第 29 章 圆 数学活动 教学设计 2026-2027 学年人教版九年级数学上册

课题名称 数学活动：四等分圆周与探究四点共圆的条件 课型 数学活动课（1课时） 教学资源 课件、学案、尺规教具 教学内容解析 内容 四等分圆周；探究四点共圆的条件。 内容解析 本节是人教版（2024）九年级上册第二十九章《圆》章末的“数学活动”，是在学生已经学习了圆的有关性质（圆心角、弧、弦之间的关系）、点和圆的位置关系、三角形的外接圆、圆内接四边形对角互补等知识之后安排的一节综合性活动课。活动1以“四等分圆周”为载体，引导学生把“等分圆周”转化为“等分圆心角”，利用两条互相垂直的直径将360°的圆心角依次四等分、八等分、十六等分；活动2以“过四边形四个顶点能否作一个圆”为驱动问题，引导学生经历“操作—测量—猜想—证明”的完整探究过程，得出 对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，并首次在初中阶段用反证法完成严格证明。本节内容既是本章圆的性质的综合运用，也为高中进一步学习圆内接四边形、四点共圆的判定以及立体几何中的反证法埋下伏笔，承上启下。 目标与目标解析 单元整体目标 本章属于“图形与几何”领域，要求学生探索圆的相关概念与性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，能完成三角形外接圆、正多边形与圆等基本作图，在观察、操作、猜想、证明等数学活动中发展抽象能力、几何直观、推理能力与应用意识，体会反证法的思想方法。 课时目标 1.（几何直观、运算能力）通过尺规作图经历四等分圆周的过程，能说明“作两条互相垂直的直径即可四等分圆周”的道理，并能将作法迁移到八等分、十六等分圆周；体会“等分圆周即等分圆心角”的转化思想。 2.（推理能力、创新意识）经历“操作—测量—猜想—证明”探究四点共圆条件的全过程，知道对角互补的四边形的四个顶点共圆，并能在教师引导下用反证法（分别考察第四点在圆内、圆外两种情形）完成证明，初步理解反证法“反设—归谬—结论”的逻辑框架。 3.（应用意识、文化自信）在动手操作与合作交流中积累几何探究活动经验，感受圆的对称美以及“天圆地方”“团圆和谐”等中华优秀传统文化中的数学意蕴。 课时目标解析 达成目标1：学生能独立用尺规作出两条互相垂直的直径，并能用“四个圆心角均为90°⇒四条弧相等”说明作法的道理；能在四等分基础上作出八等分点。 达成目标2：学生能通过测量发现矩形、正方形四个顶点共圆而一般平行四边形、菱形不共圆，归纳出“对角互补”的猜想；能在教师引导下写出反证法证明的关键步骤。 达成目标3：学生能在小组活动中积极动手、敢于猜想，并举出生活中等分圆周的实例。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了圆的有关性质、圆心角—弧—弦关系、点和圆的位置关系、三角形外接圆、圆内接四边形对角互补等知识，具备用尺规作线段、作垂线、作三角形外接圆的基本技能；在之前的学习中接触过“假设结论不成立”的简单说理，但对反证法的完整逻辑还是第一次系统经历。 困惑点或探索点 ①学生容易把“四个顶点共圆”与“四边形是特殊四边形”简单等同，需要通过测量数据引导其发现“对角互补”这一本质特征；②反证法中“第四点在圆内”“第四点在圆外”两种情形的分类以及“利用三角形外角与内点角的大小关系”推出矛盾是思维障碍点；③学生用几何语言书写证明过程时容易跳步、因果不清。 教学 重难点 教学重点 经历四等分圆周的作图与说理过程；探究并掌握 “对角互补的四边形的四个顶点共圆”这一结论。 教学难点 用反证法证明“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，理解“点在圆内”“点在圆外”两种情形下如何推出矛盾。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：等分圆周是设计图案、制造圆形工件的基础；四点共圆是高中平面几何与立体几何推理的重要模型。 学什么：四等分圆周的尺规作法及道理；四点共圆的条件（对角互补）；反证法的初步运用。 怎么学：采用“情境—操作—猜想—证明—应用”的探究式教学路径，以任务单驱动学生动手画图、测量、小组讨论；教师在关键处追问与示范，借助几何画板动态演示第四点在圆内、圆外的两种情形，突破反证法难点。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 环节一 情境导入 （5分钟） 【任务1】欣赏中国古代铜镜、天坛圜丘、自行车车轮、穹顶等圆形图案。 思考：这些图案为什么设计成圆形？要把一个圆周四等分、八等分，该怎样画线？ 师：展示图片，提问——把圆周四等分，实际上是把哪个角四等分？ 生：360°的圆心角四等分，每份是90°。 师：怎样用尺规在圆中画出四个90°的圆心角？ 能说出“等分圆周即等分圆心角”，每份圆心角为90°。 从文化与生活情境引入，把几何问题转化为圆心角问题，渗透转化思想。 环节二 活动1 四等分圆周 （12分钟） 【任务2】作⊙O，用尺规把圆周四等分。 作法：① 任意作直径AB； ② 过点O作AB的垂线，交⊙O于C、D两点； ③ 则点A、B、C、D把⊙O四等分。 图1 四等分圆周 【追问】为什么这样作就能四等分？ ∵ AB是直径，CD⊥AB于O，且CD也是直径， ∴ ∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°。 ∴ ＝＝＝，四条弧相等。 【任务3】试一试：在图1基础上把圆八等分。 图2 八等分圆周 方法：分别作∠AOC、∠COB等的角平分线，或作相邻等分点连线的垂直平分线，即可得到八等分点；重复操作可得十六等分、三十二等分…… 师：巡视指导，强调圆规两脚距离保持不变，垂线要用尺规作。 生：动手作图，小组互查；一名学生上台板演。 师：请学生用一句话说明作法的道理。 生：四个圆心角都是90°，在同圆中相等的圆心角所对的弧相等。 师：八等分每份圆心角是多少？十六等分呢？ 生：45°；22.5°。 能独立用尺规作出两条互相垂直的直径； 能说明“四个圆心角均为90°⇒四条弧相等”； 能在四等分基础上作出八等分点。 把操作与说理结合，落实“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”这一基本性质；由四到八到十六，体会无限细分的数学思想。 环节三 活动2 问题链 （8分钟） 【任务4】回顾：平面上经过1个点、2个点、3个点分别能作多少个圆？ 图3 过一点、两点、三点作圆 结论：经过一点，可作无数个圆；经过两点，圆心在连线的垂直平分线上，可作无数个圆；经过不共线三点，有且只有一个圆（三角形外接圆）；经过共线三点，不能作圆。 【驱动问题】过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆。那么，过任意一个四边形的四个顶点，也一定能作一个圆吗？ 师：动态演示圆的圆心在垂直平分线上运动，请学生观察过两点的圆有多少个。 生：齐答过一点无数个、过两点无数个、过不共线三点唯一。 师：抛出驱动问题，让学生先猜想。 生：有的说“一定能”，有的说“不一定”，形成认知冲突。 能准确说出过1/2/3点作圆的结论； 能根据已有经验提出自己的猜想。 以旧引新，由三角形外接圆自然过渡到四边形四点共圆；制造认知冲突，激发探究欲望。 环节四 操作测量 提出猜想 （8分钟） 【任务5】小组合作：分别作平行四边形、矩形、菱形、正方形，先过其中三个顶点作圆，再看第四个顶点是否在这个圆上；并量出每个四边形两组对角的度数。 图4 四个特殊四边形 记录单（学案）： · 平行四边形：第4点____圆上；∠A＋∠C＝____°。 · 矩 形：第4点____圆上；∠A＋∠C＝____°。 · 菱 形：第4点____圆上；∠A＋∠C＝____°。 · 正方形：第4点____圆上；∠A＋∠C＝____°。 【猜想】对角互补（∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°）的四边形，四个顶点共圆。 图5 对角互补的四边形ABCD 师：分发任务单，巡视指导测量与作圆。 生：4人小组分工——1人作平行四边形、1人作矩形、1人作菱形、1人作正方形，共同测量、记录。 师：组织汇报。 生代表：矩形、正方形的第4点在圆上，且∠A＋∠C＝180°；一般平行四边形、菱形第4点不在圆上，∠A＋∠C≠180°。 师：引导归纳猜想。 能通过作圆、测量发现矩形、正方形四点共圆； 能归纳出“共圆的四边形对角和为180°”的猜想。 经历“特殊四边形→测量数据→归纳猜想”的过程，发展数据观念与几何直观；让结论从学生的操作中“长”出来。 环节五 证明猜想 反证法 （10分钟） 【已知】在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。 【求证】过点A、B、C、D可作一个圆。 【证明思路——反证法】 ① 反设：假设A、B、C、D四点不共圆。 ② 过不共线三点A、B、D作⊙O，则点C只有两种位置：在⊙O内，或在⊙O外。 ③ 归谬： 情形1 点C在⊙O内（图6）。 图6 点C在⊙O内 延长BC交⊙O于点C′，连接DC′。 ∵ A、B、C′、D四点在⊙O上，∴ ∠A＋∠BC′D＝180°（圆内接四边形对角互补）。 又∵ 在△DCC′中，∠BCD是外角，∴ ∠BCD＞∠BC′D。 ∴ ∠A＋∠BCD＞∠A＋∠BC′D＝180°，这与已知∠A＋∠BCD＝180°矛盾。 情形2 点C在⊙O外（图7）。 图7 点C在⊙O外 设BC与⊙O交于点C′（C′在线段BC上），连接DC′。 同理，由∠A＋∠BC′D＝180°，且在△DCC′中∠BC′D是外角， ∴ ∠BC′D＞∠BCD，得∠A＋∠BCD＜180°，与已知∠A＋∠BCD＝180°矛盾。 ④ 结论：点C既不能在⊙O内，也不能在⊙O外，∴ 点C必在⊙O上，即A、B、C、D四点共圆。 师：板书“反设—归谬—结论”三步框架；用几何画板拖动点C，动态展示C在圆内、圆外两种情形。 生：跟随教师思路，在学案上补全证明过程；同桌互相说一遍“为什么∠BCD＞∠BC′D”。 师：追问——能不能漏掉其中一种情形？为什么？ 生：不能漏，因为点C和圆的位置关系只有“内、上、外”三种，反设后须分别讨论。 能说出反证法的三个步骤； 能看懂并补全证明中“∠BCD＞∠BC′D”这一关键一步； 能体会为什么要分圆内、圆外两种情形。 本课难点，借助直观演示+板书证明突破；渗透分类讨论与反证法思想，发展推理能力。 环节六 应用小结 （2分钟） 【课堂小结】 1. 四等分圆周：作两条互相垂直的直径；道理是四个圆心角均为90°；可继续八等分、十六等分。 2. 四点共圆条件：对角互补的四边形的四个顶点共圆。 3. 方法：操作—测量—猜想—证明；反证法：反设—归谬—结论。 【课后作业】 ① 用尺规把一个圆周六等分（提示：六等分点与圆心构成等边三角形）； ② 判断：一个四边形的三个内角分别为70°、100°、110°，它的四个顶点共圆吗？为什么？ 师：引导学生从“知识、方法、思想”三个层面回顾。 生：自主发言，补充完善。 能独立说出本节两个结论；能完成作业第②题的简单判断。 提纲挈领，巩固重点；作业①为后续正多边形铺垫，②及时反馈四点共圆条件。 板书设计 数学活动：四等分圆周与四点共圆 活动1 四等分圆周：① 作直径AB；② 过O作AB垂线交圆于C、D；③ A、B、C、D四等分圆周。 道理：四个圆心角均为90°⇒四条弧相等。（迁移：八等分、十六等分……） 活动2 四点共圆的条件： 猜想：对角互补的四边形四个顶点共圆。 证明（反证法）：反设—归谬（D在圆内/圆外均矛盾）—结论。 思想：转化、分类讨论、反证法。 提纲挈领，重点突出。 学科网（北京）股份有限公司 $