专题29.3 弧长和扇形面积（3大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上学期

专题29.3 弧长和扇形面积 知识点1：弧长公式 　　1.在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是n°的圆心角所对的弧长为。 　　2.公式中n和180都表示1°的圆心角的度数，没有单位；公式中l、n、R三个量中，已知任意两个可求第三个（知二求一）。 　　1.弧长公式可看作圆周长的部分。 　　2.涉及实际问题时，把圆心角、半径、弧长的对应关系找准再代入公式。 知识点2：扇形及扇形的面积公式 　　1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 　　2.扇形的面积公式：在半径为R的圆中，因为圆心角为360°的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是。 　　3.变形公式（用弧长表示扇形面积）：，其中l为扇形的弧长，R为半径。 已知条件 选用的公式 说明 半径R和圆心角n 标准公式 半径R和弧长l 变形公式，可类比三角形面积记忆 　　1.公式中S、l、R、n四个量中，已知任意两个可求另外两个（知二求二）。 　　2.扇形面积可类比三角形面积公式记忆，其中l相当于"底"，R相当于"高"。 知识点3：圆锥的侧面积和全面积 　　1.与圆锥有关的概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体；连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线；连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫作圆锥的高。 　　2.圆锥的基本特征：（1）圆锥的轴通过底面圆心并垂直于底面；（2）圆锥的母线长都相等；（3）圆锥的母线l、高h、底面半径r恰好构成一个直角三角形，由勾股定理得。 　　3.圆锥的侧面积和全面积：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥侧面展开图（扇形）的半径为l，扇形的弧长为底面圆的周长，所以圆锥的侧面积；圆锥的全面积。 　　1.圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长，要与底面半径r区分开。 　　2.圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，据此可求侧面展开图的圆心角。 　　3.求圆锥侧面积常先由勾股定理求出母线或高。 【基础必考题型】 【题型1】求弧长 1.核心知识点 　　弧长公式。 2.解题方法技巧 　　（1）找准圆心角n、半径R代入弧长公式； 　　（2）注意圆心角是所对弧的圆心角，半径是弧所在圆的半径； （3）实际情境（车轮、摆动、弯道、皮带传动）先把弧长抽象为圆心角与半径对应的弧。 【例题1】.（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 【变式题1-1】.（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 【变式题1-2】.（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【变式题1-3】.（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【题型2】由弧长求圆心角或半径 1.核心知识点 　　弧长公式的变形：，。 2.解题方法技巧 　　（1）已知弧长与半径求圆心角，或已知弧长与圆心角求半径（知二求一）； 　　（2）皮带传动问题中，两轮边缘线速度相等，转过的弧长相等，据此列式； （3）实际情境（扇面展板、轨道、地球周长估算）转化为弧长与圆心角、半径的关系。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 【答案】 6 /度 【分析】已知扇形弧长和面积，先根据扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式计算圆心角度数即可． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积，扇形面积公式为， ∴代入得， 解得：， ∵扇形弧长公式为， ∴将，代入公式得， 两边约去后整理得：， 因此扇形半径为，圆心角度数为． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知扇形的弧长为，半径为，求这个扇形的圆心角的度数． 【答案】 【分析】设扇形圆心角为度，代入扇形弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角为度， 已知扇形弧长为，半径为， 根据扇形弧长公式可得 ， 化简得， 解得， 答：这个扇形的圆心角为． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的面积是． （1）若它的半径是4，则该扇形的圆心角是______，弧长是______； （2）若该扇形的圆心角是，则它的半径是_______； （3）若该扇形的弧长是，则它的半径是_______． 【答案】 π 2 【分析】（1）根据扇形的面积公式，弧长求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：，即该扇形的圆心角是； 弧长； （2）由题意可得：，解得：； （3）由题意可得：，解得：． 【题型3】求扇形面积 1.核心知识点 　　扇形面积公式。 2.解题方法技巧 　　（1）根据已知条件（圆心角与半径，或弧长与半径）选择扇形面积公式； 　　（2）求扇环面积时用大扇形面积减小扇形面积； （3）实际情境（扇面、纸扇、山水画）明确内外半径与圆心角。 【例题3】.（2026·广西百色·三模）广西陆上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点．如图1所示的是陆上风力发电装置（有3个相同叶片），若风叶片的长为，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合，则此时一片叶片扫过的扇形区域（图2）面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】陆上风力发电装置有3个相同叶片，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合，可解得，求出圆心角为的扇形面积即可求解． 【详解】解：∵陆上风力发电装置有3个相同叶片，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合， ∴， 解得， ∵扇形， ∴一片叶片扫过的扇形区域面积． 【变式题3-1】.（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 【答案】 【详解】解：当时，n边形的外角和为， ∴图中阴影部分的面积之和为 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵外侧两竹条，的夹角为，即， ∴扇面（阴影部分）的面积为 ． 【题型4】圆锥的侧面积与全面积 1.核心知识点 　　圆锥的侧面积，全面积。 2.解题方法技巧 　　（1）由母线l、底面半径r直接代公式； 　　（2）已知高与母线（或高与半径）时，先用勾股定理求第三个量； （3）实际问题（草帽、帐篷、蒙古包）把圆锥侧面展开为扇形求侧面积。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积． 【答案】这个几何体的表面积为 【分析】利用勾股定理求出该直角三角形的斜边长，利用等面积法求出斜边上的高，旋转一周得到的几何体由两个圆锥组成，分别求出两个圆锥的侧面积，求和即可得到答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的斜边为； 设该直角三角形斜边上的高为，则， 解得； 以该直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，该几何体由两个圆锥组成，一个圆锥的底面圆半径为，母线长为，另一个圆锥的底面圆半径为，母线长为， ∴该几何体的表面积为． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取，结果保留小数点后一位）？ 【答案】制作个烟囱帽至少需要平方米铁皮 【分析】圆锥侧面积公式：． 【详解】解：， 一个烟囱帽需要的铁皮面积：， 个烟囱帽需要的铁皮面积：， ， 答：制作个烟囱帽至少需要平方米铁皮． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积等于． 先由勾股定理求解母线长，再由圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由题意得，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 答：圆锥的侧面积为． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积； (2)围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 【答案】(1) (2)围成的圆锥的全面积是；思考1：扇形的面积；思考2：半径，周长 【分析】本题考查了圆锥的有关计算； （1）根据扇形的面积公式进行计算； （2）分别利用弧长公式，圆的周长和面积公式计算即可． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是：； （2）思考1：求圆锥的侧面积就是求扇形的面积． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的半径，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以可以先求出扇形的弧长． 扇形的弧长是：， 则底面圆的周长是，底面圆的半径是2， 所以底面圆的面积是：， 则围成的圆锥的全面积是． 【培优高频题型】 【题型5】求弓形面积 1.核心知识点 　　弓形面积＝扇形面积±三角形面积。 2.解题方法技巧 　　（1）弓形面积＝扇形面积减去（劣弧）或加上（优弧）等腰三角形面积； 　　（2）过圆心作弦的垂线构造直角三角形，先求弦与圆心角； （3）实际情境（排水管有水部分）先求扇形面积与三角形面积再作差。 【例题5】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 【变式题5-2】.（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，已知是的直径，点在上，点在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先通过直径所对的圆周角是直角，推导出，接着证明，结合，从而得到，从而得证； （2）连接，先通过，推出，接着求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示：    ∵是的直径，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：，， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理及其推论，勾股定理，扇形的面积，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型6】求不规则图形（阴影部分）的面积 1.核心知识点 　　用割、补、移等方法把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差。 2.解题方法技巧 　　（1）等积变换法：利用同底等高三角形面积相等或全等进行转化； 　　（2）割补法：把阴影部分分割成扇形、三角形、弓形的和或差； （3）化零为整法：多个小扇形拼合后圆心角之和为某定值（如多边形内角和360°）统一求面积。 【例题6】.（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积 的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【答案】 【分析】根据题意求得是等腰直角三角形，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ．， ，的面积为1， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、图形旋转的性质、反比例函数的解析式以及扇形面积的计算，解题的关键是确定旋转后点的坐标，并利用旋转性质将阴影面积转化为两个扇形面积的差． （1）先求出、、的坐标，再根据旋转的性质求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求； （2）阴影部分的面积等于以为圆心、为半径的扇形面积减去以为圆心、为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算． 【详解】（1）解：在中， 当时，，解得，故； 当时，，故 ∵点为线段的中点， ∴． 将绕点顺时针旋转得到，作，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， 故． ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵，，旋转角为， 通过下图所示的割补法可知： ∴阴影部分的面积 ． 【题型7】求某点弧形运动的路径长 1.核心知识点 　　图形旋转或翻滚时，某点经过的轨迹是圆弧，路径长即弧长。 2.解题方法技巧 　　（1）确定该点绕哪个定点旋转、旋转半径和旋转角； 　　（2）分次求出各段弧长，再求和； （3）翻滚类问题注意每次旋转的圆心变化与半径。 【例题7】.（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式．证明是等边三角形是本题的关键．利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，得到，即旋转角为，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 【变式题7-1】.（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据题意求得点从开始到结束所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 依题意， ∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 故答案为：． 【变式题7-3】.（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 【题型8】求图形旋转后扫过的面积 1.核心知识点 　　图形绕某点旋转时扫过的面积为对应扇形面积（或扇形面积之差）。 2.解题方法技巧 　　（1）确定旋转中心、旋转半径与旋转角； 　　（2）扫过面积常为扇形面积，或两扇形面积之差； （3）实际情境（车门扫过区域）抽象为扇形面积。 【例题8】.（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 【变式题8-1】.（25-26六年级下·上海松江·期中）一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【答案】 【分析】先求出从下午到时针转过的圆心角度数，确定扇形的半径，再代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵时针每小时转过的度数为， 从下午到，经过小时， ∴时针转过的圆心角为． ∵时针长为扇形的半径，即， ∴ （）． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点B、C的对应点的位置，再与点A顺次连接即可； （2）利用网格求出的长度，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， 边扫过的图形面积=． 【变式题8-3】.（2026·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)求出（2）中线段所扫过的图形面积（结果保留）． 【答案】(1)关于轴对称的图形如图： 点的坐标 (2)如上图； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意，得，， ∴线段所扫过的图形面积为． 【压轴素养题型】 【题型9】求圆锥的底面半径、母线或高 1.核心知识点 　　圆锥侧面展开扇形弧长等于底面周长；母线、高、半径构成直角三角形。 2.解题方法技巧 　　（1）由侧面展开图圆心角n与母线l求底面半径； 　　（2）由侧面积与母线（或底面半径）求另一量； （3）由勾股定理求高或母线。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 【答案】 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥母线长，利用圆周长公式和弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得． ∵扇形弧长公式为，其中圆心角，弧长为， ∴， 解得． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用这个关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得：， 解得 ， 所以圆锥底面圆的半径为． 【变式题9-2】.（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 【答案】剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 【分析】连接，先根据圆周角所对的弦为直径，确定为的直径，长度为，通过勾股定理算出扇形的半径的长度，再利用圆的面积公式算出整块圆形铁皮的总面积，用扇形面积公式算出剪下的扇形面积，两者作差，得到剩余部分的面积，最后根据扇形的弧长和圆锥底面的周长相等，通过弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立方程，求解出圆锥的底面圆半径．注意剩余部分的面积和圆锥的底面圆半径均按要求保留两位小数． 【详解】解：连接，如图 由可知，为的直径，， 根据勾股定理，在中，， 在扇形中，， ， 圆形铁皮直径为， 圆形铁皮的半径为， 圆形铁皮的总面积， 剪下的扇形面积， 剩余部分面积， 扇形的弧长， 设圆锥底面圆的半径为，则，即， 解得． 答：剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 【题型10】求圆锥侧面展开图的圆心角 1.核心知识点 　　侧面展开扇形圆心角。 2.解题方法技巧 　　（1）利用扇形弧长等于底面周长列式求圆心角； 　　（2）也可由侧面积公式与扇形面积公式联立求解； （3）实际情境（草帽、漏斗滤纸、不倒翁）确定母线与底面半径。 【例题10】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 【答案】 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长列方程求解． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长， 可得方程，解得． 【变式题10-1】.（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 【变式题10-2】.（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____． 【答案】 【分析】利用圆的底面周长即是扇形的弧长，求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的圆心角为， ∵圆的底面周长即是扇形的弧长， ∴， 解得： 则扇形纸板的圆心角是． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）草帽是中国特有的传统草编工艺品，乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面周长为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式． 根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 【题型11】圆锥侧面上最短路径问题 1.核心知识点 　　把曲面展开为平面，用两点之间线段最短求最短路程。 2.解题方法技巧 　　（1）沿母线展开圆锥侧面为扇形，确定起点与终点的位置； 　　（2）在展开图中连接起点与终点，用勾股定理求线段长； （3）求侧面展开图圆心角，判断两点的相对位置。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，圆锥的母线长是，底面圆的半径是，是底面圆周上的一点，从点出发绕侧面一周再回到点的最短路线的长是______． 【答案】 【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出，即，在中，计算出，于是得到，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长． 【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，作，设， 根据题意得， 解得 ， 即， ∵，， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为． 【变式题11-1】.（2022·宁夏吴忠·模拟预测）如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【答案】 【分析】沿过点A的母线将圆锥侧面展开，根据底面半径求出侧面展开的扇形的圆心角，再由两点之间线段最短确定最短路线，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则的长是最短的路线长， 底面半径是2， 底面圆的周长为， 即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为， 圆锥的母线长是8， 圆锥侧面展开得到的扇形半径为8， 设圆锥侧面展开的扇形圆心角为，则， 解得， 即扇形的圆心角为． ， 在中，由勾股定理得， 即最短的路线长是． 【变式题11-2】.（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【题型12】圆锥的实际应用（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　把实际问题（帐篷、漏斗、沙漏、钢材锻造、草帽）转化为圆锥侧面积、体积计算。 2.解题方法技巧 　　（1）分析圆锥的母线、底面半径、高之间的关系，用勾股定理求未知量； 　　（2）用侧面积、全面积公式求材料面积，用体积公式求容量； 　　（3）跨学科情境先抽象出圆锥与扇形的模型再计算。 【例题12】.（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 【变式题12-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，有一种单层绒布的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．灯罩的形状可以看作一个大圆锥裁掉上面的小圆锥得到的．现在要制作这种灯罩，已知的直径，的直径，，． (1)线段的长为_______； (2)请问制作一个这样的台灯灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布 【分析】本题考查圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过点B作交于点E，在中，利用勾股定理即可求解； （2）计算顶罩的表面积，而，代入，结果保留整数即可． 【详解】（1）解：过点B作交于点E，作出圆锥的侧面展开图扇形，如图： ∵的直径，的直径，点O、共线，与、都垂直，， ∴在中， ， 故答案为：； （2）解：， ， 在中， ，， ， ； ． 制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布． 【变式题12-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题12-3】.（25-26六年级下·上海普陀·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 【答案】(1)，． (2) ， ． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴ ， ， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆． 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积 ． 易错点 1、弧长公式与扇形面积公式混淆，或忘记带度数（漏乘）。 2、圆锥侧面展开图的半径误当成底面半径，二者易混淆。 3、求弓形面积时，忘记分"劣弧"与"优弧"两种情况（减或加三角形面积）。 4、求不规则图形面积时，分割或补全后未正确处理重叠或遗漏部分。 5、圆锥求母线时，误把底面半径当成高，或忘记用勾股定理。 重点 1、掌握弧长公式，会求弧长及由弧长求圆心角、半径。 2、掌握扇形面积公式，会求扇形、弓形及不规则图形面积。 3、掌握圆锥的侧面积和全面积公式，会求圆锥的母线、底面半径、高及侧面展开图圆心角。 难点 1、求不规则图形（阴影部分）面积，运用等积变换、割补、化零为整等方法。 2、求图形旋转后某点路径长、扫过面积及圆锥侧面最短路径问题。 3、圆锥与弧长、扇形面积在实际与跨学科情境中的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆锥侧面积为. 2．已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 二、填空题 4．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 5．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 6．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到，通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】解：， ， 设阴影部分面积为，扇形的面积为，则， ， ， ． 三、解答题 7．已知一个扇形的圆心角为，弧长为，求这个扇形的面积． 【答案】 这个扇形的面积为． 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求出结果． 【详解】解：设扇形的半径为, 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 扇形的面积为． 8．如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，求该等边三角形的边长． 【答案】4 【分析】设该等边三角形的边长为x，因为圆锥轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长等于x，圆锥底面圆的直径等于x，可得到底面周长与x的关系．圆锥侧面积公式，结合已知侧面积为建立方程．求解方程得到x的值，即为等边三角形的边长． 【详解】解：设等边三角形的边长为x，则圆锥的母线长为x，底面直径为x，底面周长为． 依题意，得， 解得或（舍去）， 故该等边三角形的边长为4． 9．如图，某兴趣小组的同学将边长为的正方形铁丝框变形为以点为圆心，以，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形的面积是多少？ 【答案】 【分析】由正方形的边长为，可得的长度为，然后利用扇形的面积公式（）计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴的长度为， ∴， ∴所得扇形的面积是． 10．如图，的半径为． (1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） (2)已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【答案】(1)的长为及扇形的面积为 (2) 【分析】（1）直接根据弧长公式和扇形面积公式即可得出结论； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，的半径为， ∴， 答：的长为及扇形的面积为； （2）解：∵的长为，的半径为， ∴， ∴， 答：的度数约为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.3 弧长和扇形面积 知识点1：弧长公式 　　1.在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是n°的圆心角所对的弧长为。 　　2.公式中n和180都表示1°的圆心角的度数，没有单位；公式中l、n、R三个量中，已知任意两个可求第三个（知二求一）。 　　1.弧长公式可看作圆周长的部分。 　　2.涉及实际问题时，把圆心角、半径、弧长的对应关系找准再代入公式。 知识点2：扇形及扇形的面积公式 　　1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 　　2.扇形的面积公式：在半径为R的圆中，因为圆心角为360°的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是。 　　3.变形公式（用弧长表示扇形面积）：，其中l为扇形的弧长，R为半径。 已知条件 选用的公式 说明 半径R和圆心角n 标准公式 半径R和弧长l 变形公式，可类比三角形面积记忆 　　1.公式中S、l、R、n四个量中，已知任意两个可求另外两个（知二求二）。 　　2.扇形面积可类比三角形面积公式记忆，其中l相当于"底"，R相当于"高"。 知识点3：圆锥的侧面积和全面积 　　1.与圆锥有关的概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体；连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线；连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫作圆锥的高。 　　2.圆锥的基本特征：（1）圆锥的轴通过底面圆心并垂直于底面；（2）圆锥的母线长都相等；（3）圆锥的母线l、高h、底面半径r恰好构成一个直角三角形，由勾股定理得。 　　3.圆锥的侧面积和全面积：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥侧面展开图（扇形）的半径为l，扇形的弧长为底面圆的周长，所以圆锥的侧面积；圆锥的全面积。 　　1.圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长，要与底面半径r区分开。 　　2.圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，据此可求侧面展开图的圆心角。 　　3.求圆锥侧面积常先由勾股定理求出母线或高。 【基础必考题型】 【题型1】求弧长 1.核心知识点 　　弧长公式。 2.解题方法技巧 　　（1）找准圆心角n、半径R代入弧长公式； 　　（2）注意圆心角是所对弧的圆心角，半径是弧所在圆的半径； （3）实际情境（车轮、摆动、弯道、皮带传动）先把弧长抽象为圆心角与半径对应的弧。 【例题1】.（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【变式题1-3】.（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【题型2】由弧长求圆心角或半径 1.核心知识点 　　弧长公式的变形：，。 2.解题方法技巧 　　（1）已知弧长与半径求圆心角，或已知弧长与圆心角求半径（知二求一）； 　　（2）皮带传动问题中，两轮边缘线速度相等，转过的弧长相等，据此列式； （3）实际情境（扇面展板、轨道、地球周长估算）转化为弧长与圆心角、半径的关系。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知扇形的弧长为，半径为，求这个扇形的圆心角的度数． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的面积是． （1）若它的半径是4，则该扇形的圆心角是______，弧长是______； （2）若该扇形的圆心角是，则它的半径是_______； （3）若该扇形的弧长是，则它的半径是_______． 【题型3】求扇形面积 1.核心知识点 　　扇形面积公式。 2.解题方法技巧 　　（1）根据已知条件（圆心角与半径，或弧长与半径）选择扇形面积公式； 　　（2）求扇环面积时用大扇形面积减小扇形面积； （3）实际情境（扇面、纸扇、山水画）明确内外半径与圆心角。 【例题3】.（2026·广西百色·三模）广西陆上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点．如图1所示的是陆上风力发电装置（有3个相同叶片），若风叶片的长为，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合，则此时一片叶片扫过的扇形区域（图2）面积是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 【题型4】圆锥的侧面积与全面积 1.核心知识点 　　圆锥的侧面积，全面积。 2.解题方法技巧 　　（1）由母线l、底面半径r直接代公式； 　　（2）已知高与母线（或高与半径）时，先用勾股定理求第三个量； （3）实际问题（草帽、帐篷、蒙古包）把圆锥侧面展开为扇形求侧面积。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取，结果保留小数点后一位）？ 【变式题4-2】.（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 【变式题4-3】.（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积； (2)围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 【培优高频题型】 【题型5】求弓形面积 1.核心知识点 　　弓形面积＝扇形面积±三角形面积。 2.解题方法技巧 　　（1）弓形面积＝扇形面积减去（劣弧）或加上（优弧）等腰三角形面积； 　　（2）过圆心作弦的垂线构造直角三角形，先求弦与圆心角； （3）实际情境（排水管有水部分）先求扇形面积与三角形面积再作差。 【例题5】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，已知是的直径，点在上，点在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求阴影部分的面积． 【题型6】求不规则图形（阴影部分）的面积 1.核心知识点 　　用割、补、移等方法把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差。 2.解题方法技巧 　　（1）等积变换法：利用同底等高三角形面积相等或全等进行转化； 　　（2）割补法：把阴影部分分割成扇形、三角形、弓形的和或差； （3）化零为整法：多个小扇形拼合后圆心角之和为某定值（如多边形内角和360°）统一求面积。 【例题6】.（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【变式题6-3】.（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【题型7】求某点弧形运动的路径长 1.核心知识点 　　图形旋转或翻滚时，某点经过的轨迹是圆弧，路径长即弧长。 2.解题方法技巧 　　（1）确定该点绕哪个定点旋转、旋转半径和旋转角； 　　（2）分次求出各段弧长，再求和； （3）翻滚类问题注意每次旋转的圆心变化与半径。 【例题7】.（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． ∵， ∴， ∵， ∴， 【变式题7-1】.（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【变式题7-2】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【变式题7-3】.（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【题型8】求图形旋转后扫过的面积 1.核心知识点 　　图形绕某点旋转时扫过的面积为对应扇形面积（或扇形面积之差）。 2.解题方法技巧 　　（1）确定旋转中心、旋转半径与旋转角； 　　（2）扫过面积常为扇形面积，或两扇形面积之差； （3）实际情境（车门扫过区域）抽象为扇形面积。 【例题8】.（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26六年级下·上海松江·期中）一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【变式题8-3】.（2026·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)求出（2）中线段所扫过的图形面积（结果保留）． 【压轴素养题型】 【题型9】求圆锥的底面半径、母线或高 1.核心知识点 　　圆锥侧面展开扇形弧长等于底面周长；母线、高、半径构成直角三角形。 2.解题方法技巧 　　（1）由侧面展开图圆心角n与母线l求底面半径； 　　（2）由侧面积与母线（或底面半径）求另一量； （3）由勾股定理求高或母线。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为___________，母线长为___________． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 【变式题9-2】.（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 【题型10】求圆锥侧面展开图的圆心角 1.核心知识点 　　侧面展开扇形圆心角。 2.解题方法技巧 　　（1）利用扇形弧长等于底面周长列式求圆心角； 　　（2）也可由侧面积公式与扇形面积公式联立求解； （3）实际情境（草帽、漏斗滤纸、不倒翁）确定母线与底面半径。 【例题10】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 【变式题10-1】.（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【变式题10-2】.（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）草帽是中国特有的传统草编工艺品，乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面周长为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为______． 【题型11】圆锥侧面上最短路径问题 1.核心知识点 　　把曲面展开为平面，用两点之间线段最短求最短路程。 2.解题方法技巧 　　（1）沿母线展开圆锥侧面为扇形，确定起点与终点的位置； 　　（2）在展开图中连接起点与终点，用勾股定理求线段长； （3）求侧面展开图圆心角，判断两点的相对位置。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，圆锥的母线长是，底面圆的半径是，是底面圆周上的一点，从点出发绕侧面一周再回到点的最短路线的长是______． 【变式题11-1】.（2022·宁夏吴忠·模拟预测）如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【变式题11-2】.（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【题型12】圆锥的实际应用（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　把实际问题（帐篷、漏斗、沙漏、钢材锻造、草帽）转化为圆锥侧面积、体积计算。 2.解题方法技巧 　　（1）分析圆锥的母线、底面半径、高之间的关系，用勾股定理求未知量； 　　（2）用侧面积、全面积公式求材料面积，用体积公式求容量； 　　（3）跨学科情境先抽象出圆锥与扇形的模型再计算。 【例题12】.（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【变式题12-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，有一种单层绒布的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．灯罩的形状可以看作一个大圆锥裁掉上面的小圆锥得到的．现在要制作这种灯罩，已知的直径，的直径，，． (1)线段的长为_______； (2)请问制作一个这样的台灯灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 【变式题12-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【变式题12-3】.（25-26六年级下·上海普陀·期末）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 易错点 1、弧长公式与扇形面积公式混淆，或忘记带度数（漏乘）。 2、圆锥侧面展开图的半径误当成底面半径，二者易混淆。 3、求弓形面积时，忘记分"劣弧"与"优弧"两种情况（减或加三角形面积）。 4、求不规则图形面积时，分割或补全后未正确处理重叠或遗漏部分。 5、圆锥求母线时，误把底面半径当成高，或忘记用勾股定理。 重点 1、掌握弧长公式，会求弧长及由弧长求圆心角、半径。 2、掌握扇形面积公式，会求扇形、弓形及不规则图形面积。 3、掌握圆锥的侧面积和全面积公式，会求圆锥的母线、底面半径、高及侧面展开图圆心角。 难点 1、求不规则图形（阴影部分）面积，运用等积变换、割补、化零为整等方法。 2、求图形旋转后某点路径长、扫过面积及圆锥侧面最短路径问题。 3、圆锥与弧长、扇形面积在实际与跨学科情境中的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 5．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 6．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题 7．已知一个扇形的圆心角为，弧长为，求这个扇形的面积． 8．如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，求该等边三角形的边长． 9．如图，某兴趣小组的同学将边长为的正方形铁丝框变形为以点为圆心，以，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形的面积是多少？ 10．如图，的半径为． (1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） (2)已知的长为，求的度数．（结果精确到） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $