30.2 三角形的内切圆 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 30.2  三角形的内切圆 学生版  30.2　三角形的内切圆 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　内心的概念与到三边距离相等 2 　　题型 2　内心有关的角的计算 3 　　题型 3　切线长与内切圆半径的计算 6 　　题型 4　内心与外心、坐标与尺规作图 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 14 　题型 1　　内心的概念与到三边距离相等 知识梳理 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等；这个相等距离就是内切圆半径，故 内心只有一句话：三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。外心是三条垂直平分线的交点、到三个顶点距离相等，两者一字之差，性质完全不同。作图时画角平分线找内心、画垂直平分线找外心，不能混。 把"距离相等"写成式子，就是面积公式 把三角形沿内心分成三块，每块的高都是 面积相加即得。所以已知面积与周长求 或者已知 与周长求面积，都走这一个式子。 等边三角形是特例：内心、外心、重心、垂心四心合一，这时 一类的比例关系要熟。等腰直角三角形只有一个特例结论可用——斜边上的高就是内切圆半径加上外接圆半径，别当通法背。 易错　①内心与外心的定义互换；　②把 当成某个顶点到内心的距离；　③面积公式漏掉 　④以为任意三角形都有"四心合一"。 要点　内心＝角平分线交点，到三边等距；。 1． 三角形内切圆的圆心是 （  ） A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点 2． 三角形的内心是 （  ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 3． 下列说法正确的是 （  ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 4． 若是直角三角形的三边长，且则三条角平分线的交点到一条边的距离为      ． 　 5． 设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则      ． 　 6． 如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆，三角形的内心是否都在三角形的内部?（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 　 　 　 7． 如图，有一块三角形材料()，请你在这块材料上作一个面积最大的圆． 　 　 　 8． 已知，正三角形的边长为正三角形的外接圆和它的内切圆是同心圆，求这两个圆所形成的圆环的面积． 　 　 　 　题型 2　　内心有关的角的计算 知识梳理 ​外心角 （同弧所对），两者差一个 内心角的通法只有两步：先算 再用三角形内角和。化简到底就是 这个式子可以直接用，但推导过程要会写，遇到不带 的已知条件时还得回到两步法。 题目常把外心与内心放在一起考：外心角 内心角 。一个靠同弧所对的圆周角，一个靠角平分线，来源不同，但都能化成同一个 抓住这个公共量，两问就串起来了。 切点构成的角（如 ）用切线长与等腰三角形处理：内切圆与两边的切点、内心构成的两个直角三角形全等，于是 再反解 这类结论最好现场推一遍，不要直接套。 易错　① 用成 　②外心角与内心角的公式对调；　③切点构成的角误当圆心角；　④折叠、平移后的点不再满足原位置关系却照套公式。 要点　内心 外心 ；两式都化成同一个 1． 如图，的内心为点则      ． 　 2． 如图，点0为的外心，点I为的内心，若则      ． 　 3． 如图，为的内切圆，若则的度数为      ． 　 4． 如图，已知的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若则的度数是      ． 　 5． 如图，在中，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则      ． 　 6． 如图，是的内切圆为三个切点，若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 7． 如图所示，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若则的度数是      ． 　 8． 如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心重合，若则的大小是 （  ） A． B． C． D． 9． 如图，点O，I分别是的外心、内心，连接．若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 10． 如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 　题型 3　　切线长与内切圆半径的计算 知识梳理 从一点引两条切线，切线长相等；故内切圆把三边切成 三段，直角三角形另有 内切圆把每条边分成两段，同一点引出的两条切线长相等，于是三边分别等于 已知三个切点到顶点的距离求边长，或已知三边求内切圆半径，都靠这个方程组。 直角三角形还有一条捷径：（ 为斜边）。它是切线长方程组的直接结果，选择填空直接用，解答题仍要把方程组写出来。另一条是 由面积法 得到，两式可以互相检验。 边长是二次根式时不要急着有理化，先把三段长度设出来，用勾股或已知条件列方程，根式往往在最后一步自然消掉。求"能剪出的最大圆"，本质就是求内切圆，先判断这个圆与哪几条边相切，再定半径。 易错　①切线长相等用错顶点，把相邻两段当成相等；　②直角三角形公式里分母写成 之外的数；　③把"内切圆半径"与"顶点到切点的距离"混为一谈；　④求最大圆时不检验是否真的与所有边相切。 要点　同点两条切线长相等，三边是 直角三角形 。 1． 如图，的内切圆和分别相切于点D，E，F．若则      ，       ，       ． 　 2． 如图，是等边三角形的内切圆，若则的半径为      ． 　 3． 如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为 （  ） A． B．4 C． D． 4． 直角三角形两条直角边分别为和则此三角形的内切圆半径为      ，外接圆半径为      ． 　 5． 如图，中，是的内切圆，连接则的面积为      ． 　 6． 如图，点是的内心，过点作垂足为点．如果的面积为那么的周长为      ． 　 7． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步 8． 如图所示，在中，已知则其内心O和外心M之间的距离是 （  ） A． B． C． D． 9． 如图是一张四边形纸片已知要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是 （  ） A． B． C． D． 10． 如图，中，是边上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为      ． 　 11． 如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形()，则剪下的的周长为 （  ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 　题型 4　　内心与外心、坐标与尺规作图 知识梳理 尺规找内心＝作两条角平分线；坐标题先算三边再用切线长或面积法定内心位置 尺规作图的判据只看痕迹：角平分线的痕迹是"以顶点为圆心画弧、再以两交点为圆心画等半径弧"，垂直平分线的痕迹是"以两端点为圆心画等半径弧"。题目给四幅图让人挑，就照这两种痕迹去认，不必细算。 坐标系里的内心，通常先算出三边长度，再用切线长关系或面积法确定它到两坐标轴的距离。若三角形恰好由坐标轴围成（如 为原点），内心到两轴距离相等，设成 用 一步得解。 四边形有内切圆时（圆与四边都相切），同样有切线长关系，于是对边之和相等：这个条件在求周长、求某一边时非常省事，先写出这组等式，往往题目就解完了。 易错　①把角平分线痕迹认成垂直平分线；　②坐标系中把内心到顶点的距离当成半径；　③四边形内切圆的"对边和相等"记成"邻边和相等"；　④平移、翻折后仍沿用原来点的坐标。 要点　尺规认痕迹：角平分线找内心、垂直平分线找外心；四边形内切圆 。 1． 在中，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径 （  ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 2． 如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且则的长为 （  ） A．9 B．12 C．15 D．18 3． 根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是 （  ） A． B． C． D． 4． 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是 （  ） A． B． C． D． 5． 如图，点I为的内心，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 （  ） A．3 B．4 C．5 D．6 6． 如图，菱形中对角线相交于点的内心与点的距离为则菱形的面积为 （  ） A． B． C． D． 7． 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若则正方形ABCD的边长是  （  ） A．3 B．4 C． D． 8． 如图，中，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若则  （  ） A． B．1 C． D． 9． 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点在直角坐标系中的坐标分别为则内心的坐标为      ． 　 10． 如图，在平面直角坐标系中，点点点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是      ． 　 11． 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接．点为的内心，且则半圆的半径为      ． 　 12． 如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若则=      ． 　 13． 如图，为的外接圆，弦垂足为E，直径交于点G，连接．若则点O到的距离为      ，的值为      ． 　 A 组　基础题 必做｜内心角计算与内切圆基本求值 1． 如图，为的外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，连接． （1）求的大小； （2）若求的值． 　 　 　 　 　 2． 如图，为的内切圆，切点分别为点分别为上的点，且为的切线． （1）若求的度数； （2）若求的周长． 　 　 　 　 　 3． 如图，在中，． （1）若点O为的外心，求的度数； （2）若点I为的内心，求的度数． 　 　 　 　 　 4． 如图，的内切圆与分别相交于点若． （1）求的长； （2）求的半径． （3）连接求与围成的劣弧的弧长． 　 　 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜切线长推理、角度证明与尺规作图 1． 如图，为的直径，交于点为上一点，延长交于点延长至使连接． （1）求证：为的切线； （2）若且求的半径． 　 　 　 　 　 2． 如图，在中，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线交于点F． （1）求证： （2）若求半圆O的半径长． 　 　 　 　 　 3． 如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． （1）如图①，连接求证：平分 （2）如图②，若求的长． 　 　 　 　 　 4． 如图，三角形纸片的内切圆与边分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，求的周长． 　 　 　 5． 如图，为的直径，平分交于点． （1）作的内心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 　 　 　 　 　 　 　 6． 如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． （1）求证：． （2）过点D作的平行线证明是外接圆的切线． 　 　 　 　 　 7． 如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． （1）求证： （2）求证： （3）连接求证：点D是的外心． 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜外接圆综合、多问探究与作图说理 1． 如图，是的直径，内接于点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接． （1）若求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若求的周长． 　 　 　 　 　 　 　 2． 如图，已知中，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）请在图中作一个能覆盖且面积最小的则的半径为 ； （2）请在图的纸片中剪出一个面积最大的则的半径为 ． 　 　 　 　 　 3． 如图，已知内接于⊙且是⊙的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出的内心（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接并延长，与⊙交于另一点．若则的长为      ，的长为      ． 　 　 　 　 　 4． 如图，是的外接圆，为的直径，点为的内心，连接并延长交于点连接并延长至点使得连接． （1）求证： （2）判断直线与的位置关系，并说明理由． 　 　 　 　 　 5． 如图，是的直径，内接于点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． （1）若求的度数： （2）若请直接写出与的数量关系； （3）找出图中所有与相等的线段，并证明． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2  三角形的内切圆 解析版  30.2　三角形的内切圆 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　内心的概念与到三边距离相等 2 　　题型 2　内心有关的角的计算 6 　　题型 3　切线长与内切圆半径的计算 12 　　题型 4　内心与外心、坐标与尺规作图 20 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 32 　题型 1　　内心的概念与到三边距离相等 知识梳理 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等；这个相等距离就是内切圆半径，故 内心只有一句话：三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。外心是三条垂直平分线的交点、到三个顶点距离相等，两者一字之差，性质完全不同。作图时画角平分线找内心、画垂直平分线找外心，不能混。 把"距离相等"写成式子，就是面积公式 把三角形沿内心分成三块，每块的高都是 面积相加即得。所以已知面积与周长求 或者已知 与周长求面积，都走这一个式子。 等边三角形是特例：内心、外心、重心、垂心四心合一，这时 一类的比例关系要熟。等腰直角三角形只有一个特例结论可用——斜边上的高就是内切圆半径加上外接圆半径，别当通法背。 易错　①内心与外心的定义互换；　②把 当成某个顶点到内心的距离；　③面积公式漏掉 　④以为任意三角形都有"四心合一"。 要点　内心＝角平分线交点，到三边等距；。 1． 三角形内切圆的圆心是 （  ） A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点 解：选项，三角形的三条高的交点是三角形的垂心，错误； ​选项，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，错误； ​选项，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三条角平分线的交点，同时三角形的内心到三边的距离相等，正确； ​选项，三角形的三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），错误． 2． 三角形的内心是 （  ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 　思路分析　　根据三角形的内心的定义解答即可． 解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，故选D． 3． 下列说法正确的是 （  ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 　思路分析　　本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项． 解：三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ​A选项说法错误，B选项说法错误； ​等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合． ​C选项说法错误； ​等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点． ​D选项说法正确．故选：D． 4． 若是直角三角形的三边长，且则三条角平分线的交点到一条边的距离为      ． 　思路分析　　本题考查的是直角三角形的性质与配方法的综合应用，解题的关键是通过配方法将原式转化为平方和为的形式，从而求出三边长，再利用直角三角形内切圆半径公式求解． 解： ​ ​ ​ 解得： ​直角三角形的直角边为和斜边为 角平分线的交点到一条边的距离即为的内切圆半径：．故答案为：． 5． 设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则      ． 　思路分析　　由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的比． 解：等边三角形的边长为 ​外接圆半径 内切圆半径 ​． 6． 如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆，三角形的内心是否都在三角形的内部?（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 　思路分析　　分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部． 　答案　　解：如图所示．　三角形的内心都在三角形的内部． 7． 如图，有一块三角形材料()，请你在这块材料上作一个面积最大的圆． 　思路分析　　分别作和的角平分线，它们的交点即为圆心O，再过O点作任意一边的垂线，以垂线段长为半径作圆，该圆为三角形的内切圆，即是能在这块材料上作出的面积最大的圆． 解：如图所示，为的内切圆． 尺规作图如下： 8． 已知，正三角形的边长为正三角形的外接圆和它的内切圆是同心圆，求这两个圆所形成的圆环的面积． 　思路分析　　经过正三角形的中心作边的垂线构建直角三角形，结合勾股定理求解即可． 解：如图，为等边三角形，点为中心，作于点连接 则 ​为等边三角形， ​为三角形外接圆的半径，为三角形内切圆的半径， ​这两个圆所形成的圆环的面积为． 　题型 2　　内心有关的角的计算 知识梳理 ​外心角 （同弧所对），两者差一个 内心角的通法只有两步：先算 再用三角形内角和。化简到底就是 这个式子可以直接用，但推导过程要会写，遇到不带 的已知条件时还得回到两步法。 题目常把外心与内心放在一起考：外心角 内心角 。一个靠同弧所对的圆周角，一个靠角平分线，来源不同，但都能化成同一个 抓住这个公共量，两问就串起来了。 切点构成的角（如 ）用切线长与等腰三角形处理：内切圆与两边的切点、内心构成的两个直角三角形全等，于是 再反解 这类结论最好现场推一遍，不要直接套。 易错　① 用成 　②外心角与内心角的公式对调；　③切点构成的角误当圆心角；　④折叠、平移后的点不再满足原位置关系却照套公式。 要点　内心 外心 ；两式都化成同一个 1． 如图，的内心为点则      ． 　思路分析　　利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到再根据三角形内角和定理，在中求出的度数，等量代换即可得到． 解：的内心为点 ​分别平分 ​ 在中， ​ ​ ​． 2． 如图，点0为的外心，点I为的内心，若则      ． 　思路分析　　根据圆周角定理得到根据三角形的内心的性质得到BI平分CI平分再根据三角形内角和定理即可计算出答案． 解：点O为的外心 ​ ​ACB=180 ​点I为的内心 ​ ​BIC=180故答案为． 3． 如图，为的内切圆，若则的度数为      ． 　思路分析　　根据三角形的内心的性质求出再由三角形的内角和定理求解即可． 解：为的内切圆， ​点O是的内心，即为三个内角的角平分线的交点， ​ ​ ​． 4． 如图，已知的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若则的度数是      ． 解：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分则然后利用互余计算的度数． 详解：的内切圆⊙O与BC边相切于点D， ​OB平分 ​ ​． 故答案为． 点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆． 5． 如图，在中，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则      ． 　思路分析　　本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 解：在中， ​ 又是的内心， ​平分平分 ​ 又在中， ​ ​ ​ 又在中， ​ 6． 如图，是的内切圆为三个切点，若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查切线的性质，圆周角定理，在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．根据切线的性质可得出根据圆周角定理可得出最后根据求解即可． 解：如图，连接． ​是的内切圆为三个切点， ​点E在上， ​． ​ ​ ​．故选：A． 7． 如图所示，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若则的度数是      ． 　思路分析　　连接先根据圆周角定理得到再根据切线的性质得则然后根据四边形内角和计算的度数． 解：连接如图， ​ ​ ​是的内切圆与分别相切于点D、E、F， ​ ​ ​ ​． 8． 如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心重合，若则的大小是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了三角形内心的性质、三角形内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据三角形内心的性质得出再由折叠的性质可得结合求解即可． 解：I是的内心， ​ ​ ​ 由折叠过程知 ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​．故选D． 9． 如图，点O，I分别是的外心、内心，连接．若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得利用圆周角定理求得然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 解：连接 ​I是的内心， ​ ​点O是的外心， ​ ​ ​故选：A． 10． 如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 　思路分析　　先连接再根据切线的性质得然后根据等边三角形的性质得接下来根据四边形内角和定理求出最后根据圆周角定理得出答案． 解：如图所示，连接 ​是的内切圆， ​ ​． ​是等边三角形， ​ ​ ​． 　题型 3　　切线长与内切圆半径的计算 知识梳理 从一点引两条切线，切线长相等；故内切圆把三边切成 三段，直角三角形另有 内切圆把每条边分成两段，同一点引出的两条切线长相等，于是三边分别等于 已知三个切点到顶点的距离求边长，或已知三边求内切圆半径，都靠这个方程组。 直角三角形还有一条捷径：（ 为斜边）。它是切线长方程组的直接结果，选择填空直接用，解答题仍要把方程组写出来。另一条是 由面积法 得到，两式可以互相检验。 边长是二次根式时不要急着有理化，先把三段长度设出来，用勾股或已知条件列方程，根式往往在最后一步自然消掉。求"能剪出的最大圆"，本质就是求内切圆，先判断这个圆与哪几条边相切，再定半径。 易错　①切线长相等用错顶点，把相邻两段当成相等；　②直角三角形公式里分母写成 之外的数；　③把"内切圆半径"与"顶点到切点的距离"混为一谈；　④求最大圆时不检验是否真的与所有边相切。 要点　同点两条切线长相等，三边是 直角三角形 。 1． 如图，的内切圆和分别相切于点D，E，F．若则      ，       ，       ． 　思路分析　　根据切线长定理得出即可求解． 解：的内切圆和分别相切于点D，E，F， ​ ​． 2． 如图，是等边三角形的内切圆，若则的半径为      ． 　思路分析　　根据内切圆和角平分线性质的判定定理，可证明和分别为和的角平分线，再根据三角形全等证明最后利用勾股定理求出圆的半径长度． 解：设与的交点为与的交点为如图所示，连接 ​是等边三角形的内切圆， ​． ​ ​平分 ​． 同理平分 ​． ​． ​ ​ ​ ​． ​在中，设则 ​ ​． ​． ​的半径为：． 3． 如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为 （  ） A． B．4 C． D． 　思路分析　　连接解直角三角形求得进而得出结果． 解：如图， 连接设与相切于点连接 ​是等边三角形， ​ ​是的内切圆， ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 4． 直角三角形两条直角边分别为和则此三角形的内切圆半径为      ，外接圆半径为      ． 　思路分析　　先由勾股定理求出直角三角形斜边的长度，再根据直角三角形内切圆与外接圆的性质分别计算内切圆半径与外接圆半径即可． 解：如图所示： 由内切圆性质可知 ​直角三角形的两条直角边分别为和 ​由勾股定理得斜边长为 则内切圆半径 再由直角三角形外接圆半径为斜边的一半，可知此三角形的外接圆半径为． 5． 如图，中，是的内切圆，连接则的面积为      ． 　思路分析　　本题考查勾股定理，三角形内切圆的性质，切线的性质，三角形面积的计算，构造辅助线求圆的半径是解题的关键．连接设与切于三点，连接求出根据三角形面积公式求得的面积即可． 解：连接设与切于三点，连接则 ​是的内切圆， ​ 在中， ​ ​ ​ ​ 令 ​即 解得， ​ 故答案为：18． 6． 如图，点是的内心，过点作垂足为点．如果的面积为那么的周长为      ． 　思路分析　　内心到三边的距离都等于内切圆半径，用 周长 求周长． 解： 点 是 的内心， 就是内切圆半径，． 由 得 ． 7． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步 解：根据勾股定理得：斜边为 则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径 (步)，即直径为6步，故选C 8． 如图所示，在中，已知则其内心O和外心M之间的距离是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接根据切线的性质，证明四边形是正方形，设得根据解方程组，勾股定理求解即可． 解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接 根据切线的性质，得 故四边形是矩形， ​ ​四边形是正方形， ​ 根据切线长定理，得 设 ​ ​ 故 解得 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故 连接 根据勾股定理，得故选：C． 9． 如图是一张四边形纸片已知要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为半径为利用即代入解得． 解：设内切圆圆心为半径为连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ​ ​ ​ 即 ​．故选：B． 10． 如图，中，是边上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为      ． 　思路分析　　本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 解：是边上的高， ​ ​ 设与的半径分别为x，y，则 ​ 解得 ​与的面积比为故答案为：． 11． 如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形()，则剪下的的周长为 （  ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 　思路分析　　根据E、F分别是切点，可得由此可得的周长． 解：如图，设E、F分别是切点，是一张三角形的纸片， 根据切线长定理可得， ​的周长 ​ ​故选：A． 　题型 4　　内心与外心、坐标与尺规作图 知识梳理 尺规找内心＝作两条角平分线；坐标题先算三边再用切线长或面积法定内心位置 尺规作图的判据只看痕迹：角平分线的痕迹是"以顶点为圆心画弧、再以两交点为圆心画等半径弧"，垂直平分线的痕迹是"以两端点为圆心画等半径弧"。题目给四幅图让人挑，就照这两种痕迹去认，不必细算。 坐标系里的内心，通常先算出三边长度，再用切线长关系或面积法确定它到两坐标轴的距离。若三角形恰好由坐标轴围成（如 为原点），内心到两轴距离相等，设成 用 一步得解。 四边形有内切圆时（圆与四边都相切），同样有切线长关系，于是对边之和相等：这个条件在求周长、求某一边时非常省事，先写出这组等式，往往题目就解完了。 易错　①把角平分线痕迹认成垂直平分线；　②坐标系中把内心到顶点的距离当成半径；　③四边形内切圆的"对边和相等"记成"邻边和相等"；　④平移、翻折后仍沿用原来点的坐标。 要点　尺规认痕迹：角平分线找内心、垂直平分线找外心；四边形内切圆 。 1． 在中，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径 （  ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 　思路分析　　本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大；故选D． 2． 如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且则的长为 （  ） A．9 B．12 C．15 D．18 　思路分析　　本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为根据切线长定理得到求出进而得到求出从而求出再根据设则由求出的值，即可求解． 解：如图，设四边形的内切圆切点分别为 ​ ​ ​四边形的周长为48， ​ ​ ​ ​ 设则 ​即 解得 ​．故选：B． 3． 根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可． 解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是､的平分线，所以点O为的内心，故选：C． 4． 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 5． 如图，点I为的内心，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 （  ） A．3 B．4 C．5 D．6 　思路分析　　连接因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：同理所以图中阴影部分的周长就是边的长． 解：如图，连接 ​点I为的内心， ​是的平分线， ​ 由平移得： ​ ​ ​ 同理可得 ​ 即图中阴影部分的周长为6． 6． 如图，菱形中对角线相交于点的内心与点的距离为则菱形的面积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　作于E， 作于F，连接由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由．则可得菱形的面积． 解：作于E， 作于F，连接 ​． ​四边形是菱形， ​． ​是的内心， ​． ​． ​． ​． ​． ​． ​ ​． ​． ​． ​． ​． 7． 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若则正方形ABCD的边长是  （  ） A．3 B．4 C． D． 　思路分析　　延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道所以即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知=等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ​ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ​ ​ ​ ​==AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中， ​=AE． ​+DE=+2．故选C． 8． 如图，中，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若则  （  ） A． B．1 C． D． 　思路分析　　设的外接圆的圆心为O，连接根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得再根据三角形内心证得进而解决问题． 解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接 在中，内心为I， ​平分 ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​I是的内心， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​．故选：D． 9． 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点在直角坐标系中的坐标分别为则内心的坐标为      ． 　思路分析　　根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作过点M作且求出r的值，在中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标． 解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系， 根据题意可得：AB=AC=BC= ​ ​ 设BC的关系式为：y=kx+b， 代入BC 可得 解得： ​BC： 当y=0时，x=3，即G（3,0）， ​点A与点G关于BD对称，射线BD是的平分线， 设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作过点M作且 ​ ​四边形MEAF为正方形， S 解得： 即= ​ ​ ​B（-3，3）， ​M（2，3）， 故答案为：（2，3）． 10． 如图，在平面直角坐标系中，点点点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是      ． 　思路分析　　先利用勾股定理求解连接过作垂足分别为根据是的内心，利用得出求解即可． 解：点点 ​ ​在中， 连接过作垂足分别为 ​是的内心， ​分别平分 ​ ​ ​ ​ 同理可得， 设则 ​ 解得： ​ ​的坐标为 ​点关于轴对称的点的坐标是． 11． 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接．点为的内心，且则半圆的半径为      ． 　思路分析　　过作于于于根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到根据全等三角形的性质得到根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：过作于于于 ​ ​四边形是矩形， ​是的内心， ​ ​四边形是正方形， ​ ​是等腰直角三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 12． 如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若则=      ． 　思路分析　　先根据切线长定理得到再利用三角形内角和计算出则BCD=124然后利用四边形内角和得出ADC=236再求即可． 解：圆O是四边形ABCD的内切圆， ​OA平分ABC，OC平分OD平分OA平分 ​ ​BOC=180 ​=2（）=2 ​ADC=360（）= ​（）= ​AOD=180（）=． 故答案为：． 13． 如图，为的外接圆，弦垂足为E，直径交于点G，连接．若则点O到的距离为      ，的值为      ． 　思路分析　　连接并延长交于点P，则垂直平分在中，根据勾股定理可得设的半径为r，则在中，根据勾股定理可得根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得从而得到进而得到四边形是平行四边形，继而得到然后根据可得自跟进可得即可求解． 解：连接并延长交于点P，则垂直平分 ​ ​ 在中， ​ 设的半径为r，则 在中， ​ 解得： ​ 即点O到的距离为 ​是直径， ​即 ​ ​即 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形是平行四边形， ​ 在中， ​解得： ​ ​ ​ ​． 故答案为： A 组　基础题 必做｜内心角计算与内切圆基本求值 1． 如图，为的外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，连接． （1）求的大小； （2）若求的值． 　思路分析　　（1）先根据圆周角定理求出再根据内心定义，推出度数，进而根据得出的值； （2）连接证明即可． （1）解：为的外接圆的直径， ​ ​为的内心， ​ ​ （2）解：如图，连接 ​为的内心， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 本题考查了内心的定义，圆周角定理，等腰三角形判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握内心的性质． 2． 如图，为的内切圆，切点分别为点分别为上的点，且为的切线． （1）若求的度数； （2）若求的周长． 　思路分析　　本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出再根据内切圆的性质和切线长定理得出再求出最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为根据内切圆的性质得到推出的周长为再结合切线长定理可得再计算即可 （1）解： ​ ​为的内切圆， ​ ​ ​ （2）为的内切圆，为的切线，设切点为 ​ ​的周长为： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 3． 如图，在中，． （1）若点O为的外心，求的度数； （2）若点I为的内心，求的度数． 　思路分析　　本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出代入求出即可； （2）求出求出根据三角形内角和定理求出即可． （1）解∶点O为的外心， ​由圆周角定理得． ​ ​． （2）解：为的内心， ​． ​ ​． ​即 ​． 4． 如图，的内切圆与分别相交于点若． （1）求的长； （2）求的半径． （3）连接求与围成的劣弧的弧长． 　思路分析　　本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键； （1）由切线长定理可得设则有进而求解即可； （2）连接过点A作于点H，由题意易得设则然后根据勾股定理可得进而根据等积法可进行求解； （3）如（2）的解图，由（2）可知：的半径为然后可得则有进而根据弧长计算公式可进行求解． （1）解：是的内切圆， ​ 设且 ​解得： ​ （2）解：连接过点A作于点H，如图所示： 由题意得： 设则 在中，由勾股定理可得： 同理可得： ​ 解得： ​ ​ ​ ​ 即的半径为 （3）解：如（2）的解图： 由（2）可知：的半径为 ​ ​ ​ ​分别平分 ​ ​ ​ ​与围成的劣弧的弧长为． B 组　提升题 必做｜切线长推理、角度证明与尺规作图 1． 如图，为的直径，交于点为上一点，延长交于点延长至使连接． （1）求证：为的切线； （2）若且求的半径． 　思路分析　　本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径则在中，由勾股定理得得出方程求解即可． （1）证明：如图，连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 ​ ​是半径， ​为的切线； （2）解：设的半径则 ​ 在中，由勾股定理得 ​ 解得或舍去 ​的半径为． 2． 如图，在中，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线交于点F． （1）求证： （2）若求半圆O的半径长． 　思路分析　　（1）连接OD，根据切线的性质得到再结合推出即可； （2）过F作于G，先利用三角函数求出再过点O作于H，在中，求出AO即可． （1）证明：连接OD， ​DF和半圆相切， ​ ​ ​ ​又 ​ ​ ​ （2）过F作于G，则GF垂直平分BD， ​ ​ ​ ​ ​ ​解得：BG==DG， ​-BD= 过点O作于H， ​ ​ ​ 即半圆O的半径长为． 3． 如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． （1）如图①，连接求证：平分 （2）如图②，若求的长． 　思路分析　　本题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理． （1）根据已知条件和切线的性质得出再利用等腰三角形的性质及平行线的性质推得结论； （2）如图②中，连接交于点H．证明四边形是矩形，推出可得结论． （1）证明：如图①中，连接 ​为的切线， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 则平分． （2）解：如图②中，连接交于点H， ​ ​ ​是直径，是切线， ​ ​四边形是矩形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 4． 如图，三角形纸片的内切圆与边分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，求的周长． 　思路分析　　根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 解：由切线长定理可得 ​ ​． 5． 如图，为的直径，平分交于点． （1）作的内心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 　思路分析　　（1）利用三角形内心是角平分线交点的性质，通过尺规作图作的角平分线交得到内心． （2）先根据圆周角定理及直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出的长度；再由角平分线性质推出弧与弧相等，得到从而确定为等腰直角三角形；最后通过角的等量代换证明进而求出的长度． （1）如图所示，点即为所求作的点． （2）解：连接 ​是直径， ​ 在中： ​平分 ​ ​ ​ 又在中： ​ ​平分 ​ 又 ​ ​ ​． 6． 如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． （1）求证：． （2）过点D作的平行线证明是外接圆的切线． 　思路分析　　（1）连接根据内心的定义可知平分平分根据圆周角定理得到根据三角形外角的性质求出根据等角对等边证明即可； （2）连接由（1）知得到即是的中点，根据垂径定理的推论可知即可知是外接圆的切线． （1）证明：如图，连接 ​是的内心， ​平分平分 ​ ​ ​ ​是的外角， ​ ​ ​ ​ （2）证明：如图，连接 由（1）知 ​ 即是的中点， ​ ​ ​ ​是的半径， ​是外接圆的切线． 7． 如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． （1）求证： （2）求证： （3）连接求证：点D是的外心． 　思路分析　　（1）根据三角形内心的定义得再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接证出即可得证； （3）连接证出即可得证． （1）证明：点I是的内心， ​平分 ​ ​ ​ ​． （2）证明：如图，连接 ​点I是的内心， ​平分平分 ​ 又 ​ ​ ​ ​． （3）证明：如图，连接 ​ ​． ​ ​ ​点D是的外心． C 组　拓展题 选做｜外接圆综合、多问探究与作图说理 1． 如图，是的直径，内接于点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接． （1）若求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若求的周长． 　思路分析　　（1）利用圆周角定理得到再根据三角形的内角和定理求然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接由三角形的内心性质得到内心，然后利用圆周角定理得到利用三角形的外角性质证得然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到利用解直角三角形求得 进而可求解． （1）解：是的直径， ​又 ​ ​四边形是内接四边形， ​ ​ （2） 证明：连接 ​点I为的内心， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （3）解：过I分别作垂足分别为Q、F、P， ​点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ​Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ​ ​ ​ ​ ​ ​的周长为 ​ ​ ​ ​ ​． 2． 如图，已知中，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）请在图中作一个能覆盖且面积最小的则的半径为 ； （2）请在图的纸片中剪出一个面积最大的则的半径为 ． 　思路分析　　（1）分别作线段的垂直平分线，相交于点以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；设线段的垂直平分线交于点结合等腰三角形的性质可得直线过点由勾股定理可求得的长；设的半径为则在中，由勾股定理得，代入求出的值即可； （2）分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆，则即为所求；为的内切圆，记与相切于点与相切于点连接设的半径为结合等腰三角形的性质可得直线过点由勾股定理可求得的长；根据三角形的面积公式以及进而可得答案． （1）解：如图分别作线段的垂直平分线，相交于点以点为圆心，的长为半径画圆， 设线段的垂直平分线交于点 ​． ​ ​为等腰三角形， ​直线过点 ​． 设的半径为则． 在中，由勾股定理得， 即 解得 ​的半径为． 故答案为： （2）解：如图分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆， 由题意得，为的内切圆， 记与相切于点与相切于点连接 设的半径为 ​ ​为等腰三角形， ​直线过点 ​ ​ ​ ​ 解得 ​的半径为． 故答案为：． 3． 如图，已知内接于⊙且是⊙的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出的内心（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接并延长，与⊙交于另一点．若则的长为      ，的长为      ． 　思路分析　　（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可； （2）根据是的直径，得，然后根据勾股定理求出作于点利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据角的等量代换得即可求的长． （1）如图1，点I为所求， （2）解：如图2，连接 ​是的直径， ​ ​ ​ ​平分 ​ ​ ​为等腰直角三角形， ​ ​ ​ 作于点则为等腰直角三角形， ​ 在中， ​ ​ ​ ​． 4． 如图，是的外接圆，为的直径，点为的内心，连接并延长交于点连接并延长至点使得连接． （1）求证： （2）判断直线与的位置关系，并说明理由． 　思路分析　　（1）欲证明只要证明 （2）欲证明直线为的切线，只要证明即可； （1）证明：是的内心， ​ ​ ​ ​． （2）直线与相切，理由如下： 连接． ​平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是的切线． 5． 如图，是的直径，内接于点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． （1）若求的度数： （2）若请直接写出与的数量关系； （3）找出图中所有与相等的线段，并证明． 　思路分析　　本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到等角对等边，得到圆周角定理得到进而得到得到． （1）解：内接于是上任意一点， ​四边形为圆内接四边形， ​ ​是的直径， ​ ​ （2）同（1）法可得： ​ ​ 在中， ​ ​ （3） 证明如下：连接 ​点是的内心， ​平分平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $