28.2.1 中心对称及其性质 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

28.2.1 中心对称及其性质 教学设计 课题 中心对称及其性质 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时（本章共7课时：28.1两课时、28.2三课时、数学活动与小结1课时） 课型 新授课 教学目标 1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念，能准确判断两个图形成中心对称；2. 经历“类比旋转—操作观察—推理论证”的探究过程，掌握中心对称的两条性质（对称点所连线段经过对称中心且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等），并能运用性质解决简单问题；3. 能依据性质作出一个图形关于某点对称的图形，体会类比思想和从一般到特殊的研究方法。 教学重点 中心对称的概念与两条性质。 教学难点 中心对称性质的探究与推理证明，及其在作图与计算中的运用。 教学方法 类比探究、推理证明、讲练结合 教学准备 多媒体课件、量角器、直尺 课后练习 教材 P101 练习第 1～2 题；P104 习题 28.2 第 1、2 题。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习引入 一、复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC 绕点 O 旋转，使点 A 旋转到点 D 处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法． 老师点评：本题已知旋转后点 A 的对应点是点 D，且旋转中心也已知，关键是找出旋转角和旋转方向．连接 OA、OD，则 ∠AOD 即为旋转角；旋转方向逆时针、顺时针都符合要求，一般选择小于 180° 的旋转角为宜，本题取顺时针方向．接下来根据“对应点与旋转中心连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”作图即可． 作法：（1）连接 OA、OB、OC、OD；（2）分别以 OB、OC 为一边作 ∠BOM＝∠CON＝∠AOD；（3）分别截取 OE＝OB，OF＝OC；（4）依次连接 DE、EF、FD．则 △DEF 就是所求作的三角形，如图所示． 学生在学案上独立完成旋转作图并写明作法，教师巡查后请一名学生口述作图依据（对应点距离相等、连线夹角等于旋转角）。 复习旋转作图的完整流程，为把旋转角特殊化为 180°（中心对称）作图作好方法铺垫。 二、类比探究 形成概念 二、类比探究，形成概念 【思考】（1）如图（图1），把其中一个图案绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？ 图1 （2）如图（图2），线段 AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD．把 △OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？ 图2 【师生活动】学生回答，老师点评：图1 中，一个图案旋转后与另一个图案重合；图2 中，旋转后的 △OCD 与 △OAB 重合． 【概念】像这样，一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点． 【辨析】中心对称是旋转的特例——旋转角为 180° 的旋转．因此成中心对称的两个图形一定全等；但全等的两个图形不一定成中心对称． 学生观察两个图形旋转 180° 后的重合现象，用自己的语言描述“旋转 180° 后重合”的特征，并与旋转、轴对称进行对比辨析。 从学生熟悉的旋转作图出发，通过两个直观实例抽象出中心对称的概念，渗透“一般到特殊”的研究路径；及时辨析全等与中心对称的关系，防混淆。 三、推理论证 归纳性质 三、推理论证，归纳性质 作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的全部性质．除此之外，中心对称还有什么特殊性质呢？ 【探究】如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 对称，我们考虑它们的对称点之间的关系： （1）△ABC 与 △A′B′C′ 全等吗？（2）对称中心 O 与对称点的连线 AA′、BB′、CC′ 有什么关系？ 证明：（1）∵△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 对称，∴OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴△AOB≌△A′OB′（SAS），∴AB=A′B′．同理 AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′． （2）点 A′ 是点 A 绕点 O 旋转 180° 得到的，即线段 OA 绕点 O 旋转 180° 得到线段 OA′，所以点 O 在线段 AA′ 上，且 OA=OA′，即点 O 是线段 AA′ 的中点．同理，点 O 也分别是 BB′、CC′ 的中点． 【性质】成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分；成中心对称的两个图形是全等图形． 给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图形：对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，再顺次连接这些对称点即可． 学生先猜想两条性质，再模仿旋转性质的证明思路，用“对顶角+SAS”完成全等证明、用“旋转 180° 意义”说明对称中心是中点，小组互查证明的严谨性。 把性质的得出从“观察归纳”提升为“推理论证”，弥补直观感知的不足；类比旋转性质的研究方式，强化图形变换学习方法的一致性，突破本课难点。 四、学以致用 应用新知 四、学以致用，应用新知 【例】如图，选择点 O 为对称中心，作出与 △ABC 关于点 O 对称的 △A′B′C′． 分析：关键是利用中心对称的性质确定 △ABC 三个顶点的对称点． 解：连接 AO，在 AO 的延长线上截取 OA′＝OA，即得到点 A 关于点 O 的对称点 A′；用同样的方法分别作出点 B、C 关于点 O 的对称点 B′、C′；依次连接 A′B′、B′C′、C′A′，就得到与 △ABC 关于点 O 对称的 △A′B′C′，如图所示． 【方法点拨】画一个图形关于某点中心对称的图形的步骤：一找（找关键点）、二作（作每个关键点关于对称中心的对称点——对称点与原图形的点分别在对称中心两侧且到中心距离相等）、三连（顺次连接各对称点）． 学生独立完成作图，同桌互查“对称点是否在中心两侧、距离是否相等”；两名学生上台板演并讲解作图依据。 例题示范“一找二作三连”的作图程序，把中心对称性质直接应用于作图，巩固重点并为后续图案设计积累经验。 五、随堂训练 巩固新知 五、随堂训练，巩固新知 （1）如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（　　） A．1组　　B．2组　　C．3组　　D．4组 解析：把每组左边的图形绕组中心旋转 180°，逐一检验能否与右边的图形重合，其中能重合的有 3 组． 答案：C （2）如图，已知 △AOB 与 △DOC 成中心对称，△AOB 的面积是 12，AB＝3，则 △DOC 中 CD 边上的高是（　　） A．3　　B．6　　C．8　　D．12 解析：成中心对称的两个图形全等，∴△DOC≌△AOB，∴CD＝AB＝3，△DOC 的面积也为 12．设 CD 边上的高为 h，则 ，解得 h＝8． 答案：C （3）如图，把一张长方形 ABCD 的纸片沿 EF 折叠后，ED′ 与 BC 的交点为 G，点 D、C 分别落在 D′、C′ 的位置上，若 ∠EFG＝55°，则 ∠1＝（　　） A．55°　　B．125°　　C．70°　　D．110° 解析：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝55°（两直线平行，内错角相等）；由折叠可知 ∠D′EF＝∠DEF＝55°，∴∠DEG＝∠DEF+∠D′EF＝110°．∵点 E、G、D′ 共线，点 B、G、C 共线，∴∠1 与 ∠DEG 的两边互为反向延长线，即对顶角，∴∠1＝∠DEG＝110°． 答案：D （4）如图，已知 △ABC 和 △A′B′C′ 成中心对称，画出它们的对称中心． 分析：由于 △ABC 和 △A′B′C′ 成中心对称，从整体上看这是一幅中心对称图案，本题有两种解法． 解法一：根据观察，B、B′ 及 C、C′ 应是两组对应点，连接 BB′、CC′，则 BB′ 与 CC′ 的交点 O 就是它们的对称中心（对称点所连线段都经过对称中心），如图． 解法二：B、B′ 是一组对应点，连接 BB′，找出线段 BB′ 的中点 O，则点 O 就是它们的对称中心（对称中心平分对称点连线段），如图． 学生独立完成（1）～（3），口答并互评；（4）用两种方法作图并比较优劣，教师集中订正，强调“性质支撑作法”。 （1）题检验概念的识别；（2）题把“全等”性质转化为面积计算，体现性质的应用价值；（3）题综合折叠与平行，训练推理表述；（4）题双解法巩固“对称点连线经过中心且被平分”这一核心性质。 六、课堂小结 自我完善 六、课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1．本节课学习了哪些主要内容？2．怎样画一个图形关于一个点的对称图形？ 【归纳】①中心对称：一个图形绕某点旋转 180° 后与另一个图形重合，该点为对称中心，重合的点为对称点；②性质：对称点所连线段经过对称中心且被其平分，成中心对称的两个图形全等；③作图三步：找关键点→作对称点（反向等距）→顺次连接；④对称中心的确定：两组对应点连线的交点，或一组对应点连线段的中点． 学生用自己的语言复述中心对称的概念、性质与作图步骤，互相补充；教师引导学生辨析“中心对称与旋转、轴对称”的联系。 通过问答式小结梳理“概念—性质—作图”主线，强化记忆锚点，为下节课中心对称图形作铺垫。 七、布置作业 七、布置作业 教材 P101 练习第 1～2 题；P104 习题 28.2 第 1、2 题． 提示：作图题保留作图痕迹；表述性质时注意“经过对称中心”与“被对称中心平分”两层含义都要说到． 课后独立完成，先复述性质再动笔，作图规范、痕迹完整。 巩固中心对称概念、性质与作图方法，检验学习目标达成情况。 板书设计 中心对称及其性质 一、概念 旋转角为 180°：一个图形绕点 O 旋转 180° 后与另一图形重合 对称中心（点 O）、对称点（P 与 P′） 二、性质 1．对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平分 2．成中心对称的两个图形是全等图形 三、作图三步 找关键点 → 反向等距作对称点 → 顺次连接 四、确定对称中心 两组对应点连线的交点 / 一组对应点连线段的中点 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $