专题14圆周角、弧长和扇形面积 同步培优讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题14圆周角、弧长和扇形面积同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆周角：圆周角定义，圆周角定理，定理推论，圆内接四边形性质 2.弧长与扇形：扇形定义，弧长公式，扇形面积公式 3.综合应用：角度计算，圆中证明，弧长与扇形面积计算，弓形阴影面积，分类讨论问题 本节围绕圆周角相关性质展开角度推导与证明，再依托弧长、扇形面积公式完成相关计算，重点关注圆中多解问题和阴影面积的割补转化。 ✺学习目标 1.理解圆周角的概念，熟练运用圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质进行角度计算与几何证明，掌握弦所对圆周角的多解分类讨论方法。 2.掌握弧长、扇形面积公式的推导思路，能够根据已知条件灵活选用公式，运用面积和差法求解弓形等组合阴影图形面积。 3.理清弧、圆心角、圆周角、弧长、扇形面积之间的数量关联，感受几何转化、分类讨论的数学思想，提升逻辑推理与图形转化能力。 ✺题型归纳 题型1.圆周角的概念辨析及简单运算 题型2.圆周角定理 题型3.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型4.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型5.90度的圆周角所对的弦是直径 题型6.已知圆内接四边形求角度 题型7.求四边形外接圆的直径 题型8.求弧长 题型9.求扇形半径 题型10.求圆心角 题型11.求某点的弧形运动路径长度 题型12.求扇形面积 题型13.求图形旋转后扫过的面积 题型14.求弓形面积 题型15.求其他不规则图形的面积 题型16.求圆锥侧面积 题型17.求圆锥底面半径 题型18.求圆锥的高 题型19.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型20.圆锥的实际问题 题型21.圆锥侧面上最短路径问题 题型22.课堂小练 ✺知识清单 知识点01圆周角 1.圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。两个条件缺一不可。 在上图中，∠BAC就是圆周角。 2.圆周角定理 :一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。即∠BAC=∠BOC 3.推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 几何语言：若AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°；若∠ACB=90°，则AB为⊙O的直径。 4.圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，称为圆内接四边形，该圆为四边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补。 几何语言：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=180°，∠ B+∠D=180°。 推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 几何语言：延长BC至E，则∠DCE=∠A。 知识点02弧长公式 半径为R，n°圆心角所对弧长：= 说明：n为圆心角度数，代入数值不带单位；已知n,,R中任意两个量，可求第三个量。 知识点03扇形面积公式 1.扇形定义：由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.公式一（已知圆心角、半径）：= 3.公式二（已知弧长、半径）：= ✺题型精讲 题型1.圆周角的概念辨析及简单运算 1．下面圆中属于圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 3．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 题型2.圆周角定理 1．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 3．如图，在中，弦、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、．求证：． 题型3.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，，则的度数为____________． 3．如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 题型4.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 3．如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； (1)求弦与弦的长． (2)求的长． 题型5.90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 3．如图，指出下列哪个图形中的线段是圆的直径． （1）（2）（3） 题型6.已知圆内接四边形求角度 1．如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知为四边形的外接圆，，，则半径长______． 3．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 题型7.求四边形外接圆的直径 1．如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 2．如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则______． 3．【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 题型8.求弧长 1．某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，如图所示，，所在圆的圆心为，点，分别在，上．已知消防车道内侧半径，消防车道宽．若，则消防车道内外边缘长度差为（     ） A． B． C． D． 2．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____． 3．已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 题型9.求扇形半径 1．已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 3．（1）在半径为10厘米的圆中，圆心角所对的弧长是多少厘米？ （2）若一弧长为厘米，所对的圆心角为，则这个弧所在圆的半径是多少？ 题型10.求圆心角 1．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 2．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 3．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 题型11.求某点的弧形运动路径长度 1．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 3．“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 题型12.求扇形面积 1．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 3．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，折扇的骨柄长为，扇面的宽的长为，折扇完全展开时的圆心角为．求此时扇面的面积． 题型13.求图形旋转后扫过的面积 1．如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点均在网格线的交点上）以及过格点的直线l． (1)画出关于直线l对称的． (2)画出绕A点顺时针旋转后得到的． (3)线段旋转到扫过的面积为 ． 题型14.求弓形面积 1．如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 3．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 题型15.求其他不规则图形的面积 1．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条所在直线，之间的夹角为．若的长为，的长为，求扇面的面积（结果取整数）． 题型16.求圆锥侧面积 1．圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，根据图中数据，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）为______（结果保留）． 3．锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱（如图，单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌（精确到）？（取） 题型17.求圆锥底面半径 1．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 3．如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 题型18.求圆锥的高 1．一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 3．有一块棱长6分米的正方体铁块，把它锻造成底面积是27平方分米的圆锥．圆锥的高是多少分米？ 题型19.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，高为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的圆心角大小为___________． 3．圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 题型20.圆锥的实际问题 1．一个圆锥的底面圆的半径是，其侧面展开图的圆心角是．圆锥的母线长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 3．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 题型21.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 3．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． ✺课堂小练 一、单选题 1．点O是的外心，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 4．已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知一个扇形的面积是． （1）若它的半径是4，则该扇形的圆心角是______，弧长是______； （2）若该扇形的圆心角是，则它的半径是_______； （3）若该扇形的弧长是，则它的半径是_______． 6．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 7．圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 8．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 三、解答题 9．茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 10．如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 11．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 12．阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14圆周角、弧长和扇形面积同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆周角：圆周角定义，圆周角定理，定理推论，圆内接四边形性质 2.弧长与扇形：扇形定义，弧长公式，扇形面积公式 3.综合应用：角度计算，圆中证明，弧长与扇形面积计算，弓形阴影面积，分类讨论问题 本节围绕圆周角相关性质展开角度推导与证明，再依托弧长、扇形面积公式完成相关计算，重点关注圆中多解问题和阴影面积的割补转化。 ✺学习目标 1.理解圆周角的概念，熟练运用圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质进行角度计算与几何证明，掌握弦所对圆周角的多解分类讨论方法。 2.掌握弧长、扇形面积公式的推导思路，能够根据已知条件灵活选用公式，运用面积和差法求解弓形等组合阴影图形面积。 3.理清弧、圆心角、圆周角、弧长、扇形面积之间的数量关联，感受几何转化、分类讨论的数学思想，提升逻辑推理与图形转化能力。 ✺题型归纳 题型1.圆周角的概念辨析及简单运算 题型2.圆周角定理 题型3.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型4.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型5.90度的圆周角所对的弦是直径 题型6.已知圆内接四边形求角度 题型7.求四边形外接圆的直径 题型8.求弧长 题型9.求扇形半径 题型10.求圆心角 题型11.求某点的弧形运动路径长度 题型12.求扇形面积 题型13.求图形旋转后扫过的面积 题型14.求弓形面积 题型15.求其他不规则图形的面积 题型16.求圆锥侧面积 题型17.求圆锥底面半径 题型18.求圆锥的高 题型19.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型20.圆锥的实际问题 题型21.圆锥侧面上最短路径问题 题型22.课堂小练 ✺知识清单 知识点01圆周角 1.圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。两个条件缺一不可。 在上图中，∠BAC就是圆周角。 2.圆周角定理 :一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。即∠BAC=∠BOC 3.推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 几何语言：若AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°；若∠ACB=90°，则AB为⊙O的直径。 4.圆内接四边形的定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，称为圆内接四边形，该圆为四边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补。 几何语言：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=180°，∠ B+∠D=180°。 推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 几何语言：延长BC至E，则∠DCE=∠A。 知识点02弧长公式 半径为R，n°圆心角所对弧长：= 说明：n为圆心角度数，代入数值不带单位；已知n,,R中任意两个量，可求第三个量。 知识点03扇形面积公式 1.扇形定义：由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.公式一（已知圆心角、半径）：= 3.公式二（已知弧长、半径）：= ✺题型精讲 题型1.圆周角的概念辨析及简单运算 1．下面圆中属于圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、B、D中的角不是圆周角，选项C中的角是圆周角． 2．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 3．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求， 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型2.圆周角定理 1．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 2．如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 【答案】 /70度 【分析】连接，根据圆周角定理结合等边对等角，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，， ∴，， ∴. 3．如图，在中，弦、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、．求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ (2)证明：连接， 则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； 【分析】（1）因为所以，则可证，所以； （2）可证，则，又因为，所以垂直平分． 【详解】（1）略 （3） 略 题型3.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 2．如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】首先利用等边对等角得到，然后利用弧和圆周角的关系得到，即可得到． 【详解】略 题型4.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 2．如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． 3．如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； (1)求弦与弦的长． (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， （2）如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 题型5.90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 3．如图，指出下列哪个图形中的线段是圆的直径． （1）（2）（3） 【答案】图（1）中的线段是圆的直径 【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：图（1）中是圆周角，且， ∴图（1）中的线段是圆的直径， 图（2）（3）中都不是圆周角，故线段都不是圆的直径． 题型6.已知圆内接四边形求角度 1．如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 2．如图，已知为四边形的外接圆，，，则半径长______． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，由题意可得是等边三角形，进而得出，在中，利用建立方程即可求出半径长为． 【详解】解：如图所示，连接、、，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即半径长为． 3．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2） 略 题型7.求四边形外接圆的直径 1．如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长．关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式． 【详解】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 2．如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 3．【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 题型8.求弧长 1．某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，如图所示，，所在圆的圆心为，点，分别在，上．已知消防车道内侧半径，消防车道宽．若，则消防车道内外边缘长度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用弧长公式进行求解． 【详解】解：． 2．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____． 【答案】 【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图：    ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 3．已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 【答案】证明：如图，连接， 设的半径，则， ∵的长度， 的长度， ∴两弧的长度相等． 即：的长等于的长． 【分析】根据圆周角定理可得出，设，则，再根据弧长公式可得出结论． 【详解】略 题型9.求扇形半径 1．已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 2．已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径． 【详解】解：设该扇形的半径为. 解得． 3．（1）在半径为10厘米的圆中，圆心角所对的弧长是多少厘米？ （2）若一弧长为厘米，所对的圆心角为，则这个弧所在圆的半径是多少？ 【答案】（1）所求的弧长是厘米；（2）这个弧所在圆的半径是18厘米． 【分析】(1)(2)代入弧长公式即可求解． 【详解】解：(1)由题意知，厘米，， 所以（厘米）． 答：所求的弧长是厘米， (2)设圆的半径为r，已知厘米，， 因为，所以， 解得厘米． 答：这个弧所在圆的半径是18厘米． 【点睛】本题主要考查的是弧长的公式，掌握弧长公式是解题的关键． 题型10.求圆心角 1．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 2．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 3．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：，， ∴． ∴这个圆心角为． 【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键． 题型11.求某点的弧形运动路径长度 1．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 2．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 3．“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)点转动到点的路径长为 (2)点到直线的距离约为 【分析】本题考查圆的弧长、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握弧长公式． （1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长； （2）过点作于点，先证是等边三角形，结合等边三角形的性质与勾股定理可得的长，即点到直线的距离． 【详解】（1）解：，且， ． ， ． ， ， 点转动到点的路径长为． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知， ， 是等边三角形． ， ． ，， ． 点到直线的距离约为． 题型12.求扇形面积 1．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用初中扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 扇形面积公式为 ，其中圆心角 ，半径 ， ∴ 代入得 ． 2．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到，通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】解：， ， 设阴影部分面积为，扇形的面积为，则， ， ， ． 3．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，折扇的骨柄长为，扇面的宽的长为，折扇完全展开时的圆心角为．求此时扇面的面积． 【答案】 【分析】先求出的长，再根据扇形的面积公式求出即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 故此时扇面的面积是． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，熟记扇形的面积公式是解题关键． 题型13.求图形旋转后扫过的面积 1．如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 2．如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 【答案】 【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可． 【详解】解：大圆半径为，小圆半径为， 圆环区域的外半径为，内半径为， 圆环的面积的四分之一为， 小圆的面积为， 故小圆盘运动过程中扫过的面积为． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点均在网格线的交点上）以及过格点的直线l． (1)画出关于直线l对称的． (2)画出绕A点顺时针旋转后得到的． (3)线段旋转到扫过的面积为 ． 【答案】(1) 如图，解为所求， (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】（1）先根据轴对称的性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据旋转的性质确定点的位置，然后连线即可； （3）先利用勾股定理求出的长，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由旋转的性质得，， ∵， ∴线段旋转到扫过的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，轴对称变换，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，轴对称变换的性质，正确作出图形． 题型14.求弓形面积 1．如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 2．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 3．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 题型15.求其他不规则图形的面积 1．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用进行计算即可． 【详解】解：记的中点为点O， 连接和， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为直径的半圆的面积为， 过O点作于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴扇形的面积， ∴ 2．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条所在直线，之间的夹角为．若的长为，的长为，求扇面的面积（结果取整数）． 【答案】837 【分析】根据题意先求出小扇形的半径，利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，将二者相减即是扇面的面积． 【详解】解：，， ， ，之间的夹角为， ． ，之间的夹角为， ． ． 扇面的面积取整数， ． 题型16.求圆锥侧面积 1．圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为． 【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为． 2．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，根据图中数据，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形获取圆锥的底面直径与母线长，求出底面半径后，利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，母线长为， ∴圆锥的底面半径， ∴蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 3．锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱（如图，单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌（精确到）？（取） 【答案】 【分析】由图形可知，浮筒的表面积等于2个圆锥侧面积加上1个圆柱侧面积，由图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，从而求得浮筒表面积，再结合每平方米用锌的量和浮筒数量即可求解． 【详解】解：由图形可知，圆锥、圆柱的底面圆的半径为， 圆锥的高为，圆柱的高为， ∴圆锥的母线长为； ∴圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积， ∴浮筒的表面积； ∵每平方米用锌， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌： 答：100个这样的锚标浮筒需用锌． 题型17.求圆锥底面半径 1．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 2．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 3．如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； （2）解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 题型18.求圆锥的高 1．一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意设这个圆锥的高是x厘米，再列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设这个圆锥的高是x厘米，根据题意得， 解得， 答：这个圆锥的高是6厘米． 故选：C． 2．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 3．有一块棱长6分米的正方体铁块，把它锻造成底面积是27平方分米的圆锥．圆锥的高是多少分米？ 【答案】这个圆锥的高是分米 【分析】此题考查了圆锥与正方体的体积；根据正方体的体积公式求出正方体的体积，又因为把正方体熔铸成圆锥，说明体积是相等的；再根据圆锥的体积公式，代入数据求出高即可． 【详解】由题意知，圆锥体积正方体体积： (分米) 答：这个圆锥的高是分米． 题型19.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，关键是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的相等关系． 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用此关系列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 圆锥底面周长为， 扇形弧长， 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ，即，解得． 这个扇形的圆心角为． 故选C． 2．如图，为研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，高为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的圆心角大小为___________． 【答案】/216度 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由题意可知，， 根据勾股定理，得母线长， 圆锥的底面周长， 设扇形的圆心角为，根据弧长公式，得，即， 解得． 3．圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题． 【详解】解：将圆锥侧面沿剪开展平，连接，则就是所求绳子长． 由得， 作，则，， ∴， ∴，， ∴． 题型20.圆锥的实际问题 1．一个圆锥的底面圆的半径是，其侧面展开图的圆心角是．圆锥的母线长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长的关系建立方程求解． 【详解】设圆锥的母线长为 ， ∵ 圆锥底面半径 ， ∴ 底面周长 ， ∵ 扇形圆心角 ， ∴ 扇形弧长 ， 又 ∵ 扇形弧长 = 底面周长， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长是解题关键． 2．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 3．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据圆锥的展开图即可得到答案； （2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到． 【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长， 或． （2）解：， ， ， 解得：， 在直角中，， ， ， ． 题型21.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 3．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的 在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm， ∴由勾股定理可得母线l==80cm， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=. ∴n=90° 即△SAA′是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：AA'==80cm． ∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm． 【点睛】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解． ✺课堂小练 一、单选题 1．点O是的外心，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心；同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍． 【详解】解：点O是的外心， 点O是外接圆的圆心. 与对同一条弧，且是圆心角、是圆周角. ． 2．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 4．已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 二、填空题 5．已知一个扇形的面积是． （1）若它的半径是4，则该扇形的圆心角是______，弧长是______； （2）若该扇形的圆心角是，则它的半径是_______； （3）若该扇形的弧长是，则它的半径是_______． 【答案】 π 2 【分析】（1）根据扇形的面积公式，弧长求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：，即该扇形的圆心角是； 弧长； （2）由题意可得：，解得：； （3）由题意可得：，解得：． 6．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 【答案】 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥母线长，利用圆周长公式和弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得． ∵扇形弧长公式为，其中圆心角，弧长为， ∴， 解得． 7．圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 【答案】 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长列方程求解． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长， 可得方程，解得． 8．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于长方形面积减去和的面积，根据已知比例关系，将转化为长方形长和宽的分数倍，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题 9．茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 10．如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角、弧的关系得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 12．阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ， ，即， 在和中 ， ． ②． ③证明： ． ． 根据对角互补的四边形四个顶点共圆， 四点共圆． (2) 【分析】（1）①利用等腰直角三角形性质和旋转性质得到两组边相等，再推导夹角相等，用 证明三角形全等． ②由全等得到角相等，进行等角代换，推出中两个锐角相加为，得到． ③算出，得到与互补，依据对角互补的四边形四点共圆完成证明． （2）先在直角三角形中求出斜边，结合等腰直角求出，利用四点共圆得到，作垂线构造等腰直角三角形，再用勾股定理分段求出、，相加得到． 【详解】（1）解：①略． ②， ， 是等腰直角三角形 ，也就是， ∴，即 在中， ③略． （2）解：， 在中， ， ，是等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， 在中， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $