2个； 故选B． 6．下面有关圆的一些结论，①三点确定一圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心是解题的关键；根据确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及三角形的外心性质判断各结论的正误． 【详解】解：①三点确定一个圆需不在同一直线上， ①错误； ②相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中， ②错误； ③平分弦的直径平分弦所对的两条弧需弦非直径， ③错误； ④三角形的外心是外接圆的圆心，且到三个顶点的距离相等，④正确． 错误的结论有3个， 故选C． 7．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心， 设圆心为，连接，如图． 中，， 根据勾股定理得：， 即：， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：A． 题型01 利用垂径定理及推论计算或证明 【典例1】下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 【典例2】如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】3 【分析】连接，设与交于点，证明，，设圆的半径为，则,在中，由勾股定理列方程求出,可求出的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， ∵是的直径，且， ∴，， 又D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴,， ∴， 设圆的半径为，则, 在中，， 即， ∴, ∴． （1）考查方向：考查垂径定理及其推论的基本概念辨析，以及利用定理计算圆的半径、弦长、弦心距等线段，并解决平行弦、同心圆等特殊位置关系的综合求值问题。 （2）核心方法：解题时通过“作弦心距，连半径”构造直角三角形；计算时利用勾股定理列方程求解线段长度；遇平行弦、同心圆等特殊情形时，结合分类讨论和线段加减进行求解。 【变式1】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式2】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，垂直平分线的性质，弦、弧的关系，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，作交于点，交于点，由垂径定理得到是线段的垂直平分线，由弦、弧的关系等量代换，结合三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点， ∴，且， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 【变式4】下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，判断确定圆的条件，三角形外接圆的概念辨析，垂径定理的推论等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据圆的相关概念，包括确定圆的条件、三角形外心的定义、圆的对称轴以及垂径定理的推论，需逐一分析每个说法的正误． 【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆， 故①错误； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等， 而各边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等， 故②正确； 对称轴是直线，直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线， 故③错误； 平分弦（非直径）的直径，才平分这条弦所对的弧， 当弦为直径时该结论不成立， 故④错误； 综上所述，正确的只有1个， 故选：A． 【变式5】如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理；根据题意可得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径是，， ∴，， 在中， ∴， 故选：A． 【中考链接1】如图，为直径，弦于E，，则长为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 【中考链接2】苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 题型02 垂径定理的实际应用 【典例1】某地的一座石拱桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是，拱桥的半径是，则它的拱高（弧的中点到弦的距离）是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的垂径定理，直角三角形的勾股定理是解题的关键．设圆弧形拱桥所在位置的圆的圆心为，，，根据垂径定理可知，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在位置的圆的圆心为， ∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦长）是，拱桥的半径是， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图．已知水面宽为，水的最大深度为，则排水管截面的半径为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据题意，得，，则，在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵为， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得 即排水管截面的半径为， 故答案为： （1）考查方向：考查将拱桥、隧道、排水管等实际问题抽象为圆内弦与直径垂直的几何模型，并利用勾股定理与方程思想求解半径、拱高或判定车辆通过性等综合应用问题。 （2）核心方法：建模时准确提取“跨度、拱高、半径”等要素转化为几何线段；计算时设未知数列勾股方程求解，并根据所求半径进一步验证实际情景中的边界条件（如高度、宽度限制）。 【变式1】如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，连接，，根据题意可知，点，，在同一条直线上，，则，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】 连接，． 根据题意可知，点，，在同一条直线上，． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【变式2】如图是一条高速公路隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，关键是利用垂径定理得出被垂直平分，进而构造直角三角形求解弦长．首先根据圆的半径和隧道高度求出圆心到路面的距离，再在直角三角形中运用勾股定理求出弦长的一半，最后计算出路面宽的长度． 【详解】解：由题意可知，于点，根据垂径定理，垂直平分，即，且圆心在上． ，， ； 在中，由勾股定理得：； ； 故选：D． 【变式3】图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算． （1）利用垂径定理确定的中点，结合已知的长度，通过线段的差计算的长； （2）先作构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等列方程求，最后结合半径求出隧道最大高度． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）知，故； 设，则． ∴． 在中，根据勾股定理，； 在中，同理得． ∵， ∴， 解得，即． 在中，， 即的半径． ∴； 答：公路隧道轮廓的最大高度为． 【变式4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是构造直角三角形；根据勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：∵， ∴， 设， 在中， ∵，， ∴， 解得：， 即：， 故选：C ． 【变式5】如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平面交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ） A．0.4厘米/分 B．0.5厘米/分 C．0.6厘米/分 D．0.8厘米/分 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 记太阳圆心为，连接，过点，作于点，延长与圆交于点，利用垂径定理推出，结合勾股定理推出，进而求出，再根据路程、速度、时间的关系求解，即可解题． 【详解】解：记太阳圆心为，连接，过点，作于点，延长与圆交于点， 圆的半径为5厘米，厘米， 厘米， 厘米， 厘米， 从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟， “图上”太阳升起的平均速度为（厘米/分）， 故选：B． 【中考链接1】水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 【中考链接2】如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 由题意，作图如下，即为所求： 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键． 根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】略 A组·基础过关 1．如图，的直径，弦于点，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 2．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 3．如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握垂径定理的推论． 根据“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案． 【详解】解：，是的直径，是非直径的弦， ． 故答案为：（答案不唯一）． 4．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 5．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． B组·能力提升 6．下列说法正确的是（） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B．平分直径的弦会垂直于这条直径 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【详解】解：A、点到直线距离的定义为：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，A说法正确． B、若平分直径的弦不一定垂直于该直径，B说法错误． C、只有同一平面内垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，选项未说明该前提，C说法错误． D、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不属于对顶角，D说法错误． 7．在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（ ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 【详解】解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 8．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 10．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（ ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       12．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 13．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 14．如图，是的直径，是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作的中点； (2)在图2中，作的中点． 【答案】(1) 如图，点即为所作； ； (2) 如图，点即为所作； ． 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形中位线定理，平行线分线段成比例． （1）连接、相交于点，作射线交于点，此时点为的中点； （2）连接、相交于点，连接、相交于点，连接并延长交于点，作射线交于点，此时点为的中点． 【详解】（1）略 （2）解：∵是半圆的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∴点为的中点． 15．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半．若截面圆中弦 ，求该烧瓶中液体的最大深度． 【答案】该烧瓶中液体的最大深度为． 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理的应用．利用垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 根据题意，可得. 在Rt中，， ． 答：该烧瓶中液体的最大深度为. C组·拓展延伸 16．小亮的爸爸是一个钓鱼爱好者，某天，小亮和爸爸一起到一个钓场去钓鱼的时候，发现鱼塘是圆形的，于是小亮就尝试用学过的知识求圆形鱼塘的半径．如图，小亮在鱼塘边上选取了三个点，量得，的长为，点到的距离为，请你帮小亮求出鱼塘的半径． 【答案】鱼塘的半径为 【分析】该题考查了垂径定理的应用，勾股定理，如图，连接，设交于点，根据，得出，垂径定理得出，，设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点， 根据题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则有， 解得． 故鱼塘的半径为． 17．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 18．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当C、D两点在圆上运动时，面积的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据直线解析式求出点、的坐标，进而得到的长度以及点到直线的距离；然后根据垂径定理和勾股定理求出的长度，确定点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆；最后根据点到直线的距离性质，当点在线段上时，点到的距离最小，的高最小，面积最小，计算即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接，， 令，则， ，； 令，则，解得， ，； ． ，， 是等腰直角三角形， ． 为弦的中点，， ，， 在中，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动． 要使面积最小，则点到的距离最小， ， 当点在线段上时，点到的距离最小，最小值为， 面积的最小值为． 20．如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作于点M，交于点N，连接，，利用勾股定理求得和的长度，得出的长度，即点A到水面的距离；过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得，证明，得到，设， 利用勾股定理列方程求解x的值，从而得到的长度，通过相似三角形证得，从而得出的长度，进而得出此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 【详解】如图甲，过点O作于点M，交于点N，连接，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，∴， ∴点A到水面的距离为， 如图乙，过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则有，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2.1 垂直于弦的直径 教学目标 1.掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题目对其熟练的进行应用。 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理的内容； （2）垂径定理的推论； 2.难点 （1）垂径定理的内容和垂径定理的推论的综合应用； （2）垂径定理中半径、半弦长及弦心距构成的勾股定理的使用； （3）垂径定理的实际应用。 知识点01 垂径定理及其推论 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。 证明逻辑：设AB是直径，M是圆上任意一点。作M关于直线AB的对称点M′。因为圆心O在AB上，且直线AB垂直平分MM′，所以OM′=OM（等于半径），从而证明点M′也在圆上。 2.垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则： ① （平分弦） ② （平分劣弧） ③ （平分优弧） 3.垂径定理的推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 4.弧的中点与等分 弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点。 尺规作图：作弧的中点只需作弦的垂直平分线，与弧的交点即为该弧的中点。 5.垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； （3） 。 6.常见辅助线做法 (1)过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股定理，求线段长度； (2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 【即学即练】 1．如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 2．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 4．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 5．下列语句中，正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下面有关圆的一些结论，①三点确定一圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 题型01 利用垂径定理及推论计算或证明 【典例1】下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______． （1）考查方向：考查垂径定理及其推论的基本概念辨析，以及利用定理计算圆的半径、弦长、弦心距等线段，并解决平行弦、同心圆等特殊位置关系的综合求值问题。 （2）核心方法：解题时通过“作弦心距，连半径”构造直角三角形；计算时利用勾股定理列方程求解线段长度；遇平行弦、同心圆等特殊情形时，结合分类讨论和线段加减进行求解。 【变式1】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【变式3】如图，在中，，则___________．（填“”“”或“”） 【变式4】下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（ ） A．2 B．3 C． D． 【中考链接1】如图，为直径，弦于E，，则长为（ ） A．1 B． C．2 D． 【中考链接2】苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 题型02 垂径定理的实际应用 【典例1】某地的一座石拱桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是，拱桥的半径是，则它的拱高（弧的中点到弦的距离）是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图．已知水面宽为，水的最大深度为，则排水管截面的半径为______ ． （1）考查方向：考查将拱桥、隧道、排水管等实际问题抽象为圆内弦与直径垂直的几何模型，并利用勾股定理与方程思想求解半径、拱高或判定车辆通过性等综合应用问题。 （2）核心方法：建模时准确提取“跨度、拱高、半径”等要素转化为几何线段；计算时设未知数列勾股方程求解，并根据所求半径进一步验证实际情景中的边界条件（如高度、宽度限制）。 【变式1】如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是______． 【变式2】如图是一条高速公路隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式3】图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【变式4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ） A． B． C． D． 【变式5】如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平面交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ） A．0.4厘米/分 B．0.5厘米/分 C．0.6厘米/分 D．0.8厘米/分 【中考链接1】水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【中考链接2】如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） A组·基础过关 1．如图，的直径，弦于点，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 3．如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 4．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 5．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） B组·能力提升 6．下列说法正确的是（） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B．平分直径的弦会垂直于这条直径 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 7．在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（ ） A．10 B．5 C． D． 8．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 10．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（ ） A．9 B．4 C．7 D．8 11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 12．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 13．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 14．如图，是的直径，是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作的中点； (2)在图2中，作的中点． 15．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半．若截面圆中弦 ，求该烧瓶中液体的最大深度． C组·拓展延伸 16．小亮的爸爸是一个钓鱼爱好者，某天，小亮和爸爸一起到一个钓场去钓鱼的时候，发现鱼塘是圆形的，于是小亮就尝试用学过的知识求圆形鱼塘的半径．如图，小亮在鱼塘边上选取了三个点，量得，的长为，点到的距离为，请你帮小亮求出鱼塘的半径． 17．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（ ） A． B． C． D． 18．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（ ）． A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当C、D两点在圆上运动时，面积的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $