30.1.1 直线与圆的位置关系讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 30.1.1  直线与圆的位置关系 解析版  30.1.1　直线与圆的位置关系 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　用圆心到直线的距离判定位置关系 2 　　题型 2　由公共点情况反求半径的范围 3 　　题型 3　坐标系与平移中的位置关系 6 　　题型 4　相切、动圆与公共点个数 9 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 12 　题型 1　　用圆心到直线的距离判定位置关系 知识梳理 设圆心到直线的距离为 半径为 相离（ 个公共点）， 相切（ 个）， 相交（ 个） 位置关系只比一个量：圆心到直线的距离 与半径 。算 的办法是作垂线段——直角三角形里用面积法、坐标系里用横纵坐标差，都是一件事。 公共点个数与位置关系一一对应：相离 个、相切 个、相交 个。所以题目问"交点有几个"，本质上就是问位置关系，不必真的去解方程组。 生活情境题（落日与地平线、车轮与地面）先抽象成"圆与直线"，再看垂足落在哪里。注意区分"线段"与"直线"：题目说"线段与圆有公共点"，要考虑垂足是否落在线段内。 易错　①用半径与"圆上某点到直线的距离"比较；　②相切与相交的界线记反；　③把线段与它所在的直线混为一谈；　④坐标题把 算成两点间距离。 要点　比 与 大则离、等则切、小则交，公共点个数随之而定。 1． 直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 A． B． C． D． 解：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则dr；②直线l和⊙O相切，则d③直线l和⊙O相离，则dr（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ​直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，r的取值范围是rd=6．故选C． 2． 已知⊙O的直径等于圆心O到直线l的距离为则直线l与⊙O的交点个数为【 】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 　思路分析　　首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若dr，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若dr，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点． 解：⊙O的直径等于 ​该圆的半径是即r= ​圆心O到直线l的距离为即d= ​ ​直线和圆相交， ​直线l与⊙O的交点个数为2．故选：C． 3． 若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为 （  ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 　思路分析　　根据圆与直线的位置关系进行判断即可． 解：直线与半径为的⊙O相交， ​圆心到直线的距离dr，即d4， ​满足条件的只有A选项，故选：A． 4． 在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是      ． 　思路分析　　先求出斜边的长度，再利用三角形面积公式求出圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小，即可判断直线与圆的位置关系． 解：过点作于点． ​ ​由勾股定理得 ． ​ ​ ​ 即圆心到直线的距离． ​ ​直线与相离． 　题型 2　　由公共点情况反求半径的范围 知识梳理 "有公共点"含相切与相交两种，故 "只有一个公共点"则 "有两个"则 反向题的坑全在等号："有公共点"是 不是 ；"只有一个公共点"是 ；"没有公共点"才是 把这些词与不等号一一对上，再动笔。 求半径范围常靠"至少一个在圆内、至少一个在圆外"这类条件：算出各点到圆心的距离，"至少有一个在内"要求 最小的那个，"至少有一个在外"要求 最大的那个，两头一夹就是范围。两头都要取到，等号看题意。 动点、动圆题把 写成含参数的式子，再按题意列不等式组。动圆的圆心轨迹往往是一条直线或一段线段，先把它画出来，很多题看一眼就知道答案落在哪一段。 易错　①"有公共点"漏掉相切的等号；　②范围只写一头，没有夹逼；　③动圆题不先定圆心轨迹；　④把"两个公共点"与"有公共点"混用。 要点　有公共点 只有一个 ；范围靠最大最小两头夹。 1． 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足则直线l与⊙O的位置关系是【 】 A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 　思路分析　　根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：②相切：d③相离：（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D． 2． 如图，已知中，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　作于D，根据勾股定理计算出再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 解：作于D，如图， ​ ​ ​ ​ ​以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为故选：C 3． 已知的斜边直角边． （1）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是      ； （2）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是      ； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为      ． 　思路分析　　设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线与⊙O相交直线与⊙O相切直线与⊙O相离．先求出另一条直角边和斜边上的高，可得答案． 解：如图， ​的斜边直角边 ​ 所以，斜边上的高 （1）因为 所以，以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是相离； （2）因为 所以，以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是相交； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为． 4． 如图，已知矩形的边现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是      ． 　思路分析　　本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为点到圆心的距离则有：①点在圆外 ②点在圆上③点在圆内是解题的关键．根据勾股定理求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 解：如图，连结 ​四边形是矩形， ​ ​ ​以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内， ​ ​至少有一点在圆外， ​ ​半径的取值范围是：．故答案为：． 　题型 3　　坐标系与平移中的位置关系 知识梳理 坐标系中圆心到直线（坐标轴）的距离就是相应的坐标绝对值；平移只改圆心位置，半径不变 坐标系里判位置关系，先看直线是不是坐标轴：到 轴的距离是 到 轴的距离是 若是斜直线，就用点到直线距离公式，或者先求出垂足。 平移只移动圆心，半径不动。所以"平移到与某直线相切"就是解一个关于平移量的方程 常常有两解（向两个方向各一次），题目若只问一个方向，就取一个。 求三角形面积最值的题，关键是底边固定、高随动点变化，于是问题变成"点到直线距离的最值"，再用 求端点。这一步转化是整道题的枢纽。 易错　①到坐标轴的距离算成坐标本身（忘了取绝对值）；　②平移后半径也跟着变；　③相切的平移量只写一个；　④面积最值题不注意高可取到 两端。 要点　到 轴看 到 轴看 平移只动圆心，相切常有两解。 1． 在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆 （  ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 解：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4， ​圆与x轴相切，与y轴相交，故选C． 2． 如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为若将沿轴向右平移，使得与y轴相切，则向右平移的距离为      ． 　思路分析　　本题考查圆的切线性质、平移性质，分类讨论是解答的关键．分圆在y轴左侧相切和y轴右侧相切求解即可． 解：点的坐标为 ​ 如图，当圆在y轴左侧相切时，则 当圆在y轴右侧相切时，则 故向右平移的距离为1或5， 故答案为：1或5． 3． 如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为设点的坐标为． （1）求与直线相切时点的坐标． （2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 　思路分析　　（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围． （1）过作直线的垂线，垂足为． 当点在直线右侧时，得． 当点在直线左侧时，得． ​当与直线相切时，点的坐标为或． （2）当时，与直线相交． 当或时，与直线相离 4． 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上一动点，连接求面积的最小值． 　思路分析　　过点C作于点M，连接长度为定值，利用等面积法计算出的长，当点P为线段与的交点时，面积最小，由此可解． 解：如图，过点C作于点M，连接． 对于 当时，解得 当时， ​ 即 ​． ​ ​ ​． ​ ​． ​直线与相离， ​当点P为线段与的交点时，点到的距离最小，最小距离是 ​面积的最小值是． 　题型 4　　相切、动圆与公共点个数 知识梳理 相切等价于 动圆与射线、线段的公共点个数，要按 随位置变化的区间分段讨论 相切只有一条判据：。求半径就让 求位置就让 证明切线则反过来，作出垂直再证它等于半径（这是下一节的主题，这里先把""用熟）。 动圆与射线（或线段）的公共点个数，必须分段讨论：随着圆心移动， 从大到小再变大，依次经过"无公共点、相切、两交点、相切、无公共点"几个区间。把 的临界位置先标出来，区间自然分好。 注意射线的端点在不在圆内会改变答案：端点落在圆内时，即使相离的位置也可能有一个公共点。这类细节要回到图上量一量，不能只套公式。 易错　①讨论不分段，只给一个范围；　②临界值取 时忘了等号归属；　③忽略射线端点是否在圆内；　④把"直线"的结论直接搬到"射线"上。 要点　相切即 动圆按临界位置分段讨论，端点位置要单独看。 1． 如图，⊙O的半径直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 （  ） A． B． C． D．或 解：连接OA，如图： ​由勾股定理可得当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=所以直线在原有位置移动或后与圆相切，故选D． 2． 如图，在矩形中，连接以点B为圆心，r为半径作． （1）当与相切时，求r的值； （2）若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 　思路分析　　（1）因为直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以先求点B到的距离，该距离即为r的值，计算时可利用直角三角形面积的等积法． （2）圆与线段有唯一公共点的两种情况：圆与线段相切，或圆与线段相交且仅一个交点在边上，得根据．即可确定r的范围． （1）解：在矩形中， ​由题意可知． ​与相切， ​点B到的距离即为的半径r， ​ 解得． （2）解：在矩形中，． 由（1）知， ​与边有唯一公共点， ​ ​ ​r的取值范围是． 3． 如图，点M在上，且以M为圆心，r为半径画圆． （1）讨论射线与公共点个数，并写出r对应的取值范围； （2）若C是射线上一点，讨论线段与的公共点个数，并写出r相应的取值范围． 　思路分析　　（1）过点M作于点N，求出的长，再根据直线与圆的位置关系可得答案； （2）过点M作于点N，求出的长，进而求出的长，再求出的长，最后根据直线与圆的位置关系可得答案． （1）解：如图所示，过点M作于点N， ​ ​ ​ ​当时，与射线只有1个公共点； 当时，与射线没有公共点； 当时，与射线有2个公共点； 当时，与射线只有1个公共点． （2）解：如图所示，过点M作于点N，连接 同理可得 ​ ​ ​ ​ ​当时，线段与没有公共点； 当时，线段与有1个公共点； 当时，线段与有2个公共点； 当时，与线段没有公共点． 4． 如图，已知M是射线上一点，以点M为圆心，r为半径作． （1）若则射线与的位置关系是      ； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是      ； （3）当时，射线与的位置关系是      ． 　思路分析　　过点M作于点N，根据直线与圆的位置关系，逐个进行分析求解即可． 解：（1）如图，过点M作于点N， ​ 在中， ​射线与的位置关系是相切． （2）与射线没有交点， ， ​r的取值范围是． （3） ​ ​射线与的位置关系是相交． A 组　基础题 必做｜位置关系判断与基本求值 1． 如图，小明在旅途中看到了王维诗中描述的“大漠孤烟直，长河落日圆”的景象．图中太阳可看作圆，地平线可看作一条直线，则它们的位置关系为 （  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 　思路分析　　本题考查了直线和圆的位置关系，解决本题的关键是熟练掌握直线与圆位置关系的判定． 由直线和圆位置关系的判定方法，即可得到答案． 解：图中的太阳可看作圆，地平线可看作一条直线，则它们的位置关系为相离．故选：A ． 2． 如图，已知圆心O在射线上运动，的半径为2，且与始终有两个公共点，则当与射线仅有一个公共点时，的长为 （  ） A． B．2 C． D． 　思路分析　　由与始终有两个公共点，可得当与射线仅有一个公共点时，与相切，令切点为D，则是等腰直角三角形，由此可解． 解：与始终有两个公共点， ​当与射线仅有一个公共点时，与相切，如图， 令切点为D，连接 ​ ​ ​是等腰直角三角形， ​． 3． 已知平面内有和点若半径为线段则直线与的位置关系为 （  ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 　思路分析　　根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 解：⊙O的半径为线段线段 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ​点A在⊙O外．点B在⊙O上， ​直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D． 4． 已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为则直线和的位置关系是 （  ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 　思路分析　　可判断圆心到直线l的距离小于半径，从而得出结果． 解：点A到圆心O的距离为 ​圆O到直线的距离 ​ ​直线l和的位置是相交，故选：A． 5． 四个等圆与直线l的位置关系如图所示，其中与直线l是相离关系的圆是 （  ） A． B． C． D． 解：观察图可知：与直线均有交点，而与直线没有交点， ​与直线是相离关系的圆是． 6． 下列命题中，正确的有：      ．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 　思路分析　　区分线段与直线和圆的位置关系，根据直线与圆位置关系的定义逐一判断即可． 解：① 若线段与圆没有公共点，线段所在的直线仍可能与圆有公共点，只是线段未延伸到圆的区域，因此①错误； ② 若线段仅一个端点在圆上，其余部分都在圆内，此时线段与圆只有一个公共点，但不符合相切的定义，因此②错误； ③ 与圆有公共点的直线和圆可能相切，不一定相交，因此③错误； ④ 直线与圆相切的定义就是直线与圆只有一个公共点，因此④正确． 综上所述，命题正确的是④． 7． 如图，在矩形中，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是       ． 　思路分析　　此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 解：如图所示：过的中点作于． 则 ​ ​ ​即圆心到直线的距离半径， ​直线与相交； 故答案为：相交． 8． 已知直线l与相切，若圆心O到直线l的距离是5，则的半径是      ． 　思路分析　　直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径． 解：直线l与相切，圆心O到直线l的距离是5， ​的半径是5． 9． 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是      ． 　思路分析　　解方程推出的半径，再求出点A到x轴的距离即可得到答案． 解： ​ 解得或 ​的半径是方程的一个根， ​的半径为6， ​的圆心坐标为 ​点A到x轴的距离为 ​点A到x轴的距离等于的半径， ​与x轴的位置关系是相切． 10． 如图，正方形的边长为和相交于点过作交于交于则以点为圆心，为半径的圆与直线的位置关系分别是什么？ 　思路分析　　本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，求点到的距离，即可知与的半径相等，故圆与直线相切，点到的距离小于的半径，故圆与直线相交，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 解：由题中已知条件，得 ​ 即点B到的距离为与的半径相等， ​直线与相切． ​ ​ 且 ​直线与相交． B 组　提升题 必做｜半径范围、坐标计算与相切求值 1． 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是 （  ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 　思路分析　　根据反证法的步骤分析判断，即可解答． 解：假设三角形没有一个内角小于或等于即三个内角都大于． 则三角形的三个内角的和大于 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾． 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 以上步骤符合反证法的步骤． 故推理使用的证明方法是反证法．故选：A． 2． 如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为  （  ） A．4 B．5 C． D． 　思路分析　　本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到从而确定B、C的位置． 解：的外心为O， ​ ​ ​ ​B、C是方格纸格线的交点， ​B、C的位置如图所示， ​．故选：D． 3． 若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是      ． 解：先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论． 【解答】解： ​二次函数的图像开口向上，顶点对称轴是直线 ​在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交， ​ ​抛物线开口向上， ​当时， 当时，且此时圆与轴相切，故不可取到． ​． 4． 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连接过点作于连接在点移动的过程中，的最小值是      ． 　思路分析　　本题考查圆外一点到圆上最小距离问题，勾股定理，圆周角定理，根据得到点在为直径的圆上，连接圆心与点交于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 解： ​点在为直径的圆上， ​连接圆心与点交于一点即为最小距离点，如图所示， ​是半圆的直径， ​ ​ ​ ​ ​ ​故答案为：． 5． 如图，已知为平面直角坐标系内两点，以点为圆心的经过原点轴于点点为上一动点，为的中点，则线段长度的最大值为      ． 　思路分析　　连接取的中点为 连接可求得根据三角形的三边关系即可求得答案． 如图所示，连接取的中点为 连接． 根据题意，得 ​ ​． 根据题意，得 ​． ​为斜边的中点， ​． ​的中点为的中点为 ​． ​即 ​． ​长度的最大值为．故答案为： 6． 如图，已知为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是      ． 　思路分析　　比较圆心到直线的距离与半径： 相切． 解：过点 作 于 ． ​ 的半径为 等于半径， 与直线 相切．故答案为：相切． 7． 如图，在中，当以A为圆心的与直线①相切；②相交；③相离时，分别求的半径r． 　思路分析　　先过点A作解三角形算出再根据直线与圆位置关系，比较的半径r与距离2的大小，最后分别写出相切、相交、相离对应的的半径r． 如图，过点A作于点D，设． ​ ​为等腰直角三角形， ​ ​ ​在中， 则 ​ ​ 解得即． 当以A为圆心的与直线相切时，的半径当以A为圆心的与直线相交时，的半径当以A为圆心的与直线相离时，的半径． 8． 如图，在中，点O在边上，的半径为2．当x在什么范围内取值时，所在的直线分别与相交、相切、相离？ 　思路分析　　过点O作于点D，求出的长，当圆心到直线的距离大于半径时，该直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，该直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，该直线与圆相交，据此可得答案． 解：如图，过点O作于点D． ​ ​． ​ ​ 若所在直线与相离，则即 解得 若所在直线与相切，则即 解得 若所在直线与相交，则即 解得． 综上所述，当时，所在直线与相离；当时，所在直线与相切；当时，所在直线与相交． 9． 在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆． （1）当      时，上有且只有一个点到直线l的距离等于3； （2）当      时，上有且只有三个点到直线l的距离等于3； （3）随着r的变化，上到直线l的距离等于3的点的个数如何变化？并求出相对应的r的值或取值范围． 　思路分析　　根据圆心到直线的距离即可求解． （1）解：点O到直线l的距离为5， 则上有且只有一个点到直线l的距离等于3时， （2）解：点O到直线l的距离为5， 则上有且只有三个点到直线l的距离等于3时， （3）解：当时，上没有点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 10． 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 　思路分析　　此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出即得的半径为再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． （1）连接分别作的垂直平分线交于点M，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为 故答案为：． （2）相交． 根据网格特征可得： ​的半径 圆心M到y轴的距离 ​ ​与y轴相交． C 组　拓展题 选做｜动点最值、反证法与综合探究 1． 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接则线段的最大值是 （  ） A．4 B． C． D．5 　思路分析　　本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当过圆心时，长最大，由三角形中位线定理即可求解． 连接由抛物线关于轴对称，得到因此是的中位线，得到当过圆心时，长最大，长最大，求出的坐标是得到由勾股定理求出由三角形中位线定理即可求解． 解：连接 ​抛物线关于轴对称， ​ ​ ​是的中位线， ​ ​当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ​ ​的坐标是 ​ ​的坐标是 ​ ​ ​的半径是 ​ ​ ​ ​的最大值是故选：B． 2． 已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接若则的最小值为      ． 　思路分析　　以为斜边作等腰则连接可求可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的当三点共线时，最小，由即可求解． 解：如图所示，以为斜边作等腰则连接． ​ ​的直径为C为的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的 ​当三点共线时，最小， ​ ​ ​ ​ ​ ​的最小值为．故答案：． 3． 阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt中，若所以． 证明：假设． 这与假设矛盾，所以． 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正． 　思路分析　　反证法的步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当做已知条件，经过推理论证，得出与定义、公理、定理或已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论，而非推出结论与假设相矛盾． 　答案　　有错误. 改正： 假设则又所以这与矛盾， 所以不成立， 所以． 4． 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 　思路分析　　本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接假设和互相平分，则四边形是平行四边形，由不可能平行于与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 　答案　　证明：如图，连接 假设和互相平分， ​四边形是平行四边形， ​ ​在中，点D、E分别在上， ​不可能平行于与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ​和不可能互相平分． 5． 如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证： （1）四边形是平行四边形． （2）用反证法证明：线段与不垂直． 　思路分析　　本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和萎形的判定是解题的关键． （1）证是的中位线，是的中位线，得出即可得出结论； （2）假设：与的位置关系为得出四边形是菱形，由三角形中位线定理得出得出再根据则证得与不垂直． （1）证明：分别是的中点， ​是的中位线，是的中位线， ​ ​四边形是平行四边形； （2）证明：假设：与的位置关系为如图所示， 则 由（1）得：四边形是平行四边形， ​四边形是菱形， ​是的中位线，是的中位线， ​ ​ ​ ​ ​四边形不是菱形， ​与不垂直． 6． 如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点，． （1）圆心M的坐标为 ； （2）判断点与的位置关系． 　思路分析　　本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； （1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为：． （2）解：圆的半径 线段 所以点在内． 7． 如图，在中，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线于点E，F，射线交直线于点G． （1）求证． （2）若点E在的延长线上，且求的度数． （3）当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 　思路分析　　（1）连接并延长交于点H, 连接根据线段垂直平分线判断垂直平分得到结合即得 （2）连接设得得根据 垂直平分得到得到根据垂径定理推出得到在中，推出, 得到即得 （3）在和中，根据得得结合得当时， 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． （1）连接并延长交于点H, 连接 ​ ​ 垂直平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）连接设 由（1）知， ​ ​ 垂直平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​, ​ ​ （3） ​ ​ ​ ​ ​ ​ 当时， ​ ​ ​随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ​ ​ ​随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 8． （1）如图在中，求的外接圆半径的值． （2）如图的半径为弦是的中点，是上一动点，求的最大值． （3）如图所示，是某新区的三条规划路，其中弧所对的圆心角为．新区管委会想在路边建物资总站点在路边分别建物资分站点．也就是分别在上选取点．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路和．为了快捷环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 　思路分析　　（1）由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得根据圆周角定理，可得结合可得是等边三角形，从而可得的外接圆半径的值； （2）连接并延长交于连接显然，即为的最大值，根据垂径定理求得的长，即可求得的最大值； （3）分别作点关于的对称点连接由对称性可知根据题意正确画出图形，得到点的位置，根据等边三角形的判定和性质，结合勾股定理进行求解，即可得的最小值． （1）解：如图设的外接圆的圆心为连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​的外接圆半径的值为． （2）解：如图连接并延长交于连接 显然， ​是的中点， ​ ​的半径为 ​ ​ ​的最大值为． （3）解： 如图假设点即为所求点，分别作点关于的对称点连接 由对称性可知 当且仅当在一条直线上时， ​即为最短距离， 如图作弧的圆心连接与弧交于点即为使得最短的点， 取中点记为连接 ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 作于点则 ​ ​ ​的最小值为． 9． 如图，在平面直角坐标系中，． （1）经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ，半径为 ； （2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 　思路分析　　（1）分别作的垂直平分线，交点即为点M的位置； （2）设直线交轴于点根据圆心到直线的距离与半径的关系判断位置关系即可． （1）解：如图即为点M的位置： ​ 连接根据勾股定理可得 即半径为 （2）相交，理由如下： 设直线交轴于点则 ​ ​直线与相交． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.1  直线与圆的位置关系 学生版  30.1.1　直线与圆的位置关系 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　用圆心到直线的距离判定位置关系 2 　　题型 2　由公共点情况反求半径的范围 2 　　题型 3　坐标系与平移中的位置关系 4 　　题型 4　相切、动圆与公共点个数 5 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 7 　题型 1　　用圆心到直线的距离判定位置关系 知识梳理 设圆心到直线的距离为 半径为 相离（ 个公共点）， 相切（ 个）， 相交（ 个） 位置关系只比一个量：圆心到直线的距离 与半径 。算 的办法是作垂线段——直角三角形里用面积法、坐标系里用横纵坐标差，都是一件事。 公共点个数与位置关系一一对应：相离 个、相切 个、相交 个。所以题目问"交点有几个"，本质上就是问位置关系，不必真的去解方程组。 生活情境题（落日与地平线、车轮与地面）先抽象成"圆与直线"，再看垂足落在哪里。注意区分"线段"与"直线"：题目说"线段与圆有公共点"，要考虑垂足是否落在线段内。 易错　①用半径与"圆上某点到直线的距离"比较；　②相切与相交的界线记反；　③把线段与它所在的直线混为一谈；　④坐标题把 算成两点间距离。 要点　比 与 大则离、等则切、小则交，公共点个数随之而定。 1． 直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 A． B． C． D． 2． 已知⊙O的直径等于圆心O到直线l的距离为则直线l与⊙O的交点个数为【 】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3． 若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为 （  ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 4． 在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是      ． 　 　题型 2　　由公共点情况反求半径的范围 知识梳理 "有公共点"含相切与相交两种，故 "只有一个公共点"则 "有两个"则 反向题的坑全在等号："有公共点"是 不是 ；"只有一个公共点"是 ；"没有公共点"才是 把这些词与不等号一一对上，再动笔。 求半径范围常靠"至少一个在圆内、至少一个在圆外"这类条件：算出各点到圆心的距离，"至少有一个在内"要求 最小的那个，"至少有一个在外"要求 最大的那个，两头一夹就是范围。两头都要取到，等号看题意。 动点、动圆题把 写成含参数的式子，再按题意列不等式组。动圆的圆心轨迹往往是一条直线或一段线段，先把它画出来，很多题看一眼就知道答案落在哪一段。 易错　①"有公共点"漏掉相切的等号；　②范围只写一头，没有夹逼；　③动圆题不先定圆心轨迹；　④把"两个公共点"与"有公共点"混用。 要点　有公共点 只有一个 ；范围靠最大最小两头夹。 1． 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足则直线l与⊙O的位置关系是【 】 A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 2． 如图，已知中，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是 （  ） A． B． C． D． 3． 已知的斜边直角边． （1）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是      ； （2）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是      ； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为      ． 　 4． 如图，已知矩形的边现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是      ． 　 　题型 3　　坐标系与平移中的位置关系 知识梳理 坐标系中圆心到直线（坐标轴）的距离就是相应的坐标绝对值；平移只改圆心位置，半径不变 坐标系里判位置关系，先看直线是不是坐标轴：到 轴的距离是 到 轴的距离是 若是斜直线，就用点到直线距离公式，或者先求出垂足。 平移只移动圆心，半径不动。所以"平移到与某直线相切"就是解一个关于平移量的方程 常常有两解（向两个方向各一次），题目若只问一个方向，就取一个。 求三角形面积最值的题，关键是底边固定、高随动点变化，于是问题变成"点到直线距离的最值"，再用 求端点。这一步转化是整道题的枢纽。 易错　①到坐标轴的距离算成坐标本身（忘了取绝对值）；　②平移后半径也跟着变；　③相切的平移量只写一个；　④面积最值题不注意高可取到 两端。 要点　到 轴看 到 轴看 平移只动圆心，相切常有两解。 1． 在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆 （  ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 2． 如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为若将沿轴向右平移，使得与y轴相切，则向右平移的距离为      ． 　 3． 如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为设点的坐标为． （1）求与直线相切时点的坐标． （2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 　 　 　 　 　 4． 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上一动点，连接求面积的最小值． 　 　 　 　题型 4　　相切、动圆与公共点个数 知识梳理 相切等价于 动圆与射线、线段的公共点个数，要按 随位置变化的区间分段讨论 相切只有一条判据：。求半径就让 求位置就让 证明切线则反过来，作出垂直再证它等于半径（这是下一节的主题，这里先把""用熟）。 动圆与射线（或线段）的公共点个数，必须分段讨论：随着圆心移动， 从大到小再变大，依次经过"无公共点、相切、两交点、相切、无公共点"几个区间。把 的临界位置先标出来，区间自然分好。 注意射线的端点在不在圆内会改变答案：端点落在圆内时，即使相离的位置也可能有一个公共点。这类细节要回到图上量一量，不能只套公式。 易错　①讨论不分段，只给一个范围；　②临界值取 时忘了等号归属；　③忽略射线端点是否在圆内；　④把"直线"的结论直接搬到"射线"上。 要点　相切即 动圆按临界位置分段讨论，端点位置要单独看。 1． 如图，⊙O的半径直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 （  ） A． B． C． D．或 2． 如图，在矩形中，连接以点B为圆心，r为半径作． （1）当与相切时，求r的值； （2）若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 　 　 　 　 　 3． 如图，点M在上，且以M为圆心，r为半径画圆． （1）讨论射线与公共点个数，并写出r对应的取值范围； （2）若C是射线上一点，讨论线段与的公共点个数，并写出r相应的取值范围． 　 　 　 　 　 4． 如图，已知M是射线上一点，以点M为圆心，r为半径作． （1）若则射线与的位置关系是      ； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是      ； （3）当时，射线与的位置关系是      ． 　 A 组　基础题 必做｜位置关系判断与基本求值 1． 如图，小明在旅途中看到了王维诗中描述的“大漠孤烟直，长河落日圆”的景象．图中太阳可看作圆，地平线可看作一条直线，则它们的位置关系为 （  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2． 如图，已知圆心O在射线上运动，的半径为2，且与始终有两个公共点，则当与射线仅有一个公共点时，的长为 （  ） A． B．2 C． D． 3． 已知平面内有和点若半径为线段则直线与的位置关系为 （  ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 4． 已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为则直线和的位置关系是 （  ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 5． 四个等圆与直线l的位置关系如图所示，其中与直线l是相离关系的圆是 （  ） A． B． C． D． 6． 下列命题中，正确的有：      ．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 　 7． 如图，在矩形中，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是       ． 　 8． 已知直线l与相切，若圆心O到直线l的距离是5，则的半径是      ． 　 9． 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是      ． 　 10． 如图，正方形的边长为和相交于点过作交于交于则以点为圆心，为半径的圆与直线的位置关系分别是什么？ 　 　 　 B 组　提升题 必做｜半径范围、坐标计算与相切求值 1． 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是 （  ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 2． 如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为  （  ） A．4 B．5 C． D． 3． 若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是      ． 　 4． 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连接过点作于连接在点移动的过程中，的最小值是      ． 　 5． 如图，已知为平面直角坐标系内两点，以点为圆心的经过原点轴于点点为上一动点，为的中点，则线段长度的最大值为      ． 　 6． 如图，已知为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是      ． 　 7． 如图，在中，当以A为圆心的与直线①相切；②相交；③相离时，分别求的半径r． 　 　 　 　 　 　 　 8． 如图，在中，点O在边上，的半径为2．当x在什么范围内取值时，所在的直线分别与相交、相切、相离？ 　 　 　 9． 在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆． （1）当      时，上有且只有一个点到直线l的距离等于3； （2）当      时，上有且只有三个点到直线l的距离等于3； （3）随着r的变化，上到直线l的距离等于3的点的个数如何变化？并求出相对应的r的值或取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 10． 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜动点最值、反证法与综合探究 1． 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接则线段的最大值是 （  ） A．4 B． C． D．5 2． 已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接若则的最小值为      ． 　 3． 阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt中，若所以． 证明：假设． 这与假设矛盾，所以． 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正． 　 　 　 4． 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 　 　 　 5． 如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证： （1）四边形是平行四边形． （2）用反证法证明：线段与不垂直． 　 　 　 　 　 6． 如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点，． （1）圆心M的坐标为 ； （2）判断点与的位置关系． 　 　 　 　 　 7． 如图，在中，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线于点E，F，射线交直线于点G． （1）求证． （2）若点E在的延长线上，且求的度数． （3）当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 8． （1）如图在中，求的外接圆半径的值． （2）如图的半径为弦是的中点，是上一动点，求的最大值． （3）如图所示，是某新区的三条规划路，其中弧所对的圆心角为．新区管委会想在路边建物资总站点在路边分别建物资分站点．也就是分别在上选取点．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路和．为了快捷环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 　 　 　 　 　 　 　 9． 如图，在平面直角坐标系中，． （1）经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ，半径为 ； （2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 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