30.3 正多边形与圆（第1课时）教学设计（含大单元教学设计）2026-2027学年人教版数学九年级上册

分课时教学设计 第五课时《30.3 正多边形与圆（第1课时）》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课探究正多边形和圆的内在联系，教材将圆等分，顺次连接分点得到圆内接正多边形，引出正多边形的中心、半径、边心距、中心角四个核心概念．本课重要思想是把正多边形计算，分割成等腰三角形，进一步拆分成直角三角形，综合勾股定理完成边长、边心距、面积计算．教材以正八边形塔基实例作为例题，落实计算方法．本课打通多边形与圆两大几何模块，既是圆知识延伸，也复习巩固正多边形性质，为下一节课等分圆周作图打基础，同时可以解决现实建筑、图案计算问题，发展学生几何直观、转化思想． 学习者分析 学生已经掌握正多边形定义：各边相等，各角相等；掌握圆的基本概念，会勾股定理．但是学生对中心、边心距、中心角这些全新名词陌生，容易记混；不会把正多边形拆解成直角三角形，拿到计算题无从下手；不会计算正n边形中心角．小组合作中，学生能看懂图形拆解，但是独立画图，找直角三角形对应线段经常出错，分不清半径、边心距． 教学目标 1．了解正多边形和圆的关系，理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念． 2．会计算正多边形的中心角，能把正多边形的相关计算转化为直角三角形求解． 教学重点 正多边形中心、半径、边心距、中心角概念；正多边形转化直角三角形计算． 教学难点 从正多边形中拆解出直角三角形，利用勾股定理进行综合计算． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解正多边形和圆的关系，理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念． 2．会计算正多边形的中心角，能把正多边形的相关计算转化为直角三角形求解． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1.什么是三角形的外接圆？什么是三角形的内切圆？ 答案：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆． 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆． 2.什么叫正多边形？ 答案：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形． 导入：我们知道，三角形有外接圆和内切圆，多边形是否有外接圆和内切圆呢？对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切．对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？ 出示课题 学生活动2： 学生回忆三角形的外接圆、内切圆及正多边形定义；思考正多边形与圆的关系． 活动意图说明： 通过复习三角形的外接圆、内切圆的概念，正多边形的概念等知识，为探究正多边形与圆的关系做好准备. 环节三：新知讲解 教师活动3： 问题：日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案（如图所示）．你还能举出一些这样的例子吗？ 讲解：正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． ⊙O的内接正九边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆． 的外切正六边形 问题：以正五边形为例，如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．如何证明这个五边形是⊙O的内接正五边形呢？ 证明：∵， ∴，． ∴， 同理． 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆． 归纳：我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距． 思考：正边形的一个内角的度数是多少?外角呢?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系? 归纳：正边形的每一个内角都等于 正边形的每一个外角都等于 正边形的每一个中心角都等于 正多边形的中心角和外角的大小相等 例：延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为的正八边形(如图所示).求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). 解：如图所示，连接，作，垂足为. 八边形是半径为的正八边形， . 又为直角三角形， . . 在Rt中，由勾股定理，得. . 因此，宝塔地基的面积 学生活动3： 观察、思考、动手操作并探究得出正多边形与圆的相关概念，得出中心角公式. 小组合作探究例题，小组内互相指认直角三角形的三条边；学生独立完成例题计算． 活动意图说明： 依据教材内容完成概念教学，教会学生"分割成直角三角形"这一核心解题模型；借助教材实际例题落实计算，小组合作突破拆解图形难点． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：30.3 正多边形与圆（第1课时） 一、正多边形的相关概念 二、与正多边形有关的计算 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 答案：B 2．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 答案：十二 3．如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 解：如图，连接，，作于点H． 的周长等于， ∴． 六边形是正六边形， ， ， 在直角三角形中， ， ， 解得（负值舍去）， 边心距的长为． 选做题： 4．如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 解：（1）如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 答案：C 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 答案：十二 3．如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）． 解：如图，连接OB，OC，作OP⊥BC，垂足为P． ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠BOC＝＝60，OB＝OC． ∴△BOC是等边三角形．∴BC＝OB＝OC＝4m． ∴地基的周长． 在Rt△OPC中，OC＝BC＝4m，PC＝BC＝2m． 由勾股定理，可得边心距（m）． 地基的面积(m2)． 选做题： 4．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 证明：(1)∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 教学反思 本节课学生对边心距、中心角新概念记忆存在困难，需要反复看图辨认．大部分同学能记住中心角公式，但做题不会主动拆解直角三角形．小组合作拆解图形效果不错，但独立做题，不少学生混淆半径和边心距．后续教学要多画图，让学生在图上标注各个量，增加简单正六边形、正方形的计算变式训练． 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科《直线与圆的位置关系》单元教学设计 数学 年级 九年级 设计者 教材版本 人教版 册、章 上册第三十章 课标要求 1．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念． 2．了解三角形的内心． 3．能用尺规作图：作三角形的内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形． 4．*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 5．*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等． 6．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 内容分析 本章是初中平面几何的重要内容，承接之前点与圆的位置关系、三角形、全等、勾股定理等知识，研究直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆的内在联系．教材由直观图形位置过渡到圆心到直线距离与半径的数量关系，实现“形”与“数”的相互转化，是落实数形结合、类比、转化思想的重要载体．切线的性质与判定是本章核心，是中考高频考点，常和三角形、四边形综合考查证明与计算；三角形内切圆完善了三角形与圆的认识，区分内心与外心；正多边形与圆打通多边形和圆的联系，服务于图案设计、实际计算．本章既巩固直线型图形知识，又为高中解析几何中直线与圆的学习做好铺垫，对发展学生几何直观、逻辑推理核心素养有着不可替代的作用． 学情分析 学生已经掌握直线、三角形、点与圆的位置关系，具备基本尺规作图、简单几何推理能力，能够通过观察操作获得直观猜想．但学生首次用“点到直线距离”刻画曲线与直线的位置关系，容易混淆d、r大小对应的位置关系；切线证明中容易遗漏定理的条件，辅助线添加思路不清晰；容易混淆三角形内心、外心概念；正多边形计算时，不会把正多边形问题转化为直角三角形求解．学生几何综合推理能力参差不齐，面对多知识点融合的题型，审题、拆解图形、规范书写证明过程仍存在较大困难． 单元目标 （一）教学目标 1．了解直线和圆相离、相切、相交三种位置关系，会根据公共点个数、圆心到直线距离d与半径r的数量关系判断直线与圆的位置关系． 2．掌握圆的切线的性质定理、判定定理，能区分两个定理的条件与结论，会添加辅助线，完成切线相关证明与计算． 3．理解切线长定理，掌握三角形内切圆、内心的概念，会尺规作三角形内切圆，能进行边长、角度、半径相关计算，区分内心与外心． 4．理解正多边形与圆的关系，认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角，能进行正多边形的简单计算，会等分圆周画简单正多边形． 5．经历观察、操作、推理探究过程，体会类比、数形结合、转化思想，提升几何直观与逻辑推理素养． （二）教学重点、难点 重点： 1．直线与圆三种位置关系；切线的性质定理、判定定理的理解与应用． 2．三角形内切圆、内心的性质，切线长定理的简单运用． 3．正多边形和圆的相关概念，会把正多边形计算转化为直角三角形问题求解． 难点： 1．切线证明的两种辅助线模型，区分切线性质与判定的因果逻辑，规范书写几何证明． 2．三角形内心性质的综合运用，利用面积法求解内切圆半径，区分内心、外心． 3．正多边形问题转化为直角三角形，综合运用勾股定理完成相关计算． 单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 1-3 直线与圆 3 4 三角形的内切圆 1 5-6 正多边形与圆 2 7 数学活动——纸条平结与利用等分圆周设计图案 1 8 章末复习 1 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 1.通过观察实例，认识直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，理解切线、切点的概念． 2.探索圆心到直线的距离d与半径r的数量关系和直线与圆位置关系之间的对应，体会数形结合思想． 1.能说出直线与圆的三种位置关系、切线和切点定义． 2.会根据d与r的大小关系判断直线和圆的位置关系． 任务一：识别直线与圆的三种位置关系． 任务二：探究d、r数量关系和位置关系的转化，完成对应例题． 30.1.2 圆的切线（第1课时） 1.经历探究切线性质和判定定理的过程，理解切线性质及判定定理，明确判定定理中两个关键条件． 2.会运用切线的性质及判定定理进行证明，掌握判定切线的辅助线做法． 1.能准确表述切线的性质及判定定理，分清定理的条件． 2.能规范书写切线性质及判定的证明过程，会添加合适辅助线． 任务一：探究切线性质及判定定理． 任务二：运用性质及判定定理进行证明，完成教材例题． 30.1.2 圆的切线（第2课时） 理解切线长概念，探索切线长定理，会证明并运用切线长定理进行简单计算、证明． 能说出切线长定理，会利用切线长定理进行线段、角度计算． 任务：探究切线长定理，完成切线长相关例题． 30.2 三角形的内切圆 1.了解三角形内切圆、内心的概念，知道内心是三角形三条角平分线的交点． 2.掌握尺规作三角形内切圆的方法，能利用内心性质进行简单计算，区分内心与外心． 1.能说出三角形内切圆、内心的定义，说出内心的性质． 2.会用尺规画出三角形的内切圆，会进行和内切圆半径相关的简单计算． 任务一：认识三角形内切圆与内心． 任务二：学习尺规作三角形内切圆，完成对应例题． 30.3 正多边形与圆（第1课时） 1.了解正多边形和圆的关系，理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念． 2.会计算正多边形的中心角，能把正多边形的相关计算转化为直角三角形求解． 1.能说出正多边形相关概念（中心、半径、边心距、中心角）． 2.会求正多边形的中心角，能借助直角三角形进行边长、边心距计算． 任务一：认识正多边形与圆，识别相关概念． 任务二：正多边形有关计算，完成教材例题． 30.3 正多边形与圆（第2课时） 1.理解等分圆周作正多边形的原理，掌握用尺规作圆内接正方形、正六边形的方法． 2.能利用等分圆周画出简单的正多边形，理解正多边形作图的依据． 1.知道等分圆周可以得到正多边形． 2.能用尺规作出圆的内接正方形、内接正六边形． 任务一：探究等分圆周画正多边形的原理． 任务二：尺规作图：作圆内接正方形、圆内接正六边形． 数学活动：纸条平结与利用等分圆周设计图案 1.通过纸条打结活动感受正五边形，巩固等分圆周画正多边形的方法． 2.能利用等分圆周的方法，自主设计和绘制与圆有关的图案，提升动手能力． 1.能说出纸条打结得到正五边形的道理． 2.能独立利用等分圆周完成简单图案设计． 任务一：动手操作，纸条平结得到正五边形． 任务二：利用等分圆周自主设计图案． 第30章 直线与圆的位置关系 章末复习 1.梳理本章知识框架，巩固直线与圆位置关系、切线、内心、正多边形与圆等核心知识． 2.综合运用切线判定、切线长定理、内心、正多边形性质解决综合性几何问题，规范推理书写． 1.能自主梳理本章知识脉络，分清易混概念． 2.能解决切线证明、内切圆、正多边形综合计算题． 任务一：构建本章思维导图，辨析易混知识点． 任务二：完成本章综合典型例题，进行查漏补缺． 直线与圆的位置关系 直线与圆 任务一：直线与圆相离、相切、相交 任务二：切线的性质与判定 任务三：切线长定理 三角形的内切圆 任务：三角形的内切圆 正多边形与圆 任务一：正多边形的有关概念与计算 任务二：正多边形的画法 数学活动 活动：纸条平结与利用等分圆周设计图案 章末复习 任务：对本章内容进行回顾和思考 学科网（北京）股份有限公司 $