第29章 圆（圆弧弦长、垂径定理、圆周角与圆心角）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“圆的基础”为核心，通过知识梳理分点细化圆的定义、垂径定理、圆周角与圆心角、圆内接四边形等核心内容，结合基本图形示例呈现知识脉络，突出概念辨析和定理应用的内在联系。 讲义亮点在于题型设计的实践性与层次性，如“垂径定理的实际应用”中以月亮桥通航安全评估为情境，引导学生用数学眼光分析问题，培养几何直观和应用意识。综合演练题融合折叠、对称等知识，提升推理能力，基础题与综合题兼顾不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

目录 第11讲：圆的基础 1 【知识梳理】 1 知识点一：圆、弧、弦长 1 知识点二：垂径定理 2 知识点三：圆周角、圆心角 3 知识点四：圆内接四边形 4 【题型演练】 5 【题型一：圆、弧及弦长概念辨析】 5 【题型二：垂径定理】 6 【题型三：垂径定理的实际应用】 8 【题型四：圆周角与圆心角】 12 【题型五：综合演练】 14 【巩固训练】 16 学科网（北京）股份有限公司 第11讲：圆的基础 【知识梳理】 知识点一：圆、弧、弦长 圆的定义： (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合 圆的性质： ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴。因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线” 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 【注意】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB” 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 【注意】 ①半圆是弧，而弧不一定是半圆 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧 同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧，长度、弧度等都要一模一样 【注意】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中 ②圆中两平行弦所夹的弧相等 知识点二：垂径定理 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 知识点三：圆周角、圆心角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【注意】一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． ① 弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． ② 弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． ③ 弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 知识点四：圆内接四边形 圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 【注意】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角 【题型演练】 【题型一：圆、弧及弦长概念辨析】 【例题1-1】下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【例题1-2】已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【练习1-1】下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【练习1-2】下列命题正确的有（    ） ①长度相等的两条弧是等弧； ②弦的垂直平分线必过圆心； ③平分弦的直径垂直于弦； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习1-3】已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【题型二：垂径定理】 【例题2-1】如图，为的直径，弦于，，，则的半径为________． 【练习2-1】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【练习2-2】如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______． 【练习2-3】如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球路线与球门垂直，为垂足，点在上，过的与相切于点．球员甲带球到点_______（填“”或“”）射门，进球的可能性更大；若，，则的长为______． 【例题3】如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【练习3-1】如图，是的直径，弦与交于点，若，，，则_______． 【练习3-2】如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【练习3-3】如图，在中，是直径，P为上一点，过点P作弦． (1)若，求的长． (2)若，则____________________； (3)当P在上运动时（保持度数不变），与的比值是否发生变化，说明理由． 【题型三：垂径定理的实际应用】 【例题4-1】花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【例题4-2】广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 【练习4-1】圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又实用，还带着浓浓的中式韵味．如图是一款圆形拱门屏风的示意图，其中拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若的半径为，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【练习4-2】如图1，玉带桥拱高而薄，形若玉带，弧形的线条十分流畅．如图2，桥拱关于水面AB反射的影子经过弧所在的圆心O，已知水面宽米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是________米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面AB的距离是________米． 【练习4-3】根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似地看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1），简称为“锅线”．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口截面弦长为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径． 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度． 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个? 【题型四：圆周角与圆心角】 【例题5-1】如图，是的直径，点C，D，E在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例题5-2】如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【练习5-1】如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为_____． 【练习5-2】如图，是半圆的直径，两点在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【练习5-3】如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式拓展1】如图，是的直径，点A，C在上，连接交于点G，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式拓展2】如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）    A． B． C． D． 【题型五：综合演练】 【例题6-1】如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 【例题6-2】已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是______． 【例题6-3】如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 【例题6-4】已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为． (1)如图1，连结，求的度数． (2)如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结． ①求证：； ②若，，求的半径． 【巩固训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．在同圆或等圆中，等弧对等弦 B．三点确定一个圆 C．半径是弦 D．平分弦的直径垂直于弦 2．如图，点A，B，C，D都在上，为的直径，且，若，，则的半径为（    ） A．10 B．2 C． D．5 3．如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（   ）． A．27 B．31 C．32 D．37 7．如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 8．如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． (1)长为______ (2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 9．如图，已知是的外接圆，，则______．    10．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻．广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居．中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥．如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米．        (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______； (2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第11讲：圆的基础 1 【知识梳理】 1 知识点一：圆、弧、弦长 1 知识点二：垂径定理 2 知识点三：圆周角、圆心角 3 知识点四：圆内接四边形 4 【题型演练】 5 【题型一：圆、弧及弦长概念辨析】 5 【题型二：垂径定理】 7 【题型三：垂径定理的实际应用】 17 【题型四：圆周角与圆心角】 26 【题型五：综合演练】 33 【巩固训练】 40 第11讲：圆的基础 【知识梳理】 知识点一：圆、弧、弦长 圆的定义： (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合 圆的性质： ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴。因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线” 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 【注意】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB” 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 【注意】 ①半圆是弧，而弧不一定是半圆 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧 同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧，长度、弧度等都要一模一样 【注意】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中 ②圆中两平行弦所夹的弧相等 知识点二：垂径定理 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 知识点三：圆周角、圆心角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【注意】一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． ① 弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． ② 弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． ③ 弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 知识点四：圆内接四边形 圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 【注意】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角 【题型演练】 【题型一：圆、弧及弦长概念辨析】 【例题1-1】下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【例题1-2】已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 【练习1-1】下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 【练习1-2】下列命题正确的有（    ） ①长度相等的两条弧是等弧； ②弦的垂直平分线必过圆心； ③平分弦的直径垂直于弦； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，以及圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； ②弦的垂直平分线必过圆心，故该选项正确，符合题意； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； ④圆中两条非直径的相交弦不能互相平分，故该选项正确，符合题意； 故选：B． 【练习1-3】已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 【题型二：垂径定理】 【例题2-1】如图，为的直径，弦于，，，则的半径为________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，设的半径为,根据勾股定理，垂径定理，圆的性质，解方程，求解即可； 【详解】解：连接，设的半径为, 为的直径，弦于，，， ，， ， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的半径为 【练习2-1】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 【练习2-2】如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，设与交于点，证明，，设圆的半径为，则,在中，由勾股定理列方程求出,可求出的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， ∵是的直径，且， ∴，， 又D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴,， ∴， 设圆的半径为，则, 在中，， 即， ∴, ∴． 【练习2-3】如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球路线与球门垂直，为垂足，点在上，过的与相切于点．球员甲带球到点_______（填“”或“”）射门，进球的可能性更大；若，，则的长为______． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】令与的交点为，连接，过点作于点，连接，推导出，得到，则球员甲带球到点射门，进球的可能性更大，进而推导出四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，则，即可解答． 【详解】解∶令与的交点为，连接，过点作于点，连接，如图， ，都为弧所对的圆周角， ， ， ， 球员甲带球到点射门，进球的可能性更大； ，点为圆心， ，， ，切于点， ， 四边形是矩形， ，，即， ， ． 【例题3】如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【知识点】求圆中弦的条数、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 【练习3-1】如图，是的直径，弦与交于点，若，，，则_______． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，三角函数的运用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线．过点作于，连接，根据题意可得的直径：，半径为，进而根据线段的和差可求出，结合，可得，在中根据勾股定理得：，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】过点作于，连接， ，， ， 的半径为， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 故答案为：． 【练习3-2】如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【答案】 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质以及运用勾股定理求线段长度，理解圆的对称性并运用对称性作相关辅助线是解题关键．取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F．先求的长度，再证明，从而证明，最后运用矩形的判定及性质以及勾股定理求出的长． 【详解】解：取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F． ∵D为弦的中点，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵D为弦的中点， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习3-3】如图，在中，是直径，P为上一点，过点P作弦． (1)若，求的长． (2)若，则____________________； (3)当P在上运动时（保持度数不变），与的比值是否发生变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：的值发生变化，理由如下： 如解（2）中图，则， 设圆的半径为， 在中，， 在中，， ，， ，即， ． 又， ∴， ∵点在上运动， ∴， ∴， ∴的值发生变化． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、含30度角的直角三角形 【分析】（1）作于，连接，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及垂径定理可进行求解； （2）作于，连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解； （3）如解图（2），则有，设圆的半径为，在中，，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：作于，连接， ∵， ， ∴， 在中，， ， 在中，， ∵， ∴； （2）解：作于，连接， 则， ∵， ， ∴， ， 在中，， ， ∴， 在中，， ， 故答案为； （3）略 【点睛】本题考查了垂径定理、含30度直角三角形的性质，也考查了勾股定理；熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【题型三：垂径定理的实际应用】 【例题4-1】花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂径定理的实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 【例题4-2】广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 【答案】(1) (2) (3)设计1改造方案下的最大值为 【知识点】垂径定理的实际应用、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意得到，，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，，，设，则，在中由勾股定理列式求解即可； （3）根据题意得到，代入抛物线计算得到小船刚好能过桥时的宽度，再结合小船的宽度，即可得到中间隔离带宽度的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，改造后，， ∴， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E， ∴，， 设抛物线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：改造后，，，，且， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为； （3）解：桥墩高，船顶部距水面， ∴， ∴，则， ∴， 解得，，， ∵小船宽度为， ∴ ∴设计1改造方案下的最大值为． 【练习4-1】圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又实用，还带着浓浓的中式韵味．如图是一款圆形拱门屏风的示意图，其中拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若的半径为，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理．连接，根据题意得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴，， 依题意，，， 在中，由勾股定理 ∴ ∴ 故选：D． 【练习4-2】如图1，玉带桥拱高而薄，形若玉带，弧形的线条十分流畅．如图2，桥拱关于水面AB反射的影子经过弧所在的圆心O，已知水面宽米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是________米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面AB的距离是________米． 【答案】 / 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值 【分析】连接OA、OP、OC，OP分别与AB、CD交于点E、N，过点C作CM⊥AB于点M，根据轴对称的性质求得，根据勾股定理求得，根据即可求得水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离，证明是等边三角形，进而可得根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】连接OA、OP、OC，OP分别与AB、CD交于点E、N，过点C作CM⊥AB于点M，如图， 与关于直线AB对称，点P与点O关于直线AB对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 所以 解得（负值已舍） ∴， ∴， 即水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是米， ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴ ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，弧与弦的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 【练习4-3】根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似地看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1），简称为“锅线”．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口截面弦长为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径． 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度． 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个? 【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个 【知识点】垂径定理的实际应用、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用、垂径定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 任务1：在 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可； 任务2：先求出抛物线解析式为 ，再说明水位升高后水面距锅沿的竖直的高度为，即当时，x的2倍即为水面宽度； 任务3：由题意可知：当时，；根据题意可得，运用勾股定理可得、，进而求得，最后根据的范围即可解答． 【详解】解：任务1：如图：圆心为，连接， 设，则， ， ， ∵，过圆心， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得：， ∴的半径为； 任务2：由题意知抛物线的顶点为，且过，， ∴设抛物线解析式为：， ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高 ， ∴加水后水面水的最大深度为， ∴水面距锅沿的竖直高度为， 当时，，解得：， ∴水面宽度为； 任务3：解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， 对于，如图所示： ∵， ， ， ， ， ∵， ∵圆柱体蒸笼底面直径，高度为， ∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个． 【题型四：圆周角与圆心角】 【例题5-1】如图，是的直径，点C，D，E在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识．连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，则，根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【例题5-2】如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出的度数，由等边对等角得出的度数，由角的和差得出的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【练习5-1】如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为_____． 【答案】/70度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【练习5-2】如图，是半圆的直径，两点在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．连接，根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，易知，结合易得，再根据等腰三角形的性质可得，进而可知，然后根据圆周角定理，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【练习5-3】如图，点A、B、C在上，，连接并延长交于点D，连接、．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】根据平行线的性质，得到，，圆周角定理得到的度数，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵连接并延长，交于点， ∴为直径， ∴， ∴． 【变式拓展1】如图，是的直径，点A，C在上，连接交于点G，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形的外角的定义及性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角定理、弧弦圆周角之间的关系、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 先根据直径所对圆周角得到，再根据等弧所对角相等得到，最后根据圆周角定理得到，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式拓展2】如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形内角和定理的应用、利用勾股定理的逆定理求解、圆周角定理 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵点A、B、C是三等分点， ∴， ∴， 故选：A．    【题型五：综合演练】 【例题6-1】如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【例题6-2】已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，勾股定理，折叠的性质，由，得到点的轨迹，当点M在上时，取最大值，当点M在上时，取最小值，由，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接、、，则：， 根据折叠的性质可得：， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵点M在扇形内（不含边界）， 当点M在上时，取最大值，此时， ∵，为弧的中点， ∴， ∴； 当点M在上时，取最小值，作，，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵，，则， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即：，解得：， ∴． 故答案为：． 【例题6-3】如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而得到，再根据得到，即得，最后根据三角形外角性质解答即可求解； （）过作于，连接，可得，即得的半径为， 由等腰三角形的性质得，又可得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵劣弧沿弦翻折交于点，和都对， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）过作于，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【例题6-4】已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为． (1)如图1，连结，求的度数． (2)如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结． ①求证：； ②若，，求的半径． 【答案】(1) (2) ①证明：∵与关于直线对称 ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ∴ ∵， ∴． ②的半径为． 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的内接四边形，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，由折叠，得，证明，则是等边三角形，即可解答； （2）①先证明，推导出，即可解答．②连接，，，推导出，弧=弧，得到，推导出，得到为等边三角形，继而得到，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线所在直线，得到，由，得到，解得，或（舍去），求出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：连接，如图， 由折叠，得， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． （2）①略 ②连接，，，如图， 由(1)，可得，弧=弧， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图 ∴，即，． ∵圆心O在的垂直平分线上， ， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线所在直线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 答：的半径为． 【巩固训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．在同圆或等圆中，等弧对等弦 B．三点确定一个圆 C．半径是弦 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的基本性质． A涉及弧与弦的关系，B涉及确定圆的条件，C涉及半径与弦的定义，D涉及垂径定理的表述，根据圆的基本性质判断正误即可． 【详解】解：A：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，∴所对的弦也相等，故A正确； B：只有当三点不共线时才能确定一个圆，共线时不能确定，故B错误； C：半径是连接圆心和圆上一点的线段，而弦是连接圆上两点的线段，半径只有一个端点在圆上，半径不是弦，故C错误； D：直径也是弦，平分直径的直径不一定垂直于这条直径，故D错误； 故选：A． 2．如图，点A，B，C，D都在上，为的直径，且，若，，则的半径为（    ） A．10 B．2 C． D．5 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，即，求出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 3．如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 4．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 5．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 6．如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（   ）． A．27 B．31 C．32 D．37 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角、圆周角定理、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 如图：设圆的圆心为O，连接，由圆周角定理可得，即，进而得到，则，由旋转的性质得，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：如图：设圆的圆心为O，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 7．如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可． 【详解】解：连接，， 四边形是的内接四边形， ，, 是的中点， ， , , 四边形是的内接四边形， , 故答案为：． 8．如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． (1)长为______ (2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，进而得出，再根据“角角边”证明，得到，则此题可解； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，接下来求出，然后根据勾股定理得即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． （2）解：如图，过点O作，交于点E， 则， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴小圆的半径为． 9．如图，已知是的外接圆，，则______．    【答案】/25度 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，推出，利用三角形内角和定理求出，进而得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻．广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居．中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥．如图①所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米．        (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______； (2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 【答案】(1) (2) (3)水面宽度分别为米；米 【知识点】垂径定理的实际应用、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）连接，延长至点，在在中，，代入数据即可求解； （2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，，，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （3）根据垂径定理，勾股定理，在中求得，即可得出，由（1）可得抛物线解析式为，当时，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    连接，延长，由垂径定理知延长线经过点， 依题意， 设半径为，则 在中，， ∴ 即 解得：， 故答案为：． （2）解：如图所示，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，    依题意，， 设抛物线解析式为，将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （3）解：如图所示，依题意，    则 ∴， 在中，， ∴， 则水面宽度为米； 由（1）可得抛物线解析式为 如图所示，      当水面上涨米时， 当时，， 解得：， ∴水面宽度为米 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的应用，熟练掌握垂径定理与二次函数的性质是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $