第29章 圆 章末复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 第29章  章末复习 解析版  第29章　章末复习 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　圆的有关概念：圆周角、弦与弧 2 　　题型 2　点与圆的位置关系、直径与最长弦 3 　　题型 3　确定圆的条件与半圆的判定 4 　　题型 4　圆周角定理与圆心角的换算 5 　　题型 5　直径所对的圆周角与三角形的外心 7 　　题型 6　圆内接四边形与双解问题 9 　　题型 7　弦心距与垂径定理的基本计算 11 　　题型 8　垂径定理的证明与弧长计算 13 　　题型 9　圆的折叠问题 14 　　题型 10　弧长、扇形面积与阴影 17 　　题型 11　圆锥的侧面积与展开 19 　　题型 12　圆锥表面的最短路径 20 　　题型 13　拱桥与同心圆的实际应用 22 　　题型 14　直线与圆的位置关系：动圆相切 23 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 25 　题型 1　　圆的有关概念：圆周角、弦与弧 知识梳理 顶点在圆上、两边都与圆相交的角叫圆周角；连接圆上两点的线段叫弦，过圆心的弦是直径，直径是最长的弦 圆周角要同时满足两条：顶点在圆上、两边都与圆相交。缺一条就不是圆周角——顶点在圆心的是圆心角，一边与圆相离的是普通角。判断时只看顶点的位置与两边是否都穿过圆，不要去比角的大小。 圆里的名词要能对上号：弦、直径、半径、弧（优弧与劣弧）、等弧。"直径是弦"成立，"弦是直径"不成立；"半圆是弧"成立，"弧是半圆"不成立。这类判断题的陷阱都在包含关系被反过来写。 辨析类选择题的常规做法是逐条回到定义：把每个选项拆成"条件 + 结论"，能在定义里找到出处的才留。遇到"任意""一定""都"这类字眼要格外小心，找一个反例比背结论可靠。 易错　①把顶点在圆内的角当成圆周角；　②认为"弦一定是直径"；　③把弧与半圆混为一谈；　④辨析题凭印象选，不回定义。 要点　圆周角看顶点与两边；弦与直径是包含关系，不能反过来说。 1． 下列图形中的角是圆周角的是 （  ） A． B． C． D． 解：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角， ​只有选项C符合题意． 2． 下列说法中，正确的是 （  ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 　思路分析　　A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆； B、利用等圆的条件进行分析解答； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件； D、根据垂径定理即可得出结论． 解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意； B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意．故选：B． 3． 下列说法正确的是 （  ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 　思路分析　　根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可． 解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误；故选C． 　题型 2　　点与圆的位置关系、直径与最长弦 知识梳理 设圆心到点的距离为 半径为 在圆内， 在圆上， 在圆外；直径是最长的弦 位置关系只比两个量：圆心到点的距离 与半径 。题目给"点在圆内"，就直接写出 把 换成已知长度，不等式一列，取值范围自然出来。不要靠画图估位置，估出来的是大概，题目要的是确界。 "到圆上点的距离最长、最短"这类条件，对应的是该点与直径两端点的连线：点在圆外时最长 最短 点在圆内时最长 最短 两个式子都要会，题目不会告诉你点在圆内还是圆外，第（1）问往往就是先判位置。 直径是最长的弦，这句话正反都能用：给了最长弦就是给了直径；给了弦长与半径，就能判断这条弦能否存在（弦长不超过直径）。点与圆的距离问题，画一条过该点与圆心的直线，两个交点就是最近点与最远点，不必另作辅助线。 易错　①把 与 的比较方向写反；　②点在圆内时把最短距离写成 　③忘记"最长弦即直径"；　④取值范围漏掉端点（能否取等号要看点在不在圆上）。 要点　位置关系比 与 最远最近都在过圆心的那条直线上。 1． 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是  （  ） A．7 B．6 C．5 D．4 　思路分析　　本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 解：的半径为5，点P在内， ​．故选：D． 2． 平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为最短为则的半径为 （  ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 　思路分析　　根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 解：当点P在外时， ​ 点P到上点的最长距离为最短距离为 ​的直径为 半径为 ． 当点P在内时， ​ 点P到上点的最长距离为最短距离为 ​的直径为 半径为 ． 因此的半径为或． 3． 在中，最长的弦是则的半径为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据圆中最长的弦是直径解答即可． 解：在中，最长的弦是 ​的直径为 ​的半径为． 　题型 3　　确定圆的条件与半圆的判定 知识梳理 不在同一直线上的三点确定一个圆； 的圆周角所对的弦是直径，反之直径所对的圆周角是直角 确定圆的条件只有一条：不在同一直线上的三个点。三点共线时作不出圆（这条用反证法证），所以数"最多能作几个圆"就是数"能选出多少组不共线的三点"，先算组合数，再把共线的组减掉。 判断一个弧形工件是不是半圆，看的是弧上一点对弦的张角：张角为 才是半圆，小于或大于都不是。直角尺检查的道理就在这里——尺的直角顶点落在弧上，两边过弧的端点，弧就是半圆。换成普通三角尺的 顶点，结论不成立。 这类题常把"确定圆"与"外接圆"连起来：三角形的外接圆由三个顶点唯一确定，圆心的位置靠两边的垂直平分线定。答题时先说明"三点不共线"，再说"有且只有一个圆"，这句依据不能省。 易错　①漏掉"不共线"这个前提；　②把任意三角尺的直角边当直径；　③认为"过任意三点都能作圆"；　④数圆的个数时不减共线的组。 要点　不共线三点定一圆； 的张角判定半圆。 1． 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 （  ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 　思路分析　　根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 解：依题意，加上点可以画出一个圆， ​共有3个． 2． 用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是 （  ）． A． B． C． D． 　思路分析　　根据所对的圆周角所对的弦是直径进行判断． 解：因为所对的圆周角所对的弦是直径，所以选项B中的圆弧为半圆，故选：B． 　题型 4　　圆周角定理与圆心角的换算 知识梳理 同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等 圆周角定理只有一句：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。用它的前提是"同一条弧"——顶点在优弧上、在劣弧上，所对的弧不同，结论也不同。做题第一步永远是先指出这个角对着哪条弧。 同弧或等弧所对的圆周角相等，这条是"转移角"的主力：要求一个不好求的角，先找与它同弧的那个好求的角。圆内接四边形、直径所对的直角，本质上都是这条定理的推论，不必每次重新证一遍。 遇到"优弧上的点与劣弧上的点"同时出现，两个角所对的弧互为补弧，它们的和是 。六等分、八等分这类题，先算出一份圆心角的度数，再用"占几份"换算，比逐角相加快。 易错　①不看所对的弧就套"一半"；　②把圆心角与圆周角的位置关系记反；　③优弧、劣弧上的点混为一谈；　④等分圆周时份数数错。 要点　先认弧，再谈一半；同弧的圆周角可互相替代。 1． 如图，点A，B，C在上，垂足为D，若则的度数是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据得到根据得到根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 解： ​ ​ ​ ​．故选A． 2． 如图，在中，点在上，则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　直接根据圆周角定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可得出结论． 解：在⊙O中,点D在⊙O上， ​．故选：B． 3． 如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧劣弧上，则的值是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 解：如图，由题意可知， ​ ​所对的弧是 ​所对的弧是 ​即故选：． 　题型 5　　直径所对的圆周角与三角形的外心 知识梳理 直径所对的圆周角是 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等 看到直径，立刻在图上标一个 直径所对的圆周角是直角。反过来，圆内一个角是 它对的弦就是直径。这一条正反两用，求角、判直径、定外心都靠它。 外心的三条性质要记牢：到三顶点距离相等、是三条垂直平分线的交点、外心角与顶角成 倍关系。第 条常写成""（ 为锐角时），钝角三角形时外角情形要单独讨论，直接套 倍会出错。 求角的顺序：先找直径或半径定直角与等边，再用圆周角定理转移，最后在三角形里用内角和收口。题目给了""，就是给了三个等腰三角形，底角相等可以反复使用。 易错　①见了直径不标直角；　②把外心当成重心或内心；　③钝角三角形也用 　④给了半径相等却不去用等腰。 要点　直径出直角，外心到三顶点等距；求角靠等腰与内角和。 1． 如图，是的直径，D，C是上的点，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可． 解： ​ ​是的直径， ​ ​故选：A． 2． 如图，已知点O是的外心，连接若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决问题的关键． 根据O是的外心，得到由等腰三角形的性质得到再由三角形内角和定理求解即可得到结果． 解：点为的外心， ​ ​ ​ ​故选：D． 3． 如图，在⊙O中，则的度数为      ． 　思路分析　　由题意易得然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求解． 解： ​ ​ ​ ​故答案为． 　题型 6　　圆内接四边形与双解问题 知识梳理 圆内接四边形对角互补，任一外角等于它的内对角；同一条弦所对的圆周角有两个，分别在弦的两侧 圆内接四边形的两条结论：对角互补、外角等于内对角。这两条与"同弧所对的圆周角相等"是同一件事的两种说法，用哪条方便看题目给的是内角还是外角。 题目说"点 在圆上"而不说在哪一段弧上时，必须按两种情况讨论：点在优弧上、点在劣弧上，所得圆周角互补。只写一个答案，是这类题最常见的失分点。画图时把两种位置都画出来，两个答案都要写全，并说明分别对应哪种位置。 双解题的判断依据是"角与弧的对应关系是否唯一"：给了具体的弧，答案唯一；只给了弦或点，就有两解。作答时把两种情况分开写，不要混在一句话里，批卷时两种情形各有分值。 易错　①圆内接四边形把"对角互补"记成"邻角互补"；　②只说点在圆上就默认在优弧；　③两个答案写成"或"，却不说明各自对应的位置；　④用同弧圆周角相等时，弧选错。 要点　对角互补、外角等于内对角；点在圆上未定弧时要分两解。 1． 如图，A，B，C，D是上的四个点，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　设与交于点E，根据圆周角定理得出根据垂径定理得出最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 解：设与交于点E，如图所示： ​ ​ ​为半径， ​ ​ ​． 2． 点P是上异于点A，B的一点，若则的度数为 （  ） A． B． C．或 D．或 　思路分析　　本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理，圆内接四边形的性质，注意点的位置不同时，圆周角可能取不同值是解决问题的关键． 点在圆上不同位置时，可能为劣弧或优弧所对的圆周角，根据圆周角定理，圆内接四边形分别计算即可得到答案． 解：根据题意，可能为劣弧或优弧所对的圆周角， 当点在优弧上时，如图所示： ​ ​ 当点在劣弧上时，如图所示： 由点在优弧上时，得 ​ 综上所述，的度数为或．故选：D． 　题型 7　　弦心距与垂径定理的基本计算 知识梳理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；半径、弦心距、半弦构成直角三角形 垂径定理的计算全靠一个直角三角形：半径作斜边、弦心距作一条直角边、半弦作另一条，勾股一列，三个量知二求一。题目给"弦长"就要立刻除以 直接用整条弦去列勾股是最常见的错。 求"弦上某段的长"（如 ）时，先求弦心距，再用半径加减：点在圆心与弦之间用减，在另一侧用加。题目给""这类条件，要把它翻译成"某条弦等于某条弦"，先转成等弦，再用垂径定理解。 垂径定理的推论同样常用：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；弦的垂直平分线过圆心。证明题里要写出"过圆心作弦的垂线"，再用"垂直于弦的直径平分弦"这条依据，不能只说"由对称性可知"。 易错　①用整条弦列勾股，忘了取半；　②半径与弦心距的角色搞反；　③"平分弦的直径垂直于弦"漏掉"弦不是直径"；　④证明时只写结论不写依据。 要点　半径、弦心距、半弦成直角三角形；弦长先取半。 1． 在中，弦则圆心O到的距离为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 解：如图所示，过点O作于点D， ​弦 ​ ​ 即圆心O到的距离为． 2． 如图，的直径弦于点E，连接若则的长是       ． 　思路分析　　连接如图，先根据垂径定理得到则可判断为等边三角形，所以利用圆周角定理得到再证明为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到． 解：连接如图， ​直径 ​ ​ ​ 即垂直平分 ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​ 又 ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​．故答案为：3． 　题型 8　　垂径定理的证明与弧长计算 知识梳理 垂直于弦的直径平分弦所对的弧；弧长公式 其中 是圆心角的度数 要证两条弦相等，走"等弧对等弦"比较省力：先由垂径定理得直径平分弧，再说明两段弧相等，最后落到弦相等。过程里每一步都要交代依据，"平分弧"这一步不能跳。 求弧长先求圆心角：把圆周角乘 得圆心角，再代公式 角度一定用度数，用弧度会差一个 。题目给的角若是圆周角，先换算再代入。 题目给""这类平行条件，作用是转移角：内错角、同位角相等，把不好求的角换到已知角的位置。平行与等腰同时出现时，先由平行得角相等，再由半径相等得等腰，两步就能定出圆心角。 易错　①证等弦不写"等弧"，直接下结论；　②弧长公式里把圆周角当圆心角；　③平行条件没用上，缺一条角的关系；　④结果不化到最简或漏写单位。 要点　等弧对等弦；弧长用圆心角，先换算再代公式。 1． 如图，已知的半径为2，弦直径垂足为点点在上（不与点点重合），连接． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②当时，求的长． 　思路分析　　（1）根据垂径定理推论得到平分再根据弧与弦的关系即可求证； （2）①由等边对等角得到而那么则即可求解；②连接由得到则那么再由弧长公式即可求解． （1）证明：弦直径 ​平分 ​ ​ （2）解：① ​ ​ ​ ​ ②连接如下图， ​ ​ ​ ​ ​． 　题型 9　　圆的折叠问题 知识梳理 沿弦折叠时，折痕垂直平分对应点的连线；折叠后弧上的点到圆心的距离仍等于半径 折叠题的核心是两条：折痕是对应点连线的垂直平分线、半径在折叠前后不变。把折叠后的点与圆心连起来，这条线段就等于半径，它是列方程的关键。 求长度的常规路径：在折痕一侧构造直角三角形，用半径、半弦、弦心距三者勾股；再结合"折叠后某弧过圆心"这类条件，把圆心到折痕的距离写成半径的一半或与半径有关的式子。条件里出现"恰好过圆心"，就是给了 这类定量关系。 求阴影面积时，先看折叠把哪块图形搬到了哪里：折叠前后的两块全等，面积可以直接替换，把阴影拼成扇形或弓形再算。弓形面积 扇形面积 三角形面积，这一步不要漏掉减号。 易错　①把折痕当成弦的垂直平分线（应是弧上对应点连线的垂直平分线）；　②折叠后仍用原来的圆心位置算距离；　③阴影拼合时把重叠部分算了两次；　④弓形面积忘记减去三角形。 要点　折痕垂直平分对应点连线，半径折叠前后不变。 1． 将半径为的如图折叠，折痕长为为折叠后的中点，则的长为 （  ） A．1 B． C． D．2 　思路分析　　本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接根据圆心角、弧、弦、的关系由得到可以判断是的垂直平分线，则再利用勾股定理求出所以然后利用点C和点D关于对称得出最后计算即可得出答案． 解：延长交于点D，交于点E，连接如图， ​C为折叠后的中点， ​ ​ ​ ​是的垂直平分线， ​ 在中，, ​ ​沿折叠得到 ​点C和点D关于对称， ​ ​故选：D． 2． 如图，是半圆O的直径，且C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　过点作于点延长交于点连接由折叠的性质可知，的对应点为则推出为等边三角形，再结合圆周角定理，推出最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 解：过点作于点延长交于点连接 则 由折叠的性质可知，的对应点为则 ​ ​是半圆O的直径，且 ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​图中阴影部分的面积为故选：C． 　题型 10　　弧长、扇形面积与阴影 知识梳理 ​阴影常由扇形加减三角形拼成 弧长与扇形面积两个公式，一定先把圆心角换算成度数。已知弧长求面积用 最快，省去求圆心角那一步。题目给的半径、直径要看清楚，直径直接代进公式是高频错误。 阴影面积的通用套路是"割补"：把阴影拆成扇形、三角形、弓形的和或差，或者把某一块旋转、翻折搬到别处拼成规则图形。画图时用不同阴影线标出各块，先写算式再代数，避免中间算错无处核对。 古代数学著作里的弧长近似（如"会圆术"），本质是用弦长加一个修正项逼近弧长，代公式即可，不要试图推导。这类题的计算量在 三个量的换算上，先由垂径定理求出 与 再代。 易错　①把直径当半径代入公式；　②圆心角用弧度；　③阴影拆分时漏掉或多算一块；　④结果保留 还是取近似，没按题目要求。 要点　先统一角度，再用 公式；阴影靠割补。 1． 每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，则的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　扇形弧长计算公式代入求值即可． 解：将代入 ​． 2． 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当时，则的值为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 解：连接根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点， 得 ​点M，N，O三点共线， ​ ​是等边三角形， ​ ​．故选B． 3． 如图，是的直径，C为圆上一点，连接若则图中阴影部分的面积为      ． 　思路分析　　三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可． 解： ​ 设阴影部分面积为扇形的面积为则 ​ ​ ​． 　题型 11　　圆锥的侧面积与展开 知识梳理 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆周长，母线是扇形半径， 圆锥的三个量必须分清：底面半径 母线 高 ，三者满足 展开后扇形的半径是母线、弧长是底面周长，把这两个对应关系写错，后面的公式全错。 侧面积用 展开图的圆心角用 换算成度数。题目给"底面直径"时先除以 给"高"时先用勾股求母线——这两个坑几乎每道题都设一个。 已知侧面积反求半径，把公式当成方程解：代入已知的 直接算。结果要检查是否合理：母线必须大于底面半径，算出的 说明代错了量。 易错　①把底面半径当母线；　②直径不除以 　③给高不给母线时忘了勾股；　④反求时把 约掉导致结果差倍数。 要点　母线是扇形半径，底面周长是扇形弧长，。 1． 草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为高为则该模型的侧面积为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 解：根据题意得，圆锥的底面半径高 ​母线长 ​该模型的侧面积为．故选：B． 2． 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为的圆锥模型，已知圆锥的母线长为则圆锥的底面圆半径      cm 　思路分析　　由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式列出方程，解方程即可求得答案． 解：由题意得： 解得： ​圆锥的底面圆半径为．故答案为：． 　题型 12　　圆锥表面的最短路径 知识梳理 把圆锥侧面沿一条母线剪开摊平，两点之间的最短路径是展开图上的线段，用勾股或余弦定理求 求圆锥表面最短路程，只有一条路：展开。沿一条母线把侧面剪开摊成扇形，起点与终点在展开图上是两个点，两点之间线段最短，这条线段就是答案。在曲面上直接连线的，一定不是最短。 展开图里有三个量要先算出来：扇形的半径（母线）、扇形的圆心角（由底面周长换算）、两个点各自到顶点的距离。绕侧面"一圈"回到原点的绳子，在展开图上其实是从扇形的一条半径边到另一条半径边，不是同一个点，这一点最容易看错。 两点在展开图上的夹角若是 或 直接用勾股或含特殊角的三角形；其它角度用余弦定理。算完检查：线段是否真的落在展开图内部，若越过了扇形的缺口，说明绕行方向选反了，要换另一侧再算。 易错　①在曲面上直接连直线；　②把"绕一圈"当成同一个点；　③圆心角换算时把直径当半径；　④不考虑展开图缺口，算出穿过缺口的假路径。 要点　先展开成扇形，再连线段；绕一圈是扇形两条半径边上的点。 1． 如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 （  ） A．5 B． C． D． 　思路分析　　连接先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 解：连接如图所示， ​为底面圆的直径， 设半径为r, ​底面周长 设圆锥的侧面展开后的圆心角为 ​圆锥母线 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得： 解得： ​ ​半径 ​是等边三角形， 在中， ​蚂蚁爬行的最短路程为故选：B． 2． 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 解：连接过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为 圆锥底面圆周长为 则 ​ ​ 由可求得 ​ 即这根绳子的最短长度是． 　题型 13　　拱桥与同心圆的实际应用 知识梳理 圆弧形拱桥用垂径定理建模：跨度的一半、拱高、半径构成直角三角形 拱桥、隧道、拱门这类题，第一步是把实际问题画成圆：找到圆心所在的对称轴，把跨度的一半、拱高、半径摆进同一个直角三角形。设半径为 则弦心距是 （ 为拱高），勾股一列方程就出来。 同心圆、双拱这类结构，两条半径分别对应内圆与外圆，两个直角三角形共用一个弦心距，列两条勾股式联立。题目给的"内跨度""拱门内部分圆高度"要逐一翻译成线段，翻译错一处，方程就立不起来。 求出半径后回到实际问题：问的是高度、宽度还是能否通过，都要再用一次垂径定理把答案换回原情境的量。结果保留的位数按题目要求，单位不要漏。 易错　①把跨度直接当弦长的一半；　②弦心距写成 　③同心圆的两个三角形混用半径；　④算出半径就收笔，没回答题目问的量。 要点　半跨、拱高、半径成直角三角形；先设 再列勾股。 1． 如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 　思路分析　　本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接设圆的半径为米根据勾股定理，则即可． 解：连接 ​ ​米， 设圆的半径为 ​米， 在中， ​解得： ​的半径为米． 　题型 14　　直线与圆的位置关系：动圆相切 知识梳理 设圆心到直线的距离为 半径为 相交， 相切， 相离 判断直线与圆的位置关系只看 与 相交、相切、相离分别对应 。动圆问题里，圆在动、直线不动，把 写成含时间 的式子，再令 解方程，就得到相切的时刻。 动圆与两条直线都相切时，圆心要走的是角平分线，且有两条（内角平分线与外角平分线），所以要考虑圆在直线两侧的两种情形，答案通常有两个。本题型若只给一条直线，也要看圆是否可能从另一侧经过。 列式前先在图上标出圆心到直线的垂线段，用含 的表达式写出它的长度：运动的起点、速度、方向三者决定符号，写反一个符号，解出来的时间就是负的。解完把 代回检验位置是否在运动范围内。 易错　① 与 的比较方向写反；　②只考虑一种相切情形，漏掉第二个答案；　③距离表达式里速度与时间的符号写错；　④解出的时间不检验是否在运动区间内。 要点　相切即 动圆把 写成含 的式子，两侧都要考虑。 1． 如图，直线相交于点O，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么      秒钟后与直线相切． 　思路分析　　本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接则由得到求得向右移动了即可求出时间．当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接同理即可求解． 解：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接 ​ ​ ​ ​ 则向右移动了所用时间为 当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接 ​ ​ ​ ​ 则向右移动了所用时间．故答案为：3或7． A 组　基础题 必做｜概念辨析、基本计算与直接应用 1． 小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是 （  ） A．4 B．5 C．10 D．11 　思路分析　　根据直径是圆中最长的弦即可求解． 解：半径为5的圆，直径为10， ​在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：≤10， ​弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D． 2． 已知的半径为4，直线l上有一点A满足则直线l与的位置关系为 （  ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 　思路分析　　​是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论． 解：的半径 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离直线与相切． 当不垂直于时， ​垂线段最短， ​圆心到直线的距离直线与相交． 综上，直线与的位置关系为相交或相切． 3． 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点点则的外心的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据网格作的垂直平分线，两条线交于点可得点是的外心． 解：如图，根据网格作的垂直平分线，两条线交于点 ​点是的外心， ​的外心的坐标为． 4． 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若则点C的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　通过连接辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出线段长度，从而确定点的坐标． 解：如图，连接 ​为的直径， ​． ​ ​ ​ ​点C的坐标为． 5． 已知的半径为3，以圆心O为原点建立平面直角坐标系，若点A在内，请写出符合要求的点A的坐标      ．（写出一个即可） 　思路分析　　圆心在坐标原点，半径为点在内，只需点到原点的距离小于写出一个符合条件的坐标即可． 解：的圆心为坐标原点，半径为 ​点在内的条件是点到原点的距离小于 取点坐标为点到原点的距离为 ​满足条件， ​符合要求的点的坐标可以为． 6． 如图，一个直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于点且过圆心连接．若的直径为则弦的长为      ． 　思路分析　　连接由圆周角定理可得即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解． 解：如图，连接 ​ ​ 又 ​是等边三角形， ​的直径为 ​． 7． 过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是则OP=      cm． 　思路分析　　根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长． 解：如图所示，于点P． 根据题意，得 ​ ​ ​ ​ 根据勾股定理，得OP==3（cm）． 故答案为：3． 8． 如图，AB是⊙O 的直径，则=      ． 　思路分析　　由在同圆中等弧对的圆心角相等得，从而根据平角的定义求得的度数． 解： ​ ​BOE=120 ​AOE=180．故答案为 9． 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器      台． 　思路分析　　圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解． 解： ​对应的圆心角的度数为 ​ ​最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；故答案为：4 10． 如图，圆O的周长为B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则      ．（用数字表示） 　思路分析　　本题主要考查了圆周长的计算公式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据圆周长计算公式可得再根据等腰三角形的性质及平行线的性质，得到再根据等腰三角形的判定得到由此可得即得答案． 解：的周长为 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故答案为：2． 11． 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接则的长      （结果保留）． 　思路分析　　本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出判定是等边三角形，得到由弧长公式即可求出的长． 解：四边形是平行四边形， ​ 由题意得： ​是等边三角形， ​ ​ ​．故答案为：． 12． 如图，在的正方形网格中，图中的两条弦则=      ． 　思路分析　　根据方格特点可知利用同一个圆中同弧或等弧所对的圆周角相等可知进而得出． 解：如图， 连接AD，BC，设CD与AB交于点E， 由网格特点知，． ​ ​． 根据同弧所对的圆周角相等，可知． ​ ​ ​故答案为：． 13． 用反证法证明命题“经过同一条直线上的三个点不能作圆”，应假设 （  ） A．经过不在同一条直线上的三个点能作圆 B．经过同一条直线上的三个点可以作一个圆 C．经过同一条直线上的两个点不能作圆 D．经过同一条直线上的四个点不能作圆 　思路分析　　用反证法证明，需保留原命题条件，否定原命题结论． 解：原命题的条件为“经过同一条直线上的三个点”，结论为“不能作圆”， 故用反证法证明时，应假设“经过同一条直线上的三个点可以作一个圆”． 14． 如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有 （  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 　思路分析　　本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 15． 图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点点A，B在圆上，都垂直于．已知则灯罩截面所在圆的半径为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点设灯罩截面所在圆的圆心为连接设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，据此即可求出答案． 解：连接交于点 ​都垂直于． ​ ​四边形是矩形， ​ ​ ​于点M， ​ ​ 设灯罩截面所在圆的圆心为连接 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为故选：B 16． 下列说法正确的有 （  ）． ①平分弦的直径垂直于弦．②半圆所对的圆周角是直角．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 　思路分析　　此题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断即可． 解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误； ②半圆所对的圆周角是直角，②正确； ③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，③正确； ④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆周角相等，④正确；故选：C． 17． 如图，是的直径，若则的长为 （  ） A．4 B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆周角定理，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角可得再利用同弧所对的圆周角相等可得然后在中，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可解答． 解：是的直径， ​． ​ ​． ​． ​． 在中，．故选：C． 18． 如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先根据弧，弦，圆心角的关系得出再根据圆周角定理得出答案． 解：连接 ​为的直径， ​ ​ ​． 19． 如图，等边三角形内接于．若的半径为则的长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接由等边三角形的性质得到然后利用圆周角定理求出最后利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接 ​是等边三角形， ​ ​ ​的半径为即 ​的长为． 20． 如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用正方形和扇形面积公式求解． 解：四边形为正方形， ​ ​图中扇形的面积为． 21． 如图，中，半径若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接先得到然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 解：连接 ​ ​ ​ ​ ​ 设圆锥的底面圆的半径为则 解得． 22． 如图，是的直径，弦交于点则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　由圆周角定理可得作差可求出最后利用三角形外角的性质求出． 解： ​ ​是的直径， ​ ​ ​． 23． 如图，在中，弦与直径相交于点点为的中点，连接点在上，且连接交于点．若则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查垂径定理的推理，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接先证明得到则继而推导出可得到即可解答． 解：连接如图， ​为直径，点为的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​．故选：C． 24． 若过平面直角坐标系中的三个点能确定一个圆，则      ． 　思路分析　　本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 解： ​设直线的解析式为：把代入，得： ​ ​当时， ​当时，平面直角坐标系中的三个点能确定一个圆，故答案为：4 25． 如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点      ． 　思路分析　　本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 26． 如图，四边形内接于圆，点在上，若则为      度． 　思路分析　　本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．连接先根据圆内接四边形的性质求出然后根据求出即可解答． 解：连接 ​ ​ ​ ​ ​．故答案为：25． 27． 如图，为的直径，则的度数为      ． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，则再根据即代入进行计算，即可作答． 解：为的直径， ​ 即 ​ ​ 则故答案为：． 28． 如图，为的直径，点在上，若则的度数是       　思路分析　　连接利用求出进而求出最后利用圆内接四边形的性质求出即可． 如图，连接． ​是的直径， ​． ​ ​． ​． ​ 四边形是的内接四边形， ​ ​． 29． 若圆锥的底面半径长母线长则该圆锥的侧面积为      （结果保留）． 　思路分析　　根据圆锥的侧面积公式把相应数值代入即可求解． 解：．故答案为：． B 组　提升题 必做｜性质计算、常规证明与作图 1． 日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知垂足为点C，垂足为点D，的半径则圆盘离桌面最近的距离是  （  ） A．6 B．5 C．2 D．1 　思路分析　　本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法． 连接作先证明四边形是矩形，进而得出再根据勾股定理求出可得根据即可得出答案． 解：连接过点O作于点G，交一点E，交于点F． ​ ​． ​ ​四边形是平行四边形． ​ ​四边形是矩形， ​． ​ ​ ​ ​ ​． ​ ​ ​圆盘离桌面最近的距离是故选：D． 2． 如图，在中，将绕点C顺时针旋转后得到点B经过的路径为将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为则图中阴影部分的面积是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据“所对的直角边是斜边的一半”易得利用勾股定理可得再根据旋转的性质，得最后根据扇形面积公式和“”，计算即可求解． 解： ​ ​ ​ ​ 由旋转可得 ​ ​ ​ ​． 3． 如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边与的切点，连接则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接由M、N是边与的切点可以得到求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 解：连接如下图所示， ​N是边与的切点， ​ ​ ​正五边形的内角和为： ​ 在四边形中， ​ ​． 4． 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若则的长为 （  ） A．8 B． C． D．9 　思路分析　　连接作于点由分别与扇形相切于点得求得再证明四边形是矩形，则由勾股定理得求得即可解答． 解：连接作于点 则 ​分别与扇形相切于点 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形是矩形， ​ ​ 在中，根据勾股定理可得： ​ 解得：故选：D． 5． 如图，是的内接三角形，点在弧上，依次连接若则等于      ． 　思路分析　　圆内接四边形用托勒密定理把 与 联起来，再用同弧所对的圆周角相等统一余弦值． 解：设 ．由圆内接四边形 得 即 ． ​ 与 都对 在 中 在 中 ． ​解得 ．故答案为：． 6． “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中的半径分别是和当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转则      ． 　思路分析　　本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 解：根据题意得：点P移动的距离为 ​ 解得：．故答案为：108 7． 如图，的边分别与相交于点是的弦，已知求的度数． 　思路分析　　由得进而得得到再根据三角形内角和定理即可求解． 解： ​ ​即 ​． ​ ​． 8． 如图，为的直径，弦的延长线相交于点且 求证：． 　思路分析　　如图：连接AC，根据为的直径可得即.再根据可知AC为BP的垂直平分线可得根据等腰三角形的性质得到最后由三角形外角的性质即可证明． 　答案　　证明：如图：连接AC， ​AB为圆O的直径， ​即． ​ ​AC为BP的垂直平分线， ​ ​ ​． 9． 如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． （1）求证： （2）求证：． 　思路分析　　本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键． （1）连接过O作于M，根据等腰三角形的三线合一解题即可； （2）只要证明即可解题． （1）证明：过O作于M，连接 ​ ​ ​ ​ （2）证明： ​ ​ ​ ​． 10． 如图，点为上的三个点，． （1）求的度数． （2）若求的长． 　思路分析　　本题主要考查圆周角定理及弧长的计算： （1）根据圆周角定理得再根据求出从而可求出 （2）作于点根据勾股定理求出再依据弧长公式计算即可 （1） ​ 又 ​ ​ （2）作于点 又 ​ 由（1）知 又 ​ ​ 在中， ​ ​ ​的长为 11． 如图，中，弦的长为点在上，．所在的平面内有一点若则点与的位置关系是 （  ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 　思路分析　　本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得由圆周角定理可得再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 解：如图，令与的交点为 ​为半径，为弦，且 ​ ​ ​ 在中， ​ ​即的半径为4， ​ ​点在外， 故选：C． 12． 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为则以为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 如图，作弦的垂直平分线， ​点的坐标分别为 所以弦弦 ​弦的垂直平分线与轴相交于点弦的垂直平分线与轴相交于点 ​两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故选：． 13． 如图，正方形的边和都是以2为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，根据两个扇形的面积的和正方形的面积=无阴影两部分的面积之差计算即可． 如图： 正方形的面积=① 两个扇形的面积=2② ②①，得：S=24．故选B． 14． 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与重合），下列结论：①②③当最长时，④其中一定正确的结论有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　根据等边三角形的性质可得从而得到故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得再由是等边的外接圆，可得可得故③正确；延长DA至点E，使证明可得从而得到是等边三角形，可得到故④正确；即可求解． 解：是等边三角形， ​ ​ ​故①正确； ​点是上一动点， ​不一定等于 ​不一定成立，故②错误； 当最长时，DB为圆O的直径， ​ ​是等边的外接圆， ​ ​ ​故③正确； 如图，延长DA至点E，使 ​四边形ABCD为圆O的内接四边形， ​BAD=180 ​BAD=180 ​ ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​++CD， ​故④正确； ​正确的有3个．故选：C． 15． 已知中，求证：下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立， ③假设在中， ④由得即 这四个步骤正确的顺序应是 （  ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 　思路分析　　本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中， ④由得即 ①这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立， ​这四个步骤正确的顺序应是③④①②．故选：D． 16． 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且则称点C是弦的“可及点”．如图，点．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为 （  ） A． B． C．1 D． 　思路分析　　取中点为H，连接可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点C横坐标最大，可求故点C的横坐标的最大值为． 解：取中点为H，连接 ​ ​ ​点C在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ​当点轴时，点C横坐标最大， ​ ​ ​ ​点 ​ ​此时 ​点C的横坐标的最大值为故选B． 17． 如图，是的直径，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆心角定理、勾股定理．作出辅助线并找到点的运动轨迹是解答的关键． 连接根据圆心角定理可得根据勾股定理可得根据可知点在以为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式计算即可． 解：如图，连接 ​点是上半圆的中点， ​ ​ ​ ​ 在中， ​ ​ ​ ​点在以为直径的半圆上运动， ​．故选B． 18． 如图，已知锐角按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作交射线于点D，连接②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连．则下列结论错误的是 （  ） A． B．若则 C． D． 　思路分析　　由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 解：A、根据题意得： ​ ​故不符合题意； B、连接 根据题意得： ​ ​ ​为等边三角形， ​ 根据题意得： ​ ​故选项错误，符合题意； C、连接 ​ ​ ​故不符合题意； D、连接如图所示： ​ ​选项正确，不符合题意． 19． 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为点分别为的中点，则花窗的面积为       ． 　思路分析　　本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 解：由题知， ​（）， ​点分别是的中点， ​（）， ​（）， ​花窗的面积为 故答案为：． 20． 如图，是的直径，是的弦，连接．若则      ． 　思路分析　　本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：是的直径， ​ ​故答案为：． 21． 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是       　思路分析　　结合垂径定理以及与坐标轴的交点来判断三角形和三角形都是等腰直角三角形，由等腰三角形的三线合一得由三角形三边关系得：当P、O、Q共线时，最大，求出根据面积公式计算即可． 解：作于Q，连接如图： ​ ​ ​为等腰直角三角形， 由得， 当时，当时， 即点 ​ ​为等腰直角三角形， ​ ​ ​是的中线， 则 由三角形三边关系得： 由题得，当P、O、Q共线时，此时最大， ​P为中点， ​ ​ ​故答案为：3． 22． 如图，矩形中，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点若的度数为则直径长为      ． 　思路分析　　如图，连接．证明是等边三角形，即可解决问题． 解：如图，连接． ​是直径， ​ ​的度数为 ​ ​ ​四边形是矩形， ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ 在中， ​ ​． 故答案为：． 23． 已知：如图是的直径，点C为弧的三等分点（更靠近A点），点P是上的一个动点，取弦的中点D，求线段的最大值为      ． 　思路分析　　本题考查圆周角定理，勾股定理等知识点，能够正确画出辅助线是解题关键．连接以为直径作圆G，过G作于F，求出求出长，根据勾股定理求出再根据两点之间线段最短得出再求出答案即可． 解：直径 ​ 连接以为直径作圆G，过G作于F， ​D为的中点，过O， ​ 即点D在上， ​ ​点C为弧的三等分点（更靠近A点）， ​ ​ ​ ​ 由勾股定理得： ​ ​ ​的最大值是故答案为：． 24． 如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是      ． 　思路分析　　本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接由易得点共圆，然后由圆周角定理，求得点在量角器上对应的读数． 解：连接 ​为半圆的直径， ​四点共圆， ​ ​ 即第20秒点在量角器上对应的读数是故答案为：120． 25． 如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且若的长度为则的长度是      ． 　思路分析　　连接设的半径为根据弧长公式得到由圆周角定理和已知条件推出据此由弧长公式可得答案． 解：如图所示，连接设的半径为 ​的长度为 ​ ​ ​ ​ ​ ​的长度是． 26． 如图，是的内接三角形，点是劣弧中点，连接其中交于点若则的长为      ． 　思路分析　　证明求解进一步可得答案． 解：点是劣弧中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 27． 已知线段为⊙O的弦，且求证： 　思路分析　　连接根据等弧所对的圆周角相等，可得根据相等的弦所对的弧长相等可得进而可得即可得到再根据圆周角和弧长的关系可得进而可得 证明：如图，连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 ​ ​ 28． 如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点．解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为       （2）求的长．（结果保留） 　思路分析　　（1）由圆心在和的垂直平分线上，可得出D点的位置； （2）利用勾股定理和勾股定理证明是等腰直角三角形，则再根据弧长公式进行求解即可． （1）如图所示，点即为所求； （2）解： ​ ​ ​ ​是等腰直角三角形， ​ ​的长． 29． 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证： （2）若求的半径． 　思路分析　　本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）连接容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接设则根据容易求出再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出r的值即可． （1）证明：如图：连接 ​于E，于F， ​ ​ ​ ​ ​ ​于E， ​ 在和中， ​ ​ ​． （2）解：如图： 连接设则 由（1）可知 ​ ​于E， ​ ​在中，根据勾股定理得： 即 解得： 即的半径为． 30． 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且连接． （1）求证： （2）连接若求的长． 　思路分析　　本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接利用垂径定理得结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． （1）证明：是的直径， ​ ​ ​ ​ ​ （2）解：连接 则 ​且 ​ ​是的直径，是的弦，于点 ​ ​ ​ ​ ​ 解得 ​ ​ ​ 即的长是． 31． 如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且的延长线交于点E，连接交于点F． （1）求证： （2）若是的中点，求的度数． 　思路分析　　本题考查了圆周角定理及其推论、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接由是的直径，得而则垂直平分所以进而根据圆周角定理证明； （2）如图，连接由是的中点，根据垂径定理得证明是等边三角形，即可得解． （1）证明：连接 ​是的直径， ​ ​ ​垂直平分 ​ ​ ​ ​ ​ （2）解：如图，连接 ​是的中点， ​ ​垂直平分 ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​的度数是． 32． 已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点交线段于点．连结． （1）求证： （2）连结如果求证：． 　思路分析　　（1）如图，连结根据弧、弦、圆心角的关系可推出再利用圆周角定理，通过证明同位角相等，得到结论； （2）设由（1）可知根据等边对等角表示出进而得到然后根据两直线平行同位角相等，表示出接着由题意知可得到最后根据圆内接四边形对角互补，即可求得值，从而求得根据弧所对圆心角的关系即可证得结论． （1）证明：如图，连结 ​以为圆心、为半径画弧交半圆于点 ​ ​ 又 ​ ​ ​ （2）证明：如图，连结 设由（1）可知 ​ ​ ​ ​ ​ ​以为圆心、为半径画弧，交线段于点 ​ ​ ​四边形内接于 ​ 即 解得即 ​ ​ ​． 33． 如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”． 解：A．是的直径，是非直径的弦， ​故A不符合题意； B．根据无法判断故B符合题意； C．是的直径，是非直径的弦， ​故C不符合题意； D．是的直径，是非直径的弦， ​故D不符合题意．故选：B． 34． 已知的直径是的弦，垂足为且则的长为      ． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故分两种情况进行讨论，结合图形利用垂径定理和勾股定理即可求解，根据题意画出图形是解题的关键． 解：连接 ​的直径 ​ 当点位置如图所示时， ​ ​ ​ ​ 当点位置如图所示时， 同理可得 ​ ​ 在中， ​的长为或 故答案为：或． C 组　拓展题 选做｜动点最值、阅读材料与综合探究 1． 形螺母（图）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图所示的位置放置于桌面上．直尺的上边缘，直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点直角三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合．经测量，则该圆形螺母外圆的直径是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接由切线的性质得由切线长定理得平分得到解直角三角形即可求解． 解：如图连接 ​ ​ ​分别与相切于点 ​平分 ​ ​ ​ ​ ​该圆形螺母外圆的直径是． 2． 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为      ． 　思路分析　　要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解： ​底面周长 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径弧长等于圆锥底面圆的周长 设扇形圆心角度数为则根据弧长公式得： ​ ​ 即展开图是一个半圆， ​点是展开图弧的中点， ​ 连接则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， ​ ​ 即蚂蚁爬行的最短距离是．故答案为：． 3． 如图，四边形是的内接四边形，平分连接． （1）求证： （2）若求的度数． 　思路分析　　（1）由角平分线的定义可得由同弧或等弧所对的圆周角相等可得由弧、弦、圆心角的关系即可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质可得由垂径定理可得由弧、弦、圆心角的关系 可得由等边对等角及三角形的内角和定理可得由角平分线的定义即可得出答案． （1）证明：平分 ​ ​ ​ （2）解：四边形是的内接四边形， ​ ​ ​ ​ ​ ​平分 ​． 4． 如图，的直径弦E是劣弧上一点，连接交于点P，连接． （1）求证： （2）若求的长． 　思路分析　　（1）由垂径定理可知垂直平分故再根据等腰三角形三线合一知又由对顶角相等即可证明； （2）连接根据已知条件可说明解直角三角形可得设则在中，根据勾股定理列式即可解答． （1）证明：是的直径， ​垂直平分 ​ ​． ​ ​． （2）解：如图，连接． ​ ​． 由（1）得 ​ ​． ​ ​ ​． ​ ​ ​． 由（1）知 设则． 在中，由勾股定理可得 即 解得或 ​的值为或 ​ ​或8， 即的长为6或8． 5． 如图，在中，为直径， 弦于点连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，连接过点作于点求证： （3）如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接求的长． 　思路分析　　（1）根据垂径定理可得由此可证根据全等三角形的性质即可求证； （2）连接根据垂径定理可得点是中点，由此可得是中位线，可得由（1）可得根据弦、弧的关系，可得由此即可求证； （3）根据题意，连接根据圆的基础知识，可证可得运用勾股定理可得的值，在中可求出的值，的值，由（2）的结论可得的值． （1）证明：是直径，弦 ​且 ​ ​ （2）证明：如图所示，连接 ​是直径， ​ ​点是的中点，且点是的中点， ​即 由（1）可得， ​ ​ ​ ​ （3）解：如图所示，连接 由（1）可知， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是直径， ​ 在中， ​ ​ ​ 在中， ​ 在中， 由（2）可得， ​的长为． 6． 如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，连接AD、BC．求证： （1） （2）． 　思路分析　　（1）由推出推出即可得到 （2）同弧所对的圆周角相等，得出进而证明可得结论． （1）证明： ​ ​ ​ ​ （2） ​（AAS）， ​． 7． 如图，已知及圆外一点P． （1）尺规作图：过点P作的两条切线切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在上）截下一块三角形求截下的的周长． 　思路分析　　（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接即为所求的两条切线，点A、B为切点． （2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为然后利用上面的相等关系进行替换即可求解． （1） （2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点， ​是的两条切线， ​． ​是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上， ​和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段， ​． ​ ​的周长． 8． 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证： （2）连接若求的直径． 　思路分析　　（1）根据圆周角定理得到结合得到再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有即可求出的直径． （1）证明： ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ 即的直径为6． 9． 已知四边形内接于对角线是的直径． （1）如图1，连接若求证；平分 （2）如图2，为内一点，满足若求弦的长． 　思路分析　　（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． （2）证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． （1）证明：对角线是的直径， ​ ​ ​平分． （2）对角线是的直径， ​ ​ ​ ​ ​四边形平行四边形， ​ 又 ​． 10． 如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且垂足为点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若求的长． 　思路分析　　（1）连接可根据角平分线的定义和等腰三角形综合得到再根据平行线的性质可得即可证出是的切线； （2）根据勾股定理可求得可得三角形为等腰三角形，最后在三角形中根据“所对的直角边等于斜边的一半”即可求得答案． （1）是的切线， 证明：连接 ​ ​ ​平分 ​ ​ ​ 又 ​ ​是半径， ​是的切线； （2）解：设在中，由勾股定理得， ​ 即 解得 即 ​ ​ ​ ​． 11． 如图，等腰三角形内接于点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： （1）所在的直线经过点I； （2）点D是的中点． 　思路分析　　（1）连接可证明得则平分再由点I是的内心，证明平分所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接推导出则再证明则再推导出则由证明则所以即可证明点D是的中点． （1）证明：连接 ​ ​ ​ ​平分 ​点I是的内心， ​平分 ​与在同一条直线上， ​所在的直线经过点I． （2）证明：连接则 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​点D是的中点． 12． 如图，直角以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若求BC的长． 　思路分析　　（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到则为等边三角形，再判断是等边三角形得到所以锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点；（2）利用（1）中得到然后根据切线的判定定理得到结论；（3）作交BC于M，如图，先证明CF，再利用为角的直角三角形得到CF，然后利用CF进行计算即可． （1）证明：连接OE，G为Rt斜边的中点． ​ 又 ​为等边三角形 ​． 又 ​是等边三角形． ​． ​ ​O为AC中点， ​E为CG的中点． （2）证明：由（1）, E为CG的中点,又O为AC中点， ​ ​ ​ ​DE是⊙O的切线 （3）做 ​E为CG的中点， ​ ​CF也是⊙O的切线． ​, ​． ​为角的直角三角形 ​CF ​2=12． 13． 如图，在扇形中，C为的中点，为上一点，且连接在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为      ． 　思路分析　　本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出即可解决问题． 解： ​ ​为的中点， ​ 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ​ ​ ​ 又 ​是等边三角形， ​为的中点， ​ 由勾股定理得， ​的周长故答案为：． 14． 如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为．D是在第一象限内的一点，且． （1）求的半径． （2）求圆心C的坐标． 　思路分析　　本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质，在圆中找到各定理的适用条件是解题的关键． （1）连接判断出从而得到根据可求出的半径． （2）在中，由勾股定理得到的长，再根据垂径定理求出的长，从而得到点坐标． （1）连接 ​ ​ ​ ​ ​是直角， ​是的直径， ​ ​的半径是4； （2）在中，由勾股定理得： ​ 过点作于于 由垂径定理得： ​ ​的坐标为． 15． 如图，矩形中，．作于点． （1）求的长； （2）若以点为圆心作圆，四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，求的半径的取值范围． 　思路分析　　本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （1）先利用勾股定理计算出再利用面积法计算出DE； （2）利用到点的距离可判断的半径的取值范围． （1）解：矩形中， ​ ​ ​ ​ （2）解：点到的距离： 点到的距离： 点到的距离： 点到的距离： 且 ​ ​至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外， ​的半径的取值范围为． 16． 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中．将扇形围成圆锥时，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 　思路分析　　（1）设ED则x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可； （2）由可得为等腰直角三角形，由可求= 利用三角形面积公式求利用扇形面积公式求利用面积差求即可． 解：（1）设ED则x， ​弧长 ​ ​ （2） ​ ​ ​为等腰直角三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​=（100-）c． 17． 阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使点F是上的一点，且连接则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接 ​于点D，． ​（依据1），． ​四边形内接于．（依据2） …… （1）上述证明过程中的依据1为      ，依据2为      ； （2）将上述证明过程补充完整． 　思路分析　　（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可； （2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． （1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补． （2）证明：如图2，连接 ​于点D，． ​ ​ ​ ​． ​四边形内接于 ​． ​ ​ 在和中， ​ ​ ​ 18． 根据素材解决问题 设计货船通过圆弧拱桥的方案 素材1　图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽拱顶离水面的距离 素材2　如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形测得．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度与货船增加的质量满足函数关系式． （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通过，但生活中要注意安全，临界状态时绝对不可以通过．） 问题解决 任务1　确定拱桥半径　求圆弧形拱桥的半径 任务2　拟定设计方案　根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 　思路分析　　本题考查垂径定理，勾股定理，一次函数解析式，正确理解题意是解题的关键． 任务1：记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为水面宽则点O在延长线上，连接设桥拱的半径为根据勾股定理得出解出即可； 任务2：当是的弦时，记与的交点为M，则得出进而得出货船不能通过圆形桥拱，为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米，根据即可得出答案． 解：任务1： 记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为水面宽则点O在延长线上，连接（如图1） 设桥拱的半径为 ​ ​ ​即圆形拱桥的半径为10米； 任务2： 当是的弦时，记与的交点为M（如图2）， 则 ​ ​ ​根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米． ​ ​吨， ​至少需要增加吨的货物． 19． 已知直线在直线上方求作一点C，使得． 下面是小张的作法： ①分别以A，B为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点O； ②以点O为圆心，长为半径画圆； ③在上任取一点C（不与A，B重合），连接．即为所求． （1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接． ​是等边三角形．． ​A，B，M在上， ​（      ）（填推理的依据）． ​． ​四边形内接于 ​（      ）（填推理的依据）． ​． 　思路分析　　（1）按照题目所给作法作出相应图形即可； （2）根据等边三角形的判定与性质可得再根据圆周角定理可得最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得． （1）如图所示，即为所求； （2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补 20． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出 （2）求在旋转过程中，点A经过的路径长和线段所扫过的图形面积（结果保留）． 　思路分析　　本题主要考查了旋转作图，扇形的弧长和面积计算，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，先作出点A、B的对应点然后再顺次连接即可； （2）根据扇形弧长和面积计算公式进行计算即可． （1）如图，即为所求作的三角形； （2）解：由题可得，为等腰直角三角形， ​根据勾股定理可得： 即 解得： ​点A经过的路径长为： 线段所扫过的图形面积为： 21． 如图，在中，以为直径的交于点D，交于点E，连接． （1）求证： （2）若连接求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 　思路分析　　（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． （1）证明：如图，连接． ​为的直径， ​． ​． 又 ​． （2）解：如图，连接． ​为的直径， ​． ​ ​． 在中， ​． ​ ​ ​ ​ 即阴影部分的面积为． 22． 如图是输水管道的截面示意图，正方形正方形水平放置在地面上，点在上．已知的半径为正方形边长均为圆心与地面的距离为． （1）求的长度； （2）如图输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为求阴影部分的面积． 　思路分析　　本题主要考查圆的垂径定理、正方形的性质，求弓形的面积等，能够画出辅助线是解题的关键． （1）连接作于点交于点并结合正方形的性质，得到通过平行线间的距离处处相等，得到再根据垂径定理求解即可； （2）过点作连接先根据垂径定理求出的值，再通过三角函数的计算推出最后根据求解即可． （1）解：如图，连接作于点交于点 ​正方形正方形水平放置在地面，正方形边长均为 ​ ​ ​圆心与地面的距离为 ​ ​ ​ ​ ​ ​的长度为． （2）如图，过点作连接 ​ ​ ​根据勾股定理求得 ​ ​ ​ ​ ​ ​阴影部分的面积为． 23． 如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作即 ，当时，如． （1）　 　，　 　，的取值范围是 　 　； （2）如图2，圆锥的母线长为18，底面直径一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：） 　思路分析　　（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． （1）解：如图1， ​则 ​ 如图2， ​作于D，则 ​ ​ ​ ​ ​ ​． 故答案为：． （2）解：圆锥的底面直径 ​圆锥的底面周长为即侧面展开图扇形的弧长为 设扇形的圆心角为 则解得 ​ ​蚂蚁爬行的最短路径长为． 24． 如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． （1）求的度数； （2）若求的长； （3）若点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 　思路分析　　（1）首先由等边三角形的性质得到然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使首先证明出是等边三角形，求出然后证明出即可得到 （3）①首先由（2）可得，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使过点A作由（2）得，是等边三角形，得到然后根据勾股定理求出进一步得到然后结合代入得到即可求解． （1）解：是等边三角形 ​ ​四边形内接于 ​ （2）如图所示，延长到点F使 ​ ​ ​ ​是等边三角形 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​在和中 ​ ​ ​ （3）①由（2）可得， ​点P在劣弧上运动 ​当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ​是等边三角形 ​ ​的最小值为 ​的最小值为 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ​此时是的直径 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​负值舍去 ​的最大值为8 ​的最大值为8； ​的值的取值范围是 ②如图所示，延长到点F使过点A作 由（2）得，是等边三角形 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． ​的值是定值96． 25． 如图，在中，半径垂足为D，． （1）求证： （2）若的半径为5，则      ． 　思路分析　　本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得再根据垂径定理得和即可得出结论； （2）连接根据垂径定理得由勾股定理求得进而求出的长． （1）证明： ​ ​ ​ ​ （2）解：如图，连接 ​ ​ ​ ​ ​．故答案为：2 ． 26． 如图，四边形内接于为的直径，． （1）求的度数； （2）若求的长度． 　思路分析　　本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到那么 （2）由圆周角定理得到再由得到然后由勾股定理求解再对运用勾股定理求解即可． （1）解：为的直径， ​． ​ ​ （2）解：为的直径， ​． ​ ​． ​． ​． 27． 如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证： （2）若求的度数． 　思路分析　　本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到则由同弧所对圆周角相等即可求解． （1）解：四边形是的内接四边形， ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​． 28． 如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； （1）求被剪掉的部分的面积； （2）如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 　思路分析　　本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． （1）解： 如图所示，连接 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ​（为同圆的半径）， ​ ​ ​为等腰直角三角形， ​ 所以扇形面积为： 圆形铁皮面积为： ​减掉部分面积为： （2）解：由剪下来的扇形的半径为 ​扇形弧长为： ​围成圆锥的底面半径为：． 29． 如图，是的内接三角形，是的直径，． （1）求的度数． （2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 　思路分析　　本题考查了圆周角定理和推论，扇形面积，三角形内角和定理， （1）由圆周角定理得根据得根据得根据三角形内角和定理即可得； （2）连结根据得根据的半径为1得根据阴影部分面积等于扇形面积减去三角形的面积即可得； 掌握圆周角定理，扇形面积，添加辅助线是解题的关键． （1）解：连结 ​是直径， ​ ​ ​ ​ ​ ​． （2）解：如图所示，连结 ​ ​ ​的半径为1， ​ ​． 30． 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． （1）如图①，求证： （2）如图②，若求的长． 　思路分析　　（1）根据圆内接四边形的性质得出根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出根据补角的性质得出最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出最后根据弧长公式求出结果即可． （1）证明：四边形是的内接四边形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​． 31． 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 　思路分析　　（1）连接利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． （1）解：连接 由题意得：米，米， 在中，有解得米； （2）解：连接． ​米， ​在中，（米）， ​米． ​ ​不需要采取紧急措施． 32． 如图，为的直径，为圆上的两点，交于点． （1）求证： （2）若求的半径． 　思路分析　　（1）由直径所对的圆周角为直角与得垂直于根据垂径定理可得平分弧进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． （1）是的直径， ​． 又 ​ 即． ​． ​． （2）解：设的半径为 ​ ​． ​ 由（1）知， ​． 在中，由勾股定理 代入得 解得． 因此，的半径为． 33． 已知四边形内接于连接 （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点在上，连接且求证：平分 （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接若求的半径长． 　思路分析　　（1）根据等弧所对的圆周角相等可得结合已知进而证明从而得出是的直径； （2）根据结合已知得出根据等边对等角可得进而可得平分 （3）延长交于点过点分别作的垂线，垂足分别为证明四边形是矩形，证明得出设在中，勾股定理求得在中，勾股定理求得的长，即可求解． （1）证明： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是的直径； （2）证明： ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​即平分 （3）解：如图，延长交于点过点分别作的垂线，垂足分别为 ​ ​ ​ ​ 由（2）知 设则 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形是矩形， ​ ​ ​ 又 ​ ​ 又已知 ​ ​ 设 ​ ​ ​ ​ ​ 在中， ​ ​ 解得： ​且 ​ ​ ​ 34． 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是      ． 　思路分析　　连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出进而证得根据三角形中位线定理求得OF=DF，从而求得BC=利用勾股定理即可求得AC． 解：连接OD，交AC于F， ​D是的中点， ​ ​ ​ ​BC， ​AB是直径， ​ 在和中， ​ ​（AAS）， ​ ​DF， ​ ​ ​ 在Rt中，A ​=8， 故答案为8． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章  章末复习 学生版  第29章　章末复习 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　圆的有关概念：圆周角、弦与弧 2 　　题型 2　点与圆的位置关系、直径与最长弦 3 　　题型 3　确定圆的条件与半圆的判定 3 　　题型 4　圆周角定理与圆心角的换算 4 　　题型 5　直径所对的圆周角与三角形的外心 6 　　题型 6　圆内接四边形与双解问题 7 　　题型 7　弦心距与垂径定理的基本计算 8 　　题型 8　垂径定理的证明与弧长计算 8 　　题型 9　圆的折叠问题 9 　　题型 10　弧长、扇形面积与阴影 10 　　题型 11　圆锥的侧面积与展开 12 　　题型 12　圆锥表面的最短路径 12 　　题型 13　拱桥与同心圆的实际应用 14 　　题型 14　直线与圆的位置关系：动圆相切 14 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 15 　题型 1　　圆的有关概念：圆周角、弦与弧 知识梳理 顶点在圆上、两边都与圆相交的角叫圆周角；连接圆上两点的线段叫弦，过圆心的弦是直径，直径是最长的弦 圆周角要同时满足两条：顶点在圆上、两边都与圆相交。缺一条就不是圆周角——顶点在圆心的是圆心角，一边与圆相离的是普通角。判断时只看顶点的位置与两边是否都穿过圆，不要去比角的大小。 圆里的名词要能对上号：弦、直径、半径、弧（优弧与劣弧）、等弧。"直径是弦"成立，"弦是直径"不成立；"半圆是弧"成立，"弧是半圆"不成立。这类判断题的陷阱都在包含关系被反过来写。 辨析类选择题的常规做法是逐条回到定义：把每个选项拆成"条件 + 结论"，能在定义里找到出处的才留。遇到"任意""一定""都"这类字眼要格外小心，找一个反例比背结论可靠。 易错　①把顶点在圆内的角当成圆周角；　②认为"弦一定是直径"；　③把弧与半圆混为一谈；　④辨析题凭印象选，不回定义。 要点　圆周角看顶点与两边；弦与直径是包含关系，不能反过来说。 1． 下列图形中的角是圆周角的是 （  ） A． B． C． D． 2． 下列说法中，正确的是 （  ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 3． 下列说法正确的是 （  ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 　题型 2　　点与圆的位置关系、直径与最长弦 知识梳理 设圆心到点的距离为 半径为 在圆内， 在圆上， 在圆外；直径是最长的弦 位置关系只比两个量：圆心到点的距离 与半径 。题目给"点在圆内"，就直接写出 把 换成已知长度，不等式一列，取值范围自然出来。不要靠画图估位置，估出来的是大概，题目要的是确界。 "到圆上点的距离最长、最短"这类条件，对应的是该点与直径两端点的连线：点在圆外时最长 最短 点在圆内时最长 最短 两个式子都要会，题目不会告诉你点在圆内还是圆外，第（1）问往往就是先判位置。 直径是最长的弦，这句话正反都能用：给了最长弦就是给了直径；给了弦长与半径，就能判断这条弦能否存在（弦长不超过直径）。点与圆的距离问题，画一条过该点与圆心的直线，两个交点就是最近点与最远点，不必另作辅助线。 易错　①把 与 的比较方向写反；　②点在圆内时把最短距离写成 　③忘记"最长弦即直径"；　④取值范围漏掉端点（能否取等号要看点在不在圆上）。 要点　位置关系比 与 最远最近都在过圆心的那条直线上。 1． 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是  （  ） A．7 B．6 C．5 D．4 2． 平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为最短为则的半径为 （  ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 3． 在中，最长的弦是则的半径为 （  ） A． B． C． D． 　题型 3　　确定圆的条件与半圆的判定 知识梳理 不在同一直线上的三点确定一个圆； 的圆周角所对的弦是直径，反之直径所对的圆周角是直角 确定圆的条件只有一条：不在同一直线上的三个点。三点共线时作不出圆（这条用反证法证），所以数"最多能作几个圆"就是数"能选出多少组不共线的三点"，先算组合数，再把共线的组减掉。 判断一个弧形工件是不是半圆，看的是弧上一点对弦的张角：张角为 才是半圆，小于或大于都不是。直角尺检查的道理就在这里——尺的直角顶点落在弧上，两边过弧的端点，弧就是半圆。换成普通三角尺的 顶点，结论不成立。 这类题常把"确定圆"与"外接圆"连起来：三角形的外接圆由三个顶点唯一确定，圆心的位置靠两边的垂直平分线定。答题时先说明"三点不共线"，再说"有且只有一个圆"，这句依据不能省。 易错　①漏掉"不共线"这个前提；　②把任意三角尺的直角边当直径；　③认为"过任意三点都能作圆"；　④数圆的个数时不减共线的组。 要点　不共线三点定一圆； 的张角判定半圆。 1． 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 （  ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 2． 用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是 （  ）． A． B． C． D． 　题型 4　　圆周角定理与圆心角的换算 知识梳理 同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等 圆周角定理只有一句：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。用它的前提是"同一条弧"——顶点在优弧上、在劣弧上，所对的弧不同，结论也不同。做题第一步永远是先指出这个角对着哪条弧。 同弧或等弧所对的圆周角相等，这条是"转移角"的主力：要求一个不好求的角，先找与它同弧的那个好求的角。圆内接四边形、直径所对的直角，本质上都是这条定理的推论，不必每次重新证一遍。 遇到"优弧上的点与劣弧上的点"同时出现，两个角所对的弧互为补弧，它们的和是 。六等分、八等分这类题，先算出一份圆心角的度数，再用"占几份"换算，比逐角相加快。 易错　①不看所对的弧就套"一半"；　②把圆心角与圆周角的位置关系记反；　③优弧、劣弧上的点混为一谈；　④等分圆周时份数数错。 要点　先认弧，再谈一半；同弧的圆周角可互相替代。 1． 如图，点A，B，C在上，垂足为D，若则的度数是  （  ） A． B． C． D． 2． 如图，在中，点在上，则 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧劣弧上，则的值是 （  ） A． B． C． D． 　题型 5　　直径所对的圆周角与三角形的外心 知识梳理 直径所对的圆周角是 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等 看到直径，立刻在图上标一个 直径所对的圆周角是直角。反过来，圆内一个角是 它对的弦就是直径。这一条正反两用，求角、判直径、定外心都靠它。 外心的三条性质要记牢：到三顶点距离相等、是三条垂直平分线的交点、外心角与顶角成 倍关系。第 条常写成""（ 为锐角时），钝角三角形时外角情形要单独讨论，直接套 倍会出错。 求角的顺序：先找直径或半径定直角与等边，再用圆周角定理转移，最后在三角形里用内角和收口。题目给了""，就是给了三个等腰三角形，底角相等可以反复使用。 易错　①见了直径不标直角；　②把外心当成重心或内心；　③钝角三角形也用 　④给了半径相等却不去用等腰。 要点　直径出直角，外心到三顶点等距；求角靠等腰与内角和。 1． 如图，是的直径，D，C是上的点，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，已知点O是的外心，连接若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，在⊙O中，则的度数为      ． 　 　题型 6　　圆内接四边形与双解问题 知识梳理 圆内接四边形对角互补，任一外角等于它的内对角；同一条弦所对的圆周角有两个，分别在弦的两侧 圆内接四边形的两条结论：对角互补、外角等于内对角。这两条与"同弧所对的圆周角相等"是同一件事的两种说法，用哪条方便看题目给的是内角还是外角。 题目说"点 在圆上"而不说在哪一段弧上时，必须按两种情况讨论：点在优弧上、点在劣弧上，所得圆周角互补。只写一个答案，是这类题最常见的失分点。画图时把两种位置都画出来，两个答案都要写全，并说明分别对应哪种位置。 双解题的判断依据是"角与弧的对应关系是否唯一"：给了具体的弧，答案唯一；只给了弦或点，就有两解。作答时把两种情况分开写，不要混在一句话里，批卷时两种情形各有分值。 易错　①圆内接四边形把"对角互补"记成"邻角互补"；　②只说点在圆上就默认在优弧；　③两个答案写成"或"，却不说明各自对应的位置；　④用同弧圆周角相等时，弧选错。 要点　对角互补、外角等于内对角；点在圆上未定弧时要分两解。 1． 如图，A，B，C，D是上的四个点，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 2． 点P是上异于点A，B的一点，若则的度数为 （  ） A． B． C．或 D．或 　题型 7　　弦心距与垂径定理的基本计算 知识梳理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；半径、弦心距、半弦构成直角三角形 垂径定理的计算全靠一个直角三角形：半径作斜边、弦心距作一条直角边、半弦作另一条，勾股一列，三个量知二求一。题目给"弦长"就要立刻除以 直接用整条弦去列勾股是最常见的错。 求"弦上某段的长"（如 ）时，先求弦心距，再用半径加减：点在圆心与弦之间用减，在另一侧用加。题目给""这类条件，要把它翻译成"某条弦等于某条弦"，先转成等弦，再用垂径定理解。 垂径定理的推论同样常用：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；弦的垂直平分线过圆心。证明题里要写出"过圆心作弦的垂线"，再用"垂直于弦的直径平分弦"这条依据，不能只说"由对称性可知"。 易错　①用整条弦列勾股，忘了取半；　②半径与弦心距的角色搞反；　③"平分弦的直径垂直于弦"漏掉"弦不是直径"；　④证明时只写结论不写依据。 要点　半径、弦心距、半弦成直角三角形；弦长先取半。 1． 在中，弦则圆心O到的距离为 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，的直径弦于点E，连接若则的长是       ． 　 　题型 8　　垂径定理的证明与弧长计算 知识梳理 垂直于弦的直径平分弦所对的弧；弧长公式 其中 是圆心角的度数 要证两条弦相等，走"等弧对等弦"比较省力：先由垂径定理得直径平分弧，再说明两段弧相等，最后落到弦相等。过程里每一步都要交代依据，"平分弧"这一步不能跳。 求弧长先求圆心角：把圆周角乘 得圆心角，再代公式 角度一定用度数，用弧度会差一个 。题目给的角若是圆周角，先换算再代入。 题目给""这类平行条件，作用是转移角：内错角、同位角相等，把不好求的角换到已知角的位置。平行与等腰同时出现时，先由平行得角相等，再由半径相等得等腰，两步就能定出圆心角。 易错　①证等弦不写"等弧"，直接下结论；　②弧长公式里把圆周角当圆心角；　③平行条件没用上，缺一条角的关系；　④结果不化到最简或漏写单位。 要点　等弧对等弦；弧长用圆心角，先换算再代公式。 1． 如图，已知的半径为2，弦直径垂足为点点在上（不与点点重合），连接． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②当时，求的长． 　 　 　 　 　 　题型 9　　圆的折叠问题 知识梳理 沿弦折叠时，折痕垂直平分对应点的连线；折叠后弧上的点到圆心的距离仍等于半径 折叠题的核心是两条：折痕是对应点连线的垂直平分线、半径在折叠前后不变。把折叠后的点与圆心连起来，这条线段就等于半径，它是列方程的关键。 求长度的常规路径：在折痕一侧构造直角三角形，用半径、半弦、弦心距三者勾股；再结合"折叠后某弧过圆心"这类条件，把圆心到折痕的距离写成半径的一半或与半径有关的式子。条件里出现"恰好过圆心"，就是给了 这类定量关系。 求阴影面积时，先看折叠把哪块图形搬到了哪里：折叠前后的两块全等，面积可以直接替换，把阴影拼成扇形或弓形再算。弓形面积 扇形面积 三角形面积，这一步不要漏掉减号。 易错　①把折痕当成弦的垂直平分线（应是弧上对应点连线的垂直平分线）；　②折叠后仍用原来的圆心位置算距离；　③阴影拼合时把重叠部分算了两次；　④弓形面积忘记减去三角形。 要点　折痕垂直平分对应点连线，半径折叠前后不变。 1． 将半径为的如图折叠，折痕长为为折叠后的中点，则的长为 （  ） A．1 B． C． D．2 2． 如图，是半圆O的直径，且C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为 （  ） A． B． C． D． 　题型 10　　弧长、扇形面积与阴影 知识梳理 ​阴影常由扇形加减三角形拼成 弧长与扇形面积两个公式，一定先把圆心角换算成度数。已知弧长求面积用 最快，省去求圆心角那一步。题目给的半径、直径要看清楚，直径直接代进公式是高频错误。 阴影面积的通用套路是"割补"：把阴影拆成扇形、三角形、弓形的和或差，或者把某一块旋转、翻折搬到别处拼成规则图形。画图时用不同阴影线标出各块，先写算式再代数，避免中间算错无处核对。 古代数学著作里的弧长近似（如"会圆术"），本质是用弦长加一个修正项逼近弧长，代公式即可，不要试图推导。这类题的计算量在 三个量的换算上，先由垂径定理求出 与 再代。 易错　①把直径当半径代入公式；　②圆心角用弧度；　③阴影拆分时漏掉或多算一块；　④结果保留 还是取近似，没按题目要求。 要点　先统一角度，再用 公式；阴影靠割补。 1． 每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，则的长为 （  ） A． B． C． D． 2． 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当时，则的值为  （  ） A． B． C． D． 3． 如图，是的直径，C为圆上一点，连接若则图中阴影部分的面积为      ． 　 　题型 11　　圆锥的侧面积与展开 知识梳理 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆周长，母线是扇形半径， 圆锥的三个量必须分清：底面半径 母线 高 ，三者满足 展开后扇形的半径是母线、弧长是底面周长，把这两个对应关系写错，后面的公式全错。 侧面积用 展开图的圆心角用 换算成度数。题目给"底面直径"时先除以 给"高"时先用勾股求母线——这两个坑几乎每道题都设一个。 已知侧面积反求半径，把公式当成方程解：代入已知的 直接算。结果要检查是否合理：母线必须大于底面半径，算出的 说明代错了量。 易错　①把底面半径当母线；　②直径不除以 　③给高不给母线时忘了勾股；　④反求时把 约掉导致结果差倍数。 要点　母线是扇形半径，底面周长是扇形弧长，。 1． 草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为高为则该模型的侧面积为  （  ） A． B． C． D． 2． 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为的圆锥模型，已知圆锥的母线长为则圆锥的底面圆半径      cm 　 　题型 12　　圆锥表面的最短路径 知识梳理 把圆锥侧面沿一条母线剪开摊平，两点之间的最短路径是展开图上的线段，用勾股或余弦定理求 求圆锥表面最短路程，只有一条路：展开。沿一条母线把侧面剪开摊成扇形，起点与终点在展开图上是两个点，两点之间线段最短，这条线段就是答案。在曲面上直接连线的，一定不是最短。 展开图里有三个量要先算出来：扇形的半径（母线）、扇形的圆心角（由底面周长换算）、两个点各自到顶点的距离。绕侧面"一圈"回到原点的绳子，在展开图上其实是从扇形的一条半径边到另一条半径边，不是同一个点，这一点最容易看错。 两点在展开图上的夹角若是 或 直接用勾股或含特殊角的三角形；其它角度用余弦定理。算完检查：线段是否真的落在展开图内部，若越过了扇形的缺口，说明绕行方向选反了，要换另一侧再算。 易错　①在曲面上直接连直线；　②把"绕一圈"当成同一个点；　③圆心角换算时把直径当半径；　④不考虑展开图缺口，算出穿过缺口的假路径。 要点　先展开成扇形，再连线段；绕一圈是扇形两条半径边上的点。 1． 如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 （  ） A．5 B． C． D． 2． 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是  （  ） A． B． C． D． 　题型 13　　拱桥与同心圆的实际应用 知识梳理 圆弧形拱桥用垂径定理建模：跨度的一半、拱高、半径构成直角三角形 拱桥、隧道、拱门这类题，第一步是把实际问题画成圆：找到圆心所在的对称轴，把跨度的一半、拱高、半径摆进同一个直角三角形。设半径为 则弦心距是 （ 为拱高），勾股一列方程就出来。 同心圆、双拱这类结构，两条半径分别对应内圆与外圆，两个直角三角形共用一个弦心距，列两条勾股式联立。题目给的"内跨度""拱门内部分圆高度"要逐一翻译成线段，翻译错一处，方程就立不起来。 求出半径后回到实际问题：问的是高度、宽度还是能否通过，都要再用一次垂径定理把答案换回原情境的量。结果保留的位数按题目要求，单位不要漏。 易错　①把跨度直接当弦长的一半；　②弦心距写成 　③同心圆的两个三角形混用半径；　④算出半径就收笔，没回答题目问的量。 要点　半跨、拱高、半径成直角三角形；先设 再列勾股。 1． 如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 　 　 　 　 　 　题型 14　　直线与圆的位置关系：动圆相切 知识梳理 设圆心到直线的距离为 半径为 相交， 相切， 相离 判断直线与圆的位置关系只看 与 相交、相切、相离分别对应 。动圆问题里，圆在动、直线不动，把 写成含时间 的式子，再令 解方程，就得到相切的时刻。 动圆与两条直线都相切时，圆心要走的是角平分线，且有两条（内角平分线与外角平分线），所以要考虑圆在直线两侧的两种情形，答案通常有两个。本题型若只给一条直线，也要看圆是否可能从另一侧经过。 列式前先在图上标出圆心到直线的垂线段，用含 的表达式写出它的长度：运动的起点、速度、方向三者决定符号，写反一个符号，解出来的时间就是负的。解完把 代回检验位置是否在运动范围内。 易错　① 与 的比较方向写反；　②只考虑一种相切情形，漏掉第二个答案；　③距离表达式里速度与时间的符号写错；　④解出的时间不检验是否在运动区间内。 要点　相切即 动圆把 写成含 的式子，两侧都要考虑。 1． 如图，直线相交于点O，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么      秒钟后与直线相切． 　 A 组　基础题 必做｜概念辨析、基本计算与直接应用 1． 小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是 （  ） A．4 B．5 C．10 D．11 2． 已知的半径为4，直线l上有一点A满足则直线l与的位置关系为 （  ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 3． 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点点则的外心的坐标为 （  ） A． B． C． D． 4． 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若则点C的坐标为 （  ） A． B． C． D． 5． 已知的半径为3，以圆心O为原点建立平面直角坐标系，若点A在内，请写出符合要求的点A的坐标      ．（写出一个即可） 　 6． 如图，一个直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于点且过圆心连接．若的直径为则弦的长为      ． 　 7． 过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是则OP=      cm． 　 8． 如图，AB是⊙O 的直径，则=      ． 　 9． 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器      台． 　 10． 如图，圆O的周长为B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则      ．（用数字表示） 　 11． 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接则的长      （结果保留）． 　 12． 如图，在的正方形网格中，图中的两条弦则=      ． 　 13． 用反证法证明命题“经过同一条直线上的三个点不能作圆”，应假设 （  ） A．经过不在同一条直线上的三个点能作圆 B．经过同一条直线上的三个点可以作一个圆 C．经过同一条直线上的两个点不能作圆 D．经过同一条直线上的四个点不能作圆 14． 如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有 （  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15． 图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点点A，B在圆上，都垂直于．已知则灯罩截面所在圆的半径为 （  ） A． B． C． D． 16． 下列说法正确的有 （  ）． ①平分弦的直径垂直于弦．②半圆所对的圆周角是直角．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 17． 如图，是的直径，若则的长为 （  ） A．4 B． C． D． 18． 如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 19． 如图，等边三角形内接于．若的半径为则的长为 （  ） A． B． C． D． 20． 如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为 （  ） A． B． C． D． 21． 如图，中，半径若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为 （  ） A． B． C． D． 22． 如图，是的直径，弦交于点则的度数为 （  ） A． B． C． D． 23． 如图，在中，弦与直径相交于点点为的中点，连接点在上，且连接交于点．若则 （  ） A． B． C． D． 24． 若过平面直角坐标系中的三个点能确定一个圆，则      ． 　 25． 如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点      ． 　 26． 如图，四边形内接于圆，点在上，若则为      度． 　 27． 如图，为的直径，则的度数为      ． 　 28． 如图，为的直径，点在上，若则的度数是       　 29． 若圆锥的底面半径长母线长则该圆锥的侧面积为      （结果保留）． 　 B 组　提升题 必做｜性质计算、常规证明与作图 1． 日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知垂足为点C，垂足为点D，的半径则圆盘离桌面最近的距离是  （  ） A．6 B．5 C．2 D．1 2． 如图，在中，将绕点C顺时针旋转后得到点B经过的路径为将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为则图中阴影部分的面积是 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边与的切点，连接则的度数为 （  ） A． B． C． D． 4． 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若则的长为 （  ） A．8 B． C． D．9 5． 如图，是的内接三角形，点在弧上，依次连接若则等于      ． 　 6． “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中的半径分别是和当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转则      ． 　 7． 如图，的边分别与相交于点是的弦，已知求的度数． 　 　 　 8． 如图，为的直径，弦的延长线相交于点且 求证：． 　 　 　 9． 如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． （1）求证： （2）求证：． 　 　 　 　 　 10． 如图，点为上的三个点，． （1）求的度数． （2）若求的长． 　 　 　 　 　 11． 如图，中，弦的长为点在上，．所在的平面内有一点若则点与的位置关系是 （  ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 12． 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为则以为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 （  ） A． B． C． D． 13． 如图，正方形的边和都是以2为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是 （  ） A． B． C． D． 14． 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与重合），下列结论：①②③当最长时，④其中一定正确的结论有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15． 已知中，求证：下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立， ③假设在中， ④由得即 这四个步骤正确的顺序应是 （  ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 16． 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且则称点C是弦的“可及点”．如图，点．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为 （  ） A． B． C．1 D． 17． 如图，是的直径，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是 （  ） A． B． C． D． 18． 如图，已知锐角按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作交射线于点D，连接②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连．则下列结论错误的是 （  ） A． B．若则 C． D． 19． 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为点分别为的中点，则花窗的面积为       ． 　 20． 如图，是的直径，是的弦，连接．若则      ． 　 21． 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是       　 22． 如图，矩形中，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点若的度数为则直径长为      ． 　 23． 已知：如图是的直径，点C为弧的三等分点（更靠近A点），点P是上的一个动点，取弦的中点D，求线段的最大值为      ． 　 24． 如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是      ． 　 25． 如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且若的长度为则的长度是      ． 　 26． 如图，是的内接三角形，点是劣弧中点，连接其中交于点若则的长为      ． 　 27． 已知线段为⊙O的弦，且求证： 　 　 　 28． 如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点．解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为       （2）求的长．（结果保留） 　 　 　 　 　 29． 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证： （2）若求的半径． 　 　 　 　 　 30． 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且连接． （1）求证： （2）连接若求的长． 　 　 　 　 　 31． 如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且的延长线交于点E，连接交于点F． （1）求证： （2）若是的中点，求的度数． 　 　 　 　 　 32． 已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点交线段于点．连结． （1）求证： （2）连结如果求证：． 　 　 　 　 　 33． 如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有 （  ） A． B． C． D． 34． 已知的直径是的弦，垂足为且则的长为      ． 　 C 组　拓展题 选做｜动点最值、阅读材料与综合探究 1． 形螺母（图）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图所示的位置放置于桌面上．直尺的上边缘，直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点直角三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合．经测量，则该圆形螺母外圆的直径是 （  ） A． B． C． D． 2． 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为      ． 　 3． 如图，四边形是的内接四边形，平分连接． （1）求证： （2）若求的度数． 　 　 　 　 　 4． 如图，的直径弦E是劣弧上一点，连接交于点P，连接． （1）求证： （2）若求的长． 　 　 　 　 　 5． 如图，在中，为直径， 弦于点连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，连接过点作于点求证： （3）如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 6． 如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，连接AD、BC．求证： （1） （2）． 　 　 　 　 　 7． 如图，已知及圆外一点P． （1）尺规作图：过点P作的两条切线切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在上）截下一块三角形求截下的的周长． 　 　 　 　 　 　 　 8． 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证： （2）连接若求的直径． 　 　 　 　 　 9． 已知四边形内接于对角线是的直径． （1）如图1，连接若求证；平分 （2）如图2，为内一点，满足若求弦的长． 　 　 　 　 　 10． 如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且垂足为点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若求的长． 　 　 　 　 　 11． 如图，等腰三角形内接于点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： （1）所在的直线经过点I； （2）点D是的中点． 　 　 　 　 　 12． 如图，直角以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若求BC的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 13． 如图，在扇形中，C为的中点，为上一点，且连接在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为      ． 　 14． 如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为．D是在第一象限内的一点，且． （1）求的半径． （2）求圆心C的坐标． 　 　 　 　 　 15． 如图，矩形中，．作于点． （1）求的长； （2）若以点为圆心作圆，四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，求的半径的取值范围． 　 　 　 　 　 16． 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中．将扇形围成圆锥时，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 　 　 　 　 　 17． 阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使点F是上的一点，且连接则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接 ​于点D，． ​（依据1），． ​四边形内接于．（依据2） …… （1）上述证明过程中的依据1为      ，依据2为      ； （2）将上述证明过程补充完整． 　 　 　 　 　 18． 根据素材解决问题 设计货船通过圆弧拱桥的方案 素材1　图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽拱顶离水面的距离 素材2　如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形测得．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度与货船增加的质量满足函数关系式． （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通过，但生活中要注意安全，临界状态时绝对不可以通过．） 问题解决 任务1　确定拱桥半径　求圆弧形拱桥的半径 任务2　拟定设计方案　根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 　 　 　 　 　 　 　 19． 已知直线在直线上方求作一点C，使得． 下面是小张的作法： ①分别以A，B为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点O； ②以点O为圆心，长为半径画圆； ③在上任取一点C（不与A，B重合），连接．即为所求． （1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接． ​是等边三角形．． ​A，B，M在上， ​（      ）（填推理的依据）． ​． ​四边形内接于 ​（      ）（填推理的依据）． ​． 　 　 　 　 　 　 　 20． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出 （2）求在旋转过程中，点A经过的路径长和线段所扫过的图形面积（结果保留）． 　 　 　 　 　 21． 如图，在中，以为直径的交于点D，交于点E，连接． （1）求证： （2）若连接求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 　 　 　 　 　 22． 如图是输水管道的截面示意图，正方形正方形水平放置在地面上，点在上．已知的半径为正方形边长均为圆心与地面的距离为． （1）求的长度； （2）如图输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为求阴影部分的面积． 　 　 　 　 　 23． 如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作即 ，当时，如． （1）　 　，　 　，的取值范围是 　 　； （2）如图2，圆锥的母线长为18，底面直径一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：） 　 　 　 　 　 24． 如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． （1）求的度数； （2）若求的长； （3）若点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 25． 如图，在中，半径垂足为D，． （1）求证： （2）若的半径为5，则      ． 　 　 　 　 　 26． 如图，四边形内接于为的直径，． （1）求的度数； （2）若求的长度． 　 　 　 　 　 27． 如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证： （2）若求的度数． 　 　 　 　 　 28． 如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； （1）求被剪掉的部分的面积； （2）如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 　 　 　 　 　 29． 如图，是的内接三角形，是的直径，． （1）求的度数． （2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 　 　 　 　 　 30． 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． （1）如图①，求证： （2）如图②，若求的长． 　 　 　 　 　 31． 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 　 　 　 　 　 32． 如图，为的直径，为圆上的两点，交于点． （1）求证： （2）若求的半径． 　 　 　 　 　 33． 已知四边形内接于连接 （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点在上，连接且求证：平分 （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接若求的半径长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 34． 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是      ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $