专题18 证明切线的常用方法 专项训练讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题18 证明切线的常用方法 ▌专题目标 1. 理解切线的判定定理与性质定理。 2. 掌握“连半径，证垂直”的切线证明方法。 3. 掌握“作垂直，证半径”的切线证明方法。 4. 掌握切线证明中的倒角技巧。 5. 会完成切线证明与长度计算的综合问题，提升逻辑推理能力。 ▌专题目录 题型01：连半径，证垂直（已知直线与圆有公共点） 题型02：作垂直，证半径（未知直线与圆有无公共点） 题型03：切线证明中的倒角技巧 题型04：切线的证明与长度计算综合 ▌题型01：连半径，证垂直（已知直线与圆有公共点） 题型描述：题干已知直线与圆有公共点（点在圆上），证明直线是圆的切线。核心得分点是连接圆心与公共点，证明半径与直线垂直。 基础知识： 1. 切线判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2. 证垂直常用：等腰三角形三线合一、直径对直角、勾股逆定理、平行线转移垂直； 3. 书写格式：连半径→证垂直→下切线结论。 解题方法： 1. 连半径：连接圆心与公共点； 2. 找垂直路径：用等腰、直径、全等等证90°； 3. 写判定：垂直于半径外端； 4. 下结论：直线是圆的切线。 解题思路： 口诀：连、垂、判、结。有公共点“连半径证垂直”；垂直多由等腰三线合一或已知直角平移得到。 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证： (1)是的切线； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点是的中点，点是的中点，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径，   ∴是的切线； (2)证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，即得，进而得到，再利用圆周角定理证明即可求证； （）先证是的垂直平分线，得到，即得，再利用圆内接四边形的性质及邻补角性质推出，进而得到，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，等腰三角形的外接圆是以为直径的，，是的优弧上的任意一点（点不与点重合），连接，作直线交直线于点，使． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)写出的数量关系，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵，点O为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是的切线； (3)解：、、的数量关系分两种情况：当点P在下方时，；当点在上方时，．证明如下： ①当点P在下方时，．证明如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． ②当点P在上方时，．证明： 如图，在上取点，使，连接． ∵四边形为⊙的内接四边形， ∴（同弧所对的圆周角相等）． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 即． ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 综上所述，或． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质以及，可得，即可求证； （3）分点P在上方、下方两种情况讨论：在上（或其延长线上）取点，使，连接，证明，可得，，从而得到为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴； （2）略 （3）略 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，已知为的直径，为⊙上一点，平分且交于点，过点作于点，延长，交于点，连接，． (1)若，，求的直径； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：如图，若点是的中点，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的直径为 (2)解：如下图，连接， 于点， ． ， ． 平分， ， ， ， ． 为的半径且， 是的切线． (3)存在，，使等式成立，即， 证明如下： 如下图，过作于点，则， 在与中， ， ，． ， ， ． 在与中， ， ． 点是的中点， ， 存在，，使等式成立，即． 【分析】（1）由圆周角定理可得，再根据勾股定理求解即可； （2）连接，证明半径即可得到是的切线； （3）过作于点，先证明得到，，再证明得到，继而由点是的中点，最终可以得到． 【详解】（1）解：为的直径， ． ，， ，即的直径为． （2）略 （3）略 4．（2026·广东惠州·二模）如图，在中，，是的外接圆，点是圆外一点，，交于点，交于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：连接， ， ， 又， ， ， ， 即， 是的切线； (2)证明：连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 在和中， ， ， 与相互垂直平分， 故四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据等边对等角结合已知可证，进而求出，即可证明； （2）连接，，根据圆周角定理及等边对等角证明，推出，再根据垂径定理得到，证明，推出与相互垂直平分，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型02：作垂直，证半径（未知直线与圆有无公共点） 题型描述：题干中直线与圆的公共点不确定，证明直线是圆的切线。核心得分点是过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。 基础知识： 1. 圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切； 2. 证距离等于半径常用：角平分线性质（角平分线上的点到两边距离相等）、全等、中点； 3. 与“连半径证垂直”的区别：公共点是否已知。 解题方法： 1. 作距离：过圆心作直线的垂线段； 2. 证等径：用角平分线性质或全等证垂线段＝半径； 3. 写判定：d＝r； 4. 下结论：直线与圆相切。 解题思路： 口诀：垂、径、判、结。无公共点“作垂直证半径”；题干有角平分线时几乎必用此法。 5．（2026·北京·模拟预测）已知如图，二次函数顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得、的长进行比较即可判定，③过点作，交抛物线于，如果，则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连接，，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意； 解得， 抛物线的解析式为， 当时， 解得或， ， ， ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， 解得或， ， ， 四边形不是平行四边形，故③错误，不符合题意； 由抛物线可知，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①②④． 6．（2026·河南三门峡·三模）如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 7．（2026·山西长治·三模）如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)如图，为所作的图形． (2)与相切．理由如下： 如图，过点D作于点G． ∵ 是等边三角形， 是 边的中线， ∴平分． ∵与相切于点E， ∴于点E． 又∵于点G， ∴． ∴点G在上， ∴与相切于点G 【分析】（1）过点D作于点E，以点D为圆心，以为半径作圆即可． （2）过点D作于点G．证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若弦垂直于，垂足为，，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)4 【分析】（1）连接，先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （2）连接，先求出，设的半径为r，则，，进而求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，且为的直径，， ， 设的半径为，则， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 即的半径为4． ▌题型03：切线证明中的倒角技巧 题型描述：题干条件含角度关系（角平分线、等腰、平行），需通过倒角完成切线的垂直证明。核心得分点是多路径倒角：等腰底角、互余转化、平行移角。 基础知识： 1. 半径相等出等腰，底角相等； 2. 同角（等角）的余角相等； 3. 平行线转移等角； 4. 常见结论：证出“半径与直线夹角＝90°”。 解题方法： 1. 标等角：由半径、已知等腰标出等角； 2. 选路径：用互余或平行把角倒到切点处； 3. 得90°：证出半径与直线垂直； 4. 写判定：按判定定理下结论。 解题思路： 口诀：腰、余、移、90。倒角目标明确——切点处的90°；等角不够时，连半径造等腰补一对底角。 9．（2026·广西南宁·三模）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：连接，如图， ，，， ， ； 为的半径， 是的切线； (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，利用已知条件、，结合公共边，证明，从而得到，即可得证． （2）先根据勾股定理求出，设的半径为，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵， ∴， 设的半径为，则，． 在中， ， ， 解得， ∴的半径长为． 10．（2026·湖北武汉·二模）如图，是的直径，是的切线，切点是B，弦，连接．求证：是的切线； 【答案】证明：如图，连接． 是的切线， ． ， ，． ， ． ． ，， ． ， 是的切线； 【分析】由平行及等腰三角形的性质可得，然后证明即可完成； 【详解】略． 11．（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，上一点到，的距离相等，且，垂足为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵点到，的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线；即与相切， (2) 【分析】（1）连接，可根据角平分线的定义和等腰三角形综合得到，再根据平行线的性质可得，即可证出是的切线； （2）易得，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：平分， ∴， ∴，. 12．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角、角平分线定义得到，进而由内错角相等判定，借助同旁内角互补及得出，即可得证； （2）设，表示出中的三条边，由勾股定理列方程求解出，数形结合，表示出，代入线段长计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， ， 在中，，，则由勾股定理得， 即，解得， ， ． ▌题型04：切线的证明与长度计算综合 题型描述：题干先证切线，再利用切线性质求线段长（或三角函数值、面积）。核心得分点是证出切线后用“半径⊥切线”构造直角三角形计算。 基础知识： 1. 切线性质：切线垂直于过切点的半径； 2. 直角三角形中用勾股定理求边； 3. 切线长定理：圆外一点两切线长相等； 解题方法： 1. 证切线：按两法之一完成证明； 2. 用直角：连切点半径得直角三角形； 3. 算长度：勾股定理（切线长定理）求线段； 4. 验合理：检验边长关系合理。 解题思路： 口诀：证、直、股、验。证明与计算“前后呼应”——证出的垂直就是计算用的直角；圆外一点两切线别忘了切线长相等。 13．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 14．（2025·广西防城港·一模）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又平分， ． 是的切线． (2) 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． 15．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，过作于点 且为的中点 平分 与相切于点 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，过作于点，首先得到平分，由切线得到，然后得出，即可证明是的切线； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，且，然后得到为等边三角形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，垂足为． 得四边形为矩形，且 ， 又 为等边三角形 为等边三角形 ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解答此题的关键． 16．（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：在中，，， ， 为边的中点， ， ， 是的半径， 与相切； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论； （2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 与相切于点D，与相切， ， 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C．是的平分线 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆切线判定．熟练掌握圆切线判定的方法，是解题的关键．根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； C、∵， ∴，则， ∵， ∴， 若是的平分线， 即时， 则， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； D、当时， 由得到， 则是等边三角形， 无法确定， 不能得到切于点C， 该选项不正确，符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，根据切线的判定方法，结合各选项中给出的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； B、∵，是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； C、、，， 是△的中位线， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 7．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，以为直径作．给出下面四个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②的面积为； ③抛物线上存在点E，使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，切线的判定等知识点，从函数图象中有效的获取信息是解题的关键，根据解析式，判断①，求出的长，根据圆的面积公式进行求解，判断②，利用平行四边形的性质，确定点坐标，代入解析式判断③，两点间距离公式结合勾股定理逆定理，结合切线的判定方法判断④． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为；故①正确； 令，解得：， ∴， ∴的面积为；故②错误； 当时，， ∴， ∵为直径， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当时，则：， ∴当不在抛物线上，故③错误； ∵， ∴，， ∵点在上，， ∴，即：， ∴直线与相切；故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 【答案】(1)证明：为的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再根据等量代换得到，进而根据三角形内角和定理得到，即可得证结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形等面积法得到，继而根据圆周角定理得到． 【详解】（1）略； （2）解：∵的半径为， ， ，， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， ， ， ． 10．（2026·广东深圳·一模）在中，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点的垂直平分线交于，交于点 (1)利用圆规和无刻度直尺，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）； (2)连接，求证：是的切线； (3)当四边形为矩形时，若，求弧的长度？ 【答案】(1) 解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图， 为线段的垂直平分线； (2) 证明：连接， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）连接，利用同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质得到，利用线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，利用直角三角形的性质和等量代换的性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）利用矩形的性质，线段的垂直平分线的性质得到为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，求得，再利用弧长公式解答即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当四边形为矩形时，如图， 四边形为矩形， ， ∴， 为线段的垂直平分线， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 劣弧的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题18证明切线的常用方法 专题目标 理解切线的判定定理与性质定理。 2. 掌握“连半径，证垂直”的切线证明方法。 3. 掌握“作垂直，证半径”的切线证明方法。 掌握切线证明中的倒角技巧。 会完成切线证明与长度计算的综合问题，提升逻辑推理能力。 专题目录 题型01：连半径，证垂直（已知直线与圆有公共点) 题型02：作垂直，证半径（未知直线与圆有无公共点） 题型03：切线证明中的倒角技巧 题型04：切线的证明与长度计算综合 题型01：连半径，证垂直（已知直线与圆有公共点） 题型描述：题干已知直线与圆有公共点（点在圆上)，证明直线是圆的切线。核心得分点 是连接圆心与公共点，证明半径与直线垂直。 基础知识： 切线判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线： 证垂直常用：等腰三角形三线合一、直径对直角、勾股逆定理、平行线转移垂直； 1/14 书写格式：连半径→证垂直→下切线结论。 解题方法： 连半径：连接圆心与公共点： 找垂直路径：用等腰、直径、全等等证90°； 写判定：垂直于半径外端； 下结论：直线是圆的切线。 解题思路： 口诀：连、垂、判、结。有公共点“连半径证垂直”；垂直多由等腰三线合一或已知直角 平移得到。 1.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，四边形ABCE内接于⊙0，AB是⊙0的直径，点D在 AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F,点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE. B 求证： CD⊙O (1)是 的切线： (2)△CEF是等腰三角形. 2.(2425九年级上·云南德宏·期末)如图，等腰三角形ABC的外接圆是以AB为直径的⊙0，CA=CB, P是⊙O的优弧ABC上的任意一点（点P不与点AB、C重合），连接PA、PB、PC,作直线PB交 直线CD于点D,使∠BAC=∠DCB (①)求∠ACB的度数： 2/14 (2)求证：直线CD是⊙O的切线； PAPB、V√2PC (3)写出 的数量关系，请证明你的结论、 3.(25-26九年级上云南德宏期未)如图，己知AB为⊙0的直径，F为⊙0上一点，AC平分∠BAF且 交OO于点C,过点C作CD⊥AF于点D,延长AB,DC交于点E,连接BC,CF B 图1 图2 (①)若BC=5,AC=12,求⊙0的直径AB; (2)求证：CD是OO的切线： (③)探究，发现与证明：如图2，若点B是AE的中点，是否存在常数a,b,使等式AE=aAF+bFD成 立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式 AE=aAF+bFD成立；若不存在，请说明理由. 4.(2026广东惠州二模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙0是△ABC的外接圆，点D是圆外一点， DO⊥AB,交AB于点E,交⊙O于点F,且∠DBA=∠C B (I)求证：DB是OO的切线： ②若点B是CT的中点，求证：四边形O1FB是菱形. 1题型02：作垂直，证半径（未知直线与圆有无公共点） 3/14 题型描述：题干中直线与圆的公共点不确定，证明直线是圆的切线。核心得分点是过圆心 作直线的垂线，证明垂线段等于半径。 基础知识： 圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切： 证距离等于半径常用：角平分线性质（角平分线上的点到两边距离相等）、全等、中点： 与“连半径证垂直”的区别：公共点是否己知。 解题方法： 作距离：过圆心作直线的垂线段： 证等径：用角平分线性质或全等证垂线段=半径： 写判定：d=r: 下结论：直线与圆相切。 解题思路： 口诀：垂、径、判、结。无公共点“作垂直证半径”；题干有角平分线时几乎必用此法。 25 5 (2026北京模拟预测)己知如图，二次函数y=x2-6a+4顶点为M,最大值为4，与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C.以AB为直径作圆，记作⊙D,下列结论： ①抛物线的对称轴是直线x=3； ②点C在⊙D上： ③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形： ④直线CM与OD相切. 正确的结论是() B A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③ 6.(2026河南三门峡三模)如图，AB是⊙0的直径，OC是⊙O的半径，OC⊥AB,点E为AB上方圆 周上一点，连接OE,CE,CE交AB于点D 4/14 E B (I)请用无刻度的直尺和圆规在射线BA上取点F,使得FD=FE(保留作图痕迹，不写作法)， (2)在(1)的条件下，求证：EF是⊙0的切线. (3)在(1)的条件下，若0C=4,OD=1,求EF的长. 7.(2026山西长治三模)如图，△ABC是等边三角形，AB=6,线段BD是△ABC的中线. (I)尺规作图：作⊙D,使⊙D与BC相切于点E,与BD相交于点F,保留作图痕迹，不写作法，标明 字母 (2)请判断(1)中所作的⊙D与AB的位置关系，并说明理由. 8.(2026黑龙江绥化模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D, DE⊥AC,垂足为E. M B (I)求证：DE是⊙O的切线： AG 1 (②)若弦MN垂直于AB,垂足为G,AB4,MN=43,求⊙0的半径. 题型03：切线证明中的倒鱼技巧 5/14 题型描述：题干条件含角度关系（角平分线、等腰、平行），需通过倒角完成切线的垂直 证明。核心得分点是多路径倒角：等腰底角、互余转化、平行移角。 基础知识： 半径相等出等腰，底角相等： 同角（等角）的余角相等： 平行线转移等角： 常见结论：证出“半径与直线夹角=90°”。 解题方法： 标等角：由半径、已知等腰标出等角： 选路径：用互余或平行把角倒到切点处： 得90°：证出半径与直线垂直： 写判定：按判定定理下结论。 解题思路： 口诀：腰、余、移、90。倒角目标明确一一切点处的90°；等角不够时，连半径造等腰补 一对底角。 9.(2026广西南宁·三模)Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D, 交AC于点E,且BD=BC. (I)求证：AB是⊙O的切线： (2)若AC=8,BC=6,求⊙0的半径长. 10.(2026湖北武汉二模)如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，切点是B,弦AD∥OC,连接 CD.求证：CD是OO的切线； 6/14 B 11.(25-26九年级下广西防城港期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在AB的延长线上，⊙0上一点D 到AE,AB的距离相等，且AE⊥CD,垂足为E. (I)试判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由. B者∠C=30,CD=35,求D的长 12.(25-26九年级下·河北衡水阶段检测)如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，点E为AB上一点， 以AE为直径的OO上一点D在BC上，且AD平分∠BAC D (1)证明：BC是⊙O的切线； 2)若BD=4,BE=2,求AB的长. 题型04：切线的证明与长度计算综合 题型描述：题干先证切线，再利用切线性质求线段长（或三角函数值、面积）。核心得分 点是证出切线后用“半径⊥切线”构造直角三角形计算。 7/14 基础知识： 切线性质：切线垂直于过切点的半径： 直角三角形中用勾股定理求边： 切线长定理：圆外一点两切线长相等： 解题方法： 证切线：按两法之一完成证明； 用直角：连切点半径得直角三角形： 算长度：勾股定理（切线长定理）求线段； 验合理：检验边长关系合理。 解题思路： 口诀：证、直、股、验。证明与计算“前后呼应”一一证出的垂直就是计算用的直角：圆 外一点两切线别忘了切线长相等。 13.(2025·甘肃武威一模)如图，在⊙0中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA,交圆于B,P为EB上 任一点，射线AP交圆于C,D为射线BF上一点，且DC=DP,下列结论：①CD为OO的切线；② PA>PC:③∠CDP=2∠A,其中正确的结论有() B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 14.(2025:广西防城港·一模)如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心的⊙D与BA相 切于点A,分别与AC,BD相交于点E,F. 8/14 D E B I)求证：BC是⊙D的切线. ②若∠ABC=80°，MD=18,求EF的长. 15.(24-25九年级上湖北恩施期末)如图，在△ABC中，AB=AC,0是BC的中点，⊙0与AB相切于 点D,与BC交于点E,F,DG是OO的直径，弦GF的延长线交AC于点H,且GH⊥AC. D B (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若DE=2,求HF的长. 16.(24-25九年级下北京阶段检测)如图，在RIAOAB中，∠0AB=90°，∠AB0=30°，C为OB边的 中点，⊙0经过点C,BD与⊙O相切于点D. D A B (I)求证：AB与⊙0相切： (2)若AB=2,求AD的长. 专题综合训练 一、选择题 9/14 1.(2425九年级上江苏无锡期中)如图，在矩形ABCD中，BC=8,以AB为直径作⊙O,将矩形 绕点B旋转，使所得矩形 ABCD A'BCD' 的边 D与00相切，切点为E,边4B与0相交于点F. CD,⊙0 若BF=8,则AB长为() D B A.9 B.10 C8/3 D.12 2.(25-26九年级上·河北唐山期末)已知点P是⊙0外一点，甲、乙两位同学用尺规过点P作⊙0的切线 PM,如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是() 甲 乙 A.甲对，乙错 B.乙对，甲错 C.甲乙都对 D.甲乙都不对 3.25-26九年级上河北沧州期中)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，D是⊙0外一点，过点 A作AE⊥CD,垂足为E,连接OC,OE.若使CD切OO于点C,添加的下列条件中，不正确的是( ) 10114 E A.OC∥AE B.O42+CE2=OE2 C.AC是∠OAE的平分线 D.OA=AC 4.(25-26九年级上安徽铜陵期中)如图，以△ABC的边AB为直径作⊙0交AC于点D,连接OD,过 点D作DE⊥BC于点E.若要使DE是OO的切线，则下列补充的条件不正确的是() A.AB=BC B.OD⊥DE C.AD=CD D.OD=DE 二、填空题 5.(25-26九年级上·宁夏吴忠期末)已知⊙0及⊙0外一点卫，求作直线PD,PE,使PD,PE与⊙0 相切于点D,E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接0P,分别以点O,P为圆心，大于2OP的长为半径画弧，两弧交于点A,C: ②作直线AC,交OP于点B: ③以点B为圆心，OB长为半径画弧，交⊙O于点D,E: ④作直线PD,PE,则直线PD,PE 即为所求.请给出PD,PE为切线的理论依据： 请写出定理的内容) 11/14 D 6 P D 图1 图2 6.(25-26九年级上·安徽阜阳期末)如图，以△ABC的边AB为直径的O0恰好过BC的中点D,过点D 作DE⊥AC于点E,连接OD,则下列结论：①ODI‖AC;②LB=∠C=30°；③20A=AC;④DE是 ⊙0 的切线.其中结论正确的是 (直接填序号) C D 7.(25-26九年级上北京石景山期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直 径的OO与CD相切于点E.若AD=1,BC=2.则CD的长为 A 8、(2425九年级下全国二轮复习)如图。在平面直角坐标系中，抛物线y(x--弓与轴交于 A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,顶点为D,以AB为直径作⊙M.给出下面四个结论： ①抛物线的对称轴是直线x=1; ②⊙M的面积为4π； ③抛物线上存在点E,使四边形ACEM为平行四边形： ④直线CD与OM相切. 12/14 上述结论中，所有正确结论的序号是 三、解答题 9.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，点C,D在以AB为直径的OO上，AB平分∠CAD,BE 交AD的延长线于点E,∠ABC=∠E」 D E (I)求证：BE是OO的切线； 2)若半径为4，BE=6,求BC的长 10.(2026广东深圳·一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90,O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的 ⊙O交AB于另一点D,AD的垂直平分线交AC于E,交AB于点F B 0° 图1 备用图 (I)利用圆规和无刻度直尺，作出线段AD的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）； (2)连接DE,求证：DE是⊙O的切线： 13/14 3)当四边形OCED为矩形时，若OC 若OB=2,AB=6N2,求弧BD的长度？ 14/14