29.3.1 弧长和扇形面积 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 29.3.1  弧长和扇形面积 学生版  29.3.1　弧长和扇形面积 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　弧长公式与旋转、滚动的路径长 2 　　题型 2　扇形面积公式与两个公式的联用 3 　　题型 3　阴影面积：割补、弓形与滚动扫过 4 　　题型 4　与圆的性质联立：先求角，再算弧与面积 5 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 7 　题型 1　　弧长公式与旋转、滚动的路径长 知识梳理 弧长 旋转中某点经过的路径，就是该点绕旋转中心转过的弧 弧长公式只有一条：，其中 是圆心角的度数。公式里三个量（）知道两个，第三个就定死了，所以正向求弧长、反向求圆心角或半径都能做。 旋转中的"路径长"要先认两件事：绕哪个点转（旋转中心就是圆心）、这个点到中心有多远（那就是半径）；再看转过多少度。三样齐了，路径长就是一段弧长。题干里说"点 落在某处"，往往要先用勾股定理或等边三角形求出转角。 滚动问题的核心是一句：无滑动时，轮子转过的弧长等于它前进的距离。所以知道前进多远，就能反求转了多少度；圆在直线上滚动一周，前进 注意"滚动"与"翻转"不同：绕顶点翻折时，半径是顶点到关键点的距离，不是圆的半径。 易错　①把直径当半径代入公式；　② 用弧度或比例代替度数；　③滚动题把"转过一周"与"前进一周"混为一谈；　④旋转路径题把半径取成原图形的边长，而不是"该点到旋转中心的距离"。 要点　无滑动滚动时弧长 前进距离。 1． 若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为则这条弧长为 （  ） A． B． C． D． 2． 在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为      ． 　 3． 一段圆弧的公路弯道长200米，圆弧所在的圆的半径是90米，则弯道所对的圆心角度数约为      （取3.14，结果取整数）． 　 4． 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 （  ） A． B． C． D． 　题型 2　　扇形面积公式与两个公式的联用 知识梳理 ​判断能否求面积，就看能否凑出 与 （或 与 ） 扇形面积有两个公式： 与 。题目给了弧长就用第二个，省去求 的一步；给了圆心角就用第一个。两个公式其实是一件事，由弧长公式一代即得。 判断"能不能算出面积"时，只问一句：能不能凑出半径和圆心角（或者半径和弧长）。只给"圆面积和半径"这类信息，半径有了但圆心角没定，这个扇形的面积就无从谈起——信息多不等于条件够，冗余的已知照样填不上缺的那个量。 倍数关系要看清每个量的次方：半径扩大 倍、圆心角也扩大 倍时，面积扩大 倍，而弧长只扩大 倍。先写公式再代倍数，比直接凭感觉猜稳。 易错　①把 记成 　②用弧长公式时漏掉分母 用面积公式时漏掉 　③倍数题只平方半径，忘了圆心角也变；　④判断条件够不够时，被多余的已知迷惑。 要点　有弧长用 有圆心角用 。 1． 已知某个扇形的弧长为圆心角为则这个扇形的面积为 （  ） A．16 B．32 C．64 D． 2． 如图，点A，B，C是上的点，且阴影部分的面积为则此扇形的半径为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．5 3． 如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，分别是小正方形的顶点，则扇形的面积等于 （  ） A． B． C． D． 4． 若一个扇形的圆心角为弧长为那么此扇形的面积为      ． 　 　题型 3　　阴影面积：割补、弓形与滚动扫过 知识梳理 阴影面积 若干规则图形之和差；弓形面积 扇形面积 三角形面积 阴影面积的第一步永远是拆：把图形拆成扇形、三角形、矩形、半圆，再用加、减拼回去。拆不动的，就找"等面积替换"——把一块阴影挪到空白处，拼成一个能算的规则图形。 弓形是最高频的一块：弓形面积 扇形面积 三角形面积。圆心角是 时三角形是等腰直角三角形，是 时是等边三角形，是 时高要单独算。这三种情形要熟到不看图也能写。 滚动、旋转扫过的面积，按"扫过区域 原图形 扇形 重叠"记账。图形绕顶点旋转时，图形本身不变，新增的只有各顶点扫出的扇形；把每个顶点扫过的扇形面积加起来，再去掉重叠。 易错　①弓形算成"扇形 三角形"；　②旋转扫过只算一个顶点的扇形，漏掉其余顶点；　③把重叠部分重复计入；　④三角形的高用错（ 的等腰三角形高不等于腰）。 要点　先拆后算、能挪就挪；弓形 扇形 三角形。 1． 如图，在中，．以为圆心长为半径画圆，交于点则阴影部分面积是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接半径则阴影部分的面积为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作弧BE,CE，若则阴影部分图形的周长是  （  ） A．+1 B． C．+1 D． 4． 如图，在等腰直角三角形中，分别以点B，点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，求图中阴影部分的面积． 　 　 　 　题型 4　　与圆的性质联立：先求角，再算弧与面积 知识梳理 先用圆周角、内接四边形、垂径定理求出圆心角或半径，再套弧长、面积公式 这一类的顺序不能反：先由圆的性质把圆心角或半径求出来，再代公式。最常见的链子是"内接四边形对角互补 圆周角 同弧圆周角是圆心角的一半 弧长"。 看到直径先补直角，看到半径先想等腰，看到内接四边形先写对角互补——这三句能把大部分"卡住"的题推下去。 翻折类（把扇形折过去使某点与圆心重合）要先算折痕到圆心的距离，它决定了折过去的弧落在哪里、所求扇形的圆心角是多少。折痕是弦，弦心距等于半径的一半时折过去的点正好落在圆心。 易错　①直接用圆周角当圆心角代公式；　②求半径时把弦长当直径；　③翻折题不先定折痕位置，凭图猜角；　④算出圆心角后忘记换回度数（用弧度代入 ）。 要点　先圆的性质、后弧长面积公式；直径补直角、半径造等腰。 1． 如图，四边形内接于若的半径为3，则的长为 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，是的外接圆，的半径为3，． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 　 　 　 　 　 　 　 3． 如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若求扇形和的面积分别是多少． 　 　 　 4． 如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径若． （1）求的度数； （2）的长度为      ． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜弧长与扇形面积的直接计算 1． 道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m） （  ） A． B． C． D． 2． 一个扇形，根据下列所给条件不能计算出它的面积的是 （  ） A．已知扇形的弧长和半径 B．已知扇形的圆心角和半径 C．已知扇形的圆心角和弧长 D．已知扇形所在圆的面积和半径． 3． 扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的 （  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4． 如图，将正方形铁丝框变形成以为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），变化后的图形 （  ） A．周长不变，面积改变 B．周长改变，面积改变 C．周长不变，面积不变 D．周长改变，面积不变 5． 如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知是圆上的点，为圆心，小强从走到走便民路比走观赏路少走 （  ）米． A． B． C． D． 6． 如图，为的直径，劣弧的长则弦的长为  （  ） A．2 B．4 C．4 D．6 7． 有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是则这段圆弧所在圆的半径R约是      米（取3.14，结果保留小数点后一位）． 　 8． 中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积      ．（结果保留） 　 9． 如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，则的长是      cm． 　 10． 一个扇形的弧长是它的面积为则这个扇形的半径为      ，圆心角度数为      ． 　 11． 如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是      度． 　 12． 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC．若则点B经过的路径长度为      ．（结果保留） 　 13． 如图，把一个圆分成三个扇形，若圆的半径为2，则其中面积最大的扇形的圆心角度数为      ，面积为      ． 　 14． 如图，某汽车车门的底边长为车门侧开后的最大角度为若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是      ．（结果保留） 　 15． 一个扇形的弧长为若这个扇形的面积为则这个扇形的半径为      ． 　 B 组　提升题 必做｜旋转路径、实际建模与阴影面积计算 1． 如图，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为 （  ） A． B． C． D． 2． 2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为的长均为则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点．若则的长是 （  ） A． B． C． D． 4． 如图，在矩形中，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为 （  ） A． B． C． D． 5． 如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若则的长为 （  ） A． B． C．或 D． 6． 如图，分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若则此莱洛三角形的周长为      ． 　 7． 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为“直边长”为“下圆弧”的长为则      （用含的式子表示）． 　 8． 摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为      m．（结果保留） 　 9． 如图，在平面直角坐标系中，已知且点在上．若则的长为      ． 　 10． 如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点交边于点若则扇形的面积为      ． 　 11． 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接在网格中画出以为直径的圆，圆心为点点是格点且在圆上，连接则图中阴影部分的面积是      ． 　 12． 如图，在半径为4，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则阴影部分的面积是      （结果保留）． 　 13． 如图，在扇形OAB中，扇形半径为r，点C在上，垂足为D，当的面积最大时，的长为       ． 　 14． 如图，在中，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． （1）若求的长； （2）若D是的中点，且求阴影部分（弓形）的面积． 　 　 　 　 　 15． 如图，是的内接三角形，是的直径，连接． （1）求的度数． （2）若求图中阴影部分的面积． 　 　 　 　 　 16． 如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜滚动翻转、莱洛三角形与综合探究 1． 已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为则圆心O所经过的路线长是 （  ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 2． 如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（） A． B． C． D． 4． 如图，将半径为圆心角为的扇形绕点逆时针旋转点的对应点分别为连接则图中阴影部分的面积是 （  ） A． B． C． D． 5． 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形分别以点为圆心，以的长为半径作．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为则它的面积是      ． 　 6． 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点点点以点A和点为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为      ． 　 7． 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为则该莱洛三角形的周长为      cm． 　 8． 如图，线段以AB为直径画半圆，圆心为以为直径画半圆①；取的中点以为直径画半圆②；取的中点以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为      ． 　 9． 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC与水平面的夹角为其中那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为      cm． 　 10． 已知是上一段圆弧． （1）如图1，连接若求的长度； （2）如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的 （3）在（2）的条件下，若求扫过的图形面积． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 11． （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为       （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为扇环面积为且等于的长，等于的长，则      （选填“”、“”或“”）． 　 　 　 　 　 　 　 12． 如图，中，与相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接．当的长最大时，求的长． 　 　 　 　 　 13． 如图，已知扇形AOB中，半径． （1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积 （2）在扇形AOB的内部，⊙与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙为扇形AOB的内切圆，试求⊙的面积． 　 　 　 　 　 14． 如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1\~12的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 　 　 　 　 　 　 　 15． 如图，是的直径，为上一点（不与点重合）连接过点作垂足为点．将沿翻折，点落在点处得交于点． （1）求证：是的切线； （2）若求阴影部分面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3.1  弧长和扇形面积 解析版  29.3.1　弧长和扇形面积 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　弧长公式与旋转、滚动的路径长 2 　　题型 2　扇形面积公式与两个公式的联用 3 　　题型 3　阴影面积：割补、弓形与滚动扫过 5 　　题型 4　与圆的性质联立：先求角，再算弧与面积 8 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 11 　题型 1　　弧长公式与旋转、滚动的路径长 知识梳理 弧长 旋转中某点经过的路径，就是该点绕旋转中心转过的弧 弧长公式只有一条：，其中 是圆心角的度数。公式里三个量（）知道两个，第三个就定死了，所以正向求弧长、反向求圆心角或半径都能做。 旋转中的"路径长"要先认两件事：绕哪个点转（旋转中心就是圆心）、这个点到中心有多远（那就是半径）；再看转过多少度。三样齐了，路径长就是一段弧长。题干里说"点 落在某处"，往往要先用勾股定理或等边三角形求出转角。 滚动问题的核心是一句：无滑动时，轮子转过的弧长等于它前进的距离。所以知道前进多远，就能反求转了多少度；圆在直线上滚动一周，前进 注意"滚动"与"翻转"不同：绕顶点翻折时，半径是顶点到关键点的距离，不是圆的半径。 易错　①把直径当半径代入公式；　② 用弧度或比例代替度数；　③滚动题把"转过一周"与"前进一周"混为一谈；　④旋转路径题把半径取成原图形的边长，而不是"该点到旋转中心的距离"。 要点　无滑动滚动时弧长 前进距离。 1． 若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为则这条弧长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长（n是弧所对应的圆心角度数），带入计算即可． 解：故选：C． 2． 在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为      ． 　思路分析　　直接代弧长公式 ． 解：．故答案为：． 3． 一段圆弧的公路弯道长200米，圆弧所在的圆的半径是90米，则弯道所对的圆心角度数约为      （取3.14，结果取整数）． 　思路分析　　已知圆弧的弧长和所在圆的半径，代入弧长公式求解圆心角度数，最后取整数即可． 解：设弯道所对的圆心角度数为度， 根据题意得， 解得． 答：弯道所对的圆心角度数约为． 4． 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　重物上升即弧长是利用弧长公式即可求解． 解：设旋转的角度是度，根据题意得： ​ 解得：．故选：． 　题型 2　　扇形面积公式与两个公式的联用 知识梳理 ​判断能否求面积，就看能否凑出 与 （或 与 ） 扇形面积有两个公式： 与 。题目给了弧长就用第二个，省去求 的一步；给了圆心角就用第一个。两个公式其实是一件事，由弧长公式一代即得。 判断"能不能算出面积"时，只问一句：能不能凑出半径和圆心角（或者半径和弧长）。只给"圆面积和半径"这类信息，半径有了但圆心角没定，这个扇形的面积就无从谈起——信息多不等于条件够，冗余的已知照样填不上缺的那个量。 倍数关系要看清每个量的次方：半径扩大 倍、圆心角也扩大 倍时，面积扩大 倍，而弧长只扩大 倍。先写公式再代倍数，比直接凭感觉猜稳。 易错　①把 记成 　②用弧长公式时漏掉分母 用面积公式时漏掉 　③倍数题只平方半径，忘了圆心角也变；　④判断条件够不够时，被多余的已知迷惑。 要点　有弧长用 有圆心角用 。 1． 已知某个扇形的弧长为圆心角为则这个扇形的面积为 （  ） A．16 B．32 C．64 D． 　思路分析　　本题考查了扇形面积，弧长的计算，掌握其计算公式是解题的关键． 根据弧长和圆心角得到圆的半径（是扇形半径，是扇形弧长，是扇形圆心角），再根据扇形面积计算公式即可求解． 解：扇形的弧长为圆心角为 ​由得到 ​故选：A ． 2． 如图，点A，B，C是上的点，且阴影部分的面积为则此扇形的半径为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．5 　思路分析　　此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得的度数是解答此题的关键． 先由圆周角定理可得的度数，再由扇形的面积公式求解即可． 解： ​ ​扇形的面积为 ​故选：B． 3． 如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，分别是小正方形的顶点，则扇形的面积等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据题意求出扇形的半径为再根据扇形的面积公式即可求解． 解：由题意得扇形的半径为 ​扇形的面积为．故选：A 4． 若一个扇形的圆心角为弧长为那么此扇形的面积为      ． 　思路分析　　本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果． 解：设此扇形的半径为由题意得，圆心角弧长 根据弧长公式得解得． 根据扇形面积公式． 　题型 3　　阴影面积：割补、弓形与滚动扫过 知识梳理 阴影面积 若干规则图形之和差；弓形面积 扇形面积 三角形面积 阴影面积的第一步永远是拆：把图形拆成扇形、三角形、矩形、半圆，再用加、减拼回去。拆不动的，就找"等面积替换"——把一块阴影挪到空白处，拼成一个能算的规则图形。 弓形是最高频的一块：弓形面积 扇形面积 三角形面积。圆心角是 时三角形是等腰直角三角形，是 时是等边三角形，是 时高要单独算。这三种情形要熟到不看图也能写。 滚动、旋转扫过的面积，按"扫过区域 原图形 扇形 重叠"记账。图形绕顶点旋转时，图形本身不变，新增的只有各顶点扫出的扇形；把每个顶点扫过的扇形面积加起来，再去掉重叠。 易错　①弓形算成"扇形 三角形"；　②旋转扫过只算一个顶点的扇形，漏掉其余顶点；　③把重叠部分重复计入；　④三角形的高用错（ 的等腰三角形高不等于腰）。 要点　先拆后算、能挪就挪；弓形 扇形 三角形。 1． 如图，在中，．以为圆心长为半径画圆，交于点则阴影部分面积是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求扇形面积等知识，先根据等腰直角三角形的性质得出再根据扇形面积公式计算即可得出答案． 解：中， ​ ​以为圆心长为半径画圆， ​故选C． 2． 如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接半径则阴影部分的面积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接证明是等边三角形，得根据阴影部分的面积计算即可． 解：连接如图， ​点C、D是以为直径的半圆上的三等分点， ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​阴影部分的面积 3． 如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作弧BE,CE，若则阴影部分图形的周长是  （  ） A．+1 B． C．+1 D． 　思路分析　　由题知阴影部分图形的周长=的长+的长+BC，通过扇形的弧长公式计算得出的长和的长，即可求解． 解：五边形ABCDE为正五边形， ​== ​的长=的长= ​阴影部分图形的周长=的长+的长+BC=+1，故选：A． 4． 如图，在等腰直角三角形中，分别以点B，点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，求图中阴影部分的面积． 　思路分析　　先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 解：等腰直角三角形中， ​ ​ ​ ​． ​ ​两个扇形面积之和为 ​阴影部分的面积为． 　题型 4　　与圆的性质联立：先求角，再算弧与面积 知识梳理 先用圆周角、内接四边形、垂径定理求出圆心角或半径，再套弧长、面积公式 这一类的顺序不能反：先由圆的性质把圆心角或半径求出来，再代公式。最常见的链子是"内接四边形对角互补 圆周角 同弧圆周角是圆心角的一半 弧长"。 看到直径先补直角，看到半径先想等腰，看到内接四边形先写对角互补——这三句能把大部分"卡住"的题推下去。 翻折类（把扇形折过去使某点与圆心重合）要先算折痕到圆心的距离，它决定了折过去的弧落在哪里、所求扇形的圆心角是多少。折痕是弦，弦心距等于半径的一半时折过去的点正好落在圆心。 易错　①直接用圆周角当圆心角代公式；　②求半径时把弦长当直径；　③翻折题不先定折痕位置，凭图猜角；　④算出圆心角后忘记换回度数（用弧度代入 ）。 要点　先圆的性质、后弧长面积公式；直径补直角、半径造等腰。 1． 如图，四边形内接于若的半径为3，则的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了弧长的计算公式：, 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 解： ​ ​ ​的长为故选：B． 2． 如图，是的外接圆，的半径为3，． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 　思路分析　　（1）利用圆周角定理解答即可； （2）直接利用弧长公式计算即可； （3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可． （1）解： ​． （2）解：的半径为3， ​的长为． （3）解：的半径为3， ​． 又 ​． 3． 如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若求扇形和的面积分别是多少． 　思路分析　　本题考查了扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用翻折性质得出线段与角度关系，结合公式计算面积． 由翻折得折痕是的垂直平分线，故结合得是等边三角形，再用扇形面积公式算用等边三角形面积公式算． 解：设直线l与交于点D，如图所示， ​扇形中， ​ ​点与圆心重合， ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​． 4． 如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径若． （1）求的度数； （2）的长度为      ． 　思路分析　　本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． （1）解： ​ ​ ​ （2）解：如图所示，连接 ​是的直径， ​ ​ ​ ​的长度．故答案为： A 组　基础题 必做｜弧长与扇形面积的直接计算 1． 道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m） （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据题意，求长即可求解． 解：依题意，故选：B． 2． 一个扇形，根据下列所给条件不能计算出它的面积的是 （  ） A．已知扇形的弧长和半径 B．已知扇形的圆心角和半径 C．已知扇形的圆心角和弧长 D．已知扇形所在圆的面积和半径． 　思路分析　　本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，或． 解：A．已知扇形的弧长和半径根据可以计算扇形的面积，故A不符合题意； B．已知扇形的圆心角和半径根据可以计算扇形的面积，故B不符合题意； C．已知扇形的圆心角和弧长可以先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出扇形的面积，故C不符合题意； D．已知扇形所在圆的面积和半径不能计算出它的面积，故D符合题意．故选：D． 3． 扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的 （  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 　思路分析　　本题主要考查扇形面积公式，熟练应用扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式进行分析即可求解． 解：扇形的半径和圆心角分别扩大为原来的2倍， ​扩大后的扇形面积为 ​面积扩大为原来的8倍．故选：C． 4． 如图，将正方形铁丝框变形成以为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），变化后的图形 （  ） A．周长不变，面积改变 B．周长改变，面积改变 C．周长不变，面积不变 D．周长改变，面积不变 　思路分析　　题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，根据题意结合图象设利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可． 解：设 ​ ​ ​面积不变，周长不变故选：C． 5． 如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知是圆上的点，为圆心，小强从走到走便民路比走观赏路少走 （  ）米． A． B． C． D． 　思路分析　　作于C，如图，根据垂径定理得到再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可． 解：作于C，如图， 则 ​ ​（）= 在Rt中，OC= AC= ​ 又 ​走便民路比走观赏路少走米， 故选D． 6． 如图，为的直径，劣弧的长则弦的长为  （  ） A．2 B．4 C．4 D．6 　思路分析　　本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出再根据勾股定理计算即可． 解：连接 设的度数为 ​ ​半径 则 ​ ​弦故选：C． 7． 有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是则这段圆弧所在圆的半径R约是      米（取3.14，结果保留小数点后一位）． 　思路分析　　已知弧长和弧所对圆心角度数，利用弧长公式计算半径即可． 解：根据题意得， 解得． 答：这段圆弧所在圆的半径R约是8.5米． 8． 中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积      ．（结果保留） 　思路分析　　本题考查求扇形的面积，利用大扇形的面积减去小扇形的面积，进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 解：故答案为：． 9． 如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，则的长是      cm． 　思路分析　　本题考查了弧长公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用弧长公式为其中是圆心角度数，是半径，计算即可． 解：已知 ​弧长．故答案是． 10． 一个扇形的弧长是它的面积为则这个扇形的半径为      ，圆心角度数为      ． 　思路分析　　已知扇形弧长和面积，先根据扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式计算圆心角度数即可． 解：设扇形的半径为圆心角度数为 ​扇形弧长面积扇形面积公式为 ​代入得 解得： ​扇形弧长公式为 ​将代入公式得 两边约去后整理得： 因此扇形半径为圆心角度数为． 11． 如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是      度． 　思路分析　　本题考查了弧长的计算，圆的周长等知识，根据题意列出式子即可求得结果，正确列出式子是解题的关键． 解：圆周长即为圆的周长，此时的圆周角为 ​一个扇形的弧长等于它所在圆周长的 ​“最美扇形”的圆心角为故答案为：． 12． 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC．若则点B经过的路径长度为      ．（结果保留） 　思路分析　　直接利用弧长公式即可求解． 解：故答案为：． 13． 如图，把一个圆分成三个扇形，若圆的半径为2，则其中面积最大的扇形的圆心角度数为      ，面积为      ． 解：面积最大的扇形的圆心角度数为 最大扇形的面积为． 14． 如图，某汽车车门的底边长为车门侧开后的最大角度为若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是      ．（结果保留） 　思路分析　　本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为圆心角最大角度为 ​扇形的最大面积为： 故答案为：． 15． 一个扇形的弧长为若这个扇形的面积为则这个扇形的半径为      ． 　思路分析　　根据扇形的面积公式将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 解：设扇形的半径为已知扇形的弧长面积． 由扇形面积公式可得 ​ 化简得 两边同时除以得． B 组　提升题 必做｜旋转路径、实际建模与阴影面积计算 1． 如图，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为半径是的弧长，即可求解；掌握弧长公式：能将所求弧长之和转化为圆心角为半径都是的弧长是解题的关键． 解： 且两两不相交，且半径都是 ​三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为 半径是的弧长， ​三个阴影扇形的弧长之和为： ​ ​故选：B． 2． 2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为的长均为则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　设根据扇形的面积公式列方程求解即可． 解：设 由题意得 解得 即． 3． 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点．若则的长是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接根据三角形内角和定理求出的度数，利用等腰三角形的性质表示出和进而求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接 ​ ​圆的半径 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的长为：． 4． 如图，在矩形中，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据旋转得到根据余弦值求角的度数得到结合矩形的性质得到再根据弧长公式即可求解． 解：将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处， ​ ​四边形是矩形， ​ ​在中， ​则 ​ ​ ． 5． 如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若则的长为 （  ） A． B． C．或 D． 　思路分析　　分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ​弧的长为或． 6． 如图，分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若则此莱洛三角形的周长为      ． 　思路分析　　本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可． 解： ​故答案为：． 7． 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为“直边长”为“下圆弧”的长为则      （用含的式子表示）． 　思路分析　　本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键． 解：根据题意，作出图形，如图所示： ​ ​ ​ 故答案为：． 8． 摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为      m．（结果保留） 　思路分析　　根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 解：根据题意得，摩天轮的半径为 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为 ​后圆心角 ​的长度为． 9． 如图，在平面直角坐标系中，已知且点在上．若则的长为      ． 　思路分析　　本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合推出圆心在轴上，设圆心设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 解：点的坐标分别是 ​ ​垂直平分 ​圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为连接． 设的半径为 在中，即解得． ​ ​ ​的长为． 10． 如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点交边于点若则扇形的面积为      ． 　思路分析　　根据三角形内角和定理求出由题意得，根据等腰三角形的性质得到再根据三角形外角的性质求出最后根据扇形面积公式计算． 解： ​ 由题意得， ​ ​ ​扇形的面积为． 11． 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接在网格中画出以为直径的圆，圆心为点点是格点且在圆上，连接则图中阴影部分的面积是      ． 　思路分析　　连接根据网格与勾股定理及其逆定理，得出进而根据阴影部分的面积即可求解． 解：如图所示，连接 ​点和是格点，为直径，点为圆心， ​点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得． ​ ​． ​是直角三角形，且． ​图中阴影部分的面积 ​ ​ ​． 12． 如图，在半径为4，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则阴影部分的面积是      （结果保留）． 　思路分析　　本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 已知为直径，则在等腰直角三角形中，垂直平分为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 解：连接 在中， ​是半圆的直径， ​ 在等腰中，垂直平分 ​为半圆的中点， ​．故答案为：． 13． 如图，在扇形OAB中，扇形半径为r，点C在上，垂足为D，当的面积最大时，的长为       ． 解：试题解析：点在上， ​ ​ ​ ​当即时,的面积最大， ​ ​ ​的长为 故答案为 14． 如图，在中，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． （1）若求的长； （2）若D是的中点，且求阴影部分（弓形）的面积． 　思路分析　　（1）连接如图，利用互余计算出然后计算出的度数，再根据弧长公式求解即可； （2）利用斜边上的中线性质得到再判断为等边三角形，则利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算． （1）解：连接如图， ​ ​ ​ ​ ​ ​的度数为 ​长为 （2）解：过点作于点 ​是的中点， ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​阴影部分的面积． 15． 如图，是的内接三角形，是的直径，连接． （1）求的度数． （2）若求图中阴影部分的面积． 　思路分析　　本题主要考查了圆周角定理、含直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为可知根据同弧所对的圆周角相等可得再根据角的和差即可解答； （2）如图：连接由含直角三角形的性质以及勾股定理可得如图：过O作于E，易得由三角形的面积公式可得再说明利用扇形的面积公式可得最后根据求解即可． （1）解：是的直径， ​ ​ ​ ​． （2）解：如图：连接 在中， ​ 如图：过O作于E， ​ ​ ​ ​ ​ ​． 16． 如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 　思路分析　　（1）利用待定系数法求解k值即可； （2）如图，连接．先利用坐标与图形性质求得由求解即可． （1）解：反比例函数的图象经过点 ​解得 ​反比例函数的表达式为． （2）解：如图，连接． ​ ​． ​为的直径， ​ ​ ​． C 组　拓展题 选做｜滚动翻转、莱洛三角形与综合探究 1． 已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为则圆心O所经过的路线长是 （  ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 解：O经过的路线是两个半径是（m）， ​ ​ ​ ​ O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ​圆心O所经过的路线长是：（m），故选：B． 2． 如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查轨迹、圆的弧长公式，如图，圆心运动路径的长度的长，根据弧长公式计算即可．解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式． 解：如图，圆心运动路径的长度： ​的长 ​圆心运动路径的长度等于． 故选：C． 3． 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（） A． B． C． D． 　思路分析　　根据题意得设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到利用二次函数的性质求解即可． 解：如图， 根据旋转的性质， ​ 则 ​ ​点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴， 设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)， ​ O ​ ​ ​ 设 ​ ​当时，有最大值，最大值为 ​的最大值为．故选：A． 4． 如图，将半径为圆心角为的扇形绕点逆时针旋转点的对应点分别为连接则图中阴影部分的面积是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　如图，连接利用旋转性质得出之后根据同圆之中半径相等依次求得是等边三角形以及是等边三角形，据此进一步分析得出最后利用图中阴影部分面积=进一步计算求解即可． 如图，连接 ​将半径为圆心角为的扇形绕点逆时针旋转 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​AOB=120 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​图中阴影部分面积= = =故选：C． 5． 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形分别以点为圆心，以的长为半径作．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为则它的面积是      ． 　思路分析　　本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为则其中的一段弧长就是所以根据弧长公式可得即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 解： 曲边三角形的周长为为等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 曲边三角形的面积为： 故答案为：． 6． 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点点点以点A和点为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为      ． 　思路分析　　连接取的中点连接．先证明为直径，得到为所在圆的圆心，再根据勾股定理得到进而依次得到求出根据弧长公式进行计算即可求解． 解：如图，连接取的中点连接． ​ ​为直径， ​为所在圆的圆心， 由勾股定理得 ​ ​． ​ ​ ​ ​的长． 故答案为： 7． 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为则该莱洛三角形的周长为      cm． 　思路分析　　直接利用弧长公式计算即可． 解：利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）故答案为6 8． 如图，线段以AB为直径画半圆，圆心为以为直径画半圆①；取的中点以为直径画半圆②；取的中点以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为      ． 　思路分析　　由可得半圆①弧长为半圆②弧长为（）半圆③弧长为（）......半圆⑧弧长为（）即可得8个小半圆的弧长之和为+（）+（）+...+（）． 解： ​半圆①弧长为 同理半圆②弧长为 ​半圆③弧长为 …… 半圆⑧弧长为 ​8个小半圆的弧长之和为． 故答案为：． 9． 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC与水平面的夹角为其中那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为      cm． 解：试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象． 可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段O线段圆弧线段四部分构成． 其中． ​BC与AB延长线的夹角为是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心位置， ​此时⊙与AB和BC都相切． 则度． 此时RtBE和RtBF全等， 在RtBE中，BE=． ​=AB-BE=（60-）cm． ​ ​=BC-BF=（40-）cm． ​BC与水平夹角为 ​=120度． 又 ​=60度． 则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为且半径为的圆弧． ​的长=210=cm． ​四边形DC是矩形， ​． 综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是: （60-）+（40-）++40=（140-）cm． 10． 已知是上一段圆弧． （1）如图1，连接若求的长度； （2）如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的 （3）在（2）的条件下，若求扫过的图形面积． 　思路分析　　本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积； （1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解； （2）根据题意作出旋转后的圆心再作出等边三角形作出的等圆取即可求解． （3）根据扫过的图形面积等于即可求解． （1）解：如图， ​ ​ ​的长度为 （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点连接再为圆心、以为半径作弧，交于点以为圆心，为半径作则即为所求； （3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于 又 ​． 11． （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为       （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为扇环面积为且等于的长，等于的长，则      （选填“”、“”或“”）． 　思路分析　　本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设根据弧长公式得到进而求出再利用扇形的面积公式得到扇环的面积则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得根据梯形的面积公式得到然后利用即可得到结论． 解：（1）该纸筒的侧面积为 故答案为：54； （2）设 ​ ​ ​ ​ ​扇环的面积为 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​扇环的面积为 （3）设图形的高为h， 由（2）得 ​等于的长，等于的长， ​ ​ ​ ​ ​．故答案为：． 12． 如图，中，与相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接．当的长最大时，求的长． 　思路分析　　本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接利用勾股定理的逆定理判定得出利用切线的性质得出利用等面积法求出然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． （1）解∶连接 ​ ​ ​ ​与相切于D， ​ ​ ​ ​ （2）解∶延长交于P，连接此时最大， 由（1）知： ​． 13． 如图，已知扇形AOB中，半径． （1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积 （2）在扇形AOB的内部，⊙与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙为扇形AOB的内切圆，试求⊙的面积． 　思路分析　　（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积； （2）设⊙与OA相切于点E，连接O，E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算． （1）半径 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​阴影部分的面积． （2）设⊙与OA相切于点E，连接O，E， ​ 在RtE中， ​ ​E， ​C，C， ​ ​的半径． ​=． 14． 如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1\~12的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 　思路分析　　（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小； （2）连接求出即可得出垂直的位置关系； （3）根据圆的知识求出又是的切线，利用三角函数求解即可． （1）劣弧 直径 因为故劣弧更长． （2）和互相垂直，理由： 如下图所示连接由图可知是直径， ​对应的圆周角 ​和互相垂直． （3）如上图所示， ​是的切线 ​ ​． 15． 如图，是的直径，为上一点（不与点重合）连接过点作垂足为点．将沿翻折，点落在点处得交于点． （1）求证：是的切线； （2）若求阴影部分面积． 　思路分析　　（1）连接OC，先证明根据折叠的性质和圆的半径相等证明OCAE，从而求出问题得证； （2）连接过点作于点证明四边形OCEG为矩形，求出进而求出分别求出矩形OCEG、扇形COF面积，即可求出阴影部分面积． （1）证明：如图，连接OC， ​ ​ ​翻折得到 ​ ​ ​, ​ ​ ​ ​AE， ​ECO=180 ​ ​是的切线； （2）如图，连接过点作于点 ​ ​四边形OCEG为矩形． ​ ​ ​ ​ ​于点OA= ​ ​AE， ​ ​矩形OCEG面积为 ​面积为 扇形COF面积为 ​阴影部分面积=矩形OCEG面积-面积-扇形COF面积=． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $