专题30.2 三角形的内切圆（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题30.2 三角形的内切圆（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 三角形内切圆中角度计算】 1 【题型2 三角形内切圆中长度计算】 5 【题型3 与三角形内切圆有关的证明】 11 【题型4 作三角形的内切圆】 17 【题型5 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 25 【题型6 三角形的内切圆与外接圆的综合】 28 考点 三角形的内切圆 【知识点 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型1 三角形内切圆中角度计算】 【例1】如图，已知⊙是的内切圆，且，，则的度数为_____． 【变式1-1】如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．    【变式1-2】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【题型2 三角形内切圆中长度计算】 【例2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是______． 【变式2-3】如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为，点F、G分别在上，连结，若，且的半径长为1，则的值______，的值______． 【题型3 与三角形内切圆有关的证明】 【例3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【变式3-1】（专题27圆中定值-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值． 【变式3-2】如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点． (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)如果，，求内切圆的半径． 【变式3-3】如图，过点和点的动圆分别与轴，轴相交于点，． (1)求的值； (2)设的内切圆的直径为，求证：为定值． 【题型4 作三角形的内切圆】 【例4】（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，的三边分别为、、． (1)利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 【变式4-1】已知：． 问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法） 问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径． 【变式4-2】（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______． 【变式4-3】【阅读理解】 六中珠江中学初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现： 三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点． 外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等． 内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等． 【实践探究】 (1)已知中，，， ①作出的角平分线交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 过作，垂足为（不需尺规作图）； 以为圆心，为半径作出的内切圆 ②求出的面积． ③求出内切圆的半径的长度． (2)已知中，，，， ①作出的三边垂直平分线的交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 连接；以为圆心，为半径作出的外接圆 ②以为原点，所在的直线为轴（点在点右方）建立直角坐标系，求点A坐标． ③求出外接圆的半径的长度． 【题型5 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例5】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【变式5-1】边长为6的正三角形的内切圆的半径为 ______． 【变式5-2】如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【变式5-3】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【题型6 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例6】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【变式6-2】如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 【变式6-3】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.2 三角形的内切圆（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 三角形内切圆中角度计算】 1 【题型2 三角形内切圆中长度计算】 5 【题型3 与三角形内切圆有关的证明】 11 【题型4 作三角形的内切圆】 17 【题型5 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 25 【题型6 三角形的内切圆与外接圆的综合】 28 考点 三角形的内切圆 【知识点 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型1 三角形内切圆中角度计算】 【例1】如图，已知⊙是的内切圆，且，，则的度数为_____． 【答案】110°． 【分析】根据三角形的内心的概念得到∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝110°， 故答案为110°． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 【变式1-1】如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．    【答案】135°． 【详解】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题. 详解：如图，连接EC．    ∵E是△ADC的内心， ∴∠AEC=90°+∠ADC=135°， 在△AEC和△AEB中， ， ∴△EAC≌△EAB， ∴∠AEB=∠AEC=135°， 故答案为135°． 点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-2】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-3】如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【答案】C 【分析】根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题． 【详解】连接OD，OF，如下图所示 ∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F ∵∠DEF＝55° ∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110° ∵四边形ADOF ∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360° ∵AD，AF是圆的切线 ∴∠ADO＝∠AFO＝90° ∴∠A＝360°-90°-90°-110°＝70° 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和性质，从而完成求解． 【题型2 三角形内切圆中长度计算】 【例2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 【变式2-1】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 【变式2-2】如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是______． 【答案】4 【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算． 【详解】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P， 过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ， ∵点B与点B′关于x轴对称， ∴PB+PN=PB′+PN， 当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值． 在Rt△ABC中，AC==5， 由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r， ∴S△AOC=（3r+4r+5r）=×3×4， 解得r=1， ∴ME=MN=1， ∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4， ∴MB′=5， ∴PB′+PN=5-1=4， 即PB+PN最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键． 【变式2-3】如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为，点F、G分别在上，连结，若，且的半径长为1，则的值______，的值______． 【答案】 2 5 【分析】设与的切点为M，连接并延长交于点N，过点O作于点P，则，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是正方形，再根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，．设，，，的半径为r，推出是的内切圆可得，根据勾股定理得到，再设，在中，，，，由勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：如图，设与的切点为M，连接并延长交于点N，过点O作于点P，则， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 设，，，的半径为r， 是的内切圆可得， ∴， 在中，由勾股定理可得， 整理得， 又∵即，代入可得， 解得（舍去），， ∴， ∴，， 再设，在中，，，， 由勾股定理可得，解得， ∴， 故答案为：2，5． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质． 【题型3 与三角形内切圆有关的证明】 【例3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1) 证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． (2) 证明：如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． (3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 【变式3-1】（专题27圆中定值-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值． 【答案】见解析 【分析】连接，，由题意得：是内心，进而得到平分、平分， 然后由三角形内角和定理即可证明结论． 【详解】证明：连接，， 由题意得：是内心， 平分，平分， ，， ， ， ∵中，， 所在圆是个定圆，弦和半径都是定值， 为定值， 为定值． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握三角形内切圆的定义是解题的关键． 【变式3-2】如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点． (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)如果，，求内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证； （2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E， ∴，， 又∵， ∴四边形ODCE是矩形， 又∵， ∴矩形ODCE是正方形． （2）解：设的半径为r， ∵四边形ODCE是正方形， ∴， 在中，， ∴，， ∵与各边相切于点D，E，F， ∴，， 又∵， ∴，解得 ∴内切圆的半径是1． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式3-3】如图，过点和点的动圆分别与轴，轴相交于点，． (1)求的值； (2)设的内切圆的直径为，求证：为定值． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）如图：作轴于D，轴于E，连接，先证明四边形为正方形，再证明 得到，从而得到； （2）利用直角三角形内切圆半径与三边的关系得到的内切圆的半径为，则，然后可计算出． 【详解】（1）解：作轴于，轴于，连接、，如图， 点坐标为， ， 四边形为正方形， ，， 为直径， ，即， 而， ， 在和中 ， ， ． ． （2）证明：的内切圆的半径， 的内切圆的直径， ， 即为定值． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解答本题的关键． 【题型4 作三角形的内切圆】 【例4】（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，的三边分别为、、． (1)利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，尺规作角平分线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作垂线，尺规作角平分线，三角形的内角和定理是解题的关键， （1）分别作和的角平分线交于点，过作的垂线，以为圆心，到的距离为半径作即可； （2）由角平分线定义及三角形的内角和定理得，求解即可得解． 【详解】（1）解：如图，为所作． （2）解：由（）的作图可知，平分，平分， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ∴． 【变式4-1】已知：． 问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法） 问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径． 【答案】（1）见解析；（2）r=2 【分析】（1）先作∠B和∠C的平分线交于点O，再过点O作OH⊥AB于H，然后以点O为圆心，OH为半径作圆即可； （2）连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，则利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到 rAB+ rBC+ rAC=24，变形得到 r（AB+BC+AC）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r的值． 【详解】解：（1）如图，为所求作的的内切圆； （2）解：如下图，连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F， 设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r， ∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC， ∴ rAB+ rBC+ rAC=24， ∴ r（AB+BC+AC）=24， ∴ r24=24， ∴r=2． 即的内切圆的半径为2． 【点睛】本题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径，在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径，掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质，是解答第（2）小题，建立等式的关键． 【变式4-2】（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______． 【答案】（1）作法：如图所示，见解析；（2）2． 【分析】（1）内心是角平分线的交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可； （2）连接OC，设内切圆的半径为r，利用三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：（1）作法：如图所示： ①作射线、； ②以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交线段，射线于点D，E；          ③以点E为圆心，长为半径画弧，交上一步所画的弧于点F，同理作出点M；                 ④作射线，相交于点C，即所求． （2）如图，连接OC， ∵， 由勾股定理，得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的内切圆半径是2； 故答案为：2； 【点睛】本题考查了求三角形内切圆的半径，角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是作出图形，利用所学的知识正确求出三角形内切圆的半径． 【变式4-3】【阅读理解】 六中珠江中学初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现： 三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点． 外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等． 内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等． 【实践探究】 (1)已知中，，， ①作出的角平分线交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 过作，垂足为（不需尺规作图）； 以为圆心，为半径作出的内切圆 ②求出的面积． ③求出内切圆的半径的长度． (2)已知中，，，， ①作出的三边垂直平分线的交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 连接；以为圆心，为半径作出的外接圆 ②以为原点，所在的直线为轴（点在点右方）建立直角坐标系，求点A坐标． ③求出外接圆的半径的长度． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）①作和的角平分线交于点O，然后作于M，最后以O为圆心，为半径作圆即可； ②过A作于E，在和中根据勾股定理得出，然后求出，再在根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解即可； ③连接，过O作于F，于H，根据切线的性质可得然后根据即可求出圆的半径． （2）作和的垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，为半径作圆即可； ②过A作于G，在和中根据勾股定理得出，然后求出出，再在根据勾股定理求出，即可得出点A的坐标； ③设圆心，连接，，，根据两点间距离公式得出关于x，y的方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解∶①如图所示，即为所求， ②过A作于E， ∴， 由，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③连接，过O作于F，于H， ∵是的内切圆， ∴，，是的切线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即内切圆的半径的长度为； （2）解：①如图所示，即为所求， ②过A作于G， 在中，， 中，， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③设圆心，连接，，， 由②知，，， ∵是的外接圆， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 即外接圆的半径的长度． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，外接圆的性质，勾股定理，两点间距离公式等知识，添加合适辅助线进行解答是解题的关键． 【题型5 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例5】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 【变式5-1】边长为6的正三角形的内切圆的半径为 ______． 【答案】 【分析】画出图形，利用内切圆和等边三角形的性质得出，，再得出，，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图， 是等边三角形， ，， ∵是的内切圆， ∴和与相切， ，， ∴，， ，即， 得， 此正三角形内切圆的半径为． 【变式5-2】如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 【变式5-3】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 【题型6 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例6】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式6-1】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵ ， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 【变式6-2】如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 【答案】 2 【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题； （2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，    在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2； （2）如图，连接， 由1.知，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， （AAS）， ， 是的外心， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别． 【变式6-3】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 【答案】(1) 证明：连接、， 是直径，则， 是切线， ， ， ，即是圆的切线， ， ， ， ， ， ， 为的中点； (2) 【分析】（1）证明，，为直角三角形的中线，即可求解； （2）和的外接圆面积之比为3，确定，即，得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：和的外接圆面积之比为3，， 则两个三角形的外接圆的直径分别为、， ， ∵， ∴， ， ∵，是直径， ∴， ， ∴， ， ，是直角三角形的中线， ， 为等边三角形， 的面积：， 则，， ，，， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形的外接圆面积， ∵等边三角形边长为2， ∴其内切圆的半径为：，面积为， 故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为：． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过和的外接圆面积之比为3，确定，进而求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $