28.1.2 旋转作图 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 28.1.2  旋转作图 解析版  28.1.2　旋转作图 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　图案的形成：基本图形、旋转角与旋转次数 2 　　题型 2　网格中按指定中心、方向、角度作出旋转后的图形 4 　　题型 3　坐标系中的旋转：求旋转后对应点的坐标 7 　　题型 4　旋转与平移、轴对称的综合变换 11 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 14 　题型 1　　图案的形成：基本图形、旋转角与旋转次数 知识梳理 一个图案由基本图形绕定点连续旋转若干次得到；每次旋转角 旋转次数 看一个图案能不能由旋转拼出来，先找"基本图形"。雪花、紫荆花、风车这类图案都有一个共同点：里面能挑出一块最小的图形，把它绕图案中心一次次转过去，就铺满整个图案。所以判断时只做一件事——在图案里找一块与原图重合的基本图形，找得到就是旋转形成的，找不到就不是。 旋转角与旋转次数是绑在一起的：把一圈 平均分给 次，每次就是 ．六瓣雪花取整朵为一瓣时，若把相邻两瓣合成一个基本图形， 就变成 ．同一幅图案换个取法，角度和次数同时改变，答题时要写清"以什么为基本图形"，否则角度说不通。 三种变换的分辨：平移只换位置，对应点连线平行且相等；旋转改变姿态但形状大小不变；轴对称是把图形翻折过去。题目问"既可用旋转分析又可用平移分析"时，两条都要满足：既能在图中找到绕定点等角转动的痕迹，又要能把它拆成几个一模一样、对应点连线互相平行的基本图形。 易错　①只数花瓣个数，把"瓣数"当成"旋转次数"；　②旋转角取成相邻两瓣夹角的一半；　③把轴对称的翻折说成旋转；　④判平移只看形状相同，忘了对应点连线必须平行。 要点　每次旋转角 旋转次数，基本图形的取法一变， 与次数都要跟着改。 1． 下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　分别根据旋转的定义及平移的定义逐项分析即可． 解：A、B、C、D四个选项中的图形都可以看成是图形的一半旋转得到， 若一个图形可以通过某一个基本图形平移得到，则这个图形可以分成几个相同的基本图形，且基本图形之间对应点的连线应该是平行的， 故A、B、D不能由平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形 通过平移得到．故选C． 2． 小华将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度设计出一个如图所示的雪花图案，则可以为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据旋转对称性质，利用即可求解． 解：雪花图案由6个图案组成，由旋转的性质，可得， 将图中的图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度每次旋转故选B． 3． 如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　紫荆花图案是一个旋转不变图形，根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度． 解：紫荆花图案可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360÷5=72度，故选C． 4． 如图1所示的雪花图案可以看成由基本图案“”绕中心每次旋转      旋转      次得到的；也可以看成由如图2所示的基本图案绕中心每次旋转      旋转      次得到的；还可以看成由如图3所示的基本图案绕中心旋转      得到的． 解：由图可知，雪花图案是由个菱形组成的， ​可以看成由基本图案“ ”绕中心每次旋转旋转次得到的； 基本图案的中心角为 ​ ​可以看成由基本图案旋转次得到； 基本图案的中心角为 ​ ​可以看成由基本图案旋转次得到，旋转角为． 　题型 2　　网格中按指定中心、方向、角度作出旋转后的图形 知识梳理 连半径、转角度、截等长：每个关键点绕旋转中心转过指定角并保持到中心的距离，再顺次连接 作图固定三步：连、转、截。先把旋转中心与一个关键点连起来，再把这条连线按题目要求的方向转过指定角度，最后在新射线上截取与原线段相等的长度，就得到这个关键点的对应点。每一个关键点都要这样走一遍，最后顺次连接，漏掉一个点图形就不完整。 网格是天然的量角工具。转 时，看原连线"横几格、竖几格"，旋转后变成"竖几格、横几格"，方向由顺逆时针决定；转 就是把连线延长一倍到等距处。转 这类角度，网格帮不上忙，要用等边三角形或量角器，先把旋转角画准，长度才有意义。 只给一组对应点时，先用它定出旋转角。题目给出"顶点 的对应点为 "，那么 就是旋转角，方向和大小都由此确定，其余各点按同一个角、同一个方向转过去即可。画完要回头核对：对应边相等、对应角相等、每个对应点到中心的距离都等于原来那条连线。 易错　①顺时针、逆时针弄反，图形整体翻到另一侧；　②对应点的字母标错， 的像写成 　③只转了一两个点就顺次连线，图形残缺；　④截取长度时没有从中心量起，边长走形。 要点　连半径、转角度、截等长，逐点作出再顺次连接；旋转角由一组对应点定出后，全图共用。 1． 如图，请画出四边形绕点逆时针旋转后得到的图形． 　答案　　如图，四边形即为所求． 2． 作图： （1）如图甲，以点为中心，把点顺时针旋转． （2）如图乙，以点为中心，把线段逆时针旋转． （3）如图丙，以点为中心，把顺时针旋转． （4）如图丁，以点为中心，把旋转． 　思路分析　　（1）连接将顺时针旋转即可得到的对应点即可得到答案； （2）根据旋转角为旋转方向是逆时针，旋转中心为可找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可得到答案； （3）根据旋转角为旋转方向是顺时针，旋转中心为可找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可得到答案； （4）根据旋转角为旋转中心为可找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可得到答案． （1）如图所示： ​点即为所求； （2）如图所示： ​线段即为所求； （3）如图所示： ​即为所求； （4）如图所示： ​即为所求． 3． 如图，画出绕点O顺时针旋转所得到的． 　思路分析　　根据旋转的性质，找到三个顶点的对应点，顺次连接各点即可． 　答案　　解：如图，即为所求． 4． 如图，四边形绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A的对应点为点E．试确定点B，C，D的对应点的位置，并画出四边形旋转后的四边形． 　思路分析　　本题考查了图形的旋转作图，解题的关键是确定旋转中心、旋转方向和旋转角度． 连接确定旋转角为分别以为中心，将按逆时针方向旋转得到对应点依次连接得到旋转后的四边形． 解：1． 连接确定旋转角 ​ 分别作绕点逆时针旋转后的线段使 ​ 顺次连接则四边形即为所求． 　题型 3　　坐标系中的旋转：求旋转后对应点的坐标 知识梳理 绕原点逆时针转 顺时针转 绕原点转 记住两组对应：逆时针 顺时针 ．不必死背，画个草图就能验：点 逆时针转到第二象限，横坐标取负、纵坐标换横，得 与公式一致。转 就是 和中心对称完全一样。 旋转中心不在原点时，先"相对"再"回代"。绕点 旋转，先把各点减去 的坐标变成相对坐标，按原点规律转好，再把 的坐标加回去。直接套 是最常见的错，只有中心在原点时这条规律才成立。 网格坐标题常要先自己建系。题目只给两点的坐标，就由这两点反推原点该落在哪个格点上，把坐标轴画出来再动笔。求旋转后的坐标也可以不求公式：在图上把三角形转过去，数格子读出坐标，再用"旋转前后全等、对应边相等"回头验一遍符号。 易错　①逆时针与顺时针的公式记反；　②旋转中心不在原点却直接套用原点公式；　③坐标符号判断错，点落到了错误的象限；　④平移与旋转的先后顺序做反，结果整体错位。 要点　逆时针 顺时针 ；中心不在原点就"先相对、再旋转、后回代"。 1． 如图，在中，将绕点旋转后得到则点的坐标是 （  ） A． B．或 C． D．或 　思路分析　　本题考查了坐标与图形变化-旋转．把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时，根据点的位置得出坐标． 解：在中， ​绕点O逆时针旋转后得到点在第二象限， ​ 当绕点O顺时针旋转后得到点在第四象限， ​．故选：B． 2． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B的坐标分别为和点D在y轴上．将菱形绕点D逆时针旋转得到四边形则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据菱形性质和勾股定理求出点D坐标，作轴于点E，利用旋转性质构造全等三角形求出点坐标． 解： A，B的坐标分别为和 ​ ​四边形是菱形， ​ ​ 如图，作轴于点E，连接 由旋转得 ​ ​轴， ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​点在第一象限， ​点的坐标为． 3． 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）将点P绕原点O顺时针旋转得到点则点的坐标为      ； （2）将点P绕原点O逆时针旋转得到点则点的坐标为      ． 　思路分析　　（1）作轴，轴，轴，轴，构造然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）同（1）可证：再根据全等三角形的性质解答即可． 解：（1）如下图，作轴，轴，轴，轴， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）如上图，同（1）可证： ​ ​． 4． 如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转再向下平移个单位，得到线段，则点A的对应点的坐标是      ． 　思路分析　　本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，即可可得结论． 解：如图，． 故答案为：． 　题型 4　　旋转与平移、轴对称的综合变换 知识梳理 多种变换按题目给定顺序逐个施加，前一步的像就是后一步的原像，顺序不可颠倒 一步一图，按题给顺序做。题目写"先平移再旋转"，就先画出平移后的图形，再拿这个新图形去旋转；顺序颠倒结果一定不同——绕定点旋转会改变图形的位置关系，平移的位移在旋转后方向也变了。前一步的像就是后一步的原像，中间那一步的图形要在图上保留下来。 判断"哪种变换能实现"时，逐条比对不变量：平移保持方向，对应点连线平行；旋转保持到定点的距离，所有对应点绕同一点转过同一个角；轴对称改变手性，翻折后左右顺序相反。拿三条去卡，对不上的直接排除，能对上的还要验证是否只有这一种。 无刻度直尺作图靠格点与特殊图形的性质：正方形对角线互相垂直平分、菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一，先在网格里找出这些特殊点，再用直尺连出交点。坐标系中的多步变换求坐标，建议每一步都把坐标写出来，连着心算最容易在符号上翻车。 易错　①变换顺序颠倒；　②只画出最终图形，中间那一步没留，判卷时看不出过程；　③判断变换类型时只看外形相似，没验不变量；　④多步变换求坐标时中途跳步，符号出错。 要点　变换按题给顺序逐个施加，中间图形必须保留；判断变换类型就看不变量：方向、到定点的距离、手性。 1． 如图，在正方形网格中，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点则点的落在 （  ） A．点 B．点 C．点 D．点 　思路分析　　本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 解：点落在点 故选：A． 2． 如图，中，将沿射线的方向平移，得到再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为 （  ） A．4， B．2， C．2， D．3， 　思路分析　　利用旋转和平移的性质得出，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 解：将沿射线的方向平移，得到再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​平移的距离和旋转角的度数分别为：2，．故选：B． 3． 如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是      ． 　思路分析　　本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 解：旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ​不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ​1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ​轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意，故答案为；③④． 4． 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． （1）线段的长度为      ． （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是      ． （3）在图中的网格内存在      个格点，到两边所在直线的距离相等． 　思路分析　　（1）根据勾股定理求解即可； （2）①确定点A、B的对应点，连接即可； ②运用分割法求解即可； （3）画出角平分线即可解答． （1）解： （2）①如图，为所求 ②四边形的面积 （3）解：如图，在图中的网格内存在4个格点，到两边所在直线的距离相等． A 组　基础题 必做｜基本图形的辨认、旋转角的计算与三种变换的辨析 1． 图中的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下面四个图形中，不能作为“基本图形”的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质对各选项逐项分析判即可得出答案． 解：A. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转得到的，故选项不符合题意； B. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转得到的，故选项不符合题意； C. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转得到的，故选项不符合题意； D. 图中的雪花图案不能由 经过旋转得到，因此它不能作为“基本图形”，故选项符合题意；故选：． 2． 如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 解：在平面内，将一个图形绕某一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到．故选：D． 3． 下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．能否构成旋转，解题的关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．据此判断即可． 解：A．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意； B．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意； C．该图案不是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项符合题意； D．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意．故选：C． 4． 在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 解：观察四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心为四边形的对角线交点， ​四个图形既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程．故选D． 5． 下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号) （1）可以平移但不能旋转的是      ； （2）可以旋转但不能平移的是      ； （3）既可以平移，也可以旋转的是      ． ①可以看作由左边图案向右平移得到的； ②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的； ③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的； ④可以看作上面基本图案向下平移得到的； ⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的． 故可以平移但不能旋转的是①④； 可以旋转但不能平移的是②⑤； 既可以平移，也可以旋转的是③．故答案为（1）①④，（2）②⑤，（3）③ 6． 如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段那么的对应点的坐标是      ． 　思路分析　　绕原点顺时针旋转 时，点 的对应点是 ． 解：把点 的横、纵坐标互换后给纵坐标变号，得 ．故答案为：． 7． 如图，A点的坐标为（1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是      ． 　思路分析　　连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心． 解：连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示， ​A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3）， ​E点的坐标为（1，1）， ​这个旋转中心的坐标是（1，1），故答案为：（1，1）． 8． 如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第      个箭头方向相同．（填序号） 　思路分析　　一圈有360度，每次旋转60度，那么每6次旋转为一个循环，求出除以6的余数即可得到答案． 解： ​每6次旋转为一个循环， ​ ​第2026个图案与第1个至第4个中的第4个箭头方向相同． 9． 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为      ． 　思路分析　　本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ​点P的坐标为． 故答案为：． B 组　提升题 必做｜网格作图、坐标旋转求点、平移与旋转的组合 1． 如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边的中点，若经过一次变换后会得到下列变换方式中能实现的是 （  ） A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 　思路分析　　根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 解：由题可知, ​点与点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得： 则该选项错误； B.沿直线翻折 则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ​平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转 则该选项正确． 2． 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是把向左平移个单位长度得到再将绕点按顺时针方向旋转得到则点的坐标是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　按照题意画出结合网格写出坐标即可． 解：如图所示： 由图可知，点的坐标为． 3． 如图，边长为的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴的负半轴上，顶点在轴正半轴上．将正六边形绕坐标原点按逆时针方向旋转则旋转后顶点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　如图，连接．首先确定点的坐标，再根据绕坐标原点逆时针方向旋转的特点求解． 解：如图，连接． 在正六边形中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​将正六边形绕原点O旋转则旋转后顶点D的坐标为． 4． 格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到②绕某点旋转一定的角度可得到③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是 （  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 　思路分析　　本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③，故选：C． 5． 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为则点按照变换后得到点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先把点向上平移2个单位得到结合勾股定理以及旋转性质得再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 解：依题意，点向上平移2个单位为如图所示： ​过点作轴于点 则 ​ ​点按照变换后得到点的坐标， ​ 过作轴， 在中， 则 ​的坐标为． 6． 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到则下列四个图形中正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据绕点按顺时针方向旋转逐项分析即可． 解：A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意； B、是由绕点按顺时针方向旋转后得到，故B选项符合题意； C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意； D、是由绕点按逆时针方向旋转后得到，故D选项不符合题意．故选：B． 7． 如图，在菱形中，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形两个菱形的公共点为．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是 （  ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 　思路分析　　根据菱形则结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且继而得到结合继而得到可证同理可证证继而得到得到可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得结合得到可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证进一步可得可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可． 解：向两方分别延长连接 根据菱形则 ​菱形绕点逆时针旋转得到菱形 ​点一定在对角线上，且 ​ ​ ​ ​同理可证 ​ ​ ​ ​ ​该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ​④正确； 根据题意，得 ​ ​ ​该八边形各内角不相等； ​②错误， 根据 ​ ​ ​ 故 ​点到该八边形各顶点的距离都相等错误， ​③错误； 综上，正确结论的是①④．故选B． 8． 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转得到则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了旋转的性质以及构造全等三角形求线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 过B作于过作轴于构建由勾股定理求出进而可得出答案． 解：过B作于过作轴于 ​ ​ 由旋转可知 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​．故选：A． 9． 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点作轴于点将绕点顺时针旋转得到若点的坐标为则点C的坐标为      ． 　思路分析　　先求出点的坐标，可得根据旋转的性质可得进而可得由直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出利用勾股定理列式求出由此得出点的坐标． 解：轴于点B，点B的坐标为 ​ ​ ​绕点顺时针旋转得到 ​ ​ ​ ​ ​ ​点C的坐标为． 10． 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点则点的坐标为      ． 　思路分析　　先根据点的坐标，用勾股定理计算的长度，得到的三边长度．分析每次旋转后轴上对应点的横坐标变化规律，明确每完成三次旋转（对应得到偶数下标点）时，横坐标的增量为的周长；找到偶数下标点的纵坐标规律，再结合下标是偶数的特点，推导其横坐标和纵坐标． 解： ​且 ​． ​每完成次连续旋转、得到下标为偶数的点时，三角形的总水平前进距离为： 同时的纵坐标等于原的长度（垂直于轴）， 即坐标为． 以此类推， 经过组完整的三次旋转、得到时，总水平前进距离为坐标为． ​可总结规律：下标为偶数的点纵坐标恒为横坐标为． ​ 对于对应即 ​横坐标为纵坐标为 ​点的坐标为． 11． 如图，的顶点坐标分别为将绕点逆时针旋转得到点的对应点分别是． （1）点之间的距离是      ； （2）请在图中画出． （1）解：将点绕点逆时针旋转得到 ​． ​ ​点之间的距离是 （2）如图，即为所求． 12． 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，已知． （1）画出以点A为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形 （2）若点B的坐标为点A的坐标为建立平面直角坐标系，并求将绕原点旋转后点C的对应点的坐标． 　思路分析　　（1）利用网格特点和旋转的性质画图； （2）利用点A、B的坐标画直角坐标系，然后写出点的坐标． （1） 如图所示； （2）建立平面直角坐标系如图． ∴点 的对应点 的坐标为 ． 13． 如图，在网格中有一个四边形OABC图案． （1）请你画出此图案绕点O沿顺时针方向旋转的图案； （2）上述图案说明的数学结论是什么？ 　思路分析　　（1）确定四边形各个顶点，把每个顶点绕点O按要求分别旋转得到对应点，依次连接对应顶点，画出旋转后的图形即可； （2）旋转拼接得到大正方形，用大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，列等式，化简推导，得出勾股定理。 （1）图案如图所示： （2）由图可知：大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积． 设直角三角形的两直角边分别为a，c，斜边为b．则有： 整理得： ​ 即：． 这个图案说明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14． 在如图所示的网格中，分别画出绕点逆时针旋转和后得到的和． 　思路分析　　分别画出点绕点逆时针旋转的对应点连接点得到即为所求；分别画出点绕点逆时针旋转的对应点连接点得到即为所求． 　答案　　解：如下图所示， 15． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将平移，使得点A的对应点的坐标为在图的坐标系中画出平移后的 （2）将绕点逆时针旋转画出旋转后的并直接写出的坐标； （3）求的面积． 　思路分析　　本题考查作图-平移变换、旋转、求三角形的面积． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用割补法求解即可． （1）如图，即为所求； （2）即为所求；的坐标的坐标 ； （3）解：的面积． 16． 如图，在Rt中，点在线段上． （1）请用尺规作图法作绕着点逆时针旋转得到点的对应点分别为连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若求的长． 　思路分析　　本题考查了尺规作图——作垂线、作线段，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由绕着点逆时针旋转得到点的对应点为则过点作垂线，然后在上截取再连接即可； （）由勾股定理得由旋转性质可得，则最后通过勾股定理即可求解． （1）解：由绕着点逆时针旋转得到点的对应点为 ​过点作的垂线，然后在上截取再连接 （2）解： ​ 由旋转性质可得， ​ ​． 17． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上． （1）画出向右平移3个单位长度后的 （2）画出绕点A逆时针旋转后的 （3）与的位置关系为      ． 　思路分析　　（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可； （3）延长交于点D，先推导出再由平移的性质得继而根据平行线的性质，得到即可解答． （1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）解：延长交于点D，如图 ​绕点A逆时针旋转后的 ​ 由平移的性质得 ​ ​ 即与的位置关系为垂直． 18． 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点都是网格线的交点，已知两点的坐标分别为． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标； （2）将绕着坐标原点顺时针旋转画出旋转后的 （3）求的面积． 　思路分析　　（1）根据B、C两点坐标，建立平面直角坐标系，再写出点A的坐标即可； （2）根据旋转的性质完成作图即可； （3）利用割补法求面积即可． （1）建立如解图所示的平面直角坐标系，点A的坐标为． （2）如解图，即为所求． （3）解：的面积为． 19． 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转画出旋转后的直接写出点B的对应点的坐标； （3）请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 　思路分析　　（1）根据点关于轴对称的点的特征进行解答即可； （2）分别作出点绕坐标原点逆时针旋转后的点，然后顺次连接，并写出点的对应点的坐标，即可解答； （3）分别以为对角线，逐个求出第四个顶点的坐标即可． （1）解：点关于轴对称的点的坐标为 （2）如图，即为所求，． （3）解：如图所示， ①当以为对角线时， ​四边形是平行四边形， ​ 即可看成是经过平移后得到的，且点B对应点为D，点C对应点为A， ​先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到 ​先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到 ②当以为对角线时，同理可得点坐标为 ③当以为对角线时，同理可得点坐标为 综上所述，点D的坐标为或或． 20． 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将以坐标原点为旋转中心旋转画出旋转后对应的坐标是      ； （2）平移点的对应点的坐标为画出平移后对应的的坐标是      ； （3）若将绕某一点旋转可以得到请直接写出旋转中心的坐标是      ． 　思路分析　　（1）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点顺次连接可得根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，画出根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （3）分别连接交于点．分别求出函数解析式，联立方程组，求出交点坐标即可． （1）解：如图所示，即为所作，的坐标为 （2）解：如图所示，即为所作，的坐标为 （3）解：连接交于点则点为旋转中心． 由（1）得 由（2）得 设直线的解析式为 把代入得 解得： ​直线的解析式为 同理得直线的解析式为 联立方程组得 解得 ​点的坐标为． 21． 如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为． （1）请画出使与关于轴对称． （2）将绕点逆时针旋转请画出旋转后得到的并直接写出点的坐标． （3）若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 　思路分析　　本题综合考查了利用对称变换作图，利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格特点，找出点关于轴的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）分别找出绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据各点坐标的变化即可得出结论． （1）如图，即为所求； （2）解：点的坐标是 （3）解：点的坐标是 22． 如图，已知点的坐标分别为． （1）将沿着轴向左平移5个单位长度后得到请画出 （2）将绕着点顺时针旋转后得到请画出 （3）线段在轴上运动（点在点左边），且请求出的最小值． 　思路分析　　（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）连接取点左侧一格点连接作点关于轴的对称点连接当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． （1）解：如图，即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． （3）解：连接 取点左侧一格的点连接则 ​ ​四边形是平行四边形， ​ 作点关于轴的对称点则连接 ​ ​ ​当共线时，取得最小值，最小值为的长， ​ ​ ​的最小值为． 23． 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点网格线的交点上． （1）将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到请画出 （2）以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到请画出 （3）线段的长为       ． 　思路分析　　（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出 （3）勾股定理求出的长即可。 （1）解：如图所示，即为所求； （2）如图，即为所求． （3）线段的长． 24． 如图在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(0，4)，C(1，1)． （1）画出ABC绕点O逆时针旋转后的图形 （2）将（1）中所得先向左平移4个单位再向上平移2个单位得到画出 （3）若可以看作ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 ． 　思路分析　　（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用点平移的坐标变换规律写出点的坐标，然后描点即可； （3）作B和A的垂直平分线，它们的交点为旋转中心． （1）如图，为所作； （2）（4，-2），（4，0），（1，1）， ​（0，0），（0，2），（-3，3）； （3）如图，可以看作绕P点旋转得来， 作作B和A的垂直平分线可以发现两者交于点（-3，-1） 旋转中心P的坐标为（-3，-1）．故答案为：（3，1）． 25． 如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为． （1）将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将绕点顺时针旋转画出旋转后的（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留． 　思路分析　　（1）利用平移变换的性质分别作出 ，的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出 ，的对应点即可； （3）利用弧长公式求解即可． （1）如图，即为所求； （2）如图，(即）即为所求； （3）解：在中， ​． 26． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的图形为 （2）画出绕A点顺时针方向旋转后的图形为． 　思路分析　　（1）把点A、B、C向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到对应点顺次连接即可； （2）把点B和C分别绕点A顺时针方向旋转后的对应点顺次连接A、即可得到． （1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． C 组　拓展题 选做｜开放设计、函数图象旋转与旋转中的探究 1． 某公司为了节约开支，购买了质量相同的两种颜色的残缺地砖，准备用来装修地面，现已加工成如图1所示的等腰直角三角形，王聪同学设计了如图2所示的四种图案． （1）你喜欢哪种图案？并简述该图案的形成过程． （2）请你利用所学过的知识再设计一幅与上述不同的图案． （1）答案不唯一，如：我喜欢图案（4）． 图案（4）的形成过程是：以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕大正方形的中心旋转 得到． （2）如图所示． 2． 阅读下面的问题及其解决途径． 问题：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决途径： 结合阅读内容，完成下面的问题． 问题：将函数的图象沿轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是什么？ 解决途径： （1）填写上面的空格． （2）将函数（a，b，c是常数，）的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转求所得到的图象对应的函数表达式． 　思路分析　　（1）设翻折后新的函数图象上任意点的坐标为将点沿轴翻折得点由于点在原函数图象上，因而将代入原函数表达式，整理后即可得出翻折后的图象对应的函数表达式； （2）设新函数图象上任意一点的坐标为则绕原点旋转得点再沿轴翻折，得点再向右平移个单位长度，得点由于点在原函数图象上，因而将代入整理后即可得出新图象所对应的函数表达式． （1）解：设翻折后新的函数图象上任意点的坐标为 将点沿轴翻折得点 ​点在原函数图象上， ​翻折后的图象对应的函数表达式为： ​ 整理，得： 故答案为： （2）解：设新函数图象上任意一点的坐标为则绕原点旋转得点 再沿轴翻折，得点 再向右平移个单位长度，得点 ​点在原函数图象上， ​将代入得： ​ 整理，得： ​所得到的图象对应的函数表达式为． 3． 【教材习题呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，都是等腰直角三角形，作出以点A为旋转中心，逆时针旋转后的三角形． （1）【习题解决】 在图1中画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后的三角形． （2）【习题延伸】 如图2，将绕点A逆时针旋转得到设分别与交于点F、G，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【习题拓展】 如图3，将绕点A逆时针旋转得到点D恰好落在上，与交于点F．若与关于直线对称，且则 ①      ； ②线段的长是      ． 　思路分析　　（1）连接根据证明即可解决问题； （2）由旋转的性质得出利用全等三角形的性质解决问题即可； （3）①利用轴对称的性质求出然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． （1）如图，即为所求， （2）解： 理由：绕点逆时针旋转得到 ​ ​ 在和中， ​ ​ 综上， （3）解：①与关于对称， ​ ​ 由旋转的性质可知， ②由旋转的性质可知， ​与关于对称， ​ ​． 4． 如图，已知一个锐角等于的菱形将一个的的顶点与该菱形的顶点重合，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的使它的两边分别交或它们的延长线于点． （1）如图，当时，与的数量关系是      ． （2）如图，旋转当时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （3）若菱形的边长为4，求的长． 　思路分析　　（1）证明即可得出结论； （2）作垂线构造的条件，即可得： （3）由（2）中结论可得EP、AP的长度，勾股定理求AF． （1）由菱形的性质得： 又 ​（ASA） ​ （2）仍然成立，理由如下： 作则由菱形性质可得： 又 ​ 即可得： 在和中 ​ ​ 即（1）中结论仍然成立； （3）由（2）中得， ​ ​ 又 ​在中，． 5． 某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程： （1）如图1，中，D为边上的一点，连接作并截取连接．求证： （2）如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，求的长． 　思路分析　　本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和勾股定理， （1）利用和得则有从而得进而可得然后根据勾股定理进行计算即可； （2）以为边在的右侧作等边连接是等边三角形即可证明从而可得然后再求出在中，利用勾股定理求出即可解答． （1）证明： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）以为边在的右侧作等边三角形连接如下图： ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的长为4． 6． 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，分别是边与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点画出点再在上画点使 （2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转得到线段画出线段再画点使两点关于直线对称． 　思路分析　　（1）取格点，作平行四边形，利用平行四边形对角顶点关于对角线交点对称即可求点F；平行四边形对边在网格中与格线的交点等高，连接等高点即可作出 （2）取格点，作垂直平分线即可作出线段AH；利用垂直平分线的性质，证明三角形全等，作出两点关于直线对称 （1）解：作图如下： 取格点连接且所以四边形是平行四边形，连接 与AC的交点就是点E，所以所以点F即为所求的点； 连接CF，交格线于点M，因为四边形ABCF是平行四边形，连接DM交AC于一点，该点就是所求的G点； （2）解：作图如下： 取格点D、E，连接DE，AC平行于DE，取格点R，连接BR并延长BR交DE于一点H，连接AH，此线段即为所求作线段； 理由如下：取格点W连接AW、CW，连接CR， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ， ​点是的中点， ​点是的中点， 即 ​垂直平分 ​． 连接交AC于点连接交于点则该点就是点关于直线的对称点． 理由如下：垂直平分 ​是等腰三角形， ​ ​ ​ ​两点关于直线对称． 7． 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转到位置，使如图2． （1）求的值． （2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交AC于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）在图3中与的大小关系是      ，线段与线段的数量关系是      ． 　思路分析　　本题考查了旋转的性质，矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）确定旋转角结合计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． （3）根据旋转性质和全等三角形的判定与性质求解即可． （1）解：根据题意，得旋转角 ​ ​ 故． （2）正方形，理由：根据题意，得旋转角 ​ ​ ​点G是的中点， ​ ​ ​四边形是矩形，又 ​四边形是正方形． （3）解：由旋转性质得 连接 在和中， ​ ​ ​故答案为：相等，相等． 8． 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得连接OD． （1）填空：线段OD与OC的数量关系为      ； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 　思路分析　　（1）根据旋转的性质可得出 （2）由旋转的性质可得BOC=150可求可求即可得结论； （3）分三种情况讨论，列出方程可求解． （1）解：将绕点C按顺时针方向旋转得 ​ ​是等边三角形， ​ 故答案为： （2）解：当=时，是直角三角形． 理由是：将绕点C按顺时针方向旋转得 ​ ​BOC=150 ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​AOD=360COD=360 ​不是等腰直角三角形，即是直角三角形； （3）解：AOC=360− ​− ​= ​ ​为等腰三角形， 当时，＋2 即−＋2（−）=解得= 当时，即解得= 当时，2（−）＋−解得=． 所以当为时，是等腰三角形． 综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形． 9． 已知点分别在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作交射线于点用等式表示线段与的数量关系，并证明。 　思路分析　　（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得则故再根据等角的余角相等即可得到故最后等量代换出即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得取的中点G，连接可证明则则根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到则而故可等量代换出． （1）证明：连接 由题意得： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​点是的中点； （2） 在射线上取点H，使得取的中点G，连接 ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ ​ ​是的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1.2  旋转作图 学生版  28.1.2　旋转作图 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　图案的形成：基本图形、旋转角与旋转次数 2 　　题型 2　网格中按指定中心、方向、角度作出旋转后的图形 3 　　题型 3　坐标系中的旋转：求旋转后对应点的坐标 5 　　题型 4　旋转与平移、轴对称的综合变换 7 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 9 　题型 1　　图案的形成：基本图形、旋转角与旋转次数 知识梳理 一个图案由基本图形绕定点连续旋转若干次得到；每次旋转角 旋转次数 看一个图案能不能由旋转拼出来，先找"基本图形"。雪花、紫荆花、风车这类图案都有一个共同点：里面能挑出一块最小的图形，把它绕图案中心一次次转过去，就铺满整个图案。所以判断时只做一件事——在图案里找一块与原图重合的基本图形，找得到就是旋转形成的，找不到就不是。 旋转角与旋转次数是绑在一起的：把一圈 平均分给 次，每次就是 ．六瓣雪花取整朵为一瓣时，若把相邻两瓣合成一个基本图形， 就变成 ．同一幅图案换个取法，角度和次数同时改变，答题时要写清"以什么为基本图形"，否则角度说不通。 三种变换的分辨：平移只换位置，对应点连线平行且相等；旋转改变姿态但形状大小不变；轴对称是把图形翻折过去。题目问"既可用旋转分析又可用平移分析"时，两条都要满足：既能在图中找到绕定点等角转动的痕迹，又要能把它拆成几个一模一样、对应点连线互相平行的基本图形。 易错　①只数花瓣个数，把"瓣数"当成"旋转次数"；　②旋转角取成相邻两瓣夹角的一半；　③把轴对称的翻折说成旋转；　④判平移只看形状相同，忘了对应点连线必须平行。 要点　每次旋转角 旋转次数，基本图形的取法一变， 与次数都要跟着改。 1． 下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是 （  ） A． B． C． D． 2． 小华将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度设计出一个如图所示的雪花图案，则可以为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是 （  ） A． B． C． D． 4． 如图1所示的雪花图案可以看成由基本图案“”绕中心每次旋转      旋转      次得到的；也可以看成由如图2所示的基本图案绕中心每次旋转      旋转      次得到的；还可以看成由如图3所示的基本图案绕中心旋转      得到的． 　 　题型 2　　网格中按指定中心、方向、角度作出旋转后的图形 知识梳理 连半径、转角度、截等长：每个关键点绕旋转中心转过指定角并保持到中心的距离，再顺次连接 作图固定三步：连、转、截。先把旋转中心与一个关键点连起来，再把这条连线按题目要求的方向转过指定角度，最后在新射线上截取与原线段相等的长度，就得到这个关键点的对应点。每一个关键点都要这样走一遍，最后顺次连接，漏掉一个点图形就不完整。 网格是天然的量角工具。转 时，看原连线"横几格、竖几格"，旋转后变成"竖几格、横几格"，方向由顺逆时针决定；转 就是把连线延长一倍到等距处。转 这类角度，网格帮不上忙，要用等边三角形或量角器，先把旋转角画准，长度才有意义。 只给一组对应点时，先用它定出旋转角。题目给出"顶点 的对应点为 "，那么 就是旋转角，方向和大小都由此确定，其余各点按同一个角、同一个方向转过去即可。画完要回头核对：对应边相等、对应角相等、每个对应点到中心的距离都等于原来那条连线。 易错　①顺时针、逆时针弄反，图形整体翻到另一侧；　②对应点的字母标错， 的像写成 　③只转了一两个点就顺次连线，图形残缺；　④截取长度时没有从中心量起，边长走形。 要点　连半径、转角度、截等长，逐点作出再顺次连接；旋转角由一组对应点定出后，全图共用。 1． 如图，请画出四边形绕点逆时针旋转后得到的图形． 　 　 　 2． 作图： （1）如图甲，以点为中心，把点顺时针旋转． （2）如图乙，以点为中心，把线段逆时针旋转． （3）如图丙，以点为中心，把顺时针旋转． （4）如图丁，以点为中心，把旋转． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3． 如图，画出绕点O顺时针旋转所得到的． 　 　 　 4． 如图，四边形绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A的对应点为点E．试确定点B，C，D的对应点的位置，并画出四边形旋转后的四边形． 　 　 　 　题型 3　　坐标系中的旋转：求旋转后对应点的坐标 知识梳理 绕原点逆时针转 顺时针转 绕原点转 记住两组对应：逆时针 顺时针 ．不必死背，画个草图就能验：点 逆时针转到第二象限，横坐标取负、纵坐标换横，得 与公式一致。转 就是 和中心对称完全一样。 旋转中心不在原点时，先"相对"再"回代"。绕点 旋转，先把各点减去 的坐标变成相对坐标，按原点规律转好，再把 的坐标加回去。直接套 是最常见的错，只有中心在原点时这条规律才成立。 网格坐标题常要先自己建系。题目只给两点的坐标，就由这两点反推原点该落在哪个格点上，把坐标轴画出来再动笔。求旋转后的坐标也可以不求公式：在图上把三角形转过去，数格子读出坐标，再用"旋转前后全等、对应边相等"回头验一遍符号。 易错　①逆时针与顺时针的公式记反；　②旋转中心不在原点却直接套用原点公式；　③坐标符号判断错，点落到了错误的象限；　④平移与旋转的先后顺序做反，结果整体错位。 要点　逆时针 顺时针 ；中心不在原点就"先相对、再旋转、后回代"。 1． 如图，在中，将绕点旋转后得到则点的坐标是 （  ） A． B．或 C． D．或 2． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B的坐标分别为和点D在y轴上．将菱形绕点D逆时针旋转得到四边形则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）将点P绕原点O顺时针旋转得到点则点的坐标为      ； （2）将点P绕原点O逆时针旋转得到点则点的坐标为      ． 　 4． 如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转再向下平移个单位，得到线段，则点A的对应点的坐标是      ． 　 　题型 4　　旋转与平移、轴对称的综合变换 知识梳理 多种变换按题目给定顺序逐个施加，前一步的像就是后一步的原像，顺序不可颠倒 一步一图，按题给顺序做。题目写"先平移再旋转"，就先画出平移后的图形，再拿这个新图形去旋转；顺序颠倒结果一定不同——绕定点旋转会改变图形的位置关系，平移的位移在旋转后方向也变了。前一步的像就是后一步的原像，中间那一步的图形要在图上保留下来。 判断"哪种变换能实现"时，逐条比对不变量：平移保持方向，对应点连线平行；旋转保持到定点的距离，所有对应点绕同一点转过同一个角；轴对称改变手性，翻折后左右顺序相反。拿三条去卡，对不上的直接排除，能对上的还要验证是否只有这一种。 无刻度直尺作图靠格点与特殊图形的性质：正方形对角线互相垂直平分、菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一，先在网格里找出这些特殊点，再用直尺连出交点。坐标系中的多步变换求坐标，建议每一步都把坐标写出来，连着心算最容易在符号上翻车。 易错　①变换顺序颠倒；　②只画出最终图形，中间那一步没留，判卷时看不出过程；　③判断变换类型时只看外形相似，没验不变量；　④多步变换求坐标时中途跳步，符号出错。 要点　变换按题给顺序逐个施加，中间图形必须保留；判断变换类型就看不变量：方向、到定点的距离、手性。 1． 如图，在正方形网格中，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点则点的落在 （  ） A．点 B．点 C．点 D．点 2． 如图，中，将沿射线的方向平移，得到再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为 （  ） A．4， B．2， C．2， D．3， 3． 如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是      ． 　 4． 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． （1）线段的长度为      ． （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是      ． （3）在图中的网格内存在      个格点，到两边所在直线的距离相等． 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜基本图形的辨认、旋转角的计算与三种变换的辨析 1． 图中的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下面四个图形中，不能作为“基本图形”的是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． 下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是  （  ） A． B． C． D． 4． 在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5． 下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号) （1）可以平移但不能旋转的是      ； （2）可以旋转但不能平移的是      ； （3）既可以平移，也可以旋转的是      ． 　 6． 如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段那么的对应点的坐标是      ． 　 7． 如图，A点的坐标为（1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是      ． 　 8． 如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第      个箭头方向相同．（填序号） 　 9． 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为      ． 　 B 组　提升题 必做｜网格作图、坐标旋转求点、平移与旋转的组合 1． 如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边的中点，若经过一次变换后会得到下列变换方式中能实现的是 （  ） A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 2． 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是把向左平移个单位长度得到再将绕点按顺时针方向旋转得到则点的坐标是 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，边长为的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴的负半轴上，顶点在轴正半轴上．将正六边形绕坐标原点按逆时针方向旋转则旋转后顶点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 4． 格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到②绕某点旋转一定的角度可得到③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是 （  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5． 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为则点按照变换后得到点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 6． 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到则下列四个图形中正确的是 （  ） A． B． C． D． 7． 如图，在菱形中，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形两个菱形的公共点为．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是 （  ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 8． 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转得到则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 9． 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点作轴于点将绕点顺时针旋转得到若点的坐标为则点C的坐标为      ． 　 10． 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点则点的坐标为      ． 　 11． 如图，的顶点坐标分别为将绕点逆时针旋转得到点的对应点分别是． （1）点之间的距离是      ； （2）请在图中画出． 　 　 　 　 　 12． 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，已知． （1）画出以点A为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形 （2）若点B的坐标为点A的坐标为建立平面直角坐标系，并求将绕原点旋转后点C的对应点的坐标． 　 　 　 　 　 13． 如图，在网格中有一个四边形OABC图案． （1）请你画出此图案绕点O沿顺时针方向旋转的图案； （2）上述图案说明的数学结论是什么？ 　 　 　 　 　 14． 在如图所示的网格中，分别画出绕点逆时针旋转和后得到的和． 　 　 　 15． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将平移，使得点A的对应点的坐标为在图的坐标系中画出平移后的 （2）将绕点逆时针旋转画出旋转后的并直接写出的坐标； （3）求的面积． 　 　 　 　 　 　 　 16． 如图，在Rt中，点在线段上． （1）请用尺规作图法作绕着点逆时针旋转得到点的对应点分别为连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若求的长． 　 　 　 　 　 17． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上． （1）画出向右平移3个单位长度后的 （2）画出绕点A逆时针旋转后的 （3）与的位置关系为      ． 　 　 　 　 　 　 　 18． 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点都是网格线的交点，已知两点的坐标分别为． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标； （2）将绕着坐标原点顺时针旋转画出旋转后的 （3）求的面积． 　 　 　 　 　 　 　 19． 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转画出旋转后的直接写出点B的对应点的坐标； （3）请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 20． 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）将以坐标原点为旋转中心旋转画出旋转后对应的坐标是      ； （2）平移点的对应点的坐标为画出平移后对应的的坐标是      ； （3）若将绕某一点旋转可以得到请直接写出旋转中心的坐标是      ． 　 　 　 　 　 　 　 21． 如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为． （1）请画出使与关于轴对称． （2）将绕点逆时针旋转请画出旋转后得到的并直接写出点的坐标． （3）若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 22． 如图，已知点的坐标分别为． （1）将沿着轴向左平移5个单位长度后得到请画出 （2）将绕着点顺时针旋转后得到请画出 （3）线段在轴上运动（点在点左边），且请求出的最小值． 　 　 　 　 　 　 　 23． 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点网格线的交点上． （1）将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到请画出 （2）以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到请画出 （3）线段的长为       ． 　 　 　 　 　 　 　 24． 如图在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(0，4)，C(1，1)． （1）画出ABC绕点O逆时针旋转后的图形 （2）将（1）中所得先向左平移4个单位再向上平移2个单位得到画出 （3）若可以看作ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 25． 如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为． （1）将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将绕点顺时针旋转画出旋转后的（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 26． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的图形为 （2）画出绕A点顺时针方向旋转后的图形为． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜开放设计、函数图象旋转与旋转中的探究 1． 某公司为了节约开支，购买了质量相同的两种颜色的残缺地砖，准备用来装修地面，现已加工成如图1所示的等腰直角三角形，王聪同学设计了如图2所示的四种图案． （1）你喜欢哪种图案？并简述该图案的形成过程． （2）请你利用所学过的知识再设计一幅与上述不同的图案． 　 　 　 　 　 2． 阅读下面的问题及其解决途径． 问题：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决途径： 结合阅读内容，完成下面的问题． 问题：将函数的图象沿轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是什么？ 解决途径： （1）填写上面的空格． （2）将函数（a，b，c是常数，）的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转求所得到的图象对应的函数表达式． 　 　 　 　 　 3． 【教材习题呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：如图1，都是等腰直角三角形，作出以点A为旋转中心，逆时针旋转后的三角形． （1）【习题解决】 在图1中画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后的三角形． （2）【习题延伸】 如图2，将绕点A逆时针旋转得到设分别与交于点F、G，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【习题拓展】 如图3，将绕点A逆时针旋转得到点D恰好落在上，与交于点F．若与关于直线对称，且则 ①      ； ②线段的长是      ． 　 　 　 　 　 　 　 4． 如图，已知一个锐角等于的菱形将一个的的顶点与该菱形的顶点重合，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的使它的两边分别交或它们的延长线于点． （1）如图，当时，与的数量关系是      ． （2）如图，旋转当时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （3）若菱形的边长为4，求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 5． 某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程： （1）如图1，中，D为边上的一点，连接作并截取连接．求证： （2）如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，求的长． 　 　 　 　 　 6． 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，分别是边与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点画出点再在上画点使 （2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转得到线段画出线段再画点使两点关于直线对称． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 7． 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转到位置，使如图2． （1）求的值． （2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交AC于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）在图3中与的大小关系是      ，线段与线段的数量关系是      ． 　 　 　 　 　 　 　 8． 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得连接OD． （1）填空：线段OD与OC的数量关系为      ； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 　 　 　 　 　 　 　 9． 已知点分别在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作交射线于点用等式表示线段与的数量关系，并证明。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $